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7. Distribución normal
Sin duda, la distribución continua de
probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y
por sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o
de Laplace-Gauss.
Fue descubierta y publicada por
primera vez en 1733 por De Moivre.
A la misma llegaron, de forma
independiente, Laplace (1812) y
Gauss (1809), en relación con la
teoría de los errores de observación
astronómica y física .
Anatoli Timoféyevich Fomenko
Gaussian Distributions I and II
1
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de
una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,...
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un
fármaco.
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
muchos factores.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan
a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n >30) y p ‘ni pequeño’ (np > 5)
2
‘ni grande’ ( n (1-p) > 5 ).
Distribución normal o gaussiana
• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la
desviación típica, σ.
• Su función de densidad es:
−
1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π
( x −μ) 2
2σ 2
(σ > 0)
La curva normal adopta un número infinito de formas,
determinadas por sus parámetros μ y σ.
3
Características de la distribución Normal
Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ±∞ )
Simétrica con respecto a la media (µ) donde coinciden
la mediana (Mn) y la moda (Mo).
Los puntos de inflexión tienen
como abscisas los valores µ ± σ.
Puntos
de
inflexión
−∞
σ
σ
µ - σ µ, Mo, Mn µ + σ
+∞
4
Distribución normal con µ =0 para varios valores σ
1.6
σ=0.25
1.2
σ=0.5
σ=1
p(x)
0.8
0.4
0
-2.50
-1.50
-0.50
0.50
x
1.50
2.50
5
−
1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π
( x −μ) 2
(σ > 0)
2σ 2
σ=5
σ=5
σ = 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.
6
N(μ, σ): Interpretación geométrica
• Podemos interpretar la
media como un factor de
traslación.
• Y la desviación típica
como un factor de escala,
grado de dispersión,…
7
N(μ, σ): Interpretación probabilista
• Entre la media y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aproximadamente el
68%.
• Entre la media y
dos desviaciones
típicas aprox. 95%
•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
–a distancia σ,
 tenemos probabilidad 68%
–a distancia 2 σ,
 tenemos probabilidad 95%
–a distancia 2’5 σ
 tenemos probabilidad 99%
8
1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π
( x −μ) 2
−
2σ 2
Podemos obtener la función de
distribución F(x) integrando la
función de densidad de probabilidad:
1
F ( x) =
σ 2π
x
∫e
( v −μ) 2
−
2σ 2
dv
−∞
De modo que la probabilidad de una
variable aleatoria normal X en un
intervalo a ≤ x ≤ b es:
b
1
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a ) =
e
∫
σ 2π a
En particular:
1
σ 2π
∞
∫e
( v −μ) 2
−
2σ 2
( v −μ) 2
−
2σ 2
dv
dv = 1
−∞
¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!
Tabularemos sus valores numéricos...
9
¿Cómo calcular probabilidades asociadas
a una curva normal específica?
Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores, es
impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles
distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la
distribución normal reducida o tipificada.
Se define una variable
z=
x -µ
σ
Es una traslación , y un cambio de escala de
la variable original.
10
La nueva variable z se distribuye como una
NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las
probabilidades delimitadas entre :
± σ = 68 %
± 2σ = 95 %
± 3σ = 99 %
95%
68%
99%
68%
95%
-3
-2
-1
99%
0
z
1
2
3
11
Tipificación
• Dada una variable de media μ y desviación típica
σ, se denomina valor tipificado z, de una
observación x, a la distancia (con signo) con
respecto a la media, medido en desviaciones
típicas, es decir:
z=
x−µ
σ
• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara:
asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja
exáctamente la misma probabilidad por debajo.
• Nos permite así comparar entre dos valores de dos
distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los
12
dos es más extremo.
13
Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas
educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente
académico:
– El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la
calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).
– El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la
calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).
–No podemos comparar directamente 8
puntos de A frente a los 80 de B, pero
como ambas poblaciones se comportan
de modo normal, podemos tipificar y
observar las puntuaciones sobre una
distribución de referencia N(0,1).
–Como zA > zB, podemos decir que el
porcentaje de compañeros del mismo
sistema de estudios que ha superado
en calificación al estudiante A es mayor
que el que ha superado B. En principio
A es mejor candidato para la beca.
zA =
xA − µ A
=
8−6
=2
1
σA
x − µ B 80 − 70
zB = B
=
=1
σB
1014
Apliquemos el cambio de
variable tipificada a la función
de distribución F(x):
z =
ν-μ
σ
dv = σ dz
1
F ( x) =
σ 2π
1
p( z ) =
e
2π
z2
−
2
x
∫e
( v −μ) 2
−
2σ 2
dv
−∞
; −∞ < z < ∞
1
F ( z ) = p( Z ≤ z ) =
2π
z
∫e
u2
−
2
du
−∞
Las probabilidades de la variable tipificada (z) están
tabuladas para los diferentes valores de la variable.
Para calcular probabilidades, una vez transformada,
la variable a valores de z, se busca en una tabla el
área correspondiente.
