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Tercera
Unidad Didáctica
"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETAS"
3.1 Parte básica
144
3.1.1 Variables aleatorias
En
cualquier
experimento
aleatorio
tenemos
resultados
cualitativos
o
cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio matemático, a cada uno de estos
resultados le hacemos corresponder un número real.
Por ejemplo, el resultado de tomar un español al azar y medir su estatura es un
número; el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número de hijos es un
número; el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y observar si se cura o no,
es un dato cualitativo, que puede convertirse en cuantitativo asignando un "1" al
enfermo que se cura y un "0" al enfermo que no se cura.
En realidad lo que estamos haciendo es asignar a cada suceso del espacio muestral
un número, pero esta asignación no tiene por qué ser única.
Pongamos un ejemplo: lanzamos dos dados al aire y a cada suceso elemental le
podemos asignar la suma, el producto, etc., de los números que aparecen en las caras
superiores.
Al igual que los resultados de un fenómeno aleatorio no son predecibles, los
resultados de una variable aleatoria tampoco lo son, pero podemos calcular la
probabilidad de que ocurra un determinado suceso.
A veces puede ocurrir que los valores que toma la variable aleatoria son los
mismos, pero no ocurre lo mismo con las probabilidades. Pongamos un ejemplo.
Se dispone de dos fármacos A y B distintos para curar una misma enfermedad; los
resultados de la variable aleatoria solamente pueden ser 1 ó 0 y uno de ellos puede
curar el 20% de los casos y el otro el 70%.
Para tener identificada una variable aleatoria no basta con indicar los valores que
pueda tomar, hay que indicar también sus probabilidades.
Una variable aleatoria X es toda función que toma diversos valores
numéricos (dependientes del resultado de un fenómeno aleatorio) con
distintas probabilidades.
145
Cuando la variable aleatoria toma un número finito o infinito numerable* de
valores, diremos que es una "variable aleatoria discreta".
Veamos ejemplos:
En el caso del lanzamiento de un dado perfecto, la variable aleatoria X= "número
que sale en la cara superior" puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con
probabilidades P(X)={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.
Si consideramos la variable aleatoria X= "número de varones en una familia de
dos hijos", X={0, 1, 2} y P(X)={1/4, 1/2, 1/4}.
(Observar el espacio muestral del experimento aleatorio).
En general diremos, que una variable aleatoria discreta estará identificada si
conocemos sus posibles valores X = {x1 , x 2 , ..., x n } y sus respectivas
probabilidades P(X = x i ) = P i
Observemos que la suma de las probabilidades es 1: ! Pi = 1
i
A toda regla que permita asociar a cada valor xi de la variable aleatoria su
probabilidad Pi, la llamaremos "función de probabilidad".
Tal función de probabilidad puede venir dada por una tabla:
X
0
1
2
P(X)
1/4
1/2
1/4
o bien por una fórmula matemática.
También podemos definir la variable aleatoria a través de la "función de
distribución".
F(X) = P(X ! x)
*
Un conjunto infinito A se dice que es numerable si se puede establecer una aplicación
biyectiva f entre el conjunto de los naturales y A.
146
F(X) no es más que la probabilidad de que la variable X tome valores menores o
iguales que x.
En el ejemplo anterior:
F(0) = P(X ! 0) = P(X = 0)
F(1) = P(X ! 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
F(2) = P(X ! 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
De un modo general, a toda tabla, gráfica o expresión matemática que
indique los valores que puede tomar una variable aleatoria y las
probabilidades con que los toma, se llamará "distribución de probabilidad
de dicha variable aleatoria".
El concepto de variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier
resultado con una medida cuantitativa.
3.1.2 Esperanza, varianza y desviación
típica de una variable aleatoria
Se llama esperanza de la variable aleatoria discreta X, al número:
E [ X] = x1 p1 + x 2 p 2 +... +x n p n
x1 , x2 ,. .., xn son los valores de la variable aleatoria y p1 , p 2 , ..., p n las
probabilidades respectivas.
La esperanza de una variable aleatoria X también se representa por µ, y se llama
media de la distribución. Por tanto, "esperanza de la variable aleatoria" y "media de la
distribución" son expresiones equivalentes.
n
µ = ! p ix i = E[ X]
i=1
El conocimiento de la media de la distribución no es suficiente para caracterizar la
distribución, ya que hay distribuciones con la misma media y distintas unas de otras.
147
Para medir la dispersión de los valores de una variable aleatoria X respecto de su
media µ , se define el siguiente estadístico llamado varianza:
[
V [X ] = E ( x ! µ )
2
]
Es decir:
V[X] = (x1 ! µ) p1 + ( x2 ! µ) p2 +...+ ( xn ! µ) p n
2
2
2
Puesto que la varianza no podría medirse en las mismas unidades que la variable,
utilizamos la raíz cuadrada de la varianza y a este número la llamamos desviación
típica.
Desv[ X] = V[X]
Desv[ X] =
(x1 ! µ)2 p1 + ( x2 ! µ)2 p2 +...+( xn ! µ)2 p n
EJEMPLO 3.1:
Calcular la media y la varianza del número de hijos varones de una familia con dos
hijos.
Solución:
E={VV, VH, HV, HH}
X={0, 1, 2}= "número de hijos varones de una familia con dos hijos"
P1 = P(X = 0) = 1/ 4
!#
P 2 = P(X = 1) = 2 / 4 = 1 / 2 " 1 / 4 + 1 / 2 + 1/ 4 = 1
#$
P3 = P(X = 2) = 1/ 4
En promedio, una familia con dos hijos tiene un hijo varón con una varianza de
1/2.
148
EJEMPLO 3.2:
Tras una intervención quirúrgica de un tipo determinado, el equipo médico
mantuvo en el hospital a unos pacientes cinco días y a otros ocho. De éstos últimos no
regresó ninguno al hospital y el coste de cada uno ascendió a 90.000 pts., mientras que
de los dados de alta a los cinco días, las dos terceras partes no regresaron al hospital y el
coste por cada individuo fue de 50.000 pts. El otro tercio restante tuvo que regresar al
hospital ocasionando unos gastos totales por individuo de 150.000 pts.
En términos puramente económicos, ¿es preferible dar de alta a los enfermos a los
cinco o a los ocho días?.
Solución:
Se trata de calcular el coste promedio en ambos casos. En el supuesto de que los
pacientes estén ingresados 8 días, el coste promedio es de 90.000 pts., y en el supuesto
de que los pacientes estén 5 días, la variable aleatoria se distribuye de la siguiente
forma:
X
50.000
150.000
P(X)
2/3
1/3
El coste promedio en este caso será:
2
1
E[X] = 50.000 + 150.000 = 83.330pts.
3
3
Puesto que 83.333 < 90.000, esto indica que es preferible, desde el punto de vista
económico, tener ingresados a los pacientes cinco días.
La varianza la calculamos de la siguiente forma:
V[X] = (50.000 ! 83.000)2
2
1
+ (150.000 ! 83.330)2 = 2, 2 109
3
3
149
3.1.3 Distribución Binomial
Hay muchas situaciones en las que sólo interesa conocer si un determinado suceso
se produce o no se produce.
Si el suceso ocurre, diremos que hemos obtenido un éxito y lo simbolizamos por E
y si no ocurre diremos que hemos obtenido un fracaso y lo simbolizamos por F.
La probabilidad de éxito la llamamos p
La probabilidad de fracaso la llamamos q
Lógicamente p+q=1
Se trata de un experimento aleatorio que no tiene más que dos resultados posibles
E y F tales que P(E)=p y P(F)=q
Es interesante el caso en el que se repitan pruebas independientes del mismo
experimento y la probabilidad de éxito se mantenga constante en todas ellas.
Supongamos que el número de pruebas es cinco (n=5). Un posible resultado sería:
EFFEE
Si queremos calcular la probabilidad, teniendo en cuenta que las pruebas son
independientes:
P(EFFEE) = P(E) P(F) P(F) P(E) P(E) = p q q p p = p3 q2
Responden a este modelo experimentos como los siguientes:
- Lanzar una moneda varias veces considerando éxito la obtención de cara.
Entonces p=q=1/2
- Lanzar un dado varias veces, considerando éxito que salga el 6 y fracaso que no
salga el 6. En este caso p=1/6 y q=5/6.
150
- La clasificación de las piezas fabricadas por una máquina, considerando éxito las
piezas aceptables y fracaso las piezas defectuosas. En este caso p y q se asignan
haciendo un estudio de gran número de piezas.
Diremos que un experimento sigue un modelo binomial si, en cada
ejecución, sólo hay dos posibles resultados (E y F), las pruebas son
independientes y la probabilidad de éxito es constante.
La idea es la de construir un modelo de asignación de probabilidades de estas
características.
Llamaremos variable aleatoria binomial a:
X = "número de éxitos en n pruebas"
Se pueden asignar probabilidades mediante un diagrama en árbol:
COMIENZO
1ª PRUEBA
2ª PRUEBA
p
p
p
E
E
F
q
p
p
q
E
F
q
p
q
F
RESUL.
PROB.
E
E EE
p3
F
EE F
p2q
E
E FE
p2q
F
EF F
pq 2
E
FEE
p2q
F
FEF
pq 2
E
F FE
pq 2
F
FF F
q3
q
p
q
3ª PRUEBA
q
151
Construir el árbol puede ser una tarea larga y conviene buscar una fórmula general
para un experimento binomial.
Convengamos en identificar todos aquellos resultados que tienen el mismo
número de éxitos. Tras n pruebas nos encontraríamos con:
EE...E !!" p n
EE...EF !!" np n#1q
EE...EFF!!" n(n # 1)pn#2 q2
.............................................
EF...F !!" npq n#1
FF... F !!" q n
Las distintas probabilidades son los sumandos del desarrollo del binomio (p+q)n,
por lo que:
! n$
P( X = r ) = # p r q n& r
"r%
Convenimos en designar al experimento binomial con n pruebas, siendo p la
probabilidad de éxito, como B(n,p).
EJEMPLO 3.3:
Se lanza un dado 7 veces. Calcular la probabilidad de obtener 3 seises.
p = P(E) = 1/6 n=7
q = P(F) =5/6
K=3
Solución:
X = "número de seises que aparecen al lanzar un dado 7 veces".
