Download EL TÍO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH.

INSTITUCION EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE MEDELLÍN
Comprometidos con la Formación de Maestros desde 1851
MATEMÁTICA Y LITERATURA
Rubén Darío Henao Ciro1
LECTURA No. 9:
(Fragmento)
Apóstolos Doxiadis2
Comenzó por representar todos los números compuestos (es decir, no primos) mediante puntos en un
paralelogramo, con el divisor primo más bajo como base y el cociente del número junto a él, como
altura. Por ejemplo, el número 15 se representa por filas de 3x5; el 25 por filas de 5x5, y el 35 por
filas de 5x7:
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Mediante este método, todos los números pares se representan en columnas dobles, como 2x2, 2x3,
2x4, 2x5, etcétera.
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Los primos, por el contrario, dado que no tienen divisores enteros, se representan mediante filas
simples, por ejemplo, 5, 7, 11:
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1
2
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Magíster en Didáctica de la Matemática, IPLAC. Profesor I. E. Escuela Normal Superior de Medellín, docente de la Universidad de Antioquia.
Tomado de: Doxiadis, Apostolos. El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach. Barcelona: Ediciones B, 2000. P. 93-96.
Petros empleó las percepciones tomadas de esta comparación elemental geométrica para sacar
conclusiones de la teoría de números.
Después de navidad, presentó sus primeros resultados. Dado que en lugar de emplear lápiz y papel
usó judías para trazar sus dibujos en el suelo del despacio de Hardy, el nuevo enfoque provocó
elogios burlones por parte de Littlewood. Aunque éste admitió que el “célebre método de las judías
de Papachristos” le parecía de alguna utilidad, Hardy estaba francamente molesto.
-¡Judías! – exclamó-. Hay una gran diferencia entre los términos “elemental” e “infantil”… No lo
olvide, Papachristos, esta condenada conjetura es difícil; si no lo fuera, el propio Goldbach la habría
probado.
A pesar de todo, Petros confiaba en su intuición y achacó la reacción de Hardy al “estreñimiento
intelectual de la vejez” (palabras textuales).
-Las grandes verdades de la vida son simples – dijo más tarde a Littlewood, mientras tomaban té en
sus habitaciones.
Éste discrepó, recordándole la prueba extremadamente compleja del teorema de los números primos
de Hadamard y De la Vallée-Pousin.
Luego le hizo una propuesta:
-¿Qué le parecería hacer un poco de matemáticas de verdad, amigo? Llevo un tiempo trabajando en el
décimo problema de Hilbert, la solubilidad de las ecuaciones de Diofanto. Tengo una idea que me
gustaría poner a prueba, pero me temo que necesitaría ayuda con el álgebra. ¿Cree que podría
echarme una mano?
Littlewood, sin embargo, tendría que buscar ayuda con el álgebra en otra parte. Aunque la confianza
de su colega en él halagó la vanidad de Petros, éste rechazó la propuesta de plano. Estaba entregado
por entero a la conjetura, dijo, demasiado enfrascado en ella para ocuparse productivamente de algo
más.
Su fe, respaldada por un pálpito pertinaz, en el (según Hardy) “infantil” método geométrico era tan
grande, que por primera vez desde que había empezado a trabajar en la conjetura Petros tenía la
sensación de que estaba a un paso de hallar la prueba. Incluso durante unos pocos y emocionantes
minutos de una soleada tarde de enero tuvo la fugaz ilusión de que lo había logrado…Por desgracia, en
un examen más riguroso detectó un error pequeño pero crucial.
(Debo confesar, querido lector, que muy a mi pesar en este punto del relato sentí un
estremecimiento de perversa satisfacción. Recordé el verano que había pasado en Pylos unos años
antes, cuando yo también creí durante unos días que había descubierto la prueba de la conjetura de
Goldbach, aunque entonces no conocía su nombre.)
A pesar de su gran optimismo, las ocasionales crisis de inseguridad de Petros, que a veces rayaban en
la desesperación (sobre todo después de que Hardy se mofara del método geométrico), se hicieron
más acuciantes que nunca. Pero no consiguieron desanimarlo. Luchaba contra ellas atribuyéndolas a la
angustia que inevitablemente precedía a un triunfo importante, a los dolores del parto previos a un
magnífico alumbramiento. Al fin y al cabo, antes del alba la noche es sólo oscuridad. Petros estaba
convencido de que se encontraba en la recta final. Un último y enérgico esfuerzo era lo único que
necesitaba para alcanzar la percepción definitiva y brillante que todavía se le escapaba. Entonces
habría llegado a la gloriosa meta.