15
1
p( z ) =
e
2π
z2
−
2
; −∞ < z < ∞
1
F ( z ) = p( Z ≤ z ) =
2π
z
∫e
−∞
u2
−
2
du
Característica de la distribución
normal tipificada (reducida o
estándar):
No depende de ningún parámetro.
Su media es 0, su varianza es 1 y su
desviación típica es 1.
La curva f(x) es simétrica respecto al
eje de ordenadas y tiene un máximo
en este eje.
Tiene dos puntos de inflexión en z =1
y z = -1.
16
Hay varios tipos de tablas de la distribución normal
La que se explica aquí representa las áreas para los
diferentes valores de z desde 0 hasta +∞.
Los valores
negativos de z NO
están tabulados, ya
que la distribución
es simétrica
0
+∞
17
18
*Margen izquierdo : Los enteros de z y
su primer decimal.
* Margen superior: segundo decimal
* Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes,
acumuladas, desde 0
hasta 3.99
La tabla consta de:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.5
.1915 ....
.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754
.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 ....
.1179 .....
......
......
.1554 ....
.....
....
......
......
......
19
EJEMPLOS:
1.-¿Cuál es la probabilidad de que un
valor de z esté entre 0 y -2.03?
2.-¿Cuál es la probabilidad de que un
valor de z esté entre -2.03 y +2.03?
3. Hallar P( z >1.25 )
4. Hallar P ( -0.34 < z <∞ )
5. Hallar P ( 0.34 < z < 2.30 )
20
Ejemplo 1
¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?
Cómo la curva es simétrica
P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)
?
-3
-2
-1
0
1
2
z
3
21
Ejemplo 1
¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?
Se busca en la tabla el área correspondiente a z = 2.03
0
1
1.8
1.9
2.0
2.1
2
3
4
0.47882
47. 88%
-3
-2
-1
0
1
2
z
3
22
Ejemplo 2
¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y 2.03 ?
En el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre
0 y 2.03 = 0.47882
La misma área hay entre 0 y
-2.03 , por lo tanto
P ( -2.03< z< 2.03) = 0.95764
?
95.76%
47.88%
-3
-2
-1
47.88%
0
1
2
z
3
23
Ejemplo 3
¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?
1.- La probabilidad de 0 < z < +∞ = 0.500
2.- La probabilidad de 0 < z < 1.25 = 0.39435
3.- La probabilidad de z > 1.25 =
0.500 - 0.39435= 0.10565
50%
39.44%
10.56%
?
-3
-2
-1
0
1
2
z
3
24
Ejemplo 4
Hallar P( -0.34 < z < ∞ )
63.31%
P(0 < z <0.34) = 0.13307 =
P(-0.34 < z < 0)
P (0 < z < ∞ ) = 0.50000
P( -0.34 < z < ∞) =
0.13307 + 0.50000 = 0.63307
13.31%
50%
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
25
Ejemplo 5
P(0< z <0.34) = 0.13307
P( 0 < z < 2.30) = 0.4893
P (0.34 < z < 2.30) = 0.48930 - 0.13307 = 0.35623
Hallar P( 0.34 < z < 2.30)
35.62%
-3
-2
-1
0
1
2
z
3
26
EJEMPLO
Sea una variable distribuida normalmente con media
µ = 4 y desviación típica σ = 1.5.
¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor x ≥ 6
(P(x ≥ 6 ))?
27
µ=4
σ = 1.5
x−μ
z=
σ
Hallar P ( x > 6 )
1.- transformar x en un valor de z
z = (6 - 4)/1.5 = 1.33
2.- Hallar P ( 0 < z < 1.33) =
3.- 0.5000 - 0.40824 =
0.5
0.40824
0.09176
?
-0.5
-3
1
-2
2.5
-1
4
0
5.5 6
1 1.33
7
2
x
8.5
3 z
28
Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar
probabilidades transformando (estandarización) la variable en
valores de
x-µ
z=
σ
¿Cómo hallar un valor de x, dada la probabilidad?
Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con µ =4 y σ = 2.
Hallar el valor de x que deja por encima de él un 38.20% (0.3820).
Se debe desestandarizar :
x=zσ+µ
0.5000 - 0.382 = 0.118  Se busca en la
tabla el valor más aproximado:0.1179
corresponde a z =+ 0.30
38.20%
Sustituyendo en la fórmula
0.30 ∙ 2 + 4 = 4.60
x=?
4.60
29
30
• Nota: Cuando n > 20, np ≥ 5, y n(1-p) ≥ 5 la
distribución binomial puede aproximarse por una
normal con
µ = np
=
σ
np (1 − p )
31
32
33
En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se
cometen errores y se desea calcular la probabilidad que de
100 facturas, 12 de ellas los contengan:
=
µ 100(.10)
= 10
σ=
z1
z2
) 3
np (1 − p=
12.5 − 10.0
=
= 0.83 ⇒ 0.2967
z1
3
11.5 − 10
=
= 0.5 ⇒ 0.1915
z2
3
P (12) = 0.2967 − 0.1915 = 0.1052
35
36
37
Calcular π
con la aguja
de Buffon
43
44
45
46