Download 3.1 El lenguaje de la Lógica de Primer Orden

El Lenguaje de la Lógica de Primer
Orden
Como ya se ha visto, en Lógica todo empieza en el momento en que se decide
qué constantes y qué tipo de variables se han de reconocer en la estructura de los
enunciados que forman un argumento. Esa decisión, que aquí he denominado,
regimentación lógica de la estructura, tiene un ejemplo concreto en aquella que está
asociada a la Lógica de Enunciados. Pero como ya vimos, hay argumentos, incluso
argumentos extremadamente simples, cuya aceptabilidad no parece explicable en
términos de las categorías de que dispone la Lógica de Enunciados. No obstante, las
razones que nos llevan a experimentar la certeza de estar ante un argumento correcto,
son de tipo puramente formal: soportan perfectamente bien ese experimento
consistente en reemplazar el asunto del que tratan ciertos términos por letras
correspondientes a variables. Entremos en situación con un ejemplo:
[1]
i. Todos los filántropos aman a alguien
ii. Uriah Heep no es capaz de amar a nadie,
Por tanto,
iii. Uriah Heep no es un filántropo.
Quizá podría haber buscado un ejemplo menos trivial, pero el asunto no es
ahora el grado de sofisticación que el análisis lógico puede alcanzar. De eso ya habrá
tiempo. La serie de capítulos que se inauguran en este momento tienen por objeto
explicar todo lo que afecta al modo en el cual experimentamos que el anterior
argumento es correcto en virtud de su forma. No habrá de extrañar que sigamos una
pauta muy similar a la que en su momento adoptamos para analizar el caso
enunciativo. Esto es algo que, de hecho, se apreciará en la distribución y título de los
capítulos que siguen. Nos serviremos de todas las nociones comunes que ha se han
Lógica de Primer Orden
introducido, y como es obvio, no volveré a explicar técnicas que son comunes a
cualquier investigación genuina en Lógica. Esto permitirá aligerar considerablemente
la extensión de algunos capítulos y omitir directamente otros. Me interesa, pese a
todo, marcar ese explícito paralelismo con el desarrollo seguido en el caso de LE. Esto
hará que prestemos atención, en primer lugar, a la construcción de un nuevo lenguaje
formal en el que dar acomodo a las nuevas necesidades que [1] plantea. A
continuación introduciremos los elementos semánticos que permitan definir la noción
de fórmula verdadera en ese nuevos contexto, y con ello obtener una versión
adecuada de la consecuencia semántica. El siguiente paso es la noción de prueba:
extenderemos los cálculos ya disponibles aportando reglas que controlen la conducta
de las nuevas constantes lógicas modificando el contexto general en consecuencia.
Por último, analizaremos las consecuencias de orden metateórico que todo esto tiene.
Es aquí donde podemos esperar las principales novedades ya que el proyecto al que
nos enfrentamos en esta parte del curso deja de ser trivial en muchos sentidos.
Mientras que la Lógica Clásica de Enunciados puede ser vista por muchos como una
invención, conveniente y útil, sin duda, pero producto en definitiva de un corte
convencional de nuestras habilidades formales, la discusión que nos aguarda habrá de
conducirnos a terrenos epistemológicamente menos cómodos. Tendremos que
aprender a convivir con la sorpresa que provoca la aparición de resultados
inesperados, con la existencia de limitaciones a la satisfacción de ciertas expectativas
legítimas y en definitiva, con un terreno que parece tener una forma que es posible
describir y explorar, aunque a veces desde lejos.
Empezaremos pues por identificar las categorías formales involucradas en [1]
de modo que podamos fijar una regimentación de la estructura adecuada a la hora de
explicar por qué [1] resulta correcto en virtud de su forma. La tradición aristotélica
consideraba que el fundamento de esa estructura se hallaba en la conexión de
términos universales mediante la cláusula básica S es P. Esa decisión, en torno a la
cual se desarrolla toda la teoría del silogismo categórico, sólo es capaz de representar
relaciones entre términos universales, o en un lenguaje más actual, entre propiedades.