El primer presagio de la rendición de Petros Papachristos, del fin de sus desvelos por demostrar la
conjetura de Goldbach, se presentó en un sueño que tuvo en Cambridge, poco después de Navidad. Al
principio no comprendió el verdadero significado de esa señal.
Como muchos matemáticos que trabajan durante largos periodos con problemas aritméticos básicos.
Petros había adquirido la cualidad denominada “de amistad con los números”, esto es, un conocimiento
profundo de la idiosincrasia y las peculiaridades de miles de números específicos. He aquí algunos
ejemplos: un “amigo de los enteros” identificará de inmediato como primos los números 199, 457 ó
1009. De manera automática asociará el 220 con el 284, puesto que están ligados por una relación
atípica (la suma de los divisores enteros de cada uno es igual a la del otro). Leerá con naturalidad el
256 como “2 a la octava potencia”, que como bien sabe3 está seguido por un número de gran interés
2
histórico, dado que el 257
puede expresarse como 2  1 , y una hipótesis sostenía que todos los
2n
números de la forma 2  1 eran primos.
COMPRENSIÓN DEL TEXTO
De acuerdo con el texto anterior, responda las siguientes preguntas de selección múltiple con
única respuesta.
1. La representación con judías del número 28
es:
a.
b.
c.
d.
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2. De los siguientes enunciados sólo uno es
falso:
a. Los números pares se representan en
columnas dobles.
b. Los números impares, así como los
primos, se representan con filas
simples.
c. La representación de números primos
no es mediante paralelogramos sino
con filas simples.
d. En la representación de los números
cuadrados las columnas y las filas son
iguales.
3. La frase “antes del alba la noche es sólo
oscuridad” quiere decir que:
a. Petros estaba pasando trabajos para
demostrar la Conjetura de Goldbach.
b. Petros estaba sufriendo insomnio
debido a la cantidad de trabajo.
c. Hardy se estaba burlando del método
utilizado por Petros.
d. Estaba haciendo mal tiempo en
Littlewood pero pronto llegaría el
verano.
4. Si tú, al igual que Petros, eres “amigo de
los enteros”, encuentra el enunciado
incorrecto:
a. Dos es el único número par que
además es primo.
b. 220 y 284 tienen una extraña relación
aritmética.
c. 113 es un número primo puesto que no
tiene divisores.
d. La novena potencia de 2 es 512.
Las preguntas 5, 6 y 7 deben responderse
según la siguiente información.
En términos generales una Conjetura es un
juicio probable que se forma de las cosas o
sucesos por medio de las señales que se ven u
observan, mientras que, en Matemáticas, la
expresión conjetura se refiere a una afirmación
que se supone cierta, pero que no fue probada
ni refutada hasta la fecha.
La conjetura de Goldbach es, según se suele
decir, uno de los "problemas abiertos" más
clásicos de la matemática. La formuló Christian
Goldbach en una carta fechada en 1742 y dice:
"todo entero puede expresarse como suma de
tres números primos". Tal como explica
Doxiadis en una nota al pie de su novela, si
esto es cierto, en el caso de los número enteros
pares, uno de esos sumandos primos ha de ser
el 2 (la suma de tres primos impares, será
necesariamente impar y 2 es el único número
primo par). Por eso, la conjetura de Goldbach
suele expresarse más simplemente con la
expresión "todo número par mayor que 2 puede
expresarse como la suma de dos números
primos", formulación que suele etiquetarse
como la conjetura de Goldbach, aún cuando
esa manera de plantearla es original de Euler.
5. Según el texto anterior y el fragmento de la
ya citada Novela, se puede afirmar que:
a. Toda Conjetura es también un
Teorema.
b. Petros logró demostrar la Conjetura de
Goldbach
c. Todo Teorema fue antes una Conjetura.
d. Las
Conjeturas
son
enunciados
exclusivos de la Matemática.
6. Respecto al 5183 puede decirse que:
a. Es un número primo puesto que sólo
tiene dos divisores que son 1 y 5183.
b. Es un número primo puesto que termina
en cifra impar.
c. No es un número primo puesto que es
divisible por 3.
d. No es un número primo puesto que es
divisible por 71.