!# 7$ ! 1 $ 3! 5 $ 4
P(X = 3) =
= 0' 08
" 3% " 6 % " 6 %
152
EJEMPLO 3.4:
Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara, al lanzar una moneda
cinco veces.
Solución:
X = "número de caras que se obtienen al lanzar una moneda cinco veces"
P(x>1) = P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)
Utilizando el suceso contrario:
P(x>1) = 1-P(x≤1) = 1-(P(x=0)+P(x=1)) =
= 1 - 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 - 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
EJEMPLO 3.5:
Supongamos que en un departamento de control de calidad se examinan lotes de
cuatro artículos y se sabe que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es
P(D)=1/10 (por lo que la probabilidad de que sea aceptable es P(A)=1-P(D)=9/10).
Definimos la variable aleatoria de manera que a cada elemento del espacio
muestral, le asociamos el número de piezas defectuosas. x={0,1,2,3,4}. Calcular la
probabilidad asociada a cada valor de la variable.
Solución:
Calculamos sus probabilidades:
9 4
P(x = 0) = ! # = 0, 6561
" 4$
P(x = 1) =
1 ! 9 # 3 !% 4#
= 0, 2961
10 " 10 $ " 1$
! 4$
Incluimos el número combinatorio #
" 1%
porque se pueden dar cuatro
posibilidades.
DAAA, ADAA, AADA, AAAD
153
P(x = 2) =
2
2
! 1 # ! 9 # !% 4#
= 0, 0486
" 10 $ " 10 $ " 2$
! 1 3 9 !% 4#
P(x = 3) = " #$
= 0, 0036
10 10 " 3$
! 1 #4
P(x = 4) = " $ = 0, 0001
10
EJEMPLO 3.6:
Hallar las probabilidades del experimento binomial B(4,1/3).
Solución:
!# 4$ ! 1$ 0 ! 2 $ 4
P(x = 0) =
= 0,1975
" 0% " 3% " 3 %
!4 1 1 2 3
P(x = 1) = # $ ! $ ! $ = 0, 3951
" 1% " 3% " 3 %
! 4$ ! 1 2 ! 2 2
P(x = 2) = # " $% " $% = 0, 2963
" 2% 3
3
! 4$ ! 1 3 2
P(x = 3) = # " $%
= 0, 0988
" 3% 3 3
! 4$ ! 1 4
P(x = 4) = # " $% = 0, 0123
" 4% 3
EJEMPLO 3.7:
En una empresa de fabricación de automóviles se ha observado que el 2%
presenta algún defecto. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 5
automóviles se encuentren a lo sumo dos defectuosos.
Solución:
La variable X = "número de automóviles defectuosos", sigue una B(50,0'02).
P( X ! 2) = P(X = 0 ) + P( X = 1) + P(X = 2) =
"$ 50%
" 50
" 50
(0, 02) 0 (0, 98)50 + $ % (0, 02)(0, 98)49 + $ % (0, 02)2 (0, 98) 48
# 0&
#1&
#2&
154
P(X ! 2) = 0' 9216
A medida que aumenta el valor de n se complican los cálculos y es conveniente
utilizar tablas.
3.1.3.1 Manejo de tablas
Las tablas están elaboradas con la siguiente estructura (figura 3.1):
n
2
3
...
10
r
0
1
2
0
1
2
3
...
0
1
...
10
p
0.01
0.05
...
0.50
...
...
...
...
Figura 3.1: Estructura de la tabla de la Distribución Binomial
Si estamos en una B(5,0'45), buscaremos el 5 en la columna de n y si nos piden
P(X=4), dentro del grupo n=5, buscamos r=4. En la fila de p buscamos 0'45 y en la
confluencia de la horizontal y la vertical, tendremos el valor de la probabilidad.
Podemos encontrarnos con un problema en el caso de ser p>0'5, pues no puede
emplearse la tabla directamente, sino que tendremos que tener en cuenta la siguiente
propiedad:
! n$
! n $ n& r r
P( X = r ) = # p r q n& r = #
p q
"r%
" n & r%
Función de densidad de una variable aleatoria que siga una B(n,p) con n-r
éxitos.
P(X=r) en una B(n,p) = P(X=n-r) en una B(n,q)
155
3.1.3.2 Media y desviación típica de una variable
Binomial
MEDIA:
µ = E[ x] = x 0p 0 + x1p1 +...+x n pn =
!n
!n
!n
= 0# $ q n + 1# $ pqn &1 +...+n # $ p n = np
" 0%
" 1%
" n%
VARIANZA:
n
! 2 = V[ x] = # ( x " µ) pi = npq
2
i=1
DESVIACIÓN TÍPICA:
! = npq
EJEMPLO 3.8:
Supongamos que tenemos cinco instrumentos y que sabemos que en promedio un
determinado instrumento está averiado uno de cada diez días. ¿Cuál es la probabilidad
de que en un día más de tres instrumentos estén averiados?. ¿Cuál es el número
esperado de instrumentos averiados al día?.
Solución:
Nuestra variable será:
X = "número de instrumento averiados en un día"
Sólo hay dos posibles sucesos:
E: Estar averiado
F: No estar averiado.
X ~ B(n=5, p=0'1)
La función de densidad será:
156
!5
!5
P( x = r) = # $ p r q 5&r = # $ 0,1r 0, 95& r
" r%
" r%
P( x > 3) = P(x = 4 ) + P(x = 5) = 4
! 5$
! 5$
= # p 4q + # 0,150, 9 0 = 4, 6 10&4
" 4%
" 5%
E [x] = np = 5 0,1 = 0, 5
Se avería un instrumento cada dos días.
EJEMPLO 3.9:
La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Biología
es 0'3. Hallar la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en
primer curso:
a) Ninguno de los siete finalice la carrera.
b) La finalicen todos.
c) Al menos dos acaben la carrera.
Asimismo, hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que
acaban la carrera.
Solución:
Los sucesos son:
E(éxito): acabar la carrera
P(E) = p = 0'3
F(fracaso): no acabar la carrera P(F) = q = 0'7
El número de pruebas es siete
n=7
Las pruebas son independientes, porque lo que ocurra con un alumno no tiene
nada que ver con lo que le ocurra a otro.
a)
! n$
P( X = r ) = # p r q n& r
"r%
157
! n$
! 7$
P(x = 0) = # p0 q n = # q 7 = 0, 77 = 0, 0824
" 0%
" 0%
b)
! 7$ 7 0
P(x = 7) = # 0, 3 q = 0, 0002 Imposible
" 7%
c)
P( X ! 2) = P(X = 2 ) + P( X = 3)+...+ P(X = 7) =
1 " P(X # 1) = 1 " (P(r = 0) + P(r = 1)) =
= 1 " 0, 0824 " 0, 2471 = 0, 6705
Parámetros:
E [x] = np = 7 0, 3 = 2,1
V[x] = npq = 2, 1 0, 7 = 1, 47
! = 1, 47
EJEMPLO 3.10:
En recientes estudios realizados sobre pacientes portadores de SIDA, se ha
podido determinar que el 70% consume algún tipo de droga. En la sala de espera de
una consulta especializada en esta enfermedad se encuentran en un determinado
momento seis personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno haya consumido
droga?.
Solución:
E: "No consumir droga"
P(E) = 0'3 = p
F: "Consumir droga"
P(F) = 0'7 = q
Cada paciente es un caso distinto n=6
! 6$
P( x = 0 ) = # p 0q 6 = 0, 1176
" 0%
EJEMPLO 3.11:
Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el
14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al
día 5 insectos.
Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana queden, como mínimo, la
mitad.
158
Solución:
Suponiendo independencia se tiene:
P(no comer insecto venenoso) = 1-0'14 = 0'86
P(un animal no se envenene en un día) = P(comer 5 insectos no venenosos) =
= (0'86)5 = 0'47042
P(un animal no se envenene en 7 días) = (0,47042)7=0,005
P(un animal se envenene en 7 días) = 1-0'005 = 0'995
Sea X: "número de animales envenenados en una semana.
X ~ B(20,0'995)
10 " 20%
P( x ! 10) = ' $
0, 995 k0, 00510( k = 2, 08975 10 (18
#
k
&
k=0
3.1.4 Distribución de Poisson
En este caso la variable aleatoria representa el número de sucesos independientes
que ocurren, a una velocidad constante, en el tiempo o en el espacio.
Su nombre lo debe al francés Simeón Denis Poisson, que fue el primero en
describirla en el Siglo XIX.
Veamos algunos ejemplos típicos de esta distribución:
•
El número de personas que llega a una tienda de autoservicio en un
tiempo determinado.
•
El número de solicitudes de seguro procesadas por una compañía en
un período específico.
• El
número de bacterias en un cultivo.
La distribución de Poisson es el modelo de probabilidad que más se utiliza para
analizar problemas de listas de espera.
Podemos hablar de las siguientes características de una distribución de Poisson:
159
1- Debemos tener un fenómeno dicotómico (ocurrencia o no de un
determinado suceso).
2- Las pruebas que se realicen han de ser independientes y la
probabilidad de éxito se ha de mantener constante en todas ellas.
3- Los sucesos han de ser poco comunes, por eso se le conoce como
"Ley de los sucesos raros".
4- Puesto que la probabilidad de éxito ha de ser pequeña, entendemos
que p<0.05 y puesto que n ha de ser grande, entendemos n>100.
5- Los sucesos ocurren en un intervalo de tiempo.
6- Se caracteriza por un parámetro ! , que es el número medio de
ocurrencia del suceso aleatorio por unidad de tiempo.
7- Siempre que la media y la varianza sean similares, podemos pensar
en un modelo de Poisson.
Media:
E [x] = np = !
Varianza:
V[x] = ! = E[ x]
Es importante el hecho de que una distribución binomial en la que n es grande y
p pequeño tiene una aproximación excelente con la distribución de Poisson. La función
de probabilidad será el límite de la función de densidad de la binomial cuando
n ! ", p ! 0 y np ! "
$ n'
$ n'
lim & pr q n )r = lim & lim p r lim q n )r
n !" % r (
n! "% r ( p!0
n! "
p!0
np !#
Teniendo en cuenta que p =
p! 0
!
n
160
n!
