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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
Bajo la acepción de “Lógica Clásica” no se debería entender exactamente una
lógica concreta, uno de esos triplos <L,[|S], √ M> caracterizados por un lenguaje formal
L, y sendas definiciones de la relación de consecuencia en términos de derivabilidad
formal y de consecuencia semántica. El adjetivo “clásica” aparece, por ejemplo, en los
dos sistemas formales cuya descripción ha ocupado casi por entero este curso, lo cual
da a entender que la Lógica Clásica resulta ser más bien una cierta clase de lógicas
particulares caracterizada por la presencia de ciertos rasgos genéricos.
Sabemos que los sistemas que aquí hemos denominado Lógica proposicional
clásica y Lógica clásica de Primer Orden –donde se puede incluir también los sistemas
que resultan al admitir identidad y símbolos funcionales- forman parte de la Lógica
Clásica, y aunque puede haber alguna discrepancia acerca de si es adecuado incluir
ahí algún otro sistema –lógica- con iguales derechos, mi decisión será la de no incluir
ningún otro sistema bajo esa acepción.
El uso del plural en el caso de las Lógicas No-Clásicas no hace referencia sólo
a la existencia de múltiples sistemas del tipo <L,[|S], √ M> , sino también a la presencia
de familias o incluso grupos enteros de familias de tales sistemas. Así, por ejemplo,
veremos cómo la Lógica Modal es una Lógica No-Clásica formada por una amplia
colección de familias de sistemas dotados de rasgos comunes suficientemente
explícitos. Decir que la clasificación de Lógicas No-Clásicas constituye en ocasiones
una tarea que recuerda a la clasificación de especies animales no es mucho exagerar.
Para comprobarlo basta solicitar a algún especialista en la materia una rápida
clasificación del terreno fácil de aplicar y suficientemente completa: lo más probable es
que acabemos por provocar su hilaridad.
Lógica de Enunciados
Aunque por ahora sólo sean nombres para nosotros, las primeras de estas
lógicas aparecen no mucho más tarde que la propia Lógica Clásica. Los primeros
sistemas modales -de la necesidad y la posibilidad- son introducidos por C.I. Lewis en
1932. Las lógicas multivaluadas –con más valores de verdad que {Z,F}- nacen de la
mano de Lukasiewicz en la década de 1930, mientras que la primera lógica
intuicionista –de enunciados- es presentada por A. Heyting también en 1930. Todas
ellas divergen, discrepan, o extienden decisiones que son características del modelo al
que parece responder el diseño de la Lógica Clásica.
El canon clásico. Pero, ¿existe realmente un modelo tal? ¿Hay algo así como un
canon cuyo desarrollo y expresión constituya el objetivo de la Lógica Clásica? En otras
palabras, ¿por qué hablamos siquiera de Lógica Clásica? Son muchas las razones
que pueden aducirse para justificar un modo de proceder que, sea razonable o no,
constituye un hecho histórico insoslayable. En un extremo de éstas podemos
encontrar la defensa del valor de la Lógica como tribunal de la razón, como canon al
que todo razonamiento correcto debería ajustarse. La Lógica Clásica sería, entonces,
la expresión más clara y depurada de los intentos de la ciencia por describir la
capacidad argumentativa del ser humano cuando ésta se aplica de modo correcto.
Esta posición no es del todo ajena a la propia refundación de la Lógica a finales del
siglo xix y principios del xx. El programa Logicista confía en la autoridad de la Lógica
como ciencia, que lo es por excelencia, de los fundamentos. Desde este punto de vista
resulta evidente la existencia de una única Lógica correcta asociada a aquellos
momentos en que la razón humana ha de mostrar un máximo de rigor y eficacia. No se
trata de ver en la Lógica Clásica la auténtica representación de los esquemas formales
e inferenciales que los seres humanos usamos de hecho. Se trata de defender y
justificar su primacía en orden al conocimiento de la realidad. Es justo reconocer en
este punto, que han sido muy pocos los autores que han pretendido dar a la Lógica
una función descriptiva de los procesos que de hecho seguimos al razonar, lo que
dejaría sin explicación posible el error y las falacias lógicas. Es mucho más frecuente
una posición normativa asociada al intento de describir el método correcto de la
ciencia y del conocimiento en general.
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
La pronta aparición de insuficiencias en el modelo clásico, o incluso la
constatación de aparentes paradojas, junto con la definición de alternativas formales –
como las ya mencionadas- de igual rigor matemático, desbarató las aspiraciones que
la Lógica Clásica pudiera haber tenido a erigirse en canon de la razón. El proyecto
normativo en Lógica que intenta describir o proponer un único modelo admisible muere
para la comunidad científica mucho antes que para el resto de la comunidad filosófica.
No es extraño encontrar aún hoy pensadores que atribuyen al lógico un afán normativo
que muy posiblemente nunca haya tenido y que desde luego, sabe ahora que no
puede tener.
Una vez descartado el paradigma normativo como razón que explique la
vigencia de la Lógica Clásica, lo que se impone es el intento de explicar su valor como
un dato real efecto de procesos tal vez no procedentes de una única causa. Podemos
rechazar también que la presencia de este modelo responda a otra cosa que la mera
casualidad histórica, pero pocos podrían conceder valor a una afirmación tan radical.
Descartada también esta opción, pienso que podemos indicar al menos tres buenas
razones para explicar la robustez mostrada por la Lógica Clásica.
[1]
i.
La Lógica Clásica responde en todas sus decisiones a los
criterios más simples y elementales que pueden ser aportados
como solución.
ii.
La Lógica Clásica puede ser el producto de determinadas
necesidades socioculturales o incluso sociobiológicas.
iii.
La Lógica Clásica ocupa una posición singular en relación a
resultados aparentemente no arbitrarios como aquellos que se
ponen de manifiesto al estudiar ciertos resultados de limitación y
ciertos teoremas de la teoría abstracta de modelos.
411
Lógica de Enunciados
La teoría de modelos de la Lógica de clásica de Primer Orden ha sido
considerada en numerosas ocasiones como una explicación muy pobre del
comportamiento de la noción de verdad en relación a las constantes lógicas
elementales –conectivas y cuantores- y del modo en que los enunciados adquieren un
valor de verdad. Pero el análisis de esta objeción puede llevar, en realidad, a reforzar
el estatus de la Lógica Clásica en la línea indicada en [1.i]. El argumento es bastante
convincente. Querer ver en el desarrollo modelista clásico de la Lógica de Primer un
análisis de la noción de verdad es improcedente y totalmente inadecuado. Los valores
considerados y la relación que entre ellos se asume solo representan las condiciones
mínimas que son necesarias para clasificar de forma ideal las fórmulas de un lenguaje.
Los valores {V,F} podrían, igualmente, haber sido {0,1} o cualquier otra opción que
mostrarse idénticas relaciones de complementariedad y exclusión que la que se
asume en este caso. Lo que se caracteriza no es, por tanto, una concepción
filosóficamente profunda de la noción de verdad, sino la habilidad para distinguir o
clasificar fórmulas bajo condiciones ideales o perfectas. Este argumento, que sirve
ahora para justificar la presencia y conducta de los valores de verdad, se repite
también en otros momentos críticos de la construcción de la teoría de modelos clásica.
Pienso en la definición de las cláusulas de algunas constantes lógicas, especialmente
el condicional material y el negador, y en la propia definición de la consecuencia
semántica como relación simplemente preservadora del valor designado –verdad en
este caso-.
