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SIGMA
SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS
EL POSTULADO DE BERTRAND
Juan Carlos Peral Alonso (*)
El objetivo de este artículo es presentar brevemente algunos resultados y conjeturas sobre la Teoría
de los Números, para centrarse de una manera especial en el famoso postulado de Bertrand.
Son muchos los problemas que a lo largo de la historia se han planteado en relación con los
números naturales y en particular con la distribución de los números primos. Algunos de ellos
han originado una gran variedad de técnicas para poder resolverlos, especialmente en los campos del Álgebra y del Análisis, pero a pesar de toda la potencia matemática puesta en escena
son muchos los enigmas por resolver.
1. INTRODUCCIÓN
Se dice que un número natural p > 1 es primo cuando no existen divisores suyos d satisfaciendo 1 < d < p. Los números que no son primos se llaman compuestos. El teorema
fundamental de la aritmética establece que todo número natural n > 1 puede expresarse
como un producto de números primos, y que esta expresión es única salvo el orden de
los factores.
Los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, · · · están situados en la sucesión de
los naturales N en una forma en apariencia caótica y desorganizada.
A veces aparecen parejas de impares consecutivos como 17, 19 y 29, 31, por ejemplo, formadas por números primos. Son los llamados primos gemelos.
Por otra parte, es sencillo demostrar que hay segmentos de la longitud deseada, dentro de los
números naturales, formados por al menos N números compuestos. El razonamiento es como
sigue. Dado N se considera el número
y basta observar que (N +1)!+2 es múltiplo de 2, (N +1)!+3 es múltiplo de 3, y en general para
cada k tal que 2 ≤ k ≤ (N + 1) se verifica que (N + 1)! + k es múltiplo de k. Por tanto los N
números consecutivos
(N + 1)! + k,
2 ≤ k ≤ (N + 1)
son compuestos.
La distribución de los números primos en
es un problema de gran interés matemático y
también práctico por sus aplicaciones a la criptografía. Del mismo se conocen muchas cosas
pero se desconocen también otras muchas, y el desorden aparente de su distribución citado
antes veremos que contrasta con un orden, bastante preciso, cuando se mide en términos de
distribución en grandes intervalos o en ciertas sucesiones aritméticas.
(*) Catedrático de Análisis Matemático de la UPV/EHU.
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Juan Carlos Peral Alonso
2. EXISTEN INFINITOS NÚMEROS PRIMOS
Como sabemos hay varias demostraciones sobre la infinitud de los números primos, quizás las
más conocidas son las atribuidas a Euclides y Euler, pero hay otras elegantes y desde luego muy
sugerentes, veamos algunas de ellas.
Euclides
2.1 Euclides
Esta demostración, atribuida al filósofo y matemático griego Euclides (325 a.C.-265 a.C.) utiliza
el principio de reducción al absurdo.
Teorema 1 (Euclides). Existen infinitos números primos.
Supongamos que únicamente hay una cantidad finita de números primos
2 < 3 < 5 < · · · pr.
Se forma el producto P = 2·3·5 · · · pr + 1. Si alguno de los primos 2, 3, 5, · · · pr divide a P
entonces divide tambien a la diferencia de P con 2 · 3 · 5 · · · pr, es decir
a 1, pero esto es absurdo. Por ello los divisores primos de P no están en
la lista inicial que se suponía completa.
2.2 Goldbach
La siguiente demostración se debe al matemático prusiano Christian
Goldbach (1690-1764). Se encuentra en una carta de Goldbach a Euler
fechada en Julio de 1730 y está basada en el lema que sigue relativo a los
números de Fermat.
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Christian Goldbach
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
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El Postulado de Bertrand
Se llama n-simo número de Fermat a Fn definido por
n
Fn = 22 + 1
Lema 1. Para cada m
e
se verifica la siguiente identidad
El lema se demuestra por inducción. Los primeros números de Fermat son
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 · · ·
Se verifica F1 − 2 = 5 − 2 = 3 = F0 que es el caso n = 1 de la igualdad. Si la igualdad es válida
por un valor n entonces
Se deduce del lema que los números de Fermat son primos entre si. En efecto si para n < m,
d divide a Fn y a Fm entonces, por el lema, d divide a 2 pero esto es imposible ya que los Fr
son impares. Para acabar la demostración de la existencia de infinitos primos basta tomar un
divisor primo de cada Fn.