Se puede expresar si una propiedad S se ve incluida en una propiedad P –todos los S
son P-, si su intersección no es vacía –algún S es P- , y las respectivas negaciones de
214
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
estas dos circunstancias. ¿Es posible servirse de este modelo para explicar la
corrección de [1]? Evidentemente no. Allí se habla de un individuo particular “Uriah
Heep” y no sólo de propiedades. Además, si en lugar de este nombre propio nos
sirviésemos de cualquier otro, la corrección del argumento no se vería en absoluto
afectada: los nombres propios tienen que ser considerados dentro de las categorías
formales en que se regimenta la estructura. Este problema puede considerarse menor
si se compara con otro que también está presente en ese argumento. Parece claro
que “ser un filántropo” puede ser tratado como una propiedad, como un término
universal. ¿Sucede eso mismo con “amar a alguien”? No cabe duda de que “amar a
alguien” puede ser considerado como una propiedad predicable de ciertos individuos y
no de otros. Pero si es así, “amar a nadie”, que figura en la conclusión de [1], debería
ser tratada como una propiedad distinta e independiente por completo de la primera,
decisión que sin duda es más cuestionable: parece haber partes que desempeñan
alguna función en una propiedad como esa. De hecho, lo que entendemos cuando
oponemos estas dos locuciones, es que en el caso de la primera “hay al menos un
individuo al que otro dado ama”, mientras que la segunda niega simplemente ese
hecho. Existe, por tanto, una conexión que tiene que ser reconocida, al menos cuando
ambos términos aparecen en el mismo contexto. Para que las cosas puedan ser vistas
de este modo se hace necesario conceder un cierto estatus lógico a un término como
“ama”. Lo más fácil es considerar ese verbo como una relación establecida entre dos
individuos, uno que ama, y otro que es amado. Del mismo modo que las propiedades
son poseídas o no por ciertos individuos, ciertas parejas de individuos podrían entrar o
no en ciertas relaciones. Todo parece indicar que es necesario aclarar cuál es la
conexión entre propiedades como las que son objeto de estudio por parte de la
silogística, relaciones, como éstas que sin duda aparecen en casos como el anterior, y
los individuos que poseen propiedades o entran en ciertas relaciones.
Hicieron falta 20 siglos de experiencia para romper el nudo gordiano que la
silogística había llegado a trenzar y poder disponer los elementos anteriores en un
orden totalmente distinto. El responsable de esta considerable hazaña fue, ya se ha
dicho, G. Frege y el arma utilizada en semejante combate fue, como tantas otras
veces en la historia de las ideas, un simple concepto, el de función proposicional –cfr.
215
Lógica de Primer Orden
supra cap. 1.2-. Como ya vimos al tratar la historia de este periodo crítico, una función
proposicional es un tipo especial de función cuyo dominio está formado por n-tuplas de
individuos y cuyo rango son valores de verdad. Las propiedades son relaciones donde
n=1, y esa es su única peculiaridad, al menos desde este punto de vista.
Las propiedades, así como las relaciones sostenidas entre cualquier número de
individuos caen ahora bajo una única categoría lógico-gramatical, permitiendo que
ejemplos como el anterior obtengan un tratamiento bastante natural. Pero esto no es
todo. Como ya vimos en su momento, el uso de conectivas y la discusión de su
estatus constituyó el núcleo de los esfuerzos lógicos de los estoicos, y en menor
medida, tal vez, de los megáricos. La teoría del silogismo hipotético, nombre bajo el
cual se reconoció esta doctrina formal, había quedado desconectada en la práctica de
la teoría del silogismo categórico. La discusión de la relación entre propiedades no
guardaba una conexión aparente con el modo en que los enunciados se combinan
entre sí mediante el uso de conectivas. La noción de función proposicional establece
ahora un puente entre lo que puede decirse de los individuos que forman el dominio de
esas funciones, y las conectivas, entendidas, a su vez, como modos de combinar los
valores de verdad de ciertos enunciados para dar lugar a otros valores de verdad.
