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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental de la
Fuerza Armada Nacional
Núcleo Barinas.
Barinas, Estado. Barinas.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental de la
Fuerza Armada Nacional
Núcleo Barinas.
Barinas, Estado. Barinas.
Profesor:
Lcdo. Eliezer Montoya
Bachiller
Nº C.I
 Yender Pimentel. 20.963.076.
Matemática
Barinas, Febrero de 2010.
Índice
Introducción…………………………………………………………............VI
1. Trigonometría……………………………………………………………….7-9
1.1. Triángulos: ángulos y clasificación.
1.2. Clasificación de triángulos según las medidas de sus lados.
1.3. Clasificación de triángulos según las medidas de sus ángulos.
2. Sistema de medición de ángulos………………………………………..........10
2.1. Sistema sexagesimal
2.2. Sistema centesimal
2.3. Sistema circular.
3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos……………………10,11
3.1. Seno.
3.2. Coseno.
3.3. Tangente.
3.4. Cotangente.
3.5. Secante.
3.6. Cosecante.
4. Dado los valores de cada razón trigonométrica, encontrar las cinco (5)
restantes, considerando el cuadrante en donde esta ubicado……..………12,13
3
4.1. cos 𝜃 = √2 (I)cuadrante.
1
4.2. sen 𝜃 = − 2 (III)cuadrante.
4.3. tan 𝜃 = √3 (III)cuadrante.
5. Demostrar a través de las identidades fundamentales el valor exacto……14,15
5.2 cos 75° ≡ cos(45° + 30°)
5.3 cos 15° ≡ cos(45° − 30°)
15
2
5.4
cos 7,5° ≡ cos ( )
5.5
5.6
5.7
sin 105° ≡ sin(60° + 45°)
sin 15° ≡ sin(45° − 30°)
sin 120° ≡ sin(90 + 30°)
6. A la tangente del ángulo alfa (∝) que forma la escalera con el suelo se llama
pendiente de la escalera, se sabe que la longitud de la escalera es de cinco (5)
metros (m), y que el valor de la pendiente es de 2,23………………………..16
A. ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera y la pared?
B. ¿A qué altura sobre el suelo esta situada el extremo E, de la escalera?
7. Elabore un cuadro de resumen de las ecuaciones para determinar el perímetro,
el área, y el volumen de la diferente figura y, cuerpo geométrico……….17-19
8. Establezca la unidad de medidas de masa, longitud, área ó superficie, volumen
o capacidad…………………………………………………………….…19-21
9.
¿Cuál es el área de un trapecio cuya base mayor mide quince (15) centímetro
2
(cm), la base menor mide dos tercios (3) de la mayor y la altura mide cuatro
(4) centímetros (cm)?.......................................................................................22
10. El área de un rombo mide doscientos sesenta (260) centímetros cuadrado
(cm2), si la diagonal menor del rombo mide diez (10) centímetros (cm),
¿Cuánto mide la diagonal mayor y su perímetro?...........................................22
11. ¿Calcular el área y el perímetro de un triangulo cuya base mide ocho (8)
centímetros (cm) y la altura mede cinco (5) centímetro (cm)?........................23
12. ¿Cual es el área de un triangulo cuya medidas son: ocho, seis y siete (8; 6; 7)
centímetros (cm), de longitud de cada uno de sus lados. (cinco (5) métodos
para la resolución del ejercicio?.................................................................23-28
13. Hallar el área de cada uno de los siguientes polígonos regulares en los cuales
A= apotema; L= lados; P= perímetro……….............................................29,30
13.A. Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.
13.B. Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm.
13.C. Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm.
13.D. Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.
