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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
MISIÓN
Formar profesionales altamente capacitados, desarrollar investigación
y realizar actividades de extensión en Matemáticas y Computación,
así como en sus diversas aplicaciones.
ÁLGEBRA SUPERIOR II
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
OBJETIVO
Formar profesionales capaces de propiciar a través de herramientas
matemáticas el desarrollo de la ciencia y la tecnología así como de
participar en el desarrollo académico de la matemática con el fin de
contribuir a la resolución de problemas que requieran del empleo de
procesos matemáticos, a la elaboración y/o aplicación de modelos
matemáticos y al enriquecimiento de la cultura, todo esto en los
ámbitos académico, industrial y de servicios.
ÁLGEBRA SUPERIOR II
Horas:
Créditos:
Clave:
Hrs/sem:
67.5 T
9
AG-02
4.5
DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA:
En el presente curso estudiaremos ejemplos particulares de campos como los números
complejos y de anillos como los números enteros, los polinomios y las matrices.
Se construirá el campo de los números complejos y se demostrarán las principales
propiedades que tienen estos números. Se demostrarán los resultados fundamentales de la
divisibilidad en los enteros. Los polinomios y las matrices no sólo se manejarán de manera
mecánica, sino que se estudiarán desde un punto de vista más teórico y formal.
Para lograr los objetivos del presente curso, se requiere de mucha participación del alumno
tanto dentro como fuera del salón de clase, misma que será fomentada mediante discusiones
dirigidas en el salón y tareas extraclase.
OBJETIVOS:
1. Comprender mediante definiciones y ejemplos, los conceptos de grupos, anillos, campos y
dominios enteros; y demostrar las propiedades más elementales de estas estructuras
algebraicas.
2. Demostrar y manejar los resultados fundamentales de la divisibilidad en el anillo de los
números enteros.
3. Demostrar y manejar las propiedades básicas de las operaciones de los números
complejos.
4. Demostrar y manejar las propiedades fundamentales de los polinomios y de sus
operaciones.
5. Demostrar y manejar las propiedades fundamentales de las matrices y de sus operaciones.
CONTENIDO:
Unidad I. Estructuras algebraicas.
Objetivo: Conocer los ejemplos más utilizados de grupos, anillos, dominios enteros y campos y
demostrar las propiedades más elementales de estas estructuras algebraicas.
1.1. Grupos.
1.2. Anillos.
1.3. Dominios enteros.
1.4. Campos.
Unidad II. Divisibilidad.
Objetivo: Demostrar y manejar los resultados fundamentales de la divisibilidad en el anillo de
los números enteros y aplicarlos en las resoluciones de las ecuaciones diofantinas y las
congruencias módulo m.
2.1. Definición de divisibilidad y propiedades fundamentales.
2.2. Algoritmo de la división.
2.3. Máximo común divisor.
2.3.1. Definición.
2.3.2. Definiciones equivalentes.
2.3.3. Primos relativos y sus propiedades básicas relacionadas con la divisibilidad.
2.3.4. Algoritmo euclidiano.
2
2.4. Mínimo común múltiplo.
2.4.1. Definición.
2.4.2. El teorema que relaciona el máximo común divisor con el mínimo común
múltiplo.
2.5. Ecuaciones diofantinas.
2.5.1. Definición.
2.5.2. La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diofantina tenga
solución en los enteros.
2.5.3. El conjunto de soluciones enteras de una ecuación diofantina.
2.6. Factorización única.
2.6.1. Definición de número primo.
2.6.2. Teorema de factorización única.
2.6.3. Fórmulas para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
2.7. Congruencias.
2.7.1. Definición y propiedades.
2.7.2. Solución de una congruencia lineal.
Unidad III. Números complejos.
Objetivo: Construir el campo de los números complejos. Demostrar propiedades del conjugado
y el módulo. Deducir las fórmulas para hallar potencias y raíces de números complejos.
3.1. Construcción del campo de los números complejos.
3.2. Propiedades del conjugado y del módulo de un número complejo.
3.3. Potencias y raíces de números complejos.
3.3.1. Teorema de De Moivre.
3.3.2. Raíces de números complejos.
Unidad IV. Polinomios.
Objetivo: Demostrar y manejar las propiedades fundamentales de los polinomios con
coeficientes complejos y de sus operaciones, en particular aquellas relacionadas con la
multiplicidad y el cálculo de sus raíces.