Decir que S es P tiene una traducción al nuevo formato que no deja de sorprender. Es
evidente que esto es lo mismo que sostener que todo individuo que es S es P, lo cual
significa, a su vez, afirmar que para todo individuo del dominio que se considere
sucede que si el valor que arroja la función proposicional S es verdadero, entonces, el
valor que arroja para ese individuo la función proposicional P es verdadero. Las
posibilidades expresivas que se abren con ello son inmensas, y así lo entendieron
muchos de los pensadores que a principios del siglo xx se esforzaban en clarificar la
estructura formal del lenguaje que era habitual en las ciencias positivas, y en primer
término en las Matemáticas. Pero eso es otra historia.
Si intentamos expresar la estructura de [1] en términos de estas nuevas
decisiones obtendremos algo parecido a lo siguiente:
216
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
[2]
i. Para todo individuo x sucede que si x es Filántropo entonces hay al
menos un individuo y tal que x Ama a y.
ii. No hay un individuo x tal que Uriah Ama a x.
Por tanto,
iii. No es el caso que Uriah es Filántropo.
He procurado mantener la gramaticalidad en la medida de lo posible, al tiempo
que se indicaba con total claridad las categorías lógico gramaticales presentes y su
conexión. No obstante, [2] contiene aún elementos que no son relevantes desde un
punto de vista lógico. El que sea Uriah Heep el individuo escogido no hace al caso,
bien podría ser otro, uno del que nada sepamos y al cual nos refiramos mediante una
letra apropiada, sea ésta “a”. Lo mismo sucede, si prestamos atención, con la
propiedad de “ser un filántropo”. Podríamos tratar de la propiedad de “ser dextrógiro” o
de “poseer un alma inmortal”, tanto da, y lo mismo sucede con la relación que guardan
dos individuos cuando el primero ama al segundo. Elijamos, como hemos venido
haciendo, un símbolo que nos permita reconocer que esos elementos no desempeñan
ellos mismos ningún papel lógicamente destacable. En vez de escribir “x es F”, o “x
posee la propiedad F” escribiré “Fx”, y en vez de decir que “x está en la relación R con
y”, forma realmente alambicada de hablar, escribiré “Rxy”. El resultado es, entonces,
[3]
i. Para todo x (Fx → existe un y tal que Rxy)
ii. ¬ Existe un y tal que Ray
Por tanto,
iii. ¬Fa
[3] puede servir ahora perfectamente bien para determinar las categorías
presentes en la regimentación de la estructura que estamos intentando analizar. Es
evidente que si cambiamos en [3.ii], por ejemplo, la locución “existe un y tal que” por
algo distinto, supongamos que “para todo y”, la corrección del argumento se viene
abajo. Ya no nos convence como lo hacía antes. Según la metodología que hemos
venido adoptando aquí eso supone admitir entre la categoría de las constantes lógicas
217
Lógica de Primer Orden
aquella que es representada por la expresión “para todo...” y, así como aquella otra
que se representa mediante “existe un...”, o expresiones equivalentes. Esta nueva
categoría de constantes recibe el nombre de cuantores.
Lo que puede variar en [3] es mucho más que lo que podía variar cuando
estudiábamos el caso de la Lógica de Enunciados. En primer lugar, tenemos que
contar con la categoría de las relaciones n-arias. Está claro también que hay que
incluir aquí la categoría de las constantes individuales, utilizadas como nombres de
individuos. Finalmente, conviene considerar también la categoría de las variables de
individuo. Nos hemos servido de ellas para indicar entre cuántos individuos se
establece una relación, a qué individuos afecta un cuantor, etc.
Si reunimos estas decisiones como corresponde, llegamos a una regimentación
formada consistente en lo siguiente:
[4]
Regimentación lógica del lenguaje característica de la Lógica de Primer
Orden: <Cuantores, Conectivas; Variables de relación n-aria, variables
individuales, constantes individuales>.
Se trata de la regimentación más básica que cabe concebir para analizar la
estructura de argumentos como el que hemos empleado aquí de ejemplo. El lenguaje
que se establece al desarrollar simbólicamente esta regimentación recibe el nombre
de Lenguaje de Primer Orden, aunque tampoco es extraño emplear la denominación
de Lenguaje de Predicados y Relaciones. Los sistemas formales que hacen uso de
este lenguaje integran el cuerpo de la llamada Lógica de Primer Orden, o también
Lógica de Predicados y Relaciones. Al igual que sucedía con la Lógica de Enunciados,
la denominación Lógica de Primer Orden –LPO, con frecuencia- no designa
unívocamente un solo sistema, una sola forma de entender la conducta de todos sus
componentes esenciales y, por tanto, un único modo de analizar la corrección de los
argumentos que tienen esa estructura.