La Lógica Clásica es persistente porque alude de algún modo a nuestra
habilidad cognitiva para establecer distinciones ideales y perfectas entre los miembros
de una cierta clase de objetos –preferentemente una clase finita-. ¿Se quiere decir con
ello, que esta habilidad forma parte de nuestro equipamiento cognitivo como seres
humanos, no tratándose entonces de un producto cultural más o menos casual? Esta
es la línea que precisamente se adopta en [1.ii]. La Lógica Clásica, entendida como la
habilidad para idear criterios perfectos de clasificación de clases de objetos mediante
el uso de un lenguaje, sería el resultado del proceso de evolución que ha llevado a
establecer los rasgos distintivos de nuestra especie. Tenemos la Lógica que tenemos
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
porque es la que permitió que desarrollásemos las habilidades que conducían al nicho
ecológico ocupado por la especie homo.
Sea por lo que se dice en [1.ii] o por otras razones, el estudio metateórico de la
Lógica clásica de Primer Orden lleva a resultados que indican una cierta estabilidad en
los rasgos que este sistema presenta. Hay propiedades que se adquieren o se pierden
al disponer de teorías de Primer Orden, correlaciones de rasgos que sólo se dan
simultáneamente en su interior, etc –cfr.: cap.3.8-. Esto resulta bastante apreciable en
el terreno de la decidibilidad y aún más en la llamada teoría de modelos abstracta –
pienso muy en particular en el Teorema de Lindström-. Sería muy complejo entrar en
el pormenor, y no lo haremos, pero es un hecho que el mapa conceptual que resulta al
estudiar las propiedades metateóricas de los distintos sistemas lógicos, deja un hueco
que es, precisamente, el cubierto por la Lógica clásica de Primer Orden. En definitiva,
si por avatares históricos hubiéramos primado otras soluciones distintas a las que son
ahora comunes, las vías trazadas en el mapa conceptual de nuestro ingenio lógicomatemático habría acabado por llevarnos igualmente, a la Lógica clásica de Primer
Orden. Esta es la idea que subyace, grosso modo, a la tesis expuesta en [1.iii].
Ninguna de estas razones puede ser utilizada, sin embargo, para negar al resto
de los sistemas lógicos conocidos hoy en día el derecho a la existencia. Así, cuando
se consideran condiciones menos simples que las ilustradas por la Lógica Clásica lo
que se obtiene no son teorías informales al margen de la Lógica. Las herramientas
empleadas son las mismas que aquellas de que nos servimos en el caso de la Lógica
Clásica, y los estándares de rigor en nada desmerecen los se alcanzan en el caso
clásico. Por otra parte, tampoco es cierto que el modo en que razonamos cuando nos
limitamos a aplicar esquemas de uso común, poco sometidos a una reflexión previa,
sean siempre los que la Lógica Clásica propone. En otras palabras, el argumento
sociobiológico puede ser empleado igualmente para defender la existencia y
plausibilidad de otras lógicas, incluso en ocasiones con mayor motivo. Finalmente,
tampoco es posible utilizar el argumento metateórico para marginar a las Lógicas NoClásicas. Muchas de ellas, quizá la mayoría, poseen conductas que no dudaríamos en
reconocer como típicas de una conducta metateórica clásica.
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Lógica de Enunciados
Pero, ¿cuáles son las razones que pueden aducirse para construir o definir una
Lógica No-Clásica? De entre las muchas que tal vez cabe mencionar, me parece
oportuno entresacar las siguientes:
[2]
i.
El intento de extender el alcance de los métodos de la Lógica a
dominios de mayor complejidad o a los que antes no había
llegado el análisis formal.
ii.
Intentar reparar las deficiencias observadas en la conducta de
una constante lógica bajo su análisis clásico.
iii.
Reemplazar el análisis de una constante o rasgo definitorio de
una lógica por otro considerado correcto.
Esta lista sólo reúne una serie de actitudes o motivaciones frecuentemente
ligadas al desarrollo o propuesta de una lógica no-clásica y no debe entenderse como
una clasificación de sistemas alternativos. De hecho, es un rasgo característico del
estudio de las Lógicas No-Clásicas encontrar que uno y el mismo sistema es asociado
a distintas motivaciones por distintos autores.
Reconozco que esta presentación sabría a poco si no se acompañase de algún
mecanismo más explícitamente destinado a la clasificación o descripción de Lógicas
No-Clásicas. Pero esto ya está dado, al menos en parte. Me serviré, aunque debo
reconocer que no es lo más habitual, de las intenciones o motivos descritos en [2] para
este fin. La descripción de la intención generalmente asociada a la descripción de una
lógica junto con el lugar por el que prioritariamente empieza la introducción de rasgos
diferenciales puede ser un buen modo de acercarse al tópico. Para indicar estos
lugares me serviré de los elementos que he empleado para definir una lógica, es decir,
un lenguaje, una relación de derivabilidad formal y otra de entrañamiento. El resultado
nos lleva a :
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
[3]
i.
Modificaciones que dan comienzo básicamente por el lenguaje
formal.
ii.
Modificaciones que afectan prioritariamente al tratamiento de la
derivabilidad.
iii.
Modificaciones que afectan en primer lugar al desarrollo
modelista del lenguaje y de la relación de consecuencia –
consecuencia semántica-.
Lo que procede a continuación es un somero recorrido por las lógicas noclásicas de mayor fama indicando en cada caso bajo qué motivaciones ha encontrado
un tratamiento más frecuente, y qué modificaciones son aquellas que han sido
ensayadas para lograr su objetivo. Como parece evidente, estas elecciones no tienen
por qué ser únicas, y esto es así, por que de hecho, la historia de la disciplina muestra
que no lo fueron. Mi intención será en todo momento mostrar la genuina diversidad
que la Lógica ha alcanzado en nuestros días: es difícil indicar un problema o un
concepto genuinamente refractario a un tratamiento formal, del mismo modo que es
difícil indicar algún tipo de estrategia que no pueda ser ilustrada mediante el desarrollo
de alguna lógica obtenida mediante un uso relevante de la misma.
Ni antes ni ahora he contemplado la posibilidad de incluir un apartado dedicado
ex profeso a lo que en ocasiones se denomina lógica aplicada. Supongo que es una
decisión que conviene explicar, sobre todo en un momento en el que ésta parece ser
una tendencia en auge. No creo que exista algo así como una lógica aplicada en
sentido estricto, ni tampoco un conjunto de rasgos formales que sirvan para distinguir
las lógicas aplicadas o instrumentales de las puras o fundamentales. Tampoco creo
que esa sea una forma habitual de ver las cosas. Existe, si se quiere, una intención
identificable –podría incluirse entre las que he enumerado en [1]- en algunas lógicas o
en algunos programas de investigación que podría ajustarse bien a esa denominación:
instrumental o aplicada. Sin embargo, me cuesta mucho trabajo ver qué diferencia hay
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Lógica de Enunciados
entre esta motivación y la de extender en alcance de la Lógica a dominios en los que
aún no tiene expresión, pero en los que existe evidencia de procesos inferenciales
ligados a la estructura de ciertos procesos o entidades. Un caso paradigmático es el
de las lógicas temporales. ¿Se trata de una lógica aplicada, o del hallazgo de la
estructura formal que es característica de ciertas inferencias asociadas al uso de
partículas temporales? Lo primero se puede defender al observar que para tratar
partículas como “en algún momento futuro”, “ahora y antes”, etc se recurre a las
herramientas características de la Lógica modal, aquella dedicada al tratamiento de
partículas como “es necesario que” o “es posible que”. Se trataría así de aprovechar
una herramienta formal conocida por sus resultados para estudiar un dominio con el
que nada tiene que ver. La otra opción, completamente enfrentada a ésta, defendería
que la estructura de tales partículas temporales y de los operadores modales de
necesidad y posibilidad es similar, o que existe una comunidad estructural entre todas
estas familias de conceptos. Aunque sólo sea por lo sugerente de la idea, simpatizo
más con esta última opción. No creo en la existencia de una genuina lógica aplicada,
sino en el descubrimiento de manifestaciones de la estructura formal que es asunto de
la Lógica en dominios cada vez más extensos.