%$' r
%
$ n#r
lim 1 # '
=
n(
n!" r!(n # r)! & n ( n! "&
lim
%
$
1# '
&
n(
n
n(n # 1)...(n # r + 1) $ r
lim
r
r!
n!"
n r n!" %
$
1# '
&
n(
= lim
%
$'n
lim
1
#
$r
n(n # 1)...(n # r + 1) n!"&
n(
=
lim
r
r! n!"
n
%
$'r
lim 1 #
n(
n! "&
[1]
Calculamos cada uno de estos límites:
n n # 1 n # r +1
...
! 1
n
n
n!" n
lim
n
+
# .
%
' $
% $'n
1 * 0
)
lim 1 #
! lim - 1 + n
* 0
n(
n!" &
n!" )
-&
#$ ( 0
,
/
#$
! e #$
% $ r
lim 1 # ' !1
n(
n!" &
Sustituyendo en [1] tenemos:
!r " !
P(!) =
e
r!
Es la función de densidad de la distribución de Poisson.
EJEMPLO 3.12:
Un comprador de grandes cantidades de circuitos integrados ha adoptado un
plan para aceptar un envío de éstos, que consiste en inspeccionar una muestra de 100
circuitos provenientes del lote. Si el comprador encuentra no más de dos circuitos
defectuosos en la muestra, acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. Si se envía al
comprador un lote que contiene el 1% de circuitos defectuosos, ¿cuál es la
probabilidad de que sea aceptado el lote?.
Solución:
161
Nuestra variable es:
X: "número de circuitos defectuosos en la muestra".
X~B(n=100, p=0'01)
np=1
Si n≥50 y p≤0,1 se comporta aproximadamente como una Poisson.
P(aceptar el lote) = P(x ! 2) = P( x = 0 ) + P( x = 1) + P(x = 2) =
10
11
12
"1
"1
"1
=e
+e
+e
= 0, 9197
0!
1!
2!
P(aceptar el lote) = 90%
EJEMPLO 3.13:
Es conocido el hecho de que cierto tipo de bacterias poseen, además de sus
cromosomas, otras estructuras de ADN llamadas factores de resistencia. Estos factores
confieren a la bacteria resistencia a uno o varios antibióticos. En un determinado
medio el 0,06% de las bacterias no poseen dicha propiedad. Sobre una población de
10.000 se desea saber:
a) La probabilidad de que el número de bacterias no poseyendo dicha resistencia
sea superior a 6, pero inferior a 15.
b) La probabilidad de que haya exactamente 5 sin resistencia antibiótica.
Solución:
Sea X el "número de bacterias que no poseen resistencia a los antibióticos".
X~B(n=10.000, p=0'0006)~P( ! =np=6)
a) P(6 < x < 15) = P(x ! 14 ) " P(x ! 6) = 0, 9986 " 0, 6063 = 0, 3923
b) P( x = 5) = e
!6 6
5
5!
= 0,1606
EJEMPLO 3.14:
La probabilidad de que dos aminoácidos determinados se combinen para formar
un dipéptido es muy pequeña y, en consecuencia, el número de dipéptidos de una
162
determinada composición que puedan observarse al analizar un conjunto de proteínas
sigue una distribución de Poisson, que por otras investigaciones sabemos que tiene
parámetro ! =0,4.
Si denominamos como X el número de dipéptidos observados en una composición
determinada:
a) Calcular la probabilidad de no encontrar ninguno de tales dipéptidos en dicha
composición.
b) Probabilidad de encontrar dos o más.
Solución:
a)
P( x = 0 ) = e !"
b)
"0
= e !0,4
0!
P(x ! 2) = 1" P(x < 1) = 1 " P(x = 0) " P(x = 1) =
= 1 " e "0,4
#0
0, 41
1
0, 4
" e "0,4
= 1" 0,4 " 0,4
0!
1!
e
e
EJEMPLO 3.15:
El número medio de automóviles que llega a una estación de suministro de
gasolina es de 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de diez
automóviles por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen
a la estación de suministro más automóviles de los que puedan atender.
Solución:
La variable aleatoria X es el "número de automóviles que llegan a la estación de
servicio en un minuto ".
El suceso éxito (1) consiste en que en un instante cualquiera llegue un automóvil a
la estación de suministro .
p es la probabilidad de éxito y es suficientemente pequeña, sin embargo , la
prueba puede repetirse un número suficientemente grande de veces.
163
Ocurre un determinado suceso en un intervalo de tiempo .
Cumple las condiciones de Poisson.
P ( x = r) =
!r "!
e
r!
! es el número medio de veces que se da el suceso de probabilidad p.
!=
210
= 3, 5
60
La estación no podrá atender si llegan más de 10 automóviles por minuto.
!
10
r=11
r=0
P( X > 10) = " P(x = r ) = 1 # " P(x = r ) =
$ 3,50 #3,5
3,510 #3,5 '
=1#&
e
+...+
e
)( = 1 # 0, 9991 = 0, 0009
10!
% 0!
EJEMPLO 3.16:
El número de clientes que llega a un banco es una variable de Poisson. Si el
número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto
lleguen por lo menos tres clientes?.
Solución:
X: "número de clientes que llega a un banco en un minuto".
E[x]=120 clientes por hora.
E[X] =
120
= 2=!
60
P( X ! 3) = 1" P(X < 3) = 1 " [P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2 )] =
= 1 " 0,1353 " 0, 2707 " 0, 2707 = 0, 3233
La probabilidad es de un 33% aproximadamente.
164
EJEMPLO 3.17:
Del volumen de producción diario en dos plantas diferentes de una fábrica, se
sabe que la probabilidad de que resulten r unidades defectuosa es:
4r !4
- en la 1a planta:
para r = 0, 1, 2, ...
e
r!
6r
- en la 2a planta: e !6 para r = 0, 1, 2, ...
r!
Determinar la probabilidad de que, en un día determinado:
a) resulten cinco o más unidades defectuosas en la 1a planta.
b) resulten cuatro o menos unidades defectuosas en la 2a planta.
c) resulten ocho o más unidades defectuosas del total de la producción de la
fábrica.
Solución:
a) X1: "número de unidades defectuosas en la 1a planta". ! P(4)
P( X1 ! 5) = 1" P(X1 < 5) = 1 " [ P( x1 = 0 )+...+ P(x1 = 4)]
P( X1 ! 5) = 0, 3711
b) X2: "número de unidades defectuosas en la 2a planta". ! P(6)
P( X2 ! 4 ) = P( x2 = 0)+...+P (x 2 = 4) = 0, 2851
c) X3: "número de unidades defectuosas del total de la producción."
P( X3 ! 8) = 1" P( x3 < 8) = 0, 7797
Da la impresión de que la empresa debería revisar su producción.
3.1.5 Distribución Hipergeométrica
En la distribución binomial siempre aseguramos la independencia, es decir, el
muestreo se realiza con reemplazamiento y la probabilidad de éxito es constante en cada
165
una de las pruebas. Supongamos que esto no ocurre, no hay reemplazamiento y la
variable aleatoria sigue otro tipo de distribución. Veamos un ejemplo:
Sea N el número de profesores de un Centro de Enseñanza Secundaria que deben
elegir Director entre dos candidatos A y B. Sea n el número de profesores que apoyan al
candidato A y N-n el número de profesores que apoyan al candidato B. Supongamos
que queremos hacer un sondeo antes de la votación final, tomamos una muestra con K
profesores y le preguntamos el candidato al que piensan votar. Supongamos que X es la
variable aleatoria que nos mide el número de profesores de la muestra que piensan votar
al candidato A. El interés está en calcular la probabilidad de que X=r, es decir, que en la
muestra haya r personas que piensan votar al candidato A.
Deduciremos la fórmula utilizando la Ley de Laplace.
¿De cuántas maneras puedo elegir muestras de tamaño n entre N elementos que
tiene la población?.
!# N$
casos posibles
"n%
De éstos, ¿cuáles serán favorables a nuestro suceso?. Aquellas que tengan r éxitos
y N-r fracasos.
(r veces) (n! r veces )
EE
...#
E FF
...#
F
!
#"
$
!
#"
$
Np
Nq
Es preciso conocer la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso en la
población. El número de casos favorables será:
!# Np$ !# Nq $
" r % " n & r%
Por consiguiente:
Media:
!# Np$ !# Nq $
" r % " n & r%
P( X = r ) =
; r = 0,1,2,..., n
!# N$
" n%
E [x] = np
166
Varianza:
Cuando
V[x] = npq
N !n
N !1
n
! 0, 05 , la distribución hipergeométrica se aproxima a la binomial.
N
EJEMPLO 3.18:
Un fabricante asegura que sólo el 1% de su producción total se encuentra
defectuosa. Supóngase que se ordenan 1000 artículos y se seleccionan 25 al azar para
inspeccionarlos. Si el fabricante se encuentra en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad
de observar dos o más artículos defectuosos en la muestra?.
Solución:
Tenemos una población de tamaño N=1000
X: "número de artículos defectuosos en la muestra".
P(éxito)=0,0 l
Tamaño de la muestra n=25
Si inspeccionamos uno de los 25, ese no lo volvemos a inspeccionar, luego no hay
reemplazamiento, la p de las distintas pruebas no se mantiene constante. Se trata de una
distribución hipergeométrica.
P( x ! 2) = l " P(x < 2) = l " [P(x = 0 ) + P(x = 1)]
!# 1000 0, 01$ !# 1000 0, 99$
&
(
"
0
%"
25
%
P( X = 0 ) =
= 0, 7754
(
!# 1000$
(
" 25 %
'P( X * 2) = 0, 0239
!# 10$ !# 990 $
(
" 1 % " 24 %
(
P( X = 1) =
= 0, 2007
!# 1000$
(
" 25 %
)
167
Puesto que
n
25
=
= 0, 025 < 0, 05
N 1000
Podemos aproximar por una binomial:
P( x ! 2) = l " [ P( x = 0) + P( x = 1)] =
# 25&
# 25&
=1"%
0, 010 0, 9925 " %
0, 011 0, 9924 =
$0'
$1'
1 " 0, 7778 " 0,1964 = 0, 0258
EJEMPLO 3.19:
Supóngase que se tienen 50 representantes de cierto estado, en una convención
política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B.
Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes, ¿cuál es la probabilidad de
que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A?.
Solución:
X: "número de personas de la muestra que apoyan al candidato A.