218
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
La categoría lógico-gramatical de los cuantores presenta problemas que, en el
fondo, no son muy distintos de aquellos que se presentaban en el caso de las
conectivas. También aquí encontramos otras partículas próximas desde un punto de
vista gramatical que la tradición ha excluido, no obstante, de la categoría de los
cuantores, al menos tal y como es habitualmente entendida. Pienso, por ejemplo, en
partículas de uso común en el discurso ordinario como pueden ser “la mayoría de...”,
“muchos...”, “pocos...”, etc. Aunque los tratamientos formales que en los últimos años
se han dado a estas partículas hacen de ellos cuantores, creo que todos podemos
aceptar que se trata de unos cuantores muy especiales: todos ellos introducen un
grado de vaguedad e indeterminación que no está presente en los que aquí hemos
considerado. ¿Podemos dar una definición de los cuantores que hemos decidido
incluir aquí razonablemente precisa que sirva para distanciarse de estos otros casos?
Así lo creo, pero antes:
[5]
Por ariedad de una relación entenderemos el número de individuos
entre los cuales se establece.
Supongamos que tenemos una relación binaria que, siguiendo la pauta ya
establecida, representamos como Rxy. Imaginemos que la función proposicional que
Rxy representa es “ser más rico que”. A continuación adjuntamos un cuantor
existencial afectando a la variable de individuo “x” dando lugar a “Existe un x Rxy”.
Cualquier lectura razonable de esa expresión conduce a pensar que aquello a lo que
se alude es a “los y para los que existe un individuo x que es más rico que aquel”.
Dicho de otra forma, esa expresión será verdadera de los individuos para los que hay
al menos otro que es más rico que él. Pero así expuesto, lo designado es una función
proposicional que asigna valores de verdad a individuos –uno-tuplas, en realidad- en
lugar de asignar valores a pares de individuos, como sucedía con la relación original
considerada. El efecto de la adjunción del cuantor “existe un...” da lugar, parece
evidente, a una función proposicional que disminuye en un grado la ariedad de la
relación sobre la cual se aplica. Queda como ejercicio considerar lo que sucede
cuando a “Existe un x Rxy” le adjuntamos otro cuantor, “para todo y”, por ejemplo,
219
Lógica de Primer Orden
dando lugar a “Para todo y existe un x Rxy”. Teniendo esto en cuenta, podemos decir
que,
[6]
Un cuantor es toda partícula capaz de disminuir en un grado la ariedad
de la función proposicional significada por la expresión a la cual se
adjunta y para el cual se cumple además lo siguiente: los valores que la
función proposicional resultante asigna a las (n-1)-tuplas puede ser
determinado en principio a partir del valor de verdad que la función
proposicional original atribuye a las n-tuplas correspondientes.
El segundo requisito, el relativo al modo en que pueden establecerse los
valores de verdad de la nueva función representada, recuerda en mucho al que
también nos vimos obligados a incluir en el caso de las conectivas. Su efecto, no es de
extrañar, es el mismo: deja a un lado partículas como “muchos”, “casi todos”, etc.
Aunque estas partículas satisfacen el mismo requisito básico que los cuantores,
digamos estándar, difícilmente cumplen el segundo. Porque, aunque sepamos los
valores de verdad que una relación Rxy atribuye a todos los pares de individuos que
constituyen su dominio, ¿cuántos son muchos?, ¿son más de la mitad, más de dos
terceras partes? Compárese lo que sucede con “todos” y “algún” –entendido como “al
menos uno”-. Este requisito común a conectivas y cuantores en sentido estándar ha
venido recibiendo el nombre de principio de composicionalidad. En cualquier caso,
esta es una denominación un tanto en desuso debido en parte al auge de las llamadas
Lógicas no-clásicas en las que partículas que parecían violar este requisito de
composicionalidad son finalmente interpretadas bajo ese principio, aunque
recurriendo, eso sí, a estructuras mucho más complejas que en los casos clásicos.