7. Según el primer planteamiento de la
Conjetura de Goldbach, la escritura del
número 100 es:
a. 51+47+2
b. 53+43+2+2
c 59+39+2
d. 61+37+2
8. Según el segundo planteamiento de la
Conjetura de Goldbach, la escritura del
número 100 es:
a. 63+37
b. 53+47
c. 51+49
d. 81+19
9. El último dígito de 264 es:
a. 2
b. 4
c 6
d. 8
10. La razón por la cual el dígito cero no
aparece como última cifra en ninguna
potencia de dos es:
a. Todo número elevado a la cero da uno.
b. La ecuación 2x=0 no tiene solución en
los números enteros.
c. En ninguna potencia de 2 aparecen
múltiplos de 5 ni de 10.
d. Ninguna potencia par termina en cero.
Las preguntas 10, 11 y 12 deben responderse
según la siguiente información.
Según la leyenda del origen del ajedrez, se
cuenta que el rey Iadava quedó impresionado
por el ingenio de Sessa y le ofreció una bolsa
llena de oro o un arca repleta de joyas o
palacios o tierras...pero Lahur Sessa "sólo" le
pidió granos de trigo: un grano por la primera
casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la
tercera, 8 por la cuarta, y así doblando
sucesivamente hasta la última casilla.
11. Si n es el número de casillas, entonces la
cantidad de trigo que pedía Lahur Sessa al
rey estaba representada por la expresión:
a. 22n-1
b. 22n+1
n
c. 2 -1
d. 2n+1
12. Si el tablero de ajedrez no tuviera 64
casillas sino solamente 9, la cantidad de
granos de trigo necesaria para pagar la
promesa es:
a. 90
b. 511
c. 512
d. 1022
13. Si n es un número entero y C(n) es el
número de formas que existen para escribir
ese número como la suma de dos números
primos. Como ejemplo: C(6)=1, 3+3;
C(8)=1, 5+3; C(20)=2, 3+17 y 7+13. Según
lo anterior, C(40) es:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Respecto a los números primos, Euclides logró
probar que “existe una cantidad infinita de
números primos”. Euclides supone que si
p1=2<p2=3< p3=5<… <pr para todo primos,
entonces P= p1p2 p3…pr+1 es un número primo.
Dicha prueba nosotros la podemos ejemplificar
para los primos 2, 3, 5, 7 y 11 así:
2x3+1=7
2x3x5+1=31
2x3x5x7+1=211
2x3x5x7x11+1=2311
14. Respecto al número 2311 podemos decir
que:
a. No es primo puesto que es divisible por
11.
b. No es primo porque tiene más de dos
factores.
c. Es primo porque sólo se puede dividir
por sí mismo y por la unidad.
d. Es primo porque termina en 11 y 11 es
un número primo.
15. El número primo siguiente que se obtiene
mediante esta fórmula es
a. 30029
b. 30030
c. 30031
d. 30032
16. Según la prueba de Euclides podemos
concluir que:
a. Todo número primo es igual al producto
de los primos menores que él
aumentado en uno.
b. Existe una cantidad infinita de números
primos puesto que siempre es posible
encontrar uno más.
c. Los números primos se pueden dividir
por otros números siempre y cuando
estos números sean primos.
d. Si le aumentamos una unidad a un
producto de números sucesivos, el
número resultante es un número primo.
MÁS ALLÁ DE LA COMPRENSIÓN
Utilice sus conocimientos matemáticos y la comprensión del fragmento leído, y proponga
respuestas creativas a las siguientes preguntas.
1. Escriba un resumen del fragmento leído.
2. Escriba un comentario en el cual valore el texto leído.
3. ¿Qué mensaje ideológico, cultural, psicológico, metodológico, espiritual, artístico o científico se deriva
de la lectura?
4. ¿Se percibe alguna relación del protagonista con la matemática? ¿Le gusta? ¿Le disgusta? ¿La
estudia?
5. ¿Cuáles deben ser los conocimientos previos, en matemáticas, que deben tener las personas que
aborden la lectura del fragmento?
6. Subraye las palabras que tengan significado matemático. Haga un listado con esas palabras y sus
significados en matemáticas. Diseñe una red conceptual con las palabras subrayadas.
7. A menudo se cree que son los profesores de Español y Literatura los únicos que tienen que abordar
toda clase de lectura en el aula. Suponiendo que usted fuera profesor de matemáticas, elabore un
argumento en el cual exprese por qué la obra merece ser utilizada en la Enseñanza de la
Matemática.
8. Supóngase que usted ha sido llamado para diseñar la carátula de una serie de lecturas como la
anterior. Haga el dibujo que usted propondría para ilustrarlas. Explique su proposición.
9. Escriba un cuento corto en el cual se recree algún conocimiento matemático. Si quiere apóyese en el
fragmento leído.