Conviene advertir en cualquier caso que aquello en que puede consistir la
lógica aplicada no debe confundirse con la tarea de formalizar una teoría expresada
hasta entonces en el lenguaje ordinario. Formalizar una teoría constituye un tipo de
investigación por entero completo al diseño de una lógica aplicada, al menos tal y
como entiendo tales tareas.
Elaborar una lista de sistemas lógicos que ilustren el recorrido de las Lógicas
No-Clásicas no parece ni posible ni conveniente aquí. No creo tampoco que tal cosa
sea posible sin que el proyecto alcance dimensiones enciclopédicas. En su lugar he
optado por seleccionar una escueta muestra de sistemas que a mi juicio son
representativos de la amplia variedad de técnicas y motivaciones que han sido
ensayadas en este vasto dominio. Al final, todo ello se completará con un listado de
otras lógicas que no trataré pero cuya existencia tal vez no haya que ignorar.
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
Lógica de Orden Superior. Pese a lo que pueda parecer, la llamada Lógica de
Orden Superior no nace después de la Lógica de Primer Orden, sino al mismo tiempo
Se trata de un sistema cuya intención es extender el alcance de los recursos de la
Lógica de Primer Orden, aunque sería inadecuado pensar que se propone tan sólo
como un intento de paliar las posibles deficiencias de la primera. La Lógica de Primer
Orden y de Orden superior son propuestas ambas en el Begriffsschrift de Frege
separándose progresivamente a lo largo de las dos primeras décadas del siglo xx. La
Lógica de Orden Superior se caracteriza por poseer un vocabulario básico con letras
de variable capaces de representar relaciones n-arias de tipos de complejidad
creciente y sobre las cuales pueden actuar cuantores del mismo modo que lo hacen
sobre las variables de individuo. En la Lógica de Primer Orden sólo hay variables de
individuo, en la Lógica de Segundo Orden hay variables de individuo y variables
relacionales, en la Lógica de Tercer Orden, etc. Todo indica que en este caso la
modificación que da lugar a esta nueva lógica empieza por el lenguaje: se trata de una
ampliación de la potencia expresiva en una dirección determinada ya por el rango de
recursos existentes en Primer Orden.
Hay muchos principios importantes que pese a su aire elemental no pueden ser
expresados en Primer Orden. Uno de los más notables es el principio –que no su
esquema de Primer Orden –cfr.: cap.3.5- de inducción:
[4]
Principio de Inducción. Para toda propiedad de números enteros se
cumple que si es posible establecer que el cero posee esa propiedad y
se muestra que si un número x la posee, entonces x+1 la posee
igualmente, entonces es posible concluir que esa propiedad es común a
todos los enteros.
La correcta formalización de este principio sería la siguiente:
417
Lógica de Enunciados
[5]
∀Ψ[Ψ0 & ∀x(Ψx→Ψ(x+1)) → ∀xΨx]
Junto a este cabe recordar también el conocido como principio de identidad de
los indiscernibles, originalmente debido a Leibniz, que afirma que dos objetos
cualesquiera son idénticos si y sólo si comparten los mismos atributos. Esto daría
lugar a lo siguiente:
[6]
∀xy[x=y ↔ ∀Ψ(Ψx↔Ψx)]
Se puede ver que algunos de los principios más relevantes dentro del armazón
de la matemática moderna o de la filosofía de todos los tiempos sólo encuentran una
adecuada expresión admitiendo la potencia expresiva que en este caso figura en una
Lógica de Segundo Orden. ¿Por qué no considerar la Lógica de Orden Superior, en la
medida en que incluye propiamente la Lógica de Primer Orden, como la expresión más
acertada y definitiva de la Lógica Clásica? Pese a que hay algunos autores que han
sugerido esa opción, basándose en que la Lógica de Orden Superior extiende los
principios semánticos y sintácticos –relativos a la derivabilidad- de la Lógica de Primer
Orden de la forma más directa posible, no es lo que la mayoría acepta. La razón se
encuentra en la pérdida de propiedades metateóricas que tiene lugar en este nivel. La
Lógica de Segundo Orden no es completa, tampoco es compacta y no satisface los
teoremas de Löwenheim-Skolem –como sostiene el Teorema de Lindström-. Se trata
de un sistema formal extremadamente potente desde un punto de vista expresivo –sus
teorías son categóricas-, pero muy anómalo como producto formal genuino.
Lógica Intuicionista. Si la Lógica de Orden Superior es, al menos en espíritu, una
prolongación de los métodos de la Lógica Clásica, el caso de la Lógica Intuicionista
representa el polo opuesto a esta pretendida continuidad. Su definición constituye un
caso claro de intento de reemplazar el análisis que la Lógica Clásica hace de sus
principios básicos por otros de índole completamente distinta. El lenguaje formal es,
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
sin embargo, el mismo. Hay una Lógica Intuicionista de enunciados y una Lógica
Intuicionista de Primer Orden. En realidad, nada impide imaginar una réplica
intuicionista de cada posible lógica basada en la noción de verdad clásica. Pese a lo
que pueda parecer, la Lógica Intuicionista encuentra su primera expresión a través de
modificación en la conducta de la derivabilidad clásica. De hecho, no existe una única
forma de obtener una semántica formal adecuada a la interpretación intuitiva que
subyace a la Lógica Intuicionista.
El movimiento intuicionista tiene su origen en los primeros años de la década
de 1920. El responsable inmediato es Brouwer, lógico de origen holandés, al que se
une de pleno derecho el nombre de Heyting, también de esa nacionalidad. En el
núcleo de la reacción intuicionista se encuentra un profundo desacuerdo ante los
objetivos del programa Logicista. Para Brouwer la Matemática no se reduce a Lógica
de ningún modo. Los objetos matemáticos son construcciones mentales, así como las
pruebas que establecen propiedades acerca de esos objetos. Afirmar algo de un
objeto propio de las Matemáticas equivale a sostener la existencia de una construcción
de dicho objeto poseyendo esa propiedad. Construcción cuya existencia no sólo se
postula, sino que se conoce. Hasta aquí el Intuicionismo no parece tener mucho que
ver con la Lógica. Sin embargo, cuando se examina a fondo los términos de esta
protesta se aprecia su incompatibilidad con ciertos principios que la Lógica Clásica
sanciona como teoremas. Interpretada desde el punto de vista anterior, según el cual
el contenido de una proposición es una construcción mental en la que un objeto se
muestra poseedor de un cierto atributo –relación, etc.- el principio de tercio excluso
Av¬A –tertium non datur en la tradición clásica- resulta ininteligible a la luz de ciertos
hechos. El ejemplo prototípico es la conjetura de Goldbach que afirma que todo
número par es la suma de dos números impares. No se conoce una demostración de
este hecho ni de su negación. Por tanto, interpretado de modo intuicionista, la
disyunción Gv¬G formada a partir del enunciado de la conjetura de Goldbach afirmaría
la existencia de una prueba –construcción- de ese hecho o de su negación. Ninguna
cosa es cierta, y por tanto, el principio debe ser rechazado. Al hacer caer este
principio, hay otros que inmediatamente se ven afectados. Los principales son,
incluyendo tercio excluso, los siguientes:
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Lógica de Enunciados
[7]
i. |Av¬A
ii. | ¬¬A→A
iii. | ¬(A&B)→¬Av¬B
El primero que da una presentación de un sistema de lógica elemental –Primer
Orden- compatible con los principios intuicionistas del razonamiento matemático es
Heyting en 1928. Lo hace siguiendo un formato axiomático y no aporta una
interpretación de las constantes lógicas consistente con la interpretación ingenua que
el intuicionismo da de las proposiciones de la Matemática. Esto último se solventa en
1928 cuando el propio Heyting aporta una interpretación en la que la noción de prueba
se conecta con las constantes lógicas de forma razonablemente natural. Así, A→B se
interpreta como la existencia de una prueba en la que se muestra cómo transformar
una construcción de A en una construcción de B. No obstante, no será la única
interpretación semántica operativa en el contexto del intuicionismo. Esto justifica que
pensemos en la Lógica Intuicionista como en una operación tendida principalmente
sobre la derivabilidad con el objetivo de evitar principios que se juzgan inaceptables
desde nuevas bases.