La demostración de Goldbach admite generalizaciones ya que basta encontrar una sucesión
creciente de números naturales que sean primos dos a dos.
Otra variante de esta demostración se debe a Filip Saidak (2005). El razonamiento es como
sigue, dados dos números consecutivos n y n + 1 al ser primos entre si el número N2 = n(n+1)
tiene al menos dos factores primos diferentes. Como n(n+1) y n(n+1)+1 son consecutivos también son primos entre si, por ello el número N3 = (n(n + 1))(n(n + 1) + 1) tiene al menos tres
factores primos diferentes. El razonamiento puede continuarse de forma indefinida.
La demostración más original sobre la infinitud de números primos es la proporcionada por el
matemático israelí Furstenberg(1935-), premio Wolf en Matemáticas en su edición 2006/7, la
demostración es topológica y se puede encontrar en la siguiente dirección:
http://gaussianos.com/demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/#more-641
Gracias a estas demostraciones, sabemos que hay números primos arbitrariamente grandes.
Históricamente, siempre ha existido una carrera por encontrar el número primo más grande
conocido. El número primo más grande hallado hasta la fecha (septiembre-2008) es el
243112609-1, y corresponde al 46 número de Mersenne, el cual tiene unos cuantos millones de
cifras.
3. REGULARIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS
Se ha comentado antes que los números primos no siguen, en apariencia, ningún tipo de regularidad en su distribución. Sin embargo, al estudiar el número de primos situados en grandes
intervalos o sobre ciertos conjuntos particulares de los naturales se observan leyes que regulan
su distribución de una forma bastante precisa.
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3.1 Primos en intervalos: Teorema de Chebyshov
Si se define como p(x) al número de números primos menores o iguales a x se verifica el
siguiente teorema demostrado por el matemático ruso Pafnuti Lvóvich Chebyshov (1821-1894)
hacia 1850.
Lvóvich Chebyshov
Teorema 2. Existen constantes positivas a y b tales que para x ≤ 2
Por ejemplo con
ln 2 el teorema es válido. De este resultado se deduce que
el orden de magnitud del n-simo primo pn es aproximadamente n ln n, y se deduce también
que la serie
es divergente.
3.2 Primos en intervalos: Teorema de los Números Primos
El teorema de Chebyshov establece que el orden de magnitud de la función p(x) es como el
cociente entre x y ln x. En 1896, y de forma independiente, Jacques Salomon Hadamard (18651963) y Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866-1962) demostraron que asintóticamente el
orden de p(x) es dicho cociente con constante 1, es decir:
Jacques Hadamard
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Charles-Jean de La Vallée Poussin
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
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El Postulado de Bertrand
Teorema 3. (Hadamard, de La Vallée Poussin)
Además lo que se conoce como término de error en el teorema anterior, es decir la diferencia
se sabe que guarda una estrecha relación con la función zeta de Riemann y en concreto con
la localización de sus ceros.
3.3 Primos en sucesiones: Teorema de Dirichlet
Otra muestra de la regularidad de distribución de los números primos sobre el conjunto de
los naturales es el resultado que se conoce como teorema de Dirichlet. Johann Peter Gustav
Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue un matemático alemán al que se atribuye la definición
moderna de función.
Johann Dirichlet
Veamos un caso sencillo antes de establecerlo en general. Los números primos, excluido el 2,
solo pueden encontrarse sobre una de las sucesiones vn = {4n + 1}ne y wn = {4n + 3}ne . Si se
llama P1 a los primos del primer tipo y P3 a los del segundo y se analiza cuantos de ellos son
menores que una cantidad x resulta que el orden de magnitud de unos y otros es el mismo, es
decir están equidistribuidos en las dos sucesiones vn y wn.
Si se analiza que ocurre con las posibles sucesiones aritméticas con razón 8 en las que pueden existir infinitos primos, es decir an = {8n + 1}ne , bn = {8n + 3}ne , cn = {8n + 5}ne y
dn = {8n + 7}ne vuelve a ocurrir el mismo fenómeno, es decir los primos están equidistribuidos en estas cuatro sucesiones. De manera general se puede demostrar el siguiente teorema
debido a Dirichlet.
