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TRIÁNGULO:
Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos
es 180º, Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es
a<b+c
b<a+c
c<a+b
De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que el tercero.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
a. Según sus lados tenemos:
Triángulos equiláteros: Es aquel en el que los tres lados
son iguales
Triángulos isósceles: Es aquel que tiene dos lados son
iguales y el tercero es desigual
Triángulo escaleno: Es aquel que tiene los tres lados son
desiguales
b. Según sus ángulos:
Acutángulo: Es aquel en el que los tres ángulos son
agudos
Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto (90º).
Obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios. Los elementos primarios
corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores, los elementos
secundarios corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y
mediana.
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ELEMENTOS PRIMARIOS DE UN TRIÁNGULO
a. Vértices Son los puntos de origen de los segmentos. Se nombran con tetras
mayúsculas: A, B, C ... Z
b. Lados: Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus
extremos coronadas por un pequeño trazo:
— — —
— —
AB, BC, CA, ... XY, YZ
o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice
opuesto (A, B, C).
c. Ángulos interiores: Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del
triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra
griega ubicada entre los lados del ángulo.
d. Ángulos exteriores: Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la
prolongación de otro hacia la región exterior. Se nombran generalmente por la letra
del ángulo interior adyacente con un subíndice.
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
a. Alturas: Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a
un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra
h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.
Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).
El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).
El lado y su altura forman un ángulo de 90º.
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b. Bisectrices: Es la recta que divide un ángulo en su mitad, un triángulo tiene 3
bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra y un
subíndice que señala el respectivo ángulo interior.
El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro.
c. Simetrales o Mediatrices: Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los
lados del triángulo en su punto medio.
Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La
circunferencia pasa por los tres vértices.
Siempre debe tenerse en cuenta que: Si existe una simetral, existe un ángulo recto y
un punto medio.
d. Transversales de gravedad Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto
medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por
cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado
(ta, tb, tc ).
El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa
con la letra G.
e. Medianas: Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados
del triángulo, de dos en dos. La mediana se designa con la letra m y un subíndice que
indica el lado sobre el cual se proyecta.
La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.
FD = ½ AC;
DE = ½ AB; EF = ½ CB
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Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos
congruentes.
CONGRUENCIA
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si al
colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales:
La notación de que un triángulo es congruente con otro lo anotamos  ABC   A’B’C’
Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes:
CRITERIO
ANGULO - LADO - ANGULO (A. L .A)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos
adyacentes a él:
 A =  A’
AB = A’B’
 B =  B’
C

C’

A
’
B
’
A’
B’
CRITERIO LADO - ANGULO - LADO (L . A .L)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
comprendido entre ellos:
C

A
AC = A’C’
  =  ’
AB = A’B’

B
C’
’
A’
’
B’
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CRITERIO
LADO - LADO - LADO
(L. L. L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales:
C

A
AC = A’C’
BC = B’C’
AB = A’B’

C’