Una vez llegados hasta aquí, sólo nos queda fijar un vocabulario básico
adecuado a las categorías analizadas, y proceder, como ya hicimos en el caso la
Lógica de enunciados, a establecer el lenguaje formal correspondiente.
220
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
[7]
El vocabulario básico de la Lógica de Primer Orden viene dado por la
colección:
Vb=<{∀,∃}, {¬,&,v,→}; {x,y,z,...x1,x2,...xi,...}, {a,b,c,...a1,...a i,...},{R11, ...R1i...,
R21, ...R2i..., Ri1, ...Rii...,}>.
En lugar de elegir letras distintas para representar relaciones de distinta
ariedad he optado por usar superíndices para indicar la ariedad y subíndices para
referirnos a diferentes relaciones: Rni representaría, entonces, la i-ésima relación naria. No obstante, y si con ello se mejora la comprensión de los ejemplos, continuaré
admitiendo otras letras tal y como ya hice en [3].
Para alcanzar la definición de fórmula bien formada es conveniente introducir
antes la noción de término:
[8] Términos individuales:
c 0) Si t es una variable individual, entonces t es un término individual.
c 1) Si t es una constante individual, entonces t es un término individual.
Dado que a partir de ahora puede haber cierta ambigüedad, utilizaré la
abreviatura fbfE para referirme a una fórmula bien formada del lenguaje de la Lógica de
Enunciados, reservando fbfC para referirme a fórmulas bien formadas de la Lógica de
Primer Orden o Lógica Cuantificacional.
221
Lógica de Primer Orden
[9]
Fórmula bien formada de la Lógica de Primer Orden –fbf C -:
c 0)
Si Rn es una letra relacional n-aria y t1,..ti,...tn son términos,
entonces Rnt1,..ti,...tn es una fórmula bien formada.
c 1)
Si A es una fbfC , entonces ¬A es una fbfC .
c 2)
Si A y B son fbfs C , entonces A•B es una fbfC , donde •∈{¬,&,v,→}.
c 3)
Si A es una fbfC , entonces ΨαA es una fbfC , teniendo en cuenta
que Ψ∈{∀,∃} y que α es una variable individual en
{x,y,z,...x1,x 2,...xi,...}.
Supongo que lo esperable a continuación es definir el lenguaje LC del mismo
modo que se hizo en el caso de la Lógica de Enunciados, es decir, identificando LC
con la clase formada por todas las fbfC . Sin embargo, hay aquí un pequeño problema
que merece la pena comentar. Obsérvese que el Lenguaje de Primer Orden que
intentamos definir ha sido pensado para representar la estructura de enunciados del
lenguaje ordinario –tal vez de uno algo menos convencional como pueda ser el de las
Matemáticas.- Así, la expresión que figura en [3.i] y que en origen es un enunciado, se
representaría ahora mediante la fbfC ∀x (Fx→∃yRxy). Esa expresión representa un
enunciado. Pero según [9], una expresión como Rxy, o ∃yRxy son también fbfC ,
aunque, obviamente, no representan enunciados, sino que a lo sumo forman parte de
estos. Rxy representa una función proposicional o, de forma equivalente, una relación
formada por una serie de pares de individuos: aquellos que están en la relación R.
∃yRxy representa como ya vimos, una relación de menor ariedad, una propiedad de
individuos si queremos seguir hablando así: aquella que es poseída por todos los
individuos para los que existe otro que está en la relación R con ellos. Esta asimetría
es molesta dado que, en general, siempre desearemos que un lenguaje lógico esté
formado por expresiones capaces de representar los enunciados identificados en
ciertos argumentos, y no por otro tipo de entidades, además. Por fortuna, el problema
es muy fácil de identificar: sólo surge cuando tratamos con fbfs C en las que aparecen
variables de individuo no afectadas por ningún cuantor.
222
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
[10]
Un ocurrencia de una variable individual está libre en una fbfC sin no cae
bajo el alcance de ningún cuantor, en caso, contrario, esa ocurrencia
aparece ligada.
De acuerdo con [10] hablaremos de ocurrencias libres de una variable –
variables libres si nos permitimos confundir ocurrencias de una variable con la propia
variable- y de variables ligadas. La noción de alcance de un cuantor, puede ser
definida de forma rigurosa acudiendo a conceptos desarrollados para el lenguaje L E.
