Download Sección 5.2 (parte 1) Funciones Trigonométricas de Angulos

5
Las Funciones Trigonométricas
Sección 5.2 (parte 1)
Funciones Trigonométricas de
Angulos
Triángulos Rectos
• Un triángulo es recto (triángulo rectángulo) si
uno de sus ángulos internos mide 90o.
• La suma de las medidas de los 3 ángulos
internos de un triángulo recto es 180 grados.
• Si θ es un ángulo de la base del
triángulo, los lados del triángulo
recto se nombran en forma
estándar como muestra la
siguiente figura.
• Los lados de un triángulo recto
se relacionan según describe el
teorema de pitágora:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
Triángulos Rectos y
Ángulos Agudos
•
•
•
Se puede nombrar cada lado
de un triángulo recto conforme
a su posición respecto a un
ángulo agudo.
La hipotenusa es el lado más
largo del triángulo recto y es el
lado opuesto al ángulo recto.
Si nombramos el ángulo de la
base , uno de los lados es el
lado opuesto a  y otro es el
lado adyacente a .
Lado opuesto
a

Lado adyacente a 
Triángulos Rectos y
Ángulos Agudos
•
Nombre cada lado del triángulo recto conforme a su
relación con el ángulo .
Razones Trigonométricas
Para un ángulo agudo, θ, de un triángulo recto,
• se forman razones entre las longitudes de los
lados del triángulo recto que son únicas
• estas razones definen seis funciones llamadas las
funciones trigonométricas.
seno (sin)
coseno (cos)
tangente (tan)

Lado adyacente a 
cosecante (csc)
secante (sec)
cotangente (cot)
Lado opuesto
a
Razones Trigonométricas
Sea  un ángulo agudo de un triángulo recto.
Las 6 funciones trigonométricas de  se
definen:
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
sin 𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
csc 𝜃 =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
cos 𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
sec 𝜃 =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
tan 𝜃 =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
cot 𝜃 =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
Ejemplo
En el triángulo que se muestra, hallar los valores de las
6 funciones trigonométricas de .
Solución:

12
13

5
Funciones Recíprocas
Deben notar que existe una relación recíproca entre
algunas parejas de funciones trigonométricas.
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
1
csc 
sin 
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝐜𝐬𝐜 𝜽 =
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
1
sin 𝜃 =
csc 𝜃
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐬𝐞𝐜 𝜽 =
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
1
sec 
cos
1
cos 𝜃 =
sec 𝜃
Funciones Recíprocas (cont)
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
1
cot  
tan 
𝐜𝐨𝐭 𝜽 =
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
1
tan 𝜃 =
c𝑜𝑡 𝜃
NOTA: Existen muchas otras relaciones entre las razones
trigonométricas que se pueden descubrir si manipulamos las
definiciones básicas. Por ejemplo:
sin(𝜃) ÷ cos(𝜃) =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
÷
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
∙
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
= 𝑡𝑎𝑛𝜃
=
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Por lo tanto: tan 𝜃 =
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
Ejemplo
Dado un triángulo recto, en el que
hallar los valores exactos de las demás funciones
trigonométricas de .
Solución:
1
csc  
sin 
5
1


4
4
5
5
1
1
sec  


3
3
cos 
5
1
cot  
tan 
1
3


4
4
3
Ejemplo
•
𝟔
𝟕
Si 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = y  es un ángulo agudo, determinar
los demás valores trigonométricos de . Su
respuesta debe ser exacta.
Solución:
Use la definición de la función del seno como una razón
6 opp

y dibuje el triángulo recto.
7 hyp
Use la ecuación de Pitágora para hallar a.
7
6

a
a2  b2  c2
a2  62  72
a 2  36  49
a 2  49  36  13
a  13
Ejemplo (cont)
Solución (cont):
Ahora, use las longitudes de los 3 lados para
determinar las cinco razones restantes.
6
sin  
7
7
csc  
6
13
cos  
7
7
7 13
sec  

13
13
6
6 13
tan  

13
13
13
cot  
6
Ejemplos
Hallar el valor de cada función trigonométrica a
continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4
lugares decimales:
a) sin 84o
b) sec 48o
c) cot 29.7o
Solución:
Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.
Ejemplos
Hallar el valor de cada función trigonométrica a
continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4
lugares decimales:
a) sin 84o
b) sec 48o
c) cot 29.7o
Solución:
a)
b)
c)
Valores de las funciones trigonométricas
para ángulos especiales
θ = 60°, θ = 30°, θ = 45°
Triángulo equilátero: base = 2
Triángulo rectángulo: base y altura = 1
Se enfatizan los valores de éstos ángulos por que son exactas y
por que ocurren frecuentemente en trabajo que envuelve el
uso de la trigonometría.
Valores especiales (cont.)
Ejemplo
Hallar el valor de exacto para x & y en la figura:
Solución:
Usando el ángulo de 60o que nos dan
tenemos
𝒚
𝟑
a) sin 𝟔𝟎° =
𝒚
𝒙
b) cos 𝟔𝟎° =
𝒙
Despejando para x tenemos:
𝟑
a) x =
→
sin 𝟔𝟎°
𝟔 𝟑
→ 𝑥=2 3
x=
→ x=
→ x=
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
b) 𝑦 = 𝒙 cos 𝟔𝟎° → 𝑦 = 2 3
𝑦= 𝟑
𝟔
1
2
Ejemplo
Desde 1990 a 1997, el letrero de publicidad más alto en el
mundo era una letra gigante situada encima de un edificio
de 73 pisos en Los Ángeles. 171 pies al frente de un punto que
está directamente debajo del letreo, el ángulo entre el suelo
y la parte superior del letrero era 80.81°. Aproxime la altura
del letrero sobre el suelo al entero más cercano.
Solución:
Usamos_
• la altura, h, como la desconocida
• formamos un triángulo recto sobre la figura
• usamos la función del tangente ya que tenemos el lado
adyacente y queremos el lado opuesto.
𝒉
𝟏𝟕𝟏
171(tan 𝟖𝟎. 𝟖𝟏°) = 𝒉
tan 𝟖𝟎. 𝟖𝟏° =
𝒉 ≈ 𝟏𝟎𝟓𝟕 𝒇𝒕
Aplicaciones: Tipos de
ángulos
Aplicaciones: Ejemplo1
A la misma vez que un globo de aire se calienta y
comienza a subir, el personal de tierra viaja 1.2 mi
hacia una estación de observación. La observación
inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo
era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el
globo en ese momento.
Solución
Decidir cuál función trigonométrica nos
relaciona la información que me da el
problema con la que me pide obtener.
 3
1.2 
h
 3 
0.7  h
opp
h
tan 30º 