En 1934 Gentzen aporta elementos que permiten construir un cálculo de
deducción natural para la Lógica intuicionista. Éste difiere del cálculo clásico en un
grado relativamente pequeño para lo que sería de esperar, ajustándose mucho mejor
al espíritu del intuicionismo que las presentaciones axiomáticas precedentes. Se
prescinde, en primer lugar, del negador para introducir lo que se denomina constante
de absurdo, representada mediante “⊥”. El negador se reintroduce definicionalmente
como ¬A≡A→⊥. Es decir, ¬A significa que existe una construcción que muestra que a
partir de una construcción de A se llega a una contradicción, algo que permite
entender muy bien el móvil intuicionista. El cálculo de deducción natural intuicionista
de enunciados es en todo igual al clásico salvo en que prescinde de las reglas de la
negación. En su lugar sólo añade la siguiente:
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
[8]
⊥
A
Falta un total acuerdo acerca de si es éste el mejor modo de capturar la
esencia del intuicionismo –lógica minimal de Johanson- y de cuál sea la semántica
más adecuada. Hay disenso incluso acerca de si realmente debe haber algo así como
una Lógica Intuicionista, ya que el Intuicionismo es una escuela matemática que se
limita a rechazar la vigencia de ciertos principios clásicos. Tercio excluso no es sólo un
teorema de la Lógica Clásica, sino un principio cuyo rechazo lleva a inhabilitar muchas
demostraciones matemáticas generalmente aceptadas: todas aquellas que proceden
por reducción al absurdo.
Lógicas multivaluadas. Una vez más encontramos que las primeras lógicas dignas
de tal nombre son formuladas no mucho más tarde que la propia Lógica Clásica. Los
nombres asociados a este desarrollo son los de Lukasiewicz y Post quienes a lo largo
de la década de 1920 proponen diversos sistemas en los que entre los valores de
verdad que puede recibir un enunciado se incluyen otros que no son {V,F}. Aunque
ambos trabajan en el mismo periodo su desarrollo es por entero independiente. Con el
tiempo las Lógicas multivaluadas –hay una familia entera de ellas- se han llegado a
entender como una extensión de los métodos de la Lógica Clásica que empieza por
replantear el tratamiento semántico clásico. Este replanteamiento conserva intacta la
conducta de las conectivas por lo que hace a los valores clásicos {V,F} que pasan a
ser vistos ahora como casos límite. Las Lógicas multivaluadas tienen un mayor
desarrollo y motivación en el ámbito del lenguaje LE, comentario que se entiende mejor
mirando brevemente su historia.
Aunque todo parece indicar que las Lógicas multivaluadas constituyen un
intento de naturalizar –y así extender- los esquemas inferenciales clásicos, la verdad
es que nacen por motivos ligeramente distintos. Es cierto que verdad y falsedad
representan situaciones ideales que no suelen encontrarse en la mayoría de las casos
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Lógica de Enunciados
en que supuestamente razonamos conforme a principios formales inobjetables. La
constatación de incertidumbre no comporta, pese a lo que podría parecer desde un
punto de vista ingenuo, el abandono de esquemas de razonamiento lógico. Ha de
existir una lógica capaz de trabajar con valores verdad representativos de diversos
grados de incertidumbre y en consecuencia, ha de poderse establecer el
comportamiento de la conectivas, que dan lugar a enunciados complejos. Así
entendidas, las Lógicas multivaluadas sólo intentan extender los métodos de la Lógica
Clásica a dominios más próximos a nuestra experiencia cotidiana. La diferencias entre
ellas residirán, básicamente, en el número de grados intermedios de verdad que es
posible encontrar en los valores clásicos de “verdad” y “falsedad”. Lo característico de
una Lógica multivaluada y aquello que las distingue de otras en las que también
pueden aparecer otros valores de verdad, es, precisamente, esa disposición de los
nuevos valores de verdad con respecto a los clásicos.
Pero ésta, como ya he dicho, es la interpretación que se ha abierto paso a lo
largo del tiempo, no la que inicialmente concede Lukasiewicz a su primer sistema
trivaluado. El sistema de lógica trivaluada que introduce este autor contempla un tercer
valor de verdad cuya interpretación es la de “posibilidad”, noción que debe ser
asimilada a algo que se parece más a la noción típicamente alética de “tan verdadero
como falso” que a la noción modal que hoy vemos asociada a ese concepto. La
indefinición del propio Lukasiewicz a este respecto ha sido fuente de numerosos
problemas y debates nunca resueltos por completo. La introducción de este valor tiene
por objeto en su caso combatir el principio de omnisciencia lógica, una forma de
determinismo especialmente rechazada por este autor. El problema arranca de un
texto de Aristóteles, Α+Χ3 +Χ9/;+3!Ε (De Interpretatione), en el que se analiza el valor
de verdad de enunciados acerca de futuros contingentes. El caso típico es “Mañana
habrá una batalla naval”. Si todo enunciado ha de tener un valor de verdad éste
también. Si los únicos valores de verdad son {V,F}, y como enunciado que es le
corresponde uno de ellos, entonces el futuro estará determinado aquí y ahora por el
valor de verdad de los enunciados que expresan futuros contingentes. Para evitar esta
perversa conclusión sostiene Lukasiewicz se hace preciso aceptar un tercer valor que
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Introducción a las Lógicas No-Clásicas
corresponda a este tipo de enunciados que aún no poseen un valor de verdad, pero
que pueden llegar a poseerlo.
Esta posición metodológica hace que el principio de tercio excluso Av¬A
adopte el valor ½ (“posible”) cuando A es simplemente posible. La negación de un
contingente futuro es igualmente posible y la disyunción preserva la monotonía. Sin
embargo, Lukasiewicz se esfuerza por conservar la tautologicidad de A→A
entendiendo por tal el hecho de que su columna sólo arroje el valor {V}. Este efecto,
mal explicado por el autor, y peor entendido por sus críticos, es uno de los rasgos
característicos de su lógica.
Poco después de proponer este sistema trivaluado, Lukasiewicz extiende sus
ideas a espacios valuacionales con n-valores y finalmente a espacios con una
cantidad enumerable de ellos. Este giro en sus planteamientos tiene un efecto positivo
para sus ideas y otro que no lo es tanto. Lo primero se refiere a la necesidad de
sistematizar de una forma mucho más coherente la conducta de las conectivas. Al no
haber un número finito de valores, el cálculo de aquellos que adquiere un enunciado
complejo no puede presentarse de forma más o menos arbitraria, más o menos ad
hoc, mediante una matriz de valores. La solución de Lukasiewicz para su lógica infinito
valuada definida sobre el intervalo racional [0,1] es la siguiente:
[9]
v(A→B)=min(1,1-v(A)+v(B))
v(¬A)=1-v(a).
La consecuencia discutible de este giro es la considerable debilitación del móvil
filosófico originalmente vertido sobre su sistema trivaluado. A parte de esto, proyecta
un aire instrumental sobre estos sistemas, diseñados en apariencia a la mayor gloria
de los métodos formales de análisis del lenguaje, bastante dañino para su valor
epistemológico.
423
Lógica de Enunciados
Los sistemas de Post son sistemas n-valuados, donde n siempre finito. El valor
que tiene su investigación es el de aportar por vez primera, un estudio en profundidad
de la completitud funcional en un dominio en el que este resultado no es trivial.