Para ello hace falta tan sólo adaptar las definiciones de conjunto de subfórmulas,
grado lógico, etc.
[11]
Por el conjunto de subfórmulas –Sbf(A) en símbolos de una fórmula A
se entenderá el menos conjunto que resulta de aplicar las siguientes
cláusulas:
c 0)
Si A=Rint1,...tn, Sbf(A)={A}
c 1)
Si A=¬B, Sbf(A)={¬B}WSbf(B)
c 2)
Si A=BoC, Sbf(A)={BoC}WSbf(B)WSbf(C), donde o∈{¬,→,&,v}
c 3)
Si A=ΨαB, Sbf(A)={ΨαB}WSbf(B), siendo Ψ un cuantor, y α una
variable en {x,y,z,...x0,...xi ,...}.
[12]
Por el grado lógico de una fbfc se entenderá el entero positivo que
resulta de aplicar la siguiente serie de cláusulas:
c 0)
Si A=Rint1,...tn, entonces gr(A)=0
c 1)
Si A=¬B, gr(A)=1+gr(B)
c 2)
Si A=BoC, gr(A)=1+gr(B)+gr(C)
c 3)
Si A=ΨαB, gr(A)=1+gr(B)
223
Lógica de Primer Orden
[13]
Una ocurrencia de una variable individual α está bajo el alcance de un
cuantor Ψ en una fórmula ΨαB syss α ocurre en alguna subfórmula de
B.
Como ocurre a menudo con este tipo de definiciones, suele ser más interesante
manejar un par de ejemplos.
[14]
Ejemplos:
i.
A=∀xRxy: x cae bajo el alcance de (∀x).
ii.
A=∀x(Rxy→Px): las dos ocurrencias de x caen bajo el alcance
de (∀x).
iii.
A=∀x(Rxy)→Px: la ocurrencia de x en Rxy cae bajo el alcance
de (∀x), pero no así la ocurrencia que figura en Px.
Las fórmulas que representan enunciados son aquellas en las que todas las
ocurrencias de cada una de las variables aparecen ligadas. Así, por fin,
[15]
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden –o Lógica Cuantificacionalconsiste en: LC ={A/ A es una fbfC cuyas variables están en todas sus
ocurrencias ligadas por cuantores}.
Quedan muchas cosas por explicar. Por ejemplo, ¿por qué Lógica de Primer
Orden? ¿Acaso hay una Lógica de Segundo Orden? Efectivamente, hay Lógica de
Segundo Orden, y en general de Orden Superior. ¿Qué importancia tiene el concepto
de orden en estos casos? La razón de que se introduzca este distingo tiene que ver
con la existencia de enunciados bien conocidos en los que aparecen cuantores que
parecen predicarse de relaciones n-arias y no de individuos de un cierto dominio.
Veámoslo:
224
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
[16]
i. Principio de identidad de los Indiscernibles: Cualesquiera dos
particulares son el mismo individuo syss comparten los mismos
atributos.
ii. Principio de Inducción: Una clase infinita enumerable de objetos
posee una propiedad syss es posible mostrar que el primer elemento de
esa clase la posee y que si un elemento en esa clase posee esa
propiedad entonces el siguiente bajo un cierto orden también la posee.
Si se omite esa extraña mención a atributos o propiedades que nos son
desconocidos, parece evidente que el resto de la arquitectura de estos ejemplos se
reduce al aparato formal disponible en LC . La formalización propuesta para estos
ejemplos obliga a considerar variables para referirnos a cualesquiera propiedades o
relaciones del modo que se indica a continuación:
[17]
i. Formalización del Principio de Identidad de los Indiscernibles:
-∀x∀x(x=y ↔ ∀X(Xx↔Xy))
ii. Formalización del Principio de Inducción:
-
∀X[(X0 & ∀y(Xy→X(y’))→∀xXx), donde y’ representa al
siguiente elemento a y bajo el orden propuesto.
