Download guia nº 3 de taller de geometria

NOMBRE:………………………………………………………………………………….
CURSO:……………
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sus lados
Escaleno: tiene sus tres lados de distinta
medida
Isósceles: Tiene dos lados de igual medida
Equilátero: Tiene sus tres lados de igual
medida
Según sus ángulos
Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos
Rectángulo: tiene un ángulo recto
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso
Observación: En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al
lado distinto se le llama base.
ANGULOS EN TRIÁNGULOS
Teoremas:
 La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180º.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360º

La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
Altura de un triángulo:
Es la perpendicular bajada desde el vértice, al lado opuesto. Las alturas de un
triángulo se designan por ha , hb y hc siendo ha la perpendicular bajada desde el vértice
A, al lado a; hc la perpendicular bajada desde el vértice C, al lado c.
Las alturas de un triángulo se cortan siempre en un mismo punto que se llama
ORTOCENTRO y se designa con la letra H.
En el triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, debido a
que el lado a coincide con la altura hb y el lado b coincide con la altura ha .
En un triángulo obtusángulo el ortocentro H queda fuera del triángulo, en la prolongación
de la altura correspondiente al ángulo obtuso y por el lado del vértice.
En un triángulo equilátero, las 3 alturas son iguales y coinciden con las transversales de
gravedad correspondiente.
Bisectriz de un ángulo:
Es la recta que lo divide en dos partes iguales. Las 3 bisectrices correspondientes a los
3 ángulos interiores, de un triángulo se designan por b , b y b siendo b la que
divide el ángulo
 en dos partes iguales, b la recta que divide en 2 partes iguales al
ángulo  etc.
Las bisectrices de los 3 ángulos interiores de un triángulo se cortan siempre en un
mismo punto, que equidista de los lados del triángulo (está a igual distancia de los 3 lados).
Este punto, que se designa con la letra O, es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo. La distancia de este punto, a cualquiera de los tres lados del triángulo es el radio
de la circunferencia y se designa con la letra  .
Recuerde que toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto
de contacto.
En un triángulo cualquiera no tiene por qué coincidir el punto en que la bisectriz toca
al lado opuesto, con el punto de tangencia de la circunferencia inscrita.
En un triángulo equilátero esos puntos coinciden porque la bisectriz se confunde con la
transversal de gravedad y con la altura, coincidiendo, por lo tanto, el centro de la
circunferencia inscrita O con el centro de gravedad G y con el ortocentro H.
En el triángulo equilátero, además, las 3 bisectrices son del mismo tamaño. En un
triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos basales son de igual magnitud.
En el triángulo isósceles la bisectriz del ángulo del vértice, coincide con la altura y la
transversal de gravedad de ese vértice, es decir, coinciden t c , hc y b .
Circunferencia exinscrita:
Se llama circunferencia exinscrita a un triángulo, aquella que es tangente a uno de sus
lados y a las prolongaciones de los otros dos. El centro de la circunferencia exinscrita se
obtiene trazando dos bisectrices exteriores y la interior no adyacente.
Este centro se designa como Oa , Ob u Oc ; según que la circunferencia sea tangente
exteriormente, al lado a, b ó c del triángulo. Los radios correspondientes se designan por
a , b y c .
Los radios de tangencia son siempre perpendiculares a los lados, en el punto de
tangencia.
Simetral de un trazo:
Es la perpendicular levantada en su punto medio
Las simetrales de los 3 lados de un triángulo se designan como s a , sb y sc siendo
s a la perpendicular en el punto medio del lado a; sb es la perpendicular en el punto
medio del lado b y sc la perpendicular en el punto medio del lado c.
Las 3 simetrales de un triángulo se cortan siempre en un mismo punto, que se designa
con la letra O, y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Este punto, por lo
tanto, equidista de los 3 vértices del triángulo.
La distancia de O a los vértices es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo
y se designa por r.
En el triángulo equilátero, las 3 simetrales son iguales y coinciden con las 3 rectas
notables: transversales de gravedad, alturas y bisectrices. Coinciden, por lo tanto, en este
triángulo el centro de gravedad G con el ortocentro H, con el centro O de la circunferencia
circunscrita.
Resumen:
Se laman rectas notables de un triángulo a las:

Transversales de gravedad: t a , t b , t c

Alturas: ha , hb , hc

Bisectrices: b , b , b

Simetrales: s a , sb , sc
y
Se llaman puntos singulares del triángulo a los puntos en que se cortan las rectas notables.




