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Matemática
Inst. Domingo F. Sarmiento
3º año A
Razones trigonométricas
Problema disparador
¿Cuál es la altura del poste si sabemos que la
cuerda que lo sostiene al piso mide 15m y que
forma un ángulo de 30º con el suelo?
Trigonometría: rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y
los ángulos de los triángulos
¿Qué son las razones trigonométricas?
En la antigüedad los matemáticos observaron y calcularon las razones (cocientes)
entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y las utilizaron para la
resolución de problemas que impliquen triángulos con un ángulo recto.
Veamos en qué consisten estas razones:
Dibujamos un ángulo â de 30º con vértice en a y luego
desde un punto c (a 3 cm de a) trazamos un segmento
perpendicular al otro lado hasta un punto b.
Obtuvimos así el triángulo abc rectángulo, donde:
̅̅̅̅= hipotenusa
𝑎𝑐
̅̅̅
𝑎𝑏 = cateto adyacente a â
̅̅̅ = cateto opuesto a â
𝑏𝑐
Si dividimos la longitud del cateto opuesto por la longitud de la hipotenusa, obtenemos la
razón entre esos dos lados del triángulo:
̅̅̅ 1,5
𝑏𝑐
=
= 0,5
̅̅̅
𝑎𝑐
3
Ahora volvemos a dibujar el ángulo de 30º y elegimos distintos puntos y por cada uno de ellos
trazamos la perpendicular al otro lado:
̅̅̅
𝑑𝑒 2
= = 0,5
𝑎𝑒
̅̅̅ 4
̅̅̅̅
𝑓𝑔 2,5
=
= 0,5
̅̅̅̅
𝑎𝑔
5
Como habrás observado, todas las razones dan el mismo resultado.
Entonces podemos decir que:

En cualquier triángulo rectángulo con uno de sus ángulos de 30º, la razón entre la longitud
del cateto opuesto y la hipotenusa es 0,5. A esa razón la llamaremos seno de 30º y la
simbolizaremos:
sen 30º = 0,5

Para el otro ángulo agudo podríamos hacer un cálculo similar.

Esta razón depende solamente del valor del ángulo y no de la medida de los lados del
triángulo
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Surge así la definición de seno de un ángulo:
El seno de un ángulo â es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al
ángulo â y la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo:
En símbolos:
𝑠𝑒𝑛 𝑎̂ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
¿Podremos usar este concepto para dar respuesta al problema del poste? Veamos:
El objetivo era determinar la altura del poste. Teníamos como datos el largo de la cuerda que lo
sostiene al piso (15m) y el ángulo que forma con el suelo (30º).
Simulemos un gráfico triangular de la situación:
15m
x
30º
El cociente entre la altura del poste (x) y el largo de la cuerda (15m) es igual al seno de 30º,
entonces:
𝑥
= 𝑠𝑒𝑛30º
15
Reemplazando el valor del seno y despejando x:
𝑥
= 0,5
15
𝑥 = 0,5 . 15 ⇒
𝑥 = 7,5𝑚
Concluimos que la altura del poste es aproximadamente de 7,5 metros
Trabajemos un poco más con esta razón trigonométrica, resolviendo los siguientes problemas:
1.) Considera el triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto al ángulo ß
mide 3cm y la hipotenusa mide 5cm y determina el valor del seno de ß.
2.) Se desea saber la longitud mínima que debe tener una escalera de
bomberos para llegar a la parte más alta de un edificio de 20m de altura,
sabiendo que por razones de seguridad la misma debe formar un ángulo
de 60º con el piso.
Recuerda realizar
siempre un
esquema o modelo
de la situación y
ubicar en él los
datos y la incógnita
Ahora completa las siguientes afirmaciones:
 Si se conoce la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la amplitud de uno de los ángulos agudos,
se puede obtener la medida de su …………………… ……………………….. a través de la razón seno.
 Si se conoce la …………………………… y el ………………………. ……………………. de un triángulo rectángulo,
se puede obtener el valor del seno del ángulo.
 Si se conoce la amplitud de uno de los ángulos agudos y el correspondiente cateto opuesto, se
puede obtener la medida de su ………………………..… a través de la ……………… ………………...
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Al comienzo hablamos de “las razones trigonométricas” … ¿Imaginas otros cocientes que se
puedan obtener de manera similar al del seno?
Formalmente, en total son 6 las razones trigonométricas y cada una de ellas recibe un nombre
particular.
Las 3 más usadas son: seno, coseno y tangente y se definen así:
En símbolos:
c
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑎̂ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
a
𝑎𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑎̂ =
̅̅̅̅
𝑏𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑎̂ = ̅̅̅̅
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝑎̂ =
b
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑎̂ =
̅̅̅̅
𝑎𝑏
̅̅̅̅
𝑎𝑐
̅𝑏𝑐
̅̅̅
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑡𝑔 𝑎̂ = ̅̅̅̅
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑏
Se debe tener en cuenta que, siempre, tanto el seno como el coseno
de un ángulo agudo son menores a 1 puesto que la medida de la
hipotenusa (denominador) es mayor que la de los catetos (numerador).
En situaciones problemáticas:
 Si lo que se conoce como dato es el ángulo, para calcular las razones trigonométricas se
utiliza la calculadora científica y dichos valores se obtienen de la siguiente manera:
Ejemplo:
𝑠𝑒𝑛 30º = 0,5
Trabajamos
redondeando a
los milésimos
(3decimales)
𝑠𝑖𝑛 3 0 =
𝑐𝑜𝑠 3 0 =
𝑡𝑎𝑛 3 0 =
𝑐𝑜𝑠 30º = 0,866
𝑡𝑔 30º = 0,577
 Si lo que se conoce como dato son las medidas de los lados, se pueden armar las razones
trigonométricas y, a partir de ellas, obtener la amplitud del ángulo, utilizando la
calculadora científica de la siguiente manera:
Ejemplo:
5 cm
3 cm
𝑠𝑒𝑛 𝛼̂ =
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
5
= 0,6
¿Cuánto mide el ángulo 𝛼̂ cuyo
seno vale 0,6?
𝛼̂
4 cm
𝛼̂ = 36º 52′ 12 ′′
𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝑠𝑖𝑛 0
, 6 = º ′ ′′
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