14. Se desea llenar un tanque de forma cilíndrica, si su radio mide cero con
setenta y cinco (0,75) metros (m), y la altura de uno con setenta y cinco (1,75)
metros (m). determinar el volumen de líquido que contendrá……………….31
15. Se quiere pintar un tanque de forma cilíndrica, si su radio es diez (10) metros
(m), y su altura quince (25) metros (m), si un galón de pintura alcanza para
veinticinco (15) metros al cuadrado (m2), ¿Cuántos galones se necesitan para
pintar el tanque?...............................................................................................31
16. El borrador del profesor es un paralelepípedo de longitud diez, cuatro y seis
(10; 4; 6) centímetros ¿calcular el espacio que ocupa y el área total del
mismo? ……...………………………………………………………………32
Conclusión…………………………………………………………………...33
Bibliografía……………………………………………………………….….34
Introducción
Desde lo más remoto de nuestra historia, el hombre se ha valido de su
capacidad intelectual para transformar el medio en que vive con el fin de adecuarlo
sus necesidades.
En todas sus intervenciones de una forma u otra siempre han estado inmensas
operaciones matemáticas que le permiten cuantificar sus procesos.
Los modelos del proceso de investigación forman parte en sus experimentos,
por lo que dedicamos este espacio a la profundización de este tema en cualquier
acción participativa. A lo largo del mismo definiremos la trigonometría como la
ciencia que estudia los triángulos, sus funciones como: seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, cosecante; triángulos y ángulos con su clasificación según sus
medidas y/o longitudes, los sistema de medición, los cuadrantes e identidades
trigonométricas y una micro extensión de ejercicios resulto para la agilidad mental
del estudiante con series de métodos para la resolución de la misma, ya que a la vez
permite la facilidad del aprendizaje en la calculación de los problemas planteados.
Trigonometría.
Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y
los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales
son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno,
coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente
en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se
requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la
geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son
usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de
distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Triangulo, Ángulo y Clasificación.
Triangulo: En geometría, un triangulo es un polígono de tres lados
determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados
(Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse
un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un
ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre
menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica
se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie
terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación: Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados
o por la amplitud de sus ángulos.
Ángulo: son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el
mismo origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal
o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas
(trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre
dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un
objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
 Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de
cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente,
ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos
curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes en el punto de intersección.
 Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un
segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una
posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro
(contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. Si la rotación es
en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera
negativo.
Clasificación: Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben sus denominaciones.
Tipo
Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo
tanto su abertura es nula, o sea de 0º.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de
0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o
menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Ángulo obtuso
Ángulo llano
o colineal
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad
Es equivalente a 90º sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que
coincide con el vértice.
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y
menor a rad
Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100g y
menos de 200g centesimales).
El ángulo llano tiene una amplitud de rad
Equivalente a 180º sexagesimales (o 200g centesimales).
También es conocido como ángulo extendido.
Ángulo
completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 360º sexagesimales (o 400g centesimales).
Clasificación de triángulos según las medidas de sus lados.
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres
ángulos internos miden 60 grados ó
radianes.)
 Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que
se oponen a estos lados tienen la misma medida.
 Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un
triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Clasificación de triángulos según las medidas de sus ángulos.
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados
que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado
hipotenusa.
 Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los
otros dos son agudos (menor de 90°).
 Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el
triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Oblicuángulos
Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los
triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Sistema de medición de ángulos.
Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeración posicional que emplea la base
sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma
más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa
para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y
segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden
superior.
Sistema centesimal: En este sistema la circunferencia se considera dividida en 400
grados, cada grado en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se
les llama grados centesimales. Las abreviaturas son: grados centesimal (g.c.); minuto
centesimal (m.c.), y segundo centesimal (s.c.). Así, Un grado centesimal es la medida
del ángulo central de un círculo, de amplitud igual a la 400 ava parte del mismo.
Sistema de 400 g su unidad es el grado centesimal (g)
Se cumple:
1 g= 100 m
1 m= 100 s
1 g=10000 s
Sistema circular: La unidad de medida (unidad de arco), en el sistema circular es el
radian. Un radian (Rad.) se define como la medida del ángulo central se subtiende un
arco del circulo igual al radio del circulo. Tenemos que la longitud de la
circunferencia está dada por c= 𝜋. 𝑟 y que toda la circunferencia sub tiene un ángulo
de 360º; tenemos entonces que: longitud de la circunferencia en radianes es :
360º = 2𝜋 rad.