Determinar si un cierto principio puede ser expresado mediante una fórmula en LC , o si
por el contrario sólo obtiene una correcta traducción en algún tipo de Lógica de Orden
Superior, puede llegar a ser, según los casos, un asunto de la máxima relevancia
epistemológica. Por ahora dejaré el problema aquí, es decir, en la constatación de la
existencia de lenguajes que admiten cuantificación sobre variables que representan
relaciones n-arias, y en la continuación de una jerarquía ascendente que permite
formulaciones cada vez más complejas.
225
Lógica de Primer Orden
Sí quiero hacer notar, no obstante, la costumbre que algunos autores tienen de
introducir dentro del formato del lenguaje LC algunos símbolos especiales o algunas
categorías lógico-gramaticales que no aparecen aquí, pero de los que he hecho uso,
por ejemplo, en la expresión de los principios anteriores. Entre estas últimas, se
encuentran, por ejemplo, los símbolos funcionales. Entre los primeros, cabe mencionar
la incorporación, como elemento destacado, de la identidad “=”, o ciertos símbolos
funcionales, como “+” o “x”, o incluso constantes de individuo que designan
rígidamente a un individuo concreto del dominio, “0”, por ejemplo. La tendencia actual
es a considerar todas estas opciones como aplicaciones del Lenguaje de la Lógica de
Primer Orden en la expresión de Teorías particulares de Primer Orden: la teoría de la
identidad, la Aritmética elemental, etc.
El uso de la Lógica de Primer como herramienta en el tratamiento de
problemas en disciplinas distintas de la Lógica misma ha conocido tiempos mejores.
Aquella pretensión según la cual la Lógica puede actuar como tribunal último en
asuntos de enfrentamiento legítimo entre teorías no es hoy una posición sostenible. Ni
siquiera se puede aceptar, sin contraer altísimas deudas, que el lenguaje de la Lógica
de Primer Orden, LC , sirva realmente para clarificar el sentido último de cualesquiera
enunciados ambiguos del discurso ordinario. Todo ello representa parte de las
posiciones que en su día sostuviera el denso entramado de autores y doctrinas que se
conocen bajo el rótulo de positivismo lógico. Aunque poco de esto queda en la
actualidad, aún es posible apreciar algo de su influencia en la atención que en los
cursos introductorios de Lógica se presta a la traducción de enunciados del lenguaje
natural al lenguaje LC . De mis palabras se desprende claramente mi escepticismo ante
el valor que en la actualidad pueda tener este tipo de trabajo. No quiero decir que LC
no tenga ya un uso legítimo en el tratamiento de ciertos problemas, sino que no creo
que ese posible rendimiento se obtenga, prima facie, a través de la traducción directa,
sin otras mediaciones, de oraciones del discurso ordinario. En cualquier caso, evitaré
violentar en exceso la tradición y discutiré algún ejemplo para mostrar el procedimiento
general y plantar algún matiz que sí considero de mayor interés.
226
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
[18]
Ejemplo: “Ningún alumno se matricula en las asignaturas de un profesor
al que no estima. Ningún alumno estima a un profesor que no sepa enseñarse
a sí mismo. En consecuencia, si López es un profesor que no sabe enseñar a
nadie ningún alumno querrá matricularse en sus asignaturas.”
Glosario:
Ax: x es alumno.
Mxy: x se matricula en las asignaturas de y
Px: x es profesor
Sxy: x estima a y
Exy: x enseña a y
L: López.
1. ¬∃x [Ax & ∃y ((Py&¬Sxy)&Mxy))]
2. ¬∃x [Ax & ∃y ((Py&¬Eyy)&Sxy))]
Conclusión:
(Pl & ∀x¬Clx)→¬∃x(Ax & Mxl)
Este ejemplo ilustra claramente el modo de actuar que ha de seguirse en
general a la hora de enfrentarse a una traducción. El primer paso consiste,
simplemente, en identificar la serie de premisas y separarlas de la conclusión. Esta
última puede estar separada por construcciones de muy género que, en cualquier
caso, siempre han de contener algún tipo de locución de tipo consecutivo. La única
excepción son las preguntas. En ocasiones se puede preguntar directamente si un
cierto enunciado se sigue o no de la información suministrada, pero es obvio que esto
se incluye en el caso general. Por lo que respecta a la estructura de LC , lo que procede
en primer lugar, es identificar lo que aquí se denomina glosario. El glosario contiene
todas las letras relacionales que traducen elementos lógicamente relevantes en los
enunciados del argumento. Establecer una correcta identificación de estos elementos,
su tipo, su variedad, etc, determina fuertemente el curso de un ejercicio de traducción.