Lógicas Parciales ( y Paraconsistentes). De nuevo nos encontramos ante sistemas
que operan sobre el entramado semántico intentado extender los métodos de la
Lógica Clásica a dominios donde verdad y falsedad son casos límite. ¿Por qué no
incluirlos entonces entre las lógicas multivaluadas? La razón es la relación que en esta
ocasión guardan los nuevos valores con los clásicos de “verdad” y “falsedad”.
Empecemos por el caso parcial. Como su nombre indica, una lógica parcial es
aquella en la que hay enunciados asociados a circunstancias que hacen –o explicanque carezcan de valor de verdad. Esa deficiencia puede subsanarse más adelante o
puede no hacerlo, pero no hay modo de saber cuál de los dos casos es aquel ante el
que nos hallamos. ¿Supone esta dificultad la completa suspensión de cualesquiera
principios lógicos? En absoluto. El autor que de una forma más motivada y profunda
ha propuesto el tratamiento formal de enunciados carentes de valor –o compuestos
por subfórmulas carentes de valor de verdad- es S. Kleene –1938 y 1952-. La relación
de este autor con los principales episodios del nacimiento y constitución de la Teoría
de la Computación explican en parte su motivos para proponer este tipo de sistema.
Muchas de las circunstancias en que nos vemos operando con ciertos algoritmos
conllevan un grado de indeterminación que impide concluir si el algoritmo en cuestión
va a concluir arrojando un resultado o va a continuar indefinidamente sin arrojar uno.
La naturalidad de este tipo de situación aconseja contemplar una lógica útil para
razonar en circunstancias en que los enunciados formalizados se refieren a algoritmos
y sus resultados. Kleene podría haber utilizado, como él mismo afirma, funciones
parciales como medio para interpretar los enunciados de su lenguaje –el lenguaje LE,
en principio-. Una función parcial de verdad difiere de una función de verdad estándar
en el hecho de que puede dejar de asignar valor a los átomos del lenguaje. En lugar
de adoptar esta solución, algo radical para la época en que se sugiere por primera vez,
424
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
Kleene opta por introducir junto a los valores clásicos {T,F} un tercer valor “u” –por
undefined- cuya interpretación no es, sin embargo, alética: “u” significa carecer por el
momento, o a todos los efectos, de valor de verdad. Este hecho es importante porque
la existencia de una inequívoca interpretación del tercer valor conduce en este caso, y
a diferencia de lo que sucedía con Lukasiewicz, a unas matrices para la definición de
las conectivas con una fuerte motivación intuitiva y, por tanto, fáciles de entender.
¿Qué valor de verdad tiene una fórmula del tipo A&B cuando A recibe el valor
indeterminado y B falso? Evidentemente poco importa si A finalmente adquiere un
valor y cual sea éste para que el enunciado A&B sea falso y ello simplemente porque
B lo es. Desarrollar este móvil estableciendo los casos correspondientes al resto de las
conectivas no es difícil. De hecho, se trata de un tipo de tratamiento de la compleción
de información que ha sido visto por algunos autores –S. Blamey- como un análisis
presidido por la única idea de la monotonía: si sea cual sea el modo en que se
resuelve una expresión indeterminada, ello no hace que el valor del enunciado en que
interviene cambie, entonces ese valor es el que enunciado complejo posee aquí y
ahora pese a existir en su interior porciones de información aún no determinadas.
El fuerte componente intuitivo de este modelo ha hecho que sea tenido muy en
cuenta a la hora de producir sistemas artificiales de razonamiento capaces de operar
bajo información incompleta. A parte de este valioso componente intuitivo, las
conectivas de Kleene tienen la ventaja de preservar unas con respecto a las restantes,
las mismas relaciones de interdefinición que en el caso clásico. Esto hace que puedan
ser consideradas como una genuina extensión del modelo de la Lógica Clásica a un
contexto más amplio, algo que sólo era parcialmente verdad en el caso de las lógicas
multivaluadas de Lukasiewicz. La contrapartida se encuentra a la hora de analizar la
preservación de las tautologías clásicas, o de la conducta de la consecuencia
semántica. A menos que aceptemos incluir el valor “u” entre los valores designados y
considerar la posibilidad de concluir enunciados indefinidos a partir de otros
verdaderos, la relación clásica de consecuencia no se preserva. Pero esto, tal vez, no
sea tan dramático: algunos autores han señalado que el refinamiento de la
consecuencia clásica no sólo no es indeseable, sino bastante razonable, ya que
permite incorporar entre las condiciones a ser satisfechas por la relación de
425
Lógica de Enunciados
consecuencia una cierta conexión entre el contenido –los átomos- de los enunciados
que intervienen en premisas y conclusión.
Pero el modelo de Kleene no es el único que se propone en ese periodo. En
1939 Bochvar, un lógico ruso, propone otras conectivas parciales enteramente
distintas. El tercer valor, “I” –por indeterminado o carente de sentido, en realidadvuelve a comportarse como un valor no alético que, pese a todo, se incluye en el
rango de valores de verdad para evitar recursos más radicales. La idea en este caso
es distinta, y en cierto modo menos interesante. Bochvar introduce este valor para
representar la presencia de enunciados anómalos como pueden ser las paradojas
lógicas del tipo de la de Russell o Grelling. Desde su punto de vista este tipo de
enunciados constituyen sinsentido lógicos que impiden el normal proceso de atribución
de valor de verdad. Así, en el momento en que una subfórmula determinada adquiere
el valor “I” toda la expresión de la que forma parte se vuelve ininteligible adquiriendo
ese mismo valor. La idea que subyace a este planteamiento es fácil de entender
aunque discutible en algunos aspectos: todo enunciado complejo que contenga una
subfórmula ininteligible por representar un sinsentido adquiere él mismo esa categoría.
Lo discutible aquí, no es ese principio, seguramente plausible por lo que hace al
tratamiento de enunciados deficientes desde un punto de vista alético, sino que las
paradojas lógicas sean un buen ejemplo de enunciados de este tipo.
Esta observación sirve para introducirnos en las llamadas lógicas
paraconsistentes. Reciben esta denominación aquellos sistemas diseñados para tratar
en principio con enunciados inconsistentes o paradójicos. Los modos de entender
estas nociones son muy variados y, tal vez no es lo más importante aquí desarrollarlos
con la atención que merecen. De todos los intentos de tratar con esta noción destaco
dos por su indudable paralelismo con el formato de las lógicas parciales. De hecho, la
decisión de incluir la noción de paraconsistencia en este apartado se debe al acierto
mostrado por estos desarrollos en el intento de hacer aparecer esta noción como un
concepto dual con respecto al de parcialidad. Sin embargo, es innegable que la
paraconsistencia carece de la respetabilidad de la parcialidad. Seguramente hay
buenas razones filosóficas para ver en la parcialidad una idea más central en la
426
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
constitución de nuestro ingenio formal, pero esto no supone automáticamente el
destierro de la paraconsistencia, ni tampoco la necesidad de negar cierta evidencia
favorable a la tesis de la dualidad. Las razones por las que la paraconsistencia ha
creado en torno a sí una cierta mala fama están basadas muchas veces en el
prejuicio: una lógica que acepte contradicciones trivializa su relación de consecuencia,
y si no lo hace es porque habrá de admitir cierta dosis de arbitrariedad en el modo en
que selecciona sus consecuencias. El lema de las lógicas paraconsistentes es,
precisamente, el desarrollo y estudio de teorías inconsistentes no-trviales. No creo
que debamos dejar un proyecto como este sin al menos una opción de defensa
comentando algunas de sus líneas de investigación más características.