N = 50!#
3
&
n = 5 "X % H' 50, 5, ()
5
3
p= #
5$
P( x ! 2) = l " P(x < 2) = 1 " [ P(x = 0) + P( x = 1)]
3 #
2 )
#
50 & 50 &
%
5( %
5( +
$ 0 '$ 5 ' +
P(X = 0) =
#% 50&
+
+
$ 5'
P( X ! 2) = 0, 9241
3& #
2& *
#
50
50
%
5( %
5( +
$ 1 '$ 4 ' +
P(X = 1) =
#% 50&
+
+,
$ 5'
No hay duda de que al menos dos apoyarán al candidato A. con una probabilidad
del 92%.
168
EJEMPLO 3.20:
En una clase en la que hay 20 estudiantes, 15 están insatisfechos con el texto que
se utiliza. Si se le pregunta acerca del texto a cuatro estudiantes tomados al azar,
determine la probabilidad de que:
a) exactamente tres estén insatisfechos con el texto.
b) cuando menos tres estén insatisfechos.
Solución:
Hay dos sucesos mutuamente excluyentes:
P(estar satisfechos) = 5/20 = 1/4
P(no estar satisfecho) = 15/20 = 3/4
Las pruebas son sin reemplazamiento, no tiene sentido volver a preguntar al
mismo estudiante que se le preguntó antes.
X: "número de alumnos que están insatisfechos con el texto".
3
!
Es una H" 20;4, #$
4
a)
!# Np$ !# Nq $ !# 15$ !# 5$
" r % " n & r% " 3 % " 1%
P( X = 3) =
=
= 0, 469
!# N$
!# 20$
" n%
" 4%
b)
P( X ! 3) = P(x = 3) + P(x = 4 ) = 0, 75
EJEMPLO 3.21:
Un equipo departamental incluye cinco biólogos especialistas en microbiología y
nueve médicos. Si se eligen al azar cinco personas y se les asigna un proyecto, ¿cuál es
la probabilidad de que el equipo del proyecto incluya exactamente a dos biólogos?.
169
Solución:
X: "número de biólogos incluidos en el proyecto".
P(biólogo) = 5/14
P(médico) = 9/14
5
"
X ! H# 14;5, $%
14
!# 5$ !# 9$
" 2% " 3%
P( X = 2 ) =
= 0, 42
!# 14$
" 5%
EJEMPLO 3.22:
Considérese un fabricante de ordenadores que compra los microprocesadores a
una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un
lote de 40 microprocesadores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de
manera aleatoria y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los
microprocesadores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma
lo rechaza. Suponiendo que el lote contenga dos microprocesadores con serios
defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado?
Solución:
X: "número de microprocesadores defectuosos en la muestra".
20
1
19
"
X ! H# 40;8, $% p =
q=
40
20
20
"& 2 $ "& 38$
# 0% # 8 %
P( X = 0) =
= 0, 6359
"& 40$
# 8%
Si la persona que vende sabe que le controlarán el producto, procurará que la
empresa efectúe un control de calidad antes de iniciar las ventas. Aumentará la calidad
del producto.
170
EJEMPLO 3.23:
Una compañía dedicada a la producción de artículos electrónicos, utiliza un esquema
para la aceptación de artículos, para su ensamblaje, antes de ser embarcados, que
consiste en lo siguiente:
Los artículos están embalados en cajas de 25 unidades y un técnico de la compañía
selecciona aleatoriamente tres artículos, de tal manera que si no encuentra ningún
artículo defectuoso, la caja se embarca.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene tres artículos
defectuosos'?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso
regrese para su verificación?.
Solución:
X: "número de artículos defectuosos en la muestra".
a) Si la caja contiene tres artículos defectuosos, la distribución es:
3
22
q=
25
25
!# Np$ !# Nq $ !# 3$ !# 22 $
" xi % " n & x i % " 0% " 3 & 0%
P( X = 0 ) =
=
= 0, 6696
!# N$
!# 25$
"n%
" 3%
N = 25
N1 = 3
N2 = 22
p=
Hay una probabilidad del 67% de que se embarque la caja.
b) La caja sólo contiene un articulo defectuoso.
1
24
N = 25
p=
q=
25
25
1 $!
24 $
!
25
25
#
&
#
25
25 &
" 0 %" 3 %
P( X = 0 ) =
= 0, 88
!# 25$
"3%
Lógicamente la probabilidad de que no embarque es: 1-0,88 = 0,12
Lo más probable es que las cajas que tengan un artículo defectuoso sean
embarcadas.
171
EJEMPLO 3.24:
Supongamos que una compañía hace el estudio de la calidad conforme a otro
esquema.
Se toma un artículo, se inspecciona y se devuelve a la caja; lo mismo ocurre con
un 2º y un 3er artículo.
La caja no se embarca si cualquiera de los tres artículos es defectuoso.
Solución:
! 3
a) B 3, #
" 25 $
! 1
b) B 3, #
" 25 $
! 3$ ! 3 0 ! 22 3
P( x = 0 ) = # " $% " $% = 0, 6815
" 0% 25
25
!# 3$ ! 1 $ 0 ! 24 $ 3
P( x = 0 ) =
= 0, 8847
" 0% " 25% " 25 %
La probabilidad de no embarcar sería: 1 - 0,8847 = 0,1153
EJEMPLO 3.25:
Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una
compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un
lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera
aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta
serios defectos, el fabricante acepta el lote; contiene dos motores con serios defectos,
¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado?.
Solución:
X: "número de motores defectuosos en la muestra".
172
2
1
!
H" 40;8, #$
40
20
!% 2# !% 38#
" 0$ " 8 $
P(X = 0) =
= 0, 6359
!% 40#
" 8$
N = 40
n=8
p=
173
"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
CONTINUAS"
3.2 Parte básica
174
3.2.1 Distribución normal.
3.2.1.1 Introducción
La distribución Normal es la distribución continua más importante del Cálculo de
Probabilidades y de la Estadística. Aparece por primera vez en 1733 en los trabajos de
DE MOIVRE relativos al cálculo de la distribución límite de una variable binomial.
Posteriormente, en 1809, GAUSS y más tarde, en 1812, LAPLACE la estudiaron en
relación con la teoría de errores de datos experimentales, al tratar de hallar el valor
correcto más probable entre una serie de medidas. Primero, GAUSS, pensó que la
media aritmética de los valores sería el valor correcto. Más tarde, al dibujar la
distribución de frecuencias, observaron cómo los valores extremos eran incorrectos y
cada vez las medidas se hacen más iguales y más numerosas, hasta concentrarse en un
valor medio que es el valor más frecuente. Por esto, la distribución normal se conoce
también con el nombre de distribución de GAUSS-LAPLACE.
Una primera aproximación de la distribución normal puede observarse con el
experimento que realizó SIR FRANCIS GALTON, que construyó un ingenioso aparato,
formado por un tablero inclinado, en el que se distribuyen regularmente un sistema de
clavos, para acabar finalmente en compartimentos estrechos. Al deslizar muchas bolas
desde un depósito superior, estas chocan con los clavos, y se alejan más o menos de la
línea central de caída. Las alturas alcanzadas por las bolas en los compartimentos
estrechos da una idea de la curva de la distribución normal (ver figura 3.2).
Figura 3.2: Dispositivo de Galton
175
El nombre de distribución normal se debe al hecho de que una mayoría de las
variables aleatorias de la Naturaleza siguen esta distribución, lo que hizo pensar que
todas las variables continuas de la Naturaleza eran normales, llamando a las demás
distribuciones "anormales". No obstante, hoy en día, ya no se piensa de la misma
manera, ya que ningún estadístico dice que una distribución que no sea normal, es
anormal. No obstante, la distribución normal es la más importante por sus propiedades
sencillas, porque aparece frecuentemente en la Naturaleza, (fenómenos relacionados con
psicología, biología, etc. ), y por una propiedad de algunos fenómenos que se aproximan
asintóticamente a la distribución normal (Teorema Central del Límite).
3.2.1.2 Definición
De modo riguroso, se dice que una variable aleatoria sigue una distribución
normal de media µ, y desviación típica σ, y se designará por N(µ, σ), si se cumplen las
siguientes condiciones:
La variable recorre toda la recta real, y la función de densidad es de la forma:
f(x) =
1
# 1 ( x# µ ) 2
e 2 !
! 2"
donde e = 2.71828; π= 3.14159; µ es la media de la distribución y σ es la desviación
típica.
Esta función de densidad que parece en principio con una expresión matemática
aparentemente complicada, tiene la siguiente representación (figura 3.3):
µ0
Figura 3.3: Representación gráfica da la campana de Gauss
conocida como campana de Gauss, y con las siguientes propiedades:
176
1.- La curva tiene forma campaniforme y es simétrica respecto a la recta vertical x = µ.
ya que el valor de la densidad es idéntico en µ + c y en µ - c, para todo valor de c, pues:
2
2
# (µ +c #2µ)
#c2
1
1
f(µ + c) =
e 2!
=
e 2!
! 2"
! 2"
#
1
f(µ # c) =
e
! 2"
(µ #c # µ) 2
2!2
2
# c2
1
2!
=
e
! 2"
2.- La ordenada es máxima en x = µ.
La derivada de la función de densidad es:
#
1
f' (x) =
e
! 2"
(x# µ) 2
2! 2
#
1
$ 1
'
&% # 2! 2 (x # µ))( = # ! 3 2" e
(x# µ) 2
2! 2
(x # µ)
como la exponencial es siempre distinta de cero, se verifica que:
f' (x) = 0 ! (x " µ) = 0 ! x = µ
como la derivada segunda es:
1
f'' (x) = ! 3
e
" 2#
! (x!µ)2
2
2"
1
2
$
1
' $ 2(x ! µ) ! (x!2"µ)2 '
+ &! 3
(x ! µ) ) & !
e
)=
% " 2#
(%
2" 2
(
=! 3
e
" 2#
! (x !µ)2
2"
2
$ (x ! µ)2 '
&%1 ! "2 )(
como se verifica que :
1
1
f'' (µ) = ! 3
e 0 (1 ! 0) = ! 3
<0
" 2#
" 2#
luego en x = µ la función de densidad presenta un máximo de valor
f(µ) =
1
! 2"
177
3.- El área del recinto encerrado bajo la campana y el eje x es igual a la unidad.
Por tratarse de una función de densidad. Y al ser simétrica, deja igual área, 0,5, a
la izquierda y a la derecha de la recta x = µ. Esto se verifica porque:
+"
+"
!