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Teorema 4 (Dirichlet). Sean k y a dos números naturales primos entre si y sea pa(x) el número
de números primos p tales que p ≤ x y p congruente con a en módulo k, (es decir existe m tal
que p = km + a), entonces
donde w(k) es la función indicatriz de Euler, es decir el número de naturales primos con k y
menores que k
Obsérvese que el resultado establece que hay una buena distribución de los números primos
sobre las w(k) sucesiones de la forma xn = {n k +a}ne en las que hay infinitos números primos,
o sea las de la forma precedente con m.c.d.(k, a) = 1.
4. POSTULADO DE BERTRAND
Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) fue un matemático y economista francés que
trabajó en los campos de la teoría de los números, geometría diferencial, cálculo de probabilidades y termodinámica. Llegó a ser profesor en la École Polytechnique y el Collège de
France, donde se graduó como ingeniero de minas. También fue miembro de la Academia de
Ciencias de París, de la que ocupó el cargo de secretario permanente durante 26 años (18561874). Es muy famoso por su célebre conjetura, él objetó, en 1845, que había al menos un
número primo entre n y 2n-2 por cada n > 3. El matemático ruso Pafnuti Chebyshov demostró
en 1850 esta conjetura, actualmente llamada postulado de Bertrand. También es reconocido
por una paradoja en el campo de la probabilidad conocida como la Paradoja de Bertrand. No
hay que olvidar sus aportaciones en el terreno de la economía. En 1883 publicó una crítica al
libro Théorie mathématique de la richesse sociale de Léon Walras en la que rebatía el proceso
de tâtonement argumentando que en la realidad se producen intercambios en situaciones de
desequilibrio, razón por la cual cabe considerar la existencia de indeterminación en los precios. En 1838 también revisó la teoría de los monopolios de Antoine Augustin Cournot y consideró que el procedimiento algebraico que utilizó era erróneo. Consideró que los duopolistas
compiten en precios en vez de en cantidades, y dedujo un precio final de equilibrio próximo
al de la libre competencia.
Louis Francois Bertrand
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SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
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El Postulado de Bertrand
El postulado de Bertrand afirma que dado cualquier número natural N, en el intervalo (N, 2N]
siempre hay al menos un número primo. Para su demostración se usan algunas propiedades
de los números combinatorios que se presentan a continuación.
Este postulado fue enunciado por Joseph Bertrand (1822-1900) en el año 1845 y fue demostrado por Chebyshov en 1850.
4.1 Lemas previos
Lema 2. Sea p un número primo y sea n un natural, entonces el exponente e con el que p
divide a n! es
Los corchetes significan parte entera. La demostración del lema es un ejercicio de inducción
por lo que no se incluye.
Lema 3. Sea n un natural, entonces el exponente e con el que p divide al número combinaes
torio
Basta aplicar el lema anterior y observar que
Por tanto resulta
donde
n
np+1
Observación: Si se define np como el entero tal que p p ≤ 2n ≤ p
+1 entonces para cada j > np
Además para cada i
y al tratarse de un natural resulta que cada uno de esos sumandos es 0 ó 1.
Por tanto mp ≤ np y de aquí p
mp
≤ 2n.
Lema 4. Para cada x ≥ 2 se verifica
donde se supone que el producto está extendido a los primos anteriores a x.
Basta demostrar el lema para x entero impar. Se razona por inducción. Para n = 3 se verifica la
desigualdad directamente y por tanto suponemos n ≥ 5. Supongamos que el resultado es cierto
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para los impares menores que un impar n. Se define
forma que k sea impar. Con esta elección resulta
donde el signo se toma de
Al observar que
y ambos coeficientes binomiales aparecen en el desarrollo de
(1 + 1)n se obtiene
. Al aplicar esta observación junto con la hipótesis de inducción
resulta
lo que demuestra el lema.
4.2 Demostración del postulado de Bertrand
Teorema 5 (Bertrand). Para todo natural n existe al menos un número primo p tal que
n < p ≤ 2 p.
Demostración. Para los primeros valores de n se comprueba directamente, por lo que
suponemos que n ≤ 8. Vamos a suponer que no hay primos en el intervalo (n, 2n] y vamos a
llegar a una contradicción, en forma de desigualdad falsa, para todo n > 450. Para el resto de
los casos bastará con la búsqueda de los primos adecuados.