4.1. El anillo de los polinomios.
4.1.1. Construcción del anillo de los polinomios.
4.1.2. Algoritmo de la división.
4.1.3. División sintética.
4.2. Raíces de polinomios.
4.2.1. Teorema del residuo.
4.2.2. Polinomios de segundo grado.
4.2.3. Teorema de factorización única.
4.2.4. Teorema de las raíces racionales.
4.2.5. Fórmulas de Vieta.
4.3. Raíces múltiples.
4.3.1. Definición de la multiplicidad de una raíz.
4.3.2. Relación entre derivadas y multiplicidad.
4.3.3. Polinomios con coeficientes reales.
4.3.4. El máximo común divisor y la multiplicidad.
Unidad V. Matrices.
Objetivo: Conocerá los diferentes tipos de matrices con entradas reales o complejas y
manejará las propiedades de las matrices y de sus operaciones. Estudiar las matrices
invertibles tanto en forma conceptual como calculativa.
5.1. Conceptos básicos.
5.1.1. Matriz, igualdad de matrices, submatriz, traza de una matriz.
5.1.2. Matrices nula, identidad, diagonal y triangular.
5.2. El anillo de matrices.
5.2.1. Construcción del anillo de las matrices.
5.2.2. Transpuesta de una matriz. Matrices simétrica, antisimétrica y hermitiana.
5.2.3. Matrices idempotentes y nilpotentes.
5.3. Matrices invertibles.
3
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
Definición.
Propiedades.
Método de Gauss-Jordan.
REQUISITOS ACADÉMICOS:
Álgebra Superior I.
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA:
Conferencia, interrogatorio, lluvia de ideas, resolución de ejercicios, demostración.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
Habrá exámenes parciales y otras actividades (tareas extraclase, exámenes sorpresa,
exposiciones, etc.) durante el período de clases.
Se obtiene un promedio final utilizando el siguiente criterio:
80%
20%
del promedio de los exámenes parciales
de las actividades
El examen ordinario se exenta con un promedio final mayor o igual a 85. En caso de no
exentar, la calificación final será el 60% del promedio final y el 40% del examen ordinario.
BIBLIOGRAFÍA:
1. Andreescu, T. & Andrica, D. (2006). Complex Numbers from A to … Z. Birkhäuser, Boston.
2. Anton, H. (2008). Introducción al Álgebra Lineal. (4a ed.). Limusa, México.
3. Ash, R. B. (1998). A Primer of Abstract Mathematics. The Mathematical Association of
America.
4. Bravo Mójica, Rincón Mejía & Rincón Orta. (2006). Álgebra Superior. Facultad de Ciencias,
UNAM.
5. Bru, R. (2001). Álgebra Lineal. Alfaomega.
6. Cárdenas, Lluis, Raggi & Tomas. (1990). Álgebra Superior. México: Trillas.
7. Chartrand, P. & Zhang. (2003). Mathematical Proofs. A Transition to Advanced
Mathematics. Addison Wesley.
8. Churchill, R. & Brown, J. (2003). Complex Variables and Applications. (7th ed.). McGrawHill.
9. Guerrero, E. & Pérez, E. (2010). Álgebra Abstracta. Universidad Autónoma de Yucatán.
10. Lehmann, C. H. (1993). Álgebra. Limusa.
11. Mattson, H.F. Jr. (1993). Discrete Mathematics with Applications. John Wiley & Sons.
12. Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
13. Nakos, G. & Joyner, D. (1999). Álgebra Lineal con Aplicaciones. Internacional Thomson
Editores.
14. Nicholson W. K. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4a ed.). McGraw-Hill.
15. Pita-Ruiz, C. (1991). Álgebra Lineal. México. Mc Graw Hill.
16. Scheinerman, E. (2001). Matemáticas Discretas. Thomson Learning.
17. Williams, G. (2001). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª. ed.). McGraw-Hill, México.
18. Wallace, D.A.R. (2001). Groups, Rings and Fields, Springer.
PERFIL PROFESIOGRÁFICO:
4
Licenciado en Matemáticas o Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas, preferentemente
con posgrado y experiencia docente, de investigación o de trabajo en el área.
Modificación: L.M. Irma Noemí Trejo y Canché.
Fecha de modificación: 4 de enero de 2012.
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