1
f(x) =
e
!"
!" $ 2%
#
#
(x !µ) 2
2$ 2
dx =
x!µ
= y , entonces dx = σ dy, y por lo tanto
"
haciendo el cambio de variable
2
+$ # y2
1
1
1
# y2
=
e !dy =
e 2 dy =
2" = 1
2" #$
2"
#$ ! 2"
%
+$
%
ya que la última integral, conocida como la integral de Gauss vale
I=
+" ! y 2
2
#!"
e
dy = 2
+" ! y 2
2
#0
e
2! , ya que:
dy = 2I1
y al multiplicar I1 por sí misma, y mediante métodos de integración doble, resulta su
cuadrado igual a π/2.
4.- Presenta puntos de inflexión en los puntos de abscisas µ + σ y µ - σ, donde cambia
de concavidad (lo que determina que cuánto mayor sea σ , más achatada sea la curva).
El punto de inflexión se obtiene al igualar a cero la derivada segunda, por lo tanto:
f'' (x) = 0 ! 1 "
(x " µ)2
x"µ
= 0!
= ±1 ! x = µ ± #
2
#
#
Así, pues, presenta puntos de inflexión en los puntos x = µ + σ y en x = µ - σ,
donde las coordenadas de los puntos son: en x = µ + σ
#
1
f(µ + !) =
e
! 2"
y en el punto x = µ - σ
(µ +! #µ )2
2! 2
2
# !2
1
1
1
#1
=
e 2! =
e 2=
! 2"
! 2"
! 2"e
178
!
1
f(µ ! ") =
e
" 2#
(µ !" ! µ )2
2" 2
2
! "2
1
1
1
!1
=
e 2" =
e 2=
" 2#
" 2#
" 2#e
5.- Es asintótica al eje de abscisas.
Pues como ex tiende a 0 cuando x tiende a infinito, entonces:
%
1
lim f(x) = lim
e
x!+"
x!+" # 2$
(x% µ) 2
2# 2
=0
es decir, el eje OX es una asíntota horizontal, e igual para x tendiendo a -∞.
En la figura 3.4 puede observarse que para σ fijo, el variar µ tiene el efecto de
desplazar la curva hacia la derecha o la izquierda; manteniendo µ constante, el cambio
de σ tiene por efecto acercar o alargar del valor medio µ los puntos de inflexión, es
decir, un apuntamiento o aplastamiento de la curva (ver figura 3.5).
µ-a
µ
µ+a
Figura 3.4: Efecto de la variación de µ en la distribución normal
179
Figura 3.5: Efecto de la variación de σ manteniendo µ constante
3.2.1.3 La distribución normal estándar N(0,1)
En las familias representadas por las distribuciones normales ocupa un lugar
especial la distribución que tiene de media cero (µ = 0) y por desviación típica la unidad
(σ = 1). Esta distribución se llama la distribución normal estándar, o reducida.
Su función de densidad es:
f(x) =
1 " x22
e
2!
x #("$, +$)
y su función de distribución es la siguiente:
x
F( x) = P( ! " x) = 1
2#
&
e$
$%
y cuyas representaciones aparecen en las figura 3.6:
x2
2
dx
180
1,2
1
,8
,6
1
2!
,4
,2
0
-,2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Figura 3.6: Representación de las funciones de densidad y distribución de la N(0,1).
La función de distribución de la ley normal estándar proporciona el área del
recinto que encierra la función de densidad, hasta el punto x, y con el fin de facilitar el
cálculo de ésta superficie, y no tener que utilizar en todo momento el cálculo integral, se
han elaborado unas tablas de fácil uso, entre las que se encuentran las que aparecen a
continuación:
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8655
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8870
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
Tablas de la distribución normal estándar
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
181
3.2.1.4 Manejo de las tablas de la normal estándar
Las tablas anteriores nos proporcionan directamente la función de distribución de
la variable normal estándar, por lo que ellas nos darán directamente la probabilidad de
que la variable tome valores menores o iguales que un determinado valor (P(ξ ≤ x)).
Veamos su utilización con un ejemplo sencillo. Si Z es una variable que sigue una
distribución N(0,1), calcularemos la probabilidad de que la variable Z tome valores
menores o iguales a 1.37.
La probabilidad pedida es el área sombreada de la figura 3.7.
Figura 3.7: Área hasta el valor 1.37
y se encuentra directamente en la tabla sin más que buscar 1.3 en la primera columna, y
0.07 en la primera fila; su intersección nos da la probabilidad:
Es decir:
P(Z ≤ 1.37) = 0.9147
que quiere decir que el 91.47% de las observaciones se encuentran distribuidas entre -∞
y 1.37.
182
Existen además de las tablas anteriores otros tipos de tablas publicadas de la
distribución normal estándar. Quizá las más importantes sean las siguientes:
1.- Tabla de dos colas :
Esta tabla da las áreas de las dos colas de la distribución, es decir, da la siguiente
probabilidad
P( |Z| ≥ a ) = P( -∞ < Z ≤ -a ) + P( a ≤ Z < +∞ )
-a
0
a
Figura 3.8: Área de la tabla de dos colas
2.- Tabla de una cola :
Nos da el área de la cola derecha de la distribución, es decir, la siguiente
probabilidad
P( Z ≥ a )
3.- Tabla de valores :
Que contiene todos los valores entre 0 e infinito.
183
4.- Tabla de áreas acumuladas :
Nos da la probabilidad de que un valor esté comprendido entre -∞ y a, es decir, la
siguiente probabilidad
P( -∞ < Z ≤ -a )
Este último tipo de tablas es el que hemos utilizado anteriormente, pues nos
proporciona la función de distribución de la variable.
3.2.1.5 Tipificación de la variable
Hemos indicado anteriormente que la distribución normal estándar N(0,1) se
encuentra tabulada, lo que nos permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas
a ésta distribución. Pero no existen tablas para el cálculo de las probabilidades de otras
distribuciones normales, además de que tendrían que existir infinitas tablas (una para
cada posible par de combinaciones de media y desviación típica). Aprovechando que el
comportamiento de las curva de las distribuciones normales es siempre el mismo, nos
hace pensar que podría existir una distribución normal que permanezca invariable, sea
cuál sea la variable. Esta es la distribución normal estándar, y el proceso de pasar de una
distribución normal cualquiera a una distribución normal estándar se denomina
tipificación de la variable, que equivale a cambiar la escala de partida de los valores de
X en una nueva escala patrón. Esto se lleva a cabo en dos pasos:
1º Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de
coordenadas, lo que equivale a hacer µ = 0.
2º Reducir la desviación típica a 1, que equivale a dilatar o contraer la gráfica
de la distribución hasta que coincida con la gráfica de la función normal
estándar.
Esto se consigue mediante el cambio de variable siguiente:
Z=
X!µ
"
que produce la siguiente transformación de escala de medidas:
184
Valores de X
µ -2!
µ
µ -!
µ +!
µ +2!
Valores de Z
-2
-1
1
0
2
3.2.1.6 Propiedades de la distribución normal
SUMA O RESTA DE VARIABLES NORMALES
Si X1 es una variable que se distribuye normalmente N(µ1, σ1), y X2 es otra
variable que se distribuye normalmente N(µ2, σ2). Entonces la variable X = X1 ± X2
sigue también una distribución normal con media µ = µ1 ± µ2, y cuya varianza es σ2 =
σ12+ σ22. Es decir, la variable X sigue una distribución
N(µ 1 ± µ 2 , ! 12 + ! 22 )
TEOREMA DE DE MOIVRE
Si X es una variable binomial de parámetros n y p; entonces si n es grande y p, ni
pequeño ni grande, (o sea, ni p ni q próximos a cero) podemos considerar que esa
variable X sigue una ley normal de media np y varianza npq, y por lo tanto, la variable
Z=
X ! np
npq
sigue una distribución normal N(0,1).
En este caso hemos de tener en cuenta que X era una variable aleatoria discreta y
queremos tratarle cómo continua, por lo que es preciso hacer una corrección para
continuidad. Así se verifica que:
P(X = 3) = P(2.5 < X ≤ 3.5)
P(X ≤ 3) = P(X ≤ 3.5)
P(X < 3) = P(X ≤ 2.5)
185
Obviamente éstas no son igualdades ciertas, pero permiten tratar la variable
discreta como continua.
Si en lugar de trabajar con una variable aleatoria binomial partiésemos de una
variable de Poisson o una Hipergeométrica, la aproximación sería absolutamente
similar.
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Si X es una variable aleatoria (no importa como se distribuya) con media µ y
varianza σ2, y tomamos una muestra de n elementos, entonces la distribución muestral
de la media aritmética de la muestra es aproximadamente normal con media µ y
varianza σ2/n, siendo mejor la aproximación a medida que aumenta el tamaño de la
muestra.
Lógicamente, si X es una variable que se distribuye normalmente, la media
muestral se distribuye exactamente como una distribución normal.
Este teorema es importante en posteriores unidades, ya que nos dará pie a
resultados fundamentales de la Inferencia Estadística.
186
3.2.2 Modelo Chi-cuadrado (de Pearson)
3.2.2.1 Definición
Es otra distribución de gran importancia en Estadística, que fue descubierta por
HELMET (1876), pero cayó en el olvido hasta que en 1900 fue descubierta de nuevo
por PEARSON.
Es una variable obtenida al sumar los cuadrados de n variables aleatorias normales
estándar, independientes entre sí. Recibe el nombre de χ 2 n de PEARSON, con n grados
de libertad, o sea,
χ 2 n = Z12 + Z22 + ..... + Zn2
siendo cada Zi una variable normal N(0,1), e independientes.
Esta variable depende, pues, del número de sumandos que la forman, llamado
"grados de libertad", y el rango es el semieje real positivo (ya que es una suma de
cuadrados).
La función de densidad de una variable χ 2 n es la siguiente:
1
x
n
$
e " 2 x 2 "1 si
n
f(x) = % 2 2 !(n 2)
0
si
&
x# 0*
x<0
Para cada valor de n se tiene una curva distinta, como representación de su
función de densidad. La figura 3.9 representa las funciones de densidad de variables
Chi-cuadrado para diferentes valores de n.