La que tal vez halla adquirido una mayor notoriedad en las últimas décadas es
la que nace a partir de un artículo de G. Priest –lógico australiano- en 1979 en el que
se reivindica la posibilidad de atribuir a la proposición indemostrable G de Gödel el
estatus de un genuino enunciado paradójico. Para evitar depender en exceso de la
argumentación de Gödel –lo que tampoco viene al caso- bastará que sepamos ver en
su proposición G un enunciado verdadero pero indemostrable de la teoría elemental
de números. Su sola existencia basta, por tanto, para hacer de la teoría de números
una teoría incompleta, siempre que se suponga que es consistente. Priest hace una
interesante relectura de la demostración de Gödel apreciando la existencia de una
solución alternativa que corre en paralelo a la lectura que Gödel hace de ella. La
proposición G sería verdadera pero demostrable, y de ahí también falsa, admitiéndose
entonces que es a la vez verdadera y falsa, o por resumir, paradójica. La teoría de
números sería inconsistente y amenazaría entonces con resultar trivial –contener una
demostración de cada enunciado de su lenguaje- a no ser que cambiemos de lógica.
Este cambio de lógica ha de permitir la derivabilidad de enunciados verdaderos y de
enunciados paradójicos, pero nunca de enunciados falsos. ¿Cómo se logra esto?
Priest considera la adición de un tercer valor de verdad “p” –por paradójico- que
resulta, una vez más, un valor no alético, algo que en realidad es un pseudovalor. A
continuación analiza la conducta de las conectivas clásicas observando cómo se
combinan los valores clásicos con este paquete de valores en que consiste “p”. El
resultado son las mismas conectivas de Kleene para el caso parcial sólo que con “p”
427
Lógica de Enunciados
en lugar de “u”. La modificación de la consecuencia clásica, que en el caso parcial
resulta un efecto no del todo deseado, es aquí completamente bienvenido.
Al margen de la lógica de Priest, existen otros modelos diseñados por motivos
tal vez más generales o filosóficos. Tienen valor por representar en una medida muy
considerable una aportación propia de los países iberoamericanos, Brasil y Argentina
al frente. Los sistemas diseñados por Arruda y Da Costa son sistemas axiomáticos –
elección poco afortunada- que desarrollan su semántica mediante lo que denominan
pseudovaluaciones. Éstas constituyen un intento, no del todo satisfactorio, de tomar en
serio el carácter paradójico de un enunciado prescindiendo de las reinterpretaciones
que lleva a cabo Priest mediante un valor comodín diseñado para la ocasión. Es
cuestionable que sus técnicas sean las más adecuadas, pero han sido vistas por
diversos autores como el paso hacia el uso de nuevas técnicas de interpretación
capaces de imitar lo que las funciones parciales hacen en el caso de la lógica parcial.
La herramienta formal sería esta vez la de las relaciones veritativas, esto es,
relaciones binarias entendidas como subconjuntos de pares formados por fórmulas y
valores de verdad, {V,F} en este caso. La idea es simple y el desarrollo formal
inobjetable.
Pese a su progresiva respetabilidad formal y pese al intento de Priest de anclar
en resultados matemáticamente relevantes la necesidad de una lógica de lo
inconsistente, es dudoso que este tipo de intentos hayan conseguido borrar por
completo la incomodidad que produce la noción de inconsistencia. Estamos
demasiado acostumbrados a admitir que una contradicción trivializa lógicamente una
teoría como para reconocer que eso sólo sucede si la lógica en que se apoya esa
teoría es clásica. Sea como fuere, existen situaciones cotidianas en las que de hecho,
manejamos información contradictoria sin que por ello razonemos de modo trivial o
arbitrario. Si se trata de conocer los procesos metales que realmente usamos cuando
operamos lógicamente en situaciones habituales de conflicto, tal vez sea preciso irse
habituando a las inconsistencias.
428
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
La gran familia de la Lógica modal. Y tal vez aún me quede corto. Quiero decir con
ello que bajo la denominación Lógica modal cae en la actualidad un entramado de
sistemas que no encuentra parangón en ningún otro dominio de la Lógica
contemporánea. La variedad, densidad y aplicabilidad de la Lógica modal merecerían,
de hecho, un capítulo aparte.
En la actualidad, Lógica modal se emplea para referirnos al estudio formal de
las nociones de necesidad y posibilidad. Así entendida, se presenta como un intento
de extender el dominio de la Lógica al análisis de ciertos conceptos fundamentales
hasta entonces no bien entendidos. Para ello es preciso actuar sobre el lenguaje LE
introduciendo una nueva categoría de constantes destinadas a representar estos
nuevos conceptos y ofrecer a continuación un desarrollo semántico de los mismos. Es
decir, la Lógica modal parece ser concebida básicamente como una extensión de la
Lógica Clásica obtenida mediante una operación sobre el lenguaje y a través de la
subsiguiente actuación sobre la interpretación de los nuevos símbolos –semántica-.
Aunque esta imagen es cierta en parte, y en cualquier caso, se ajusta bien a lo que en
la actualidad entendemos pro Lógica modal, no hace justicia a su desarrollo histórico.
Los primeros pasos en la dirección que lleva a la aparición de la Lógica modal,
tienen lugar a finales del siglo pasado. Su responsable, el lógico británico H. McColl,
expone sus críticas a la aceptabilidad del siguiente principio: p→q= ¬pvq. Cuando un
enunciado implica a otro, no se quiere decir meramente que o bien es falso, o bien el
que opera como consecuencia es verdadero. Parece existir un cierto componente de
necesidad que no queda recogido ahí en absoluto. Años más tarde el lógico americano
C.I. Lewis recupera esa idea dando inicio a un tipo de análisis que ha dado lugar a
más de un tipo de lógica. La caracterización axiomática que Russell y Whitehead dan
de las conectivas es los Principia está reciente y su impacto se deja notar muy
considerablemente. Lewis adopta, pues, una estrategia destinada a la caracterización
axiomática de una nueva conectiva, la implicación estricta representada por “∝” –
arpón-, libre, en principio, de los rasgos indeseables del condicional material. Esta
estrategia pasa por hallar las paradojas del condicional material más claramente
429
Lógica de Enunciados
asociadas a los defectos de su conducta. Principios clásicamente admisibles –
tautológicos- como p→(q→p), ¬p→(p→q), (p→q)v(q→p) son dudosamente inteligibles
cuando en el condicional material se lee de forma más liberal, o simplemente, con la
intención de representar la noción profunda de implicación. La estrategia de Lewis
consiste en ofrecer una caracterización axiomática de la implicación estricta en la que
tales fórmulas no aparezcan. Con ello funda una tradición que más tarde se reactiva
en las llamadas lógicas condicionales y sobre todo en la Lógica relevantista. Todas
ellas guardan algo de ese espíritu inicial en el que la conducta de la implicación es
permanentemente juzgada por su capacidad para evitar paradojas.
Pero a parte de esta estrategia típicamente sintáctica, diametralmente opuesta
a lo que hemos visto que se asocia en la actualidad al esfuerzo de la Lógica modal,
Lewis da lugar a otra idea capaz de hacer arrancar una tradición completamente
distinta. En 1912 Lewis define no menos de cinco sistemas S1-S5 para la implicación
estricta; son los conocidos sistemas del Survey . Ninguno es el bueno, pero todos son
aceptables. Esta circunstancia impide que la atención se centre sólo en estos logros
para hacer pensar en una identificación que Lewis hace explícita entonces: p∝q=
∼(p→q), donde “∼” representa “es necesario que”.