’
’
B
A’
’
B’
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1 La relación de clientes hombres a clientes mujeres que visitan un restaurante
criollo del Perú diariamente es de 4 a 5. Si en este momento hay 20 clientes mujeres.
¿Cuántos clientes varones hay en el restaurante?
SOLUCIÓN: Sean los clientes varones = X Sean las clientes mujeres = Y Entonces podemos
establecer la siguiente relación: X / Y = 4 / 5, es decir, X es a Y como 4 es a 5. Si en este
momento hay 20 clientes mujeres, entonces la relación se establece así: X / 20 = 4 / 5
De donde despejando X y tenemos que: X = (20 * 4) / 5 Efectuando obtenemos X = 16, es
decir hay 16 clientes varones.
PROBLEMA 2 La edad de dos clientes habituales de un restaurante de pescados y mariscos
del Callao, están en la relación de 9 a 5. Si la edad del cliente mayor es 63 años. ¿Cuál es la
edad del otro cliente?
SOLUCIÓN Sea el cliente mayor = X Sea el cliente menor = Y Entonces podemos establecer
la siguiente relación: X / Y = 9 / 5, es decir, X es a Y como 9 es a 5. Si el cliente mayor tiene
63 años, entonces la relación se establece así: 63 / Y = 9 / 5 De donde despejando Y,
tenemos que: Y = (63 * 5) / 9 Efectuando obtenemos Y = 35, es decir el cliente menor tiene
35 años.
PROBLEMA 3 En un campeonato deportivo realizado en el Perú, la razón de partidos
ganados a partidos perdidos del equipo favorito es 6:4. Si en total se jugaron 20 partidos.
¿Cuántos partido ganó? ¿Cuántos perdió?
SOLUCIÓN Sean los partidos ganados = X Sean los partidos perdidos = Y Entonces
podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 6/ 4, es decir, X es a Y como 6 es a 4. Si se
jugaron un total de 20 partidos, entonces la relación se establece así: X / 20 - X = 6 / 4 De
donde despejando tenemos que: 4X = 6(20 - X) Efectuando obtenemos: 4X = 120 - 6X
Transponiendo términos obtenemos: 4X + 6X = 120 Efectuando obtenemos: 10X = 120, de
donde X = 120 / 10, es decir X = 12. Entonces el equipo favorito ganó 12 partidos y perdió 8.
PROBLEMA 4 En un restaurante de Arequipa la tarifa diaria de los mozos Alberto y Felipe es
5/6. Si la tarifa de Alberto es S/. 20.00 soles. ¿Cuál es la tarifa de Felipe? Si ambos trabajaron
durante 5 días, ¿Cuánto recibirá cada uno por los días trabajados?
SOLUCIÓN Sea el mozo Alberto = X Sea el mozo Felipe = Y Entonces podemos establecer la
siguiente relación: X / Y = 5 / 6, es decir, X es a Y como 5 es a 6. Si la tarifa de Alberto es S/.
20.00 soles, entonces la relación se establece así: 20 / Y = 5 / 6 De donde despejando Y,
tenemos que: Y = (20 * 6) / 5 Efectuando obtenemos Y = 24, es decir la tarifa de Felipe es
S/. 24.00 soles. Si ambos trabajaron durante cinco días, entonces: Alberto recibirá: S/. 20.00
* 5 días = S/. 100.00 soles. Felipe recibirá: S/. 24.00 * 5 días = S/. 120.00 soles.
PROBLEMA 5 Las ventas de papa a la huancaína y de ocopa arequipeña, dos platos típicos
del Perú, están en una relación de 2 a 3. Si las ventas de papa a la huancaína fueron de S/.
1,520.00 soles. ¿Cuál fue la venta de la ocopa arequipeña?
SOLUCIÓN Sean las ventas de papa a la huancaína = X Sean las ventas de ocopa
arequipeña = Y Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 2 / 3, es decir, X
es a Y como 2 es a 3. Si las ventas de papa a la huancaína fueron S/. 1,520.00 soles,
entonces la relación se establece así: 1520 / Y = 2 / 3 De donde despejando Y, tenemos que:
Y = (1520 * 3 ) / 2 Efectuando obtenemos Y = 2,280, es decir las ventas de ocopa
arequipeña fueron S/. 2,280.00 soles.
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA1 En un restaurante limeño la tarifa diaria de los mozos Alberto y Felipe están en
una relación de 5/6. Si la tarifa de Alberto es S/. 20.00. ¿Cuál es la tarifa de Felipe?. Si ambos
trabajaron durante 5 días, ¿Cuánto sería el total que cada uno recibiría? Rpta. La tarifa de
Felipe es: S/. 24.00Alberto recibía en total: S/. 100.00 y Felipe recibiría en total: S/. 120.00
PROBLEMA2 La tarifa diaria de dos anfitrionas: Mercedes y Luisa son entre sí como 2 es a
17. Si la tarifa de Mercedes es S/. 14.00. ¿Cuál será la tarifa de Luisa? Rpta. La tarifa de
Luisa es: S/. 199.00
PROBLEMA 3 El mayor de dos mozos de un restaurante limeño tiene 42 años y la relación
entre sus edades es de 5 a 7. Hallar la edad del otro mozo. Rpta. El otro mozo tiene: 30
años.
PROBLEMA 4La razón entre el largo y el ancho del área de una cocina es 3:2. Si el largo es
de 15 mts. ¿Cuál es el ancho?. Rpta. El ancho es: 10 mts.
PROBLEMA 5 En un bar la razón de mujeres que toman un pisco sour o una algarrobina es
de 3:4. Si en el bar hay 35 clientes mujeres, ¿Cuántas de ellas toman un pisco sour?. Si cada
pisco sour cuesta S/. 12.00, ¿Cuánto fueron los ingresos del día por la venta de pisco sour a
las clientes mujeres?. Rpta. 15 clientes mujeres toman un pisco sour. Las ventas del día
fueron de: S/. 180.00