*
#
n "1 "x
e dx
Γ(n) es la función gamma, que denota la siguiente integral: !( n ) = $ x
0
si n en entero Γ(n) = (n-1)! ; además Γ(n/2) = √π.
que verifica, que
187
Figura 3.9: Comparación entre las funciones de densidad de la variable
chi-cuadrado para distintos valores de n.
3.2.2.2 Propiedades de la distribución chi-cuadrado
1.- La variable solo puede tomar valores positivos.
2.- Es asimétrica.
3.- Depende del parámetro n (grados de libertad).
4.- Su esperanza matemática es n, y su varianza, 2n.
5.- Propiedad aditiva o reproductiva :Si χ2n y χ2m son dos variables Chicuadrado con n y m grados de libertad respectivamente, independientes
entre sí, entonces la suma de las dos variables es una variable Chi-cuadrado
con n+m grados de libertad. Esto se puede generalizar a la suma de
cualquier número de variables Chi-cuadrado, independientes.
6.- Al aumentar el número de grados de libertad, la distribución Chicuadrado se aproxima asintóticamente a una distribución normal.
Esta aproximación es de la siguiente forma:
para n > 30, la variable
N( 2n ! 1,1) .
2! 2n se aproxima asintóticamente a una variable
7.- En una variable aleatoria normal N(µ, σ), si tomamos una muestra de
tamaño n se verifica que
188
(n ! 1)sˆ2
"
2
es aproximadamente χ2n-1
2
siendo sˆ la cuasivarianza muestral.
3.2.2.3 Manejo de las tablas de la chi-cuadrado
A continuación aparecen las tablas en las que figuran tabuladas las distribuciones
Chi-cuadrado.
Dentro de la tabla figura el valor de la variable que en una distribución Chicuadrado con los grados de libertad que vienen indicados en la primera columna, deja
un área α, indicado en la primera fila, a su derecha.
189
g.l \α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.9950
0.0000393
0.0100
0.0717
0.207
0.412
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
0.9750
0.000982
0.0506
0.216
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
0.950
0.00393
0.103
0.352
0.711
1.]45
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.897
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
0.900
0.0158
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.047
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.769
20.599
0.200
1.642
3.219
4.642
5.989
7.289
8.558
9.803
11.030
17.242
13.442
14.631
15.812
16.985
18.151
19.311
20.465
21.615
22.760
23.900
25.038
26.171
27.301
28.429
29.553
30.675
31.795
32.912
34.027
35.139
36.250
0.10
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
17.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.452
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
0.050
3.841
5.g91
7.851
9.488
11.070
17.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
0.025
5.024
2.378
9.348
11.143
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.857
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
0.010
6.631
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.588
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
Tabla de la distribución Chi-cuadrado
EJEMPLO 3.26:
Si X sigue una distribución Chi-cuadrado con 12 grados de libertad.
¿Cuál es el valor de la variable que deja a su derecha un área de 0.05?
Solución:
Buscando en la tabla: 21.026
0.001
10.828
13.816
16.266
18.467
20.515
22.458
74.327
26.124
77.877
29.588
31.264
32.909
34.528
36.173
37.697
39.752
40.790
42.312
43.820
45.315
46.797
48.268
49.728
51.179
57.620
54.052
55.476
56.892
58.301
59.703
190
3.2.3 Distribución t de Student
3.2.3.1 Definición
La distribución "t" es sumamente importante en Inferencia Estadística; fue
descubierta por GOSSET (1908). El nombre de STUDENT es el seudónimo con el que
firmó sus publicaciones estadísticas, y puede pensarse de él que es el fundador de la
inferencia estadística exacta, pues hasta 1908 era corriente tratar a la variable
(x ! µ)
s n
como una variable normal.
En su definición matemática, sean (η, η1, η2, ....., ηn) n+1 variables aleatorias
normales N(0,1) e independientes
Se define la variable "t" de STUDENT con n grados de libertad como
tn =
!
!12 + !22 +!+!2n
n
También puede definirse a través de una variable Z normal estándar N(0,1), y una
variable χ2 que siga una distribución Chi-cuadrado con n grados de libertad; se define
entonces la variable "t" de STUDENT con n grados de libertad como
tn =
Z
! 2n
n
La función de densidad de esta variable es:
2&)
!( n+1
) #
x
2
%1 + (
f(x) =
n"!( n2 ) $
n'
n+1
2
191
3.2.3.2 Propiedades de la distribución "t"
1.- Depende de un único parámetro, el número de grados de libertad.
2.- El rango de la variable es todo el eje real (-∞, +∞).
3.- Su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas OY.
4.- El valor x = 0 es la media, mediana y moda de la distribución.
5.- Al aumentar n, se va haciendo cada vez más apuntada la gráfica de su
función de densidad, siendo el límite para n ! ∞ la curva normal tipificada.
Distr. Normal
Distr. t de Student
0
Figura 3.10: Función de densidad de la distribución normal y de la "t".
6.- En el muestreo de una población normal N(µ, σ), si tomamos una
muestra de tamaño n de media x y varianza S2, la variable
(x ! µ)
t n!1 = s
n !1
sigue una distribución "t" de STUDENT con n-1 grados de libertad.
Esta propiedad es muy utilizada en la estimación y el contraste de hipótesis sobre
la media de la población.
192
3.2.3.3 Manejo de las tablas de la distribución "t"
Existen diferentes tipos de tablas de la distribución "t", siendo las más utilizadas
las de una cola, y las de dos colas.
Nosotros expondremos la utilización de las tablas de dos colas que aparecen a
continuación:
gl
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
0.02
0.01
0.001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
80
100
∞
1.000
0.816
0.765
0.741
1.727
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
0.682
0.681
0.680
0.679
0.679
0.678
0.677
0.674
1.376
1.061
0.978
0.941
0.920
0.906
0.896
0.889
0.883
0.879
0.876
0.873
0.870
0.868
0.866
0.865
0.863
0.862
0.861
0.860
0.859
0.858
0.858
0.857
0.856
0.856
0.855
0.855
0.854
0.854
0.852
0.851
0.850
0.849
0.848
0.846
0.845
0.842
1.963
1.386
1.250
1.190
1.156
1.134
1.119
1.108
1.100
1.093
1.088
1.083
1.07~
1.076
1.074
1.071
1.069
1.067
1.066
1.064
1.063
1.061
1.060
1.059
1.058
1.058
1.057
1.056
1.055
1.055
1.052
1.050
1.049
1.047
1.046
1.043
1.042
1.036
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.306
1.303
1.301
1.299
1.296
1.292
1.290
1.282
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.690
1.684
1.679
1.676
1.671
1.664
1.660
1.645
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.030
2.021
2.014
2.009
2.000
1.990
1.984
1.960
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.438
2.423
2.412
2.403
2.390
2.374
2.364
2.326
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.724
2.705
2.690
2.678
2.660
2.639
2.626
2.576
636.619
31.598
12.929
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.767
3.745
3.725
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
3.592
3.551
3.521
3.497
3.461
3.417
3.391
3.291
Tabla de la distribución t de Student
en ellas aparece el valor de la variable que para los grados de libertad indicados en la
primera columna, deja un área en las dos colas de valor α indicado en la primera fila.
EJEMPLO 3.27:
Si X es una distribución que sigue una distribución "t" con 10 grados de
libertad, calcular el valor de la variable, tal que a la izquierda de -2.228 y a la
derecha de 2.228 deja un área total de 0.05.
193
Solución:
194
3.2.4
Distribución "F" de FisherSnedecor
3.2.4.1 Definición
Supongamos que X e Y sean dos variables aleatorias independientes, que siguen
distribuciones Chi-cuadrado con n y m grados de libertad respectivamente, y tales que
n
X=
!
X 2i
m
e
i=1
Y=
! Yj2
j=1
siendo las variables Xi e Yj que siguen distribuciones normal estándar.
Se define la variable F de Snedecor (o de Fisher-Snedecor), la definida por
X
F= Yn
m
denominada distribución F de Fisher-Snedecor con n y m grados de libertad.
Su función de densidad está definida por la función:
n
%!( n + m )( n ) n 2
x 2 #1
'
2
m
"
si x > 0
fn,m (x) = & !( n )!( m ) (1 + n x)(n+ m) 2
2
2
m
'(
0
si x $ 0
Su representación gráfica es de la siguiente forma:
Figura 3.11: Representación de la función de densidad de la distribución F de Snedecor
195
3.2.4.2 Propiedades de la distribución F de Snedecor
1.- El recorrido de la variable F es el intervalo (0,∞).
2.- Depende de dos parámetros, los grados de libertad n y m.
3.- Presenta asimetría positiva, con un grado que depende conjuntamente de
los grados de libertad del numerador y del denominador.
ˆs2
4.- El cociente 1 2 sigue una distribución con n1-1 y n2-1 grados de
ˆs2
libertad, siendo ˆs12 y ˆs22 las cuasivarianza muestrales de dos muestras de
tamaños n1 y n2 respectivamente, provenientes de dos poblaciones normales
N(µ1, σ1) y N(µ2, σ2) respectivamente.
Esto es consecuencia de que el teorema de Fisher indica que la variable
(n1 ! 1)sˆ12
"2
sigue una distribución Chi-cuadrado con n1-1 grados de libertad, y
análogamente, la variable
(n 2 ! 1)ˆs22
"2
sigue una distribución Chi-cuadrado con n2-1 grados de libertad. Entonces,
el cociente
( n1 ! 1)ˆs12
(n1 ! 1)" 2
( n2 ! 1)sˆ22
(n 2 ! 1)" 2
sigue una distribución F de Snedecor con n1-1 y n2-1 grados de libertad, y si
las varianzas poblacionales son iguales, se verifica entonces el resultado
indicado.
196
5.- La distribución F juega un papel importante en el análisis de la varianza
(ANOVA) y en el análisis de la regresión.