Si la implicación estricta es un concepto formal complejo, ¿por qué tratarlo
como si fuera primitivo? La atención gira progresivamente hacia el concepto de
necesidad y su dual, la posibilidad. Al tratarse de un símbolo nuevo, no hay historial
axiomático que quepa aplicar, lo cual permite, en cierto modo, partir de cero. Los
primeros que consiguen someter el operador de necesidad a un tratamiento semántico
aceptable son Kanger, Kripke, Montague, y Hintikka en torno a 1950. Todos ellos
trabajan de forma independiente y aunque hay diferencias entre ellos, el parecido es
muy notable. El modelo que comento aquí es el de Kripke. La idea es analizar la
necesidad siguiendo la vieja inspiración manifestada por Leibniz según la cual la
necesidad se resuelve como verdad en todo mundo posible. La solución formal pasa
por incorporar en la noción de modelo la de mundo posible. Pero en la medida en que
esa noción es relacional, un mundo sólo es posible, composible, en realidad, con
430
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
respecto a algún otro, parece que también hemos de incorporar en los modelos esa
especie de relación entre mundos posibles. El par
[10]
<W,R>, donde W es un conjunto de mundos posibles wi –en principio
con tantos mundos como sea preciso- y R una relación binaria entre
mundos interpretada como “wj es accesible desde wi”, o “wj es
composible con respecto a wi”, wiRwj en símbolos,
recibe el nombre de marco. Para obtener un modelo basta adjuntar a un marco una
valuación clásica relativizada a mundos posibles. Así,
[11]
Un modelo Kripkeano es un triplo <W,R,v>, donde W y R son como
antes y v se comporta como sigue:
c 0) Si A es atómica v(A,wi)∈{V,F}
c 1) v(¬A, wi)=V syss v(¬A, wi)=F
c 2) v(A→B, wi)=V syss v(A, wi)=F ó v(B, wi)=V
c 3) v(∼A, wi)=V syss para todo mundo wj accesible desde wi (∀wj wiRwj)
sucede que v(A, wi)=V
c 4) v( A, wi)=V syss existe un mundo wj accesible desde wi (∃wj wiRwj)
para el que sucede que v(A, wi)=V.
La existencia, por vez primera, de una semántica bien motivada para el
tratamiento de la necesidad, debería verse acompañada, se pensaba, por el
descubrimiento de los principios que caracterizan la noción de necesidad. Se seguiría
de este modo el modelo la Lógica Clásica en la que los axiomas se supone que
representan la conducta semántica de las conectivas. Pero lo que se pudo comprobar
casi de inmediato fue la existencia de una interesante correspondencia entre axiomas
específicos y propiedades de la relación de accesibilidad:
431
Lógica de Enunciados
[12]
Sistemas modales normales:
1. Parte común: incluye los axiomas de la lógica de enunciados
clásica, la regla de modus ponens (MP) y la específicamente modal
de necesitación -|A ⇒ | ∼A.
2. Axiomas particulares:
K: |∼(A→B)→ ∼A→∼B
T: |∼(A→A)
4: |∼A→∼∼A
B: |A→∼ A
E: | A→∼ A.
A partir de ahí, se sabe que:
[13]
i. El axioma K es válido en cualquier clase de modelos kripkeanos.
ii. El axioma T es válido en aquellos modelos en los que R es reflexiva.
iii. El axioma 4 es válido en aquellos modelos en que R es transitiva.
iv. El axioma B es válido en aquellos modelos en que R es reflexiva.
v. El axioma E es válido en aquellos modelos en que R es de
equivalencia.
No hay, por tanto, un único sistema modal sino una auténtica pléyade de ellos,
de los que éstos son sólo una pequeñísima porción. La correspondencia entre
axiomas y propiedades de R –la relación de accesibilidad- se ha convertido, sin
embargo, en el rasgo distintivo de la Lógica modal. Este aspecto ha sido interpretado
de manera diversa. Hay quien piensa que con ello se confirma ante todo el fracaso de
estas técnicas como análisis de la noción de necesidad. Las herramientas diseñadas
carecerían de la finura suficiente para identificar el sistema que entre todos los
existentes representa las propiedades genuinas del concepto. Hay, por el contrario,
quienes ven en ello una consecuencia deseable del análisis lógico. Lo que de lejos –
432
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
léase en un sentido informal- parecía un único concepto se resuelve, una vez sometido
al análisis riguroso de la Lógica, en una familia de conceptos, o en un rasgo
compartido por una amplia colección de ellos.
Esta última lectura es la que con el tiempo parece haber logrado un mayor
apoyo gracias en parte a que los sistemas tipo Kripke, y otros igualmente aptos para el
estudio de la necesidad –pienso en la semántica de vecindades-, han mostrado una
sorprendente capacidad para estudiar nociones independientes entre sí e
independientes por supuesto de la noción de necesidad. La lista es larga. Las
nociones de pasado, futuro, etc, dando lugar a la lógica temporal; la noción de
obligación moral en la lógica deóntica; la noción de prueba en teoría de números en la
lógica de la prueba; el concepto de creencia en la lógica epistémica, etc. ¿Qué
debemos concluir, la presencia del concepto de necesidad en todas ellas, o la
existencia de un rasgo común, compartido también por la necesidad? La cuestión no
es fácil y desde luego no es éste el lugar para abundar más en ella, pero es un hecho
que cada vez con más frecuencia se oye hablar de lógicas intensionales para referirse
a todas aquellos sistemas en los que los modelos kripkeanos o variantes obtenidas a
partir de ellos aportan la estructura conceptual básica para el estudio de una
determinada noción.
Lógicas de la Relevancia. El comportamiento del condicional material ha sido siempre
objeto de fuertes críticas. Al presentar la correspondiente cláusula semántica en la
definición de su conducta bajo la noción de verdad, ya nos vimos obligados a tomar un
considerable rodeo que nos llevó primero a definir bajo qué circunstancias un
condicional es falso para establecer después –a cosa hecha- cuándo es verdadero.
Sea como fuere, es justo reconocer que esta conectiva no parece responder
excesivamente bien al significado que intuitivamente se le otorga. Sin embargo,
siempre que se intenta precisar en qué consiste la dificultad, la discusión acaba siendo
poco concluyente o mostrando más de un componente al que responsabilizar de los
defectos hallados.
433
Lógica de Enunciados
La familia de las Lógicas de la Relevancia está formada por todos aquellos
sistemas que se han propuesto para intentar paliar los defectos mostrados por el
condicional material, tal y como es tratado por la Lógica Clásica –y todas las que en
ese punto asumen sus planteamientos-, y también por otras conectivas, aunque en
mucha menor medida. El término mismo de “relevancia” hace referencia a algunas
tesis clásicas en las que sólo interviene el condicional material y que poseen un cierto
aire anómalo ligado a la mala interpretación de lo que puede ser relevante para la
obtención de una consecuencia. El caso paradigmático de falta de relevancia es el
que se aprecia en la tesis A→(B→A). Sea cual sea el medio que se emplee para
comprobar que esta fórmula es un teorema (tautología) de la Lógica Clásica de
Enunciados, siempre resulta evidente que B no interviene de forma alguna para
garantizar la verdad de al ocurrencia de A en el consecuente. B es prescindible,
irrelevante para la verdad de A. Aunque sea forzar algo la interpretación del problema,
otra forma de apreciar esta irrelevancia es interpretar el condicional material en
términos de alguna otra partícula con la que habitualmente se ve conectada. Un buen
ejemplo de lo que quiero decir lo ofrece la partícula “...es causa de...” u otras por el
estilo. Así leído, el condicional material hace inmediatamente irrelevante la fórmula B
en A→(B→A).
Esta fórmula no sino una de las muchas que a lo largo del tiempo han sido
clasificadas como paradojas del condicional. A parte de la identificación de este tipo de
paradojas, o de su clasificación en orden de importancia, lo que suele provocar mayor
polémica dentro de la comunidad relevantista es la imputación de una causa clara a
este tipo de enunciados problemáticos. De hecho, este es el motivo de muchas agrias
polémicas no del todo desconectadas de eso que se ha venido en llamar un estilo de
ciencia nacional.