G = Centro de Gravedad
H = Ortocentro
O = Centro de la circunferencia inscrita, y
O = Centro de la circunferencia circunscrita
Transversal de gravedad:
Es el, segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto en
donde se intersectan las transversales de gravedad (G) se denomina Centro de Gravedad,
Centroide o Baricentro. Este punto divide a las transversales de gravedad en la razón 2: 1,
partiendo desde el vértice hacia el lado opuesto.
Según lo anterior, la razón entre los segmentos de las transversales de gravedad es.
AG  2GB
GQ GR GP 1



AG BG CG 2
BG  2GR
x
y
z 1



2x 2 y 2z 2
CG  2GP
Medianas:
Las medianas son segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.
Sean P , Q y R puntos medios de los lados respectivos, entonces:



1
AB
2
1
BC // PR y se cumple que PR  BC
2
1
AC // PQ y se cumple que PQ  AC
2
AB // RQ y se cumple que RQ 
En resumen, la medida de la mediana corresponde a la mitad de la medida del lado opuesto,
por último, cada mediana es paralela a su lado opuesto.
Nota: al trazar las medianas, los triángulos que se forman son congruentes entre sí y
semejantes al triángulo original.
Generalidades de un triángulo cualquiera:
Sean ha , hb y hc alturas del triángulo, y a, b y c los lados del triángulo, tenemos los
siguientes conceptos que se obtienen con operaciones entre los elementos:

Área(A):
El área de un triángulo, que es la medida de su superficie, está dada por el
semiproducto de la base (lado9 por su altura correspondiente.

Perímetro(P):
El perímetro es la longitud del triángulo y corresponde a la suma de las medidas de
todos los lados del triángulo.

Teorema de Herón:
Este teorema permite calcular el área de un triángulo cualquiera sólo conociendo los
tres lados de él.
Área=
s  s  a   s  b   s  c 
Donde p es el perímetro del triángulo.
con:
s
abc P
(semiperímetro)

2
2
Teoremas sobre triángulos rectángulos:

Teorema de Pitágoras (particular):
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la
hipotenusa al cuadrado.

Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el Teorema de
Pitágoras.
a) 3k ,4k y 5k ; con k   Ejemplo: Si k= 2 entonces el trío queda
expresado por 3  2,4  2 y 5  2 de donde se obtienes el trío pitagórico:
6, 8 y 10
b)
5  k ,12  k y 13  k ; con k   Ejemplo: Si k= 2 entonces el trío
queda expresado por 5  1,12  1 y 13  1 , se obtiene finalmente el trío
pitagórico 5, 12 y 13.


Teorema de Euclides
a2  c  q
2
b) b  c  p
2
c) hc = p  q
a b
d) hc 
c
a)

Área de un triángulo rectángulo cualquiera:

Triángulo rectángulo y transversal e gravedad:
Si M es punto medio del segmento AB, entonces: AM  MB  MC
Triángulo equilátero:
Un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados de igual medida
Características:
a) AB  BC  AC  a
b) Ángulos iguales a 60º cada uno
c) Las transversales de gravedad,
alturas, bisectrices y simetrales
trazadas de cada vértice son una
misma recta.
t a  ha  sa  ba
t b  hb  sb  bb
t c  hc  sc  bc
d) AM  MB donde M punto
medio
lado
a
 3  3
2
2
2

lado
a2
Área


3

 3
f)
4
4
e) Áltura 
g) Radio de la circunferencia inscrita
(r):
lado
a
 3  3
3
6
h) Radio de la circunferencia
circunscrita (R):
lado
a
 3  3
3
3
Triángulo Isósceles:
Un triángulo isósceles es aquel que tiene
dos lados iguales.
Características:
a. AC  BC y AB : Base
b.    :ángulos basales y  :
ángulo del vértice
c. La altura, bisectriz, Simetral y
transversal de gravedad trazadas
desde el vértice del ángulo distinto
o trazadas a la base, son una
misma recta. Para los otros
vértices y lados no ocurre lo
mismo.
hc  t c  b  sc  CM
AM  MB y M: Punto medio
de AB