3.2.4.3 Utilización de las tablas de la distribución F
de Snedecor
Las tablas de la distribución F de Snedecor contienen los valores Fα tales que
P(F>Fα ) = α, para n y m grados de libertad, y para cada nivel de significación en cada
una de las tablas.
n2\n1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
60
120
∞
161.4
18.51
10.13
7.71
6.61
S~99
5.59
5.32
5.12
4.96
4.84
4.75
4.67
4.60
4.54
4.49
4.45
4.41
4.38
4.35
4.32
4.30
4.28
4.26
4.24
4.23
4.21
4.20
4.18
4.17
4.08
4.00
3.92
3.84
199.5
19.00
9.55
6.94
5~79
5.14
4.74
4.46
4.26
4.10
3.98
3.89
3.81
3.74
3.68
3.63
3.59
3.55
3.52
3.49
3.47
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.35
3.34
3.33
3.32
3.23
3.15
3.07
3.00
215.7
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.86
3.71
3.59
3.49
3.41
3.34
3.29
3.24
3.20
3.16
3.13
3.10
3.07
3.05
3.03
3.01
2.99
2.98
2.96
2.95
2.93
2.92
2.84
2.76
2.68
2.60
224.6
19.25
9.12
6.39
5.19
4~53
4.12
3.84
3.63
3.48
3.36
3.26
3.18
3.11
3.06
3.01
2.96
2.93
2.90
2.87
2.84
2.82
2.80
2.78
2.76
2.74
2.73
2.71
2.70
2.69
2.61
2.53
2.45
2.37
230.2
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
3.20
3.11
3.03
2.96
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.68
2.66
2.64
2.62
2.60
2.59
2.57
2.56
2.55
2.53
2.45
2.37
2.29
2.21
234.0
19.33
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
3.09
3.00
2.92
2.85
2.79
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.53
2.51
2.49
2.47
2.46
2.45
2.43
2.42
2.34
2.25
2.18
2.10
236.8
19.35
6.89
6.09
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
3.01
2.91
2.83
2.76
2.71
2.66
2.61
2.58
2.54
2.51
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.25
2.17
2.09
2.01
238.9
19.37
8.85
6.04
4.82.
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
2.95
2.85
2.77
2.70
2.64
2.59
2.55
2.51
2.48
2.45
2.42
2.40
2.37
2.36
2.34
2.32
2.31
2.29
2.28
2.27
2.18
2.10
2.02
1.94
240.5
19.38
8.81
6.00
4.77
4.10
3.68
3.39
3.18
3.02
2.90
2.80
2.71
2.65
2.59
2.54
2.49
2.46
2.42
2.39
2.37
2.34
2.32
2.30
2.28
2.27
2.25
2.24
2.22
2.21
2.12
2.04
1.96
1.88
241.9
19.40
8.79
5.97
4.73
4.06
3.64
3.35
3.14
2.98
2.85
2.75
2.67
2.60
2.54
2.49
2.45
2.41
2.38
2.35
2.32
2.30
2.27
2.25
2.24
2.22
2.20
2.19
2.18
2.16
2.08
1.99
1.91
1.83
248.0
19.45
8.66
5.80
4.56
3.87
3.44
3.15
2.94
2.77
2.65
2.54
2.46
2.39
2.33
2.28
2.23
2.19
2.16
2.12
2.10
2.07
2.05
2.03
2.01
1.99
1.97
1.96
1.94
1.93
1.84
1.75
1.66
1.57
250.1
19.46
8.62
5.74
4.50
3.81
3.38
3.08
2.86
2.70
2.57
2.47
2.38
2.31
2.25
2.19
2.15
2.11
2.07
2.04
2.01
1.98
1.96
1.94
1.92
1.90
1.88
1.87
1.85
1.84
1.74
1.65
1.55
1.46
251.1
19.47
8.59
5.72
4.46
3.77
3.34
3.04
2.83
2.66
2.53
2.43
2.34
2.27
2.20
2.15
2.10
2.06
2.03
1.99
1.96
1.94
1.91
1.89
1.87
1.85
1.84
1.82
1.81
1.79
1.69
1.59
1.50
1.39
252.2
19.48
8.57
5.69
4.43
3.74
3.31
3.00
2.79
2.62
2.49
2.38
2.30
2.22
2.16
2.11
2.06
2.02
1.98
1.95
1.92
1.89
1.86
1.84
1.82
1.80
1.79
1.77
1.75
1.74
1.64
1.53
1.43
1.32
253.3
19.49
8.55
5.66
4.40
3.70
3.27
2.97
2.75
2.58
2.45
2.34
2.25
2.18
2.11
2.06
2.01
1.97
1.93
1.90
1.87
1.84
1.81
1.79
1.77
1.75
1.73
1.71
1.70
1.68
1.58
1.47
1.35
1.22
254.3
19.50
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.71
2.54
2.40
2.30
2.21
2.13
2.07
2.01
1.96
1.92
1.88
1.84
1.81
1.78
1.76
1.73
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.51
1.39
1.25
1.00
Tabla de la distribución F de Fisher-Snedecor al nivel del 5%
EJEMPLO 3.28:
Calcular Fα para α=0.05, y n=5; m=15 grados de libertad.
Solución:
Se busca en la tabla correspondiente al nivel del 5%, en la primera fila, los
grados de libertad del numerador (5), y en la primera columna los grados de libertad
del denominador (15), apareciendo el valor de Fα en la confluencia de dicha fila y
columna:
197
Así, se verifica que:
F0.05; 5, 15 = 2.90
EJEMPLO 3.29:
Calcular Fα para α=0.95, y n=15; m=5 grados de libertad.
Solución:
Teniendo en cuenta la siguiente propiedad
F !;n,m =
1
F1"!;m,n
se verifica que
F0.95;15,5 =
1
F1!0.95;5,15
=
1
F0.05;5,15
=
1
= 0.345
2.90
198
"DISTRIBUCIÓN NORMAL"
3.3 Ampliación
199
Obviamente al profesor le bastaría con tener en cuenta que la representación
gráfica de la función de densidad es una curva simétrica y que el área bajo la curva es
la unidad, pero entendemos que puede resultarle cómodo disponer de un juego de
ejercicios que contemplen distintos casos de uso frecuente.
El siguiente apartado está redactado de acuerdo a esta idea.
3.3.1 Algunos casos de interés en el
manejo de tablas de la normal
Dada la importancia y el gran uso de la distribución normal, vamos a analizar en
detalle distintos casos que se suelen presentar a la hora de trabajar con esta distribución.
PRIMER CASO
Supondremos como primer caso, el más trivial: calcular la probabilidad de que la
variable aleatoria Z, que sigue una distribución normal estándar, sea menor o igual que
un valor positivo a.
Basta con buscar en la tabla directamente el valor de a, teniendo en cuenta que en
la primera columna de la tabla aparecen las unidades y las décimas del valor a y en la
primera fila el valor de las centésimas.
Como intersección de la fila y la columna correspondiente aparece el valor
P( Z ! a )
200
0
a
Figura 3.12: Representación gráfica de la información que nos suministra de manera directa
la tabla de la normal con la que vamos a trabajar: P ( Z ! a )
SEGUNDO CASO: En una distribución
N(0,1)
calcular
P( Z ! "a ) .
Como segundo caso consideraremos, por ejemplo, calcular la probabilidad de que
la variable aleatoria Z tome valores menores o iguales que una cierta cantidad a
negativa, o sea P( Z ! "a )
La tabla no distingue entre desviaciones positivas y negativas; es decir, en la tabla
sólo aparecen valores positivos. Analicemos, pues, geométricamente la situación.
Figura 3.13.a: El área rayada de la curva representa
representa
P (Z ! " a )
Figura 3.13.b: El área rayada de la curva
P (Z ! a )
La probabilidad pedida se corresponde con el área rayada en la figura 3.13a. El área
rayada en la figura de la izquierda (figura 3.13a) es igual al área rayada en la figura de
la derecha (figura 3.13b). A su vez, ese área es igual al área total, que vale 1, menos el
área no rayada. El área de la superficie no rayada en la gráfica de la derecha es la que
viene en la tabla.
Por tanto:
201
P( Z ! "a ) = 1 " P( Z ! a )
EJEMPLO 3.30:
Calcular P(Z≤-2)
Solución:
P( Z ! "2 ) = P (Z # 2) = 1 " P(Z < 2) = 0.9772
TERCER CASO: En una distribución
N(µ,!) ,
calcular
P( Z ! a )
Como tercer caso consideraremos la misma situación que en el caso primero pero
suponiendo ahora, que la variable aleatoria sigue una distribución normal no estándar,
de parámetros µ, σ.
En este caso, hemos de cambiar previamente de escala de medida; es decir, es
x!µ
preciso tipificar primero la variable. El cambio adecuado es z =
y por tanto:
"
a " µ&
$ x " µ a " µ&
$
P( X ! a ) = P%
!
= P% z !
'
#
#
# '
encontrándonos, una vez efectuado el cambio, en la misma situación del primer caso.
EJEMPLO 3.31:
Calcular en una N(2,3) la P(X ≤ 2.14):
Solución:
# x " 2 2.14 " 2 %
P( X ! 2.14) = P$
!
= P( z ! 0.05) = 0.519
3
3 &
Valor que se obtiene directamente de las tablas, como en el caso anterior.
202
CUARTO CASO: En una distribución
N(µ,!) ,
obtener
P( Z ! "a ) .
Se trata, lo mismo que en el caso anterior de dar solución a uno de los supuestos
ya vistos, en concreto al supuesto segundo, pero considerando ahora que trabajamos con
una normal no estándar.
Lo primero que tenemos que hacer es tipificar ya que si no, la igualdad anterior no
se verifica, por tanto:
a " µ&
a " µ&
$ x " µ "a " µ &
$
$
P( X ! "a ) = P%
!
=
P
z
!
"
=
1"
P
z
<
%
%
#
# '
# '
# '
EJEMPLO 3.32:
En una N(5,3) calcular P( X ! "8)
Solución:
13
13
# x " 5 "8 " 5%
#
#
P( X ! "8) = P$
!
= P$ z ! " %& = 1 " P$ z < %& =
&
3
3
3
3
= 1 ! P(z " 4.33) = 1 ! 0.9999 = 0.0001
QUINTO CASO: En una distribución
N (0,1)
calcular
Figura 3.14: El área rayada de la curva representa P ( Z ! a )
Obviamente P( Z ! a ) = 1 " P(Z < a ) .
P( Z ! a )
203
SEXTO CASO: En una distribución
N(µ,!)
Obtener
P( X ! a ) :
a"µ&
$ x " µ a " µ&
$
P( X ! a ) = P%
!