El primero en tratar de eliminar algunos de los rasgos más indeseables de la
conducta del condicional material fue Lewis. Desde su punto de vista, las deficiencias
de esta conectiva se debían a la ausencia de un cierto componente de necesidad que
de hecho está presente en muchos usos ordinarios de esa partícula. El intento de
434
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
definir un condicional que incorporase ciertas dosis de necesidad no llevó realmente a
definir lógicas de la relevancia sino a fundar la Lógica Modal, esto es, la lógica de la
necesidad. El proyecto de Lewis no consiguió su objetivo al intentar mantener justo por
separado los rasgos que él creía que debían formar parte de un genuino implicador,
los aléticos del condicional material y la necesidad. De hecho, la implicación se
considera entonces como una partícula definible en los siguientes términos:
[14] A∝B=def ∼(A→B)
Tras el fallido intento de Lewis ha de pasar algún tiempo antes de que
volvamos a ver un intento convincente por caracterizar partículas que eviten las
paradojas del condicional material. El componente que se considera responsable esta
vez de sus deficiencias no es la necesidad, sino lo que se denomina desde entonces
criterio de uso. Los responsables de este nuevo impulso –entorno a 1965- son A.
Anderson y N.D. Belnap. Su idea se origina en la observación del modo en que
trabajan las derivaciones en un cierto cálculo. De hecho, su modelo inicial es el que
suministra el Cálculo de Deducción Natural. ¿En qué consiste el criterio de uso o, más
bien, su violación? Veámoslo con un ejemplo:
[15]
Demostración de A→(B→A) en DN
1. A
2. B
3. ¬A
4. A&¬A
I& 1,3
5. ¬¬A
I¬ 3-5
6. A
E¬ 5
7. B→A
I→2-6
8. A→(B→A) I→ 1-7
435
Lógica de Enunciados
Como se puede, la derivación de la ocurrencia de A en el consecuente, que
tiene lugar propiamente entre las líneas 3 a 6, no hace uso en ningún momento de la
fórmula B. Esto es lo que Anderson y Belnap entienden por un fallo de relevancia
debido a la violación del criterio de uso. Su solución pasa por adjuntar un sistema de
índices a los recursos propios de DN con el fin de bloquear derivaciones clásicamente
válidas como la anterior. Se sigue de todo esto que los sistemas de Anderson y Belnap
constituyen restricciones del cálculo clásico.
La definición de una considerable variedad de sistemas de índices distintos
junto con la ausencia de una semántica adecuada han sido las principales críticas
recibidas por este enfoque, pero no cabe duda de que la solución hallada a ha pasado
a formar parte ya del gran acervo de técnicas formales disponibles en el mercado.
El último intento de gran alcance dentro de los dominios relevantistas es el
apadrinado, entre otros, por los lógicos australianos R.Routley y R.K. Meyer. Su
propuesta es considerablemente más radical e intenta también ocuparse de otras
irrelevancias –según sus posiciones- como las que permiten sustanciar en teoremas
los principios según los cuales de una falsedad se sigue cualquier cosa y que una
verdad es consecuencia de cualquier cosa: A&¬A→B, y B→Av¬A. El criterio de uso es
poco radical desde su punto de vista haciéndose necesaria una revisión profunda de
ciertos dogmas clásicos, como la exhaustividad y la no contradicción. Para ello se
dotan de una semántica basada en la semántica kripkeana aunque con una relación
de accesibilidad ternaria. La evolución de esta propuesta ha llevado a ciertas dosis de
manierismo en los que la artificialidad está a menudo presente. En la actualidad se
puede afirmar que ha perdido algo de su impulso inicial.
El balance final del proyecto relevantista no puede hacerse aún hoy en día. Sus
principales aportaciones están demasiado recientes y quedan seguramente nuevos
episodios que considerar. Sin embargo, hay dos objetivos en la actualidad no han
encontrado la debida satisfacción. No hay un sistema característico que haya
436
Introducción a las Lógicas No-Clásicas
concentrado en torno a sí el suficiente reconocimiento, y no hay tampoco un único
móvil o criterio al que adjudicar las deficiencias atribuibles al condicional material.
Y muchas más . El número de lógicas al que he dedicado unas líneas en este capítulo
representan una porción muy reducida del dominio de las llamadas Lógicas NoClásicas. La razón de que se hayan incluido estas y no otras responde en buena
medida a su tradición y a su carácter fundamental. Todas ellas han logrado un cierto
estatus apoyado en una producción bibliográfica suficientemente extensa. Por otra
parte, no se trata de lógicas aplicadas a algún problema concreto, sino análisis
concienzudos de la consecuencia desde un punto de vista formal.
Lógicas aplicadas, o aplicaciones de la Lógica hay muchas. De entre ellas
conviene distinguir aquellas que toman como punto de partida algún sistema o entorno
de sistemas ya existente y aquellas que crean uno propio. Las lógicas temporales,
deónticas –de la obligación- epistémicas –de la creencia-, dinámicas –relativas a la
ejecución de algoritmos- guardan un parentesco bastante inmediato –cuando no son
directamente- con la Lógica modal. El operador de necesidad y el de posibilidad se
reinterpretan entonces de forma adecuada a las necesidades que surgen en cada
caso. Existen otras que directamente crean su propio modelo o paradigma, pienso en
algunas lógicas relativas a los cambios de creencias-, pero es menos frecuente verlas
prosperar. Esto sólo es posible cuando se cuenta con un fuerte sostén basado en un
prestigio previo, o en instituciones científicas con gran capacidad para imponer
tendencias.
Existen en la actualidad diversos sistemas que proponen revisiones muy
considerables de las decisiones adoptadas por la Lógica Clásica de los cuales, no
obstante, no he dicho nada. En la mayoría de los casos se trata de propuestas que
están siendo desarrolladas en la actualidad y nada garantiza que vayan a conseguir un
lugar más o menos estable dentro del panorama de las Lógicas No-Clásicas. Hay
casos de sistemas muy publicitados que, tras un periodo de gran efervescencia, han
sido olvidados quedando, en el mejor de los casos, como sistemas conocidos en
437
Lógica de Enunciados
pequeños círculos. Un caso que se parece bastante a este es el de la Lógica de
Situaciones de Barwise y Perry, que tras suscitar numerosas expectativas, atraviesa
ahora un periodo de relativo abandono. O algunas de las propuestas paraconsistentes
de Priest, en torno a las que se ha generado un trabajo sólo conocido en detalle por
pequeños núcleos de iniciados.
En la actualidad existe un intenso desarrollo en un dominio que, con mucha
generalidad, podríamos denominar como lógicas del razonamiento ordinario. El móvil
consiste en averiguar y describir los patrones formales de que hecho empleamos un
situaciones reales en las que la Lógica actúa de algún modo. Este paradigma surge en
parte gracias a la colaboración creciente entre la Lógica, la Psicología cognitiva, y la
Inteligencia Artificial. Dependiendo de la procedencia inicial del grupo observaremos el
predominio de unas herramientas u otras. Aquellos desarrollos más próximos a la
metodología tradicional de la Lógica son la Lógica de la Vaguedad, la Lógica Lineal, La
Lógica de Defectos y un cierto magma formado por las llamadas lógicas no-monótonas
al que también pertenece alguna de las anteriores. Me conformo con que estos
nombres sean conocidos y guardados para un posterior estudio, siempre que la
evolución de la disciplina lo justifique.
Orientación bibliográfica.
El tercer apartado de la bilbiografía general que acompaña a este Proyecto
está íntegramente dedicado a las Lógicas No-Clásicas. Lo mejor es dirigirse a esa
sección y consultar con el profesor en función de los intereses del alumno.
438