Una vez hecho esto, se procede con cada enunciado de forma separada. Lo primero
227
Lógica de Primer Orden
que hay que hacer entonces es localizar la constante lógica principal, que como se
puede ver por la conclusión, no tiene por qué ser un cuantor. El resto es pura práctica.
Una de las consecuencias más evidentes de tratar con LC como herramienta de
traducción es la constatación de una cierta prevalencia del tipo de estructuras básicas
que en su día fueran identificadas por Arsitóteles. En el momento en que se identifica
un cuantor universal sabemos que la subfórmula A sobre la cual actúa tiene como
conectiva principal, si A no es ella misma atómica, un condicional. En ocasiones puede
resultar difícil imaginar otra cosa. Algo enteramente similar sucede en el caso del
cuantor existencial, solo que en este caso la conectiva principal es una conjunción.
Esto no supone que el resto de las combinaciones no den lugar a fórmulas bien
formadas, sino que su presencia en el discurso ordinario, y de hecho, en nuestra
estructura psicolingüística no se manifiesta con la misma intensidad que lo hacen otras
estructuras básicas. Lo notable del caso es que estas estructuras resultan ser ahora
formas no primitivas, como en el caso aristotélico, sino elementos de cierta
complejidad que entran en una gran variedad de oposiciones con otro tipo de
estructuras no menos legítimas. Estas estructuras básicas podrían representarse
como algo del tipo ∀x(B→C) y ∃x(B&C).
Otro problema, de menor envergadura que el anterior, es el que afecta a la
determinación del contexto de uso de una variable. Debe quedar claro que este es el
que viene dado por los límites del enunciado. En el ejercicio anterior, la primera y la
segunda premisas tienen una estructura muy similar. De hecho, coinciden en el uso de
las mismas variables asociadas a las mismas letras relacionales. Sin embargo, nada
hubiera cambiado si la premisa 2 hubiera tenido, por ejemplo, la siguiente forma:
¬∃y[Ay & ∃x ((Px&¬Exx)&Syx))]. De hecho, las dos fórmulas siguientes ∃xA y ∃yA
traducen uno y el mismo enunciado: hay algo tal que A es el caso. En ocasiones
cuesta entender este punto porque se tiene a tratar a las variables individuales como
una entidad a medio camino entre una genuina variable y una constante individual.
Rxy sería así algo distinto a Rzw. Sólo en el contexto de uno y el mismo enunciado
tiene importancia el uso de una variable u otra ya que es ese uso el que permite que
228
El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
expresemos conexiones entre individuos o variedad. Afirmar ∃x∃y Rxy es
esencialmente distinto de afirmar que ∃x∃xRxx, lo cual es además redundante desde
un punto de vista lingüístico.
El uso de LC como herramienta para el análisis del lenguaje suscita problemas
que como puede verse, devuelve la atención a la propia Lógica, restando así valor a
su consideración como herramienta para la clarificación de ciertas expresiones del
discurso ordinario.
229
Lógica de Primer Orden
Orientación Bibliográfica.
[Quesada, 1985] cap. 4 contiene una presentación típica de la estructura
lógico-gramatical de la Lógica de Primer Orden y lo mismo cabe decir de
[Nepomuceno, 1995], secc. 3. La presentación más afín en cuanto a simbolismo y
técnicas es la de [Badesa, Jané y Jansana, 1998], cap. 12.
El cap. III de [Hilbert y Ackermann, 1962] contiene una notable exposición de
las motivaciones de este formalismo. También [Bell y Machover, 1977] en cap.1 ,
secc. 2 ofrece una interesante justificación de este tipo de lenguaje, pero su lectura
habría de tutelarse ya que es un texto difícil en un primer curso.
El cap. V de [Falguera y Martínez Vidal, 1999] contiene un análisis razonable
de la capacidad expresiva del lenguaje de la Lógica de Primer Orden. Como es
habitual, proponen muchos problemas interesantes de resolver.
230