=
1"
P
z
<
%
#
# '
# '
SÉPTIMO CASO: En una distribución N(0,1) calcular P(a ! Z ! b)
Figura 3.15. El área rayada de la curva representa P ( a ! Z ! b )
Observando el gráfico de la figura 3.15 y teniendo en cuenta las propiedades de la
Normal, tenemos:
P(a ! Z ! b) = P( Z ! b) " P(Z < a )
OCTAVO CASO: En una N(µ,!) obtener P(a ! X ! b)
Si en lugar de trabajar con una N(0,1) trabajásemos con una N(µ,!) sería preciso,
como en casos anteriores, tipificar. Es decir:
b " µ&
a " µ&
$a " µ x " µ b " µ&
$
$
P(a ! X ! b) = P%
!
!
=
P
z
!
"
P
z
<
%
%
#
#
# '
# '
# '
204
EJEMPLO 3.33:
En una N(0,1) calcular P(1! X ! 1.85)
Solución:
P(1! X ! 1.85) = P(X ! 1.85) " P( X < 1) = 0.9678 " 0.8413 = 0.1265
NOVENO CASO: En una N(0,1)
calcular
P( !a " Z " !b)
Figura 3.16. El área rayada de la curva representa P ( ! a " Z " ! b)
P( !a " Z " !b) = P(Z " ! b) ! P( Z < !a )
Tal como ya sabemos esto se puede escribir:
P( Z ! "b) " P(Z < "a ) = 1" P( Z < b) " [1 " P(Z ! a )] =
= 1 " P (Z < b ) " 1 + P (Z ! a ) = P ( Z ! a ) " P (Z < b )
EJEMPLO 3.34:
En una N(0,1) calcular P( !2.3 " Z " !1.8)
Solución:
P( !2.3 " Z " !1.8) = P(Z " !1.8) ! P(Z < !2.3) =
= 1! P( Z < 1.8) ! 1 + P( Z " 2.3) = P( Z " 2.3) ! P( Z < 1.8) =
= 0.9893 ! 0.9641 = 0.0252
205
Si en lugar de estar en una N(0,1) estuviésemos en una N(µ,!) , hubiésemos
seguido el mismo razonamiento pero después de tipificar.
DÉCIMO CASO: Cálculo del percentil correspondiente a una probabilidad dada.
Puede ocurrir que conocida la probabilidad p, se nos pregunte qué valor de a
verifica que P( X ! a ) = p
Podemos distinguir dos casos:
a) La variable aleatoria sigue una N(0,1):
En este caso, basta buscar en el interior de la tabla el valor más aproximado a p y
anotar cual es el correspondiente valor de a (en las filas y columnas exteriores de la
tabla)
EJEMPLO 3.35:
¿Cuál es el valor de a para el que P( Z ! a ) = 0.9251 ?
Solución:
Buscamos dentro de la tabla el valor 0.9251 y vemos que el correspondiente valor
de a es 1.44.
b) La variable aleatoria sigue una normal de parámetros N(µ,!)
En este caso, hemos de tipificar previamente; es decir, expresar a en la escala
correspondiente a una N(0,1)
EJEMPLO 3.36:
Obtener el valor de a que verifica que P( X ! a ) = 0.8413 en una distribución
N(5,3)
206
Solución:
a " 5%
#
P( X ! a ) = P$ Z !
= 0.8413
3 &
Buscando esa probabilidad en las tablas obtenemos el valor 1.0; es decir:
a!5
= 1" a = 3 + 5 = 8
3
207
"DISTRIBUCIÓN NORMAL"
3.4 Trabajo de investigación
208
3.4.1 Aplicación del manejo de tablas
de la normal a un ejemplo de
investigación
Se sabe que el diámetro de los hematíes de individuos
normales sigue un modelo N(7.5, 0.2) y que el diámetro de los
hematíes de individuos cirróticos sigue un modelo N(8.5 , 0.6).
Supongamos que estamos interesados en clasificar a un
individuo en uno de dos grupos: normal ó cirrótico en base a una
cierta variable: diámetro de los hematíes.
En trabajos reales el estudio se lleva a cabo no sólo considerando la información
de una variable sino de varias, y la solución se obtiene a través de un análisis
multivariante, pero esto excede el nivel de este trabajo.
Para clasificar correctamente a los individuos necesitaríamos conocer cuál es el
máximo valor del diámetro de los hematíes en individuos normales.
Obviamente ese valor no es conocido ya que sólo disponemos de la información
de que el valor del diámetro es una cantidad aleatoria que se ajusta a una normal de
parámetros determinados.
Debemos fijar, pues, el valor M para el diámetro como valor máximo de
forma que los individuos con diámetro menor serán clasificados como normales y
aquéllos que tengan diámetro mayor serán clasificados como patológicos
Fijaremos esta cantidad de forma que el 95%, por ejemplo, de los individuos
sanos quede correctamente clasificado, es decir, de forma que sólo un 5% de los
individuos sanos tenga un diámetro mayor de esa cantidad M.
209
La situación podría representarse gráficamente de la siguiente manera (figura
3.17):
NORMALES N(7.5; 0.2)
CIRROTICOS N(8.5; 0.6)
0
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
M=?
Figura 3.17. Representación gráfica de la distribución del diámetro de los hematíes
en individuos sanos y en individuos cirróticos. M será el punto de corte a partir del cual
el individuo será clasificado en una o en otra categoría.
La cantidad M se calcula de forma que se verifique que P (X ! M ) = 0. 95
teniendo en cuenta que la variable X sigue una ley Normal de media 7.5 y desviación
típica 0.2.
El cálculo es inmediato:
M / P(X<M) = 0.95
en una N(7.5 , 0.2)
P(X<M) = P(Z < (M-7.5)/0.2) = 0.95
(M-7.5)/0.2= 1.645
M = 7.5 + 1.645 . 0.2 = 7.829
Por tanto: Declararemos enfermo (cirrótico) a todo individuo con diámetro de
los hematíes superior a 7.829
210
Debemos tener en cuenta que, según este convenio de clasificación, el 5% de los
individuos sanos serán declarados patológicos erróneamente, es decir, el
procedimiento propuesto proporciona un 5% de "falsos positivos". Llamaremos a este
error, por ejemplo error
! .
Teniendo en cuenta que el diámetro de los hematíes en individuos cirróticos se
ajusta a una ley Normal de media 8.5 y desviación 0.6 es evidente que, con este criterio,
algún individuo enfermo puede ser declarado erróneamente normal. Llamaremos
a este error β , que nos indica el porcentaje de "falsos negativos." Hemos de determinar
qué error β cometemos cuando fijamos un riesgo
! del 5%, es decir, cuando
consideramos que el punto de corte para decidirnos en declarar a los individuos en
sanos o en patológicos es de 7.829.
Para obtener el porcentaje de personas que declararemos como sanas cuando en
realidad son cirróticas basta con determinar en una N (8.5, 0.6) (la de los individuos
cirróticos) la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores al valor
prefijado como cota.
Es decir:
P(X < 7.829)
en una normal N(8.5, 0.6)
P(X < 7.829) = P(Z < (7.829 - 8.5)/0.6) =
P(Z < -1.12) = P(Z> 1.12) = 1 - P(Z<1.12) = 1 - 0.8686
= 0.1314
Observamos como siguiendo el criterio de partida, de prefijar el porcentaje de
falsos positivos en un 5%, obtenemos un 13.14% de malas clasificaciones en individuos
enfermos: El 13.14% de los cirróticos serán declarados normales.
La regla: DECLARAR CIRRÓTICO a un individuo con diámetro de
hematíes superior a 7.829 y NORMAL en caso contrario, da lugar a que:
Un 5% de los normales serán declarados cirróticos (falsos positivos) y
un 13.14% de los cirróticos serán declarados sanos (falsos negativos)
Gráficamente la situación sería (figura 3.18):
211
NORMALES N(7.5; 0.2)
" = 0.1314
! = 0.05(fijado)
CIRROTICOS N(8.5; 0.6)
0
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
M = 7.8 29
Figura 3.18: Representación gráfica de la distribución del diámetro de hematíes en las dos poblaciones.
Prefijado α queda delimitado el valor de M y el valor de β
Al observar esta situación podríamos pensar en ser más restrictivos y prefijar un
error α más pequeño, por qué no un 1% por ejemplo.
¿Por qué habríamos de arriesgarnos en declarar enfermos a un 5% de los sanos, lo
que socialmente podría tener connotaciones negativas (declaramos cirróticos a
individuos que no lo son), si podemos prefijar este error tan pequeño como queramos.?
Desafortunadamente disminuir el α trae consigo aumentar el β.
Observemos qué ocurriría si quisiéramos disminuir cualquiera de los errores, por
ejemplo ¿qué ocurriría si disminuyésemos α?:
Si α disminuye, β aumenta
En efecto:
Si
! disminuye, por ejemplo ! = 1% , M aumenta.
Veamos como esta afirmación es cierta. Realizar este cálculo es idéntico al caso
anterior sólo que ahora la regla de decisión es distinta:
212
Buscamos un M' (diámetro de las hematíes) que sólo lo superan un 1% de
individuos normales. Se trata de localizar en una N(7.5, 0.2) un valor de la variable que
verifique que el 1% es mayor que él, o lo que es lo mismo un 99% de los individuos
tenga el diámetro de los hematíes menor que dicho valor.
Sea M’ / P(X<M’)=0.99
en una N(7.5 , 0.2)
P(X<M’) = P(Z < (M’-7.5)/0.2) = 0.99
(M’-7.5)/0.2 = 2.33
M’ = 7.5 + 2.33 x 0.2 = 7.966
Observamos que según este criterio el valor de corte es ahora mayor M’> M
Hemos conseguido disminuir el porcentaje de falsos positivos pero cómo saber
cómo se ha modificado el ! .
Se trata de buscar en la normal de los cirróticos la probabilidad de encontrarnos
valores menores que 7.966
P(X < 7.966) = P(Z < (7.966-8.5)/0.6) = 0.1867
El 18.67% de los cirróticos serán declarados normales.
Luego:
Si el porcentaje de falsos positivos disminuye hasta el 1%, el porcentaje de falsos
negativos sobrepasa el 18%.
Nos interesa prefijar los errores pequeños, obviamente a nadie le gusta
asumir riesgos grandes, pero hay que tener cuidado al prefijar los riesgos ya
que ambos tipos de errores están claramente relacionados y disminuir uno de
ellos trae consigo aumentar el otro considerablemente.