adj 1.2
1.2 tan 30º  h
El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.
Aplicaciones: Ejemplo 2
El supervisor de pintura ha comprado escaleras
nuevas que se extienden hasta 30 pies. El
manufacturero dice que, para mayor seguridad, se
debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal
forma que la base este a 6.5 pies de la pared. ¿Qué
ángulo debe hacer la base de la escalera con el
suelo?
Solución:
•
•
Debe comenzar haciendo un esquema de la situación,
nombrando las partes y anotando la información que se
tiene.
Luego, decidir cuál función trigonométrica nos relaciona la
información que me da el problema con la que me pide
obtener.
Solución (cont):
adj
cos 
hyp
6.5 ft

25 ft
 0.26
Use la calculadora para hallar el
ángulo que tiene coseno igual a
0.26:
  74.92993786º
Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara.
con un ángulo de 75º con el suelo.
Resolver un triángulo
• Resolver el triángulo recto implica
determinar las longitudes de todos
los lados y las medidas de todos los
ángulos.
• Para este tipo de ejercicio el triángulo
se nombra según muestra la figura
Ejemplo
B
En el triángulo recto
ABC, determinar a, b, y B
si el triángulo se ha
nombrado de forma
estándar como se
muestra en el diagrama.
106.2
a
61.7º
A
b
C
Ejemplo (cont.)
Solución:
Como la suma de los ángulos
internos de un triángulo es 180o,
la suma de A y B debe ser 90o.
B  90º A  90º 61.7º  28.3º
Por lo tanto, las medidas de los
ángulos son:
A  61.7º
B  28.3º
C  90º
B
106.2
a
61.7º
A
b
C
Ejemplo (cont.)
B
Solución (cont.):
a  106.2sin 61.7º
a  93.5
adj
b
cos 61.7º 

hyp 106.2
106.2
a
61.7º
A
b
C
Las longitudes de los
lados son:
a  93.5
b  106.2 cos61.7º
b  50.3
b  50.3
c  106.2
Identidades
Fundamentales
• Las identidades fundamentales que se presentan a
continuación envuelven el cuadrado de alguna
función trigonométrica.
NOTA aclaratoria:
• En general, si n es un entero, diferente a –1,
entonces una potencia como (cos θ)n se escribe
cosn θ.
o Ejemplo: sin 𝒙 𝟐 = sin𝟐 𝒙
• NOTE que sin 𝒙 𝟐 ≠ sin 𝑥 2
o Ejemplo
1
𝜋 𝟐
sin
= 2
6
sin
𝜋
6
2
2
=
1
4
𝜋2
= sin
→
36
Identidades
Fundamentales
NOTA: (contiuación)
• Los símbolos sin-1 θ y cos-1 θ se reservan para las
funciones inversas. Por lo tanto,
Función inversa
sin-1 (x)
Función recíproca
(sin 𝒙)−𝟏 =
𝟏
sin 𝒙
Identidades Fundamentales
• Identitdades pitagóricas:
• 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏
Ejemplos:
𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟔𝟎° + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟔𝟎° =
=
𝟑
𝟐
=
𝟑 𝟏
+
𝟒 𝟒
=
𝟒
=𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
+
𝟐
𝟐
𝟐)
𝒔𝒊𝒏𝟐
𝝅
𝝅
𝟐
+ 𝒄𝒐𝒔
=
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟐 𝟐
= +
𝟒 𝟒
𝟒
= =𝟏
𝟒
=
𝟐
𝟐
𝟐
Identidades Fundamentales
De la identidad pitagórica anterior:
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏
Podemos derivar otras.
o Si dividimos la ecuación anterior entre el cos2  en ambos
lados tenemos
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽
𝟏
+
=
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽
𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽
o Si dividimos la ecuación anterior entre el sin2  en ambos
lados tenemos
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽
𝟏
+
=
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
1 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽
Ejemplo
Sea θ un ángulo agudo. Expresar sin θ en términos de
cos θ.
Solución:
Ejemplo
Verifique la siguiente identidad transformando el lado
izquierdo en el lado derecho.
Solución:
Comenzando con el lado izqueirdo demostramos la
identidad como sigue:
Solución (cont)
Ejemplo
Simplifique la siguiente expresión:
Solución:
Ejemplo
Verifique la siguiente identidad.:
Solución:
Se rescribe sec2x en términos del cos2x..
Se recogen los términos del numerador sobre
el común denominador: cos2x
Ejemplo (cont.)
Solución (cont.):
Multiplicar por el recíproco del
denominador.
Despejando la identidad pitagórica
cos2x + sin2x = 1, encontramos que
Por lo tanto:
sin2x = 1 - cos2x