Partimos de la suposición de la inexistencia de primos en (n, 2n], y por ello:
En el intervalo
< p ≤ n y al ser p ≥ 3 se verifican trivialmente las desigualdades que siguen
por lo que para los p en dicho intervalo resulta
Para p en el intervalo
la suma para el exponente μp se reduce
al primer sumando de la misma, es decir
y dicha expresión es siempre 0 ó 1, por lo que resulta
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El Postulado de Bertrand
donde se ha usado que para los primos p < √2n se cumple pμp ≤ 2n.
El primer producto tiene a lo mas √2n − 2 factores ya que 1 y 4 no son primos. Ahora se aplica
el Lema 4 y se obtiene
Por otra parte
que se verifica
es el mayor de los 2n + 1 sumandos en el desarrolllo de (1 + 1)2n por lo
de donde
De las desigualdades para
resulta
al simplificar queda
Si se toma logaritmos y se divide entre
resulta la desigualdad
pero esta desigualdad es falsa para n > 450. Para completar al demostración basta demostrar
que el resultado es válido para los valores de n menores que 450 y para ello basta observar la
tabla que sigue.
13
23
43
83
163
317
631
e [8, 12]
para n e [13, 22]
para n e [23, 42]
para n e [43, 82]
para n e [83, 162]
para n e [163, 316]
para n e [317, 449]
para n
También existe una demostración muy interesante del postulado de Bertrand debida al genial
Paul Erdös.
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5. ALGUNOS PROBLEMAS ABIERTOS
Se citan a continuación algunos problemas abiertos relacionados con los números primos.
5.1 La conjetura de Goldbach
Goldbach conjeturó en 1742 que dado cualquier número par, 2N, existen dos números primos
p y q tales que 2N = p + q.
Se desconoce si este resultado es cierto o falso aunque hay avances en varios sentidos. En 1973
el matemático chino Chen Jingrun (1933-1996) demostró que para N suficientemente grande
se puede encontrar un número primo p y un número P2 con a lo más dos factores primos tal
que 2N = p + P2.
Por otra parte Ivan Matveevich Vinogradov(1891-1983) demostró en 1937 que todo número
impar suficientemente grande puede expresarse como la suma de tres números primos.
Además se conocen estimaciones para las posibles excepciones que en caso de existir son de
densidad nula sobre los naturales.
5.2 Primos en intervalos de la forma [n2, (n + 1)2]
Se desconoce si un resultado análogo al postulado de Bertrand para intervalos de la forma
[n2, (n + 1)2] es cierto o no. Es decir, no se sabe si existen o no números naturales n para los
cuales no haya números primos en dicho intervalo.
5.3 Primos de la forma n2 + 1
Se desconoce si existen o no infinitos números primos p de la forma p = n2+1 tales como el
17 = 42 + 1 , 101 = 102 + 1 ó 197 = 142 + 1.
5.4 Primos gemelos
Como se ha citado antes, se llaman primos gemelos a parejas de primos, como 11 y 13, que
son números impares consecutivos. No se conoce si existen o no infinitas parejas de primos
gemelos. Sin embargo se sabe que la serie formada por sus inversos es convergente y se conoce
una acotación superior para su suma.
5.5 Hipótesis de Riemann
El problema relativo a la localización en el plano complejo de los ceros de la función zeta
de Riemann es lo que se conoce como hipótesis de Riemann y está considerado como uno de
los problemas no resueltos más importantes de las matemáticas. Es uno de los 7 problemas
de la lista de la fundacion Clay para cuya cuya resolución hay establecido un premio monetariamente importante.
Una consecuencia de la veracidad de la hipótesis de Riemann es una mejor estimación en el
término de error del teorema del número primo. Georg Friedrich Bernhard Riemann (18261846) fue un matemático alemán que realizo importantes contribuciones en diversas áreas de
las matemáticas.
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El Postulado de Bertrand
BIBLIOGRAFÍA
[1] Dickson, L. E., 1950: History of the Theory of Numbers. Chelsea.
[2] Flath, D. E., 1989: Introduction to number theory. John Wiley & Sons Inc.
[3] Hardy, G. H. y Wright E. M., 1960 : An Introduction to the Theory of Numbers.
Oxford.
[4] Niven I. y Zuckerman H. S, 1976 : Introducción a la teoría de los números.
Limusa.
[5] Vinogradov, sI. M., 1954 : Elements of number theory. Dover.
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