𝜋= 3.1416.
Razones trigonométricas para triángulos rectángulos.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte
de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los
lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud
del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos
determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo
que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia,
en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2
radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las
funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
Seno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de
la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que
elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos
semejantes.
Coseno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la
longitud de la hipotenusa:
Tangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
Cotangente:
de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del
opuesto:
Secante:
de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto adyacente:
Cosecante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto adyacente:
Dado los valores de cada razón trigonométrica, encontrar
las cinco (5) restantes, considerando el cuadrante en donde
esta ubicado:
𝟑
𝐜𝐨𝐬 𝜽 √ (𝐈)𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐧𝐭𝐞.
𝟐
𝐬𝐞𝐧𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 = 𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
senθ = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
2
√3
senθ = √1 − ( )
2
3
senθ = √1 − ( )
4
senθ = √(
𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
1
2.1
tan θ = 2 =
2. √3
√3
2
tan θ =
1
.
√3
√3 √3
=
√3
(√3) 2
√𝟑
𝐭𝐚𝐧 𝛉 =
𝟑
Rep.
4−3
)
4
𝟐
𝐬𝐞𝐜𝛉 =
Rep.
𝟏
𝐬𝐞𝐧𝛉 =
𝟐
Rep.
√𝟑
𝐜𝐬𝐜𝛉 = 𝟐
Rep.
𝐜𝐨𝐭𝛉 =
𝟑
√𝟑
=
𝟑. √𝟑
= √𝟑
√𝟑. √𝟑
Rep.
𝐬𝐞𝐧 𝜽 = −
𝟏
(𝐈𝐈𝐈)𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐧𝐭𝐞
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = √𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜽
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
1 2
√
cos 𝜃 = 1 − (− )
2
𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
tan 𝜃 =
1
cos 𝜃 = √1 −
4
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
Rep.
4−1
cos 𝜃 = √
4
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
−√𝟑
𝟐
1
−2
√3
2
𝟏
√𝟑
𝐜𝐨𝐭 𝜽 = √𝟑
Rep.
𝐜𝐬𝐜𝛉 = −𝟐
Rep.
Por estar en el III
Cuadrante
Rep.
𝐬𝐞𝐜 𝜽 = −
Rep.
𝟐
√𝟑
𝐭𝐚𝐧 𝜽 = √𝟑 (𝐈𝐈𝐈)𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐧𝐭𝐞.
𝟏 + (√3) 2= 𝐬𝐞𝐜 𝜽
Rep.
𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝐜𝐨𝐬 𝜽
√4 = sec 𝜃
sin 𝜃 = cos 𝜃. tan 𝜃
−𝟐 = 𝐬𝐞𝐜 𝜽
1
sen 𝜃 = (− ) . √3
2
𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽
Rep.
𝐜𝐬𝐜 𝜽 = −
Rep.
𝐜𝐨𝐭 𝜽 =
𝟐
√𝟑
𝟏
√𝟑
sen 𝜃 = −√3
Rep.
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = −
𝟐
Rep.
Demostrar a través de las identidades fundamentales el
valor exacto
𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓° ≡ 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝟓° + 𝟑𝟎°)
Se aplica (A+B) = Cos A . Cos B – Sen A . Sen B
= Cos 45° . Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.
√2 √3 √2 √1
=
.
−
.
2 2
2 2
=
√6 √2
−
4
4
√𝟔 − √𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓° =
𝟒
Rep.
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟓° ≡ 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝟓° − 𝟑𝟎°)
Cos A . Cos B + Sen A . Sen B
Cos 45°. Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.
√2 √3 √2 √1
=
.
+
.
2 2
2 2
=
√6 √2
+
4
4
√𝟔 + √𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟓° =
𝟒
Rep.
𝟏𝟓
𝐜𝐨𝐬 𝟕, 𝟓° ≡ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟐 )
𝑨
𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑨
Se aplica con: 𝐜𝐨𝐬 𝟐 = √
𝟐
= á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐
1 √6 + √2
4 − √6 − √2
1 − cos 15 √1 −
𝟒 − √𝟔 − √𝟐
4
4
=√
=
=√
=√
2
2
2
𝟖
1
Rep.
𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟓° ≡ 𝐬𝐢𝐧(𝟔𝟎° + 𝟒𝟓°)
Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A.
Sen 60°. Cos. 45° + Sen 45° . Cos 60°.
=
√𝟑 √𝟐 √𝟐 √𝟏
.
+
.
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
=
√𝟔 √𝟐
+
𝟒
𝟒
√𝟔 + √𝟐
𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟎𝟓° =
.
𝟒
Rep.
𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟓° ≡ 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝟓° − 𝟑𝟎°)
=
√3 √2 √2 1
.
−
.
2 2
2 2
√𝟔 − √𝟐
𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟓° =
𝟒
Rep.
𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟐𝟎° ≡ 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎 + 𝟑𝟎°)
Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A.
Sen 90°. Cos. 30° + Sen 30° . Cos 90°.
Entonces que:
Sen 90° = 1
Cos 90° = 0
Resolviendo:
=1.
√3
2
+
1
2
.0
√𝟑
𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟐𝟎° =
𝟐
Rep.
A la tangente del ángulo alfa (∝) que forma la escalera con
el suelo se llama pendiente de la escalera, se sabe que la
longitud de la escalera es de cinco (5) metros (m), y que el
valor de la pendiente es de 2,23.
E
P=
PARED
X
tan ∝= 𝑃𝐸𝑁𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸. → tan ∝ = 2,23 → ∝ = tan−1(2,23) → ∝= 𝟔𝟓, 𝟖𝟒°
REP.
A ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera y la pared?
cos 65,84° =
𝐶𝐴
𝑋
→ cos 65,84° =
→ 𝑋 = 5 𝑚 . cos 65,84°
𝐻
5𝑚
X = 5 m . (0,41)
𝑿 = 𝟐, 𝟎𝟓 𝒎
REP.
B ¿A que altura sobre el suelo esta situada el extremo E, de la escalera?
sen 65,84° =
𝐶𝑂
𝑃
→ sen 65,84° =
→ 𝑃 = 5 𝑚 . sen 65,84°
𝐻
5𝑚
P = 5 m . (0,91)
𝑷 = 𝟒, 𝟓𝟓 𝒎
REP.
Elabore un cuadro de resumen de las ecuaciones para
determinar el perímetro, el área, y el volumen de la
diferente figura y, cuerpo geométrico.
Área y perímetro
Nombre
Triángulo
Triángulo equilátero
Cuadrado
Rombo
Rectángulo
Paralelogramo
Trapecio
Pentágono regular
Área
Perímetro
Polígono regular
Polígono regular
Nombre
Área
Circunferencia
no tiene
Círculo
Elipse
Volumen
Nombre
Cubo
Tetraedro
Volumen
Longitud
Cilindro
Cono
Esfera
Esferoide
Elipsoide
Toro
Toroide
Establezca la unidad de medidas de masa, longitud, área ó
superficie, volumen o capacidad.
Masa:
es la cantidad de materia que poseen los cuerpos, la cual está constituida por
átomos que se encuentran ubicados en el núcleo de éstos. La masa tiene como unidad
estándar al kilogramo (kg),
Nombre
Kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
Centigramo
Miligramo
Símbolos
Kg
Hg
Dg
G
dg
Cg
Mg
Equivalencia
1.000g
100g
10g
1g
0,1g
0,01g
0,001g
Longitud:
Es la distancia que se encuentra entre 2 puntos. La longitud de un objeto es la
distancia entre sus extremos, su extensión lineal medida de principio a fin. En física y
en ingeniería, la palabra longitud es sinónimo de "distancia", y se acostumbra a
utilizar el símbolo l o L para representarla.
Nombre
Kilometro
Hectómetro
Decámetro
metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Símbolos
Km
Hm
Dm
m
dm
Cm
Mm
Equivalencia
1.000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Área o superficie:
Se conoce como metro cuadrados (m2); patrones establecidos mediante
acuerdos para facilitar el intercambio de datos en las mediciones cotidianas o
científicas y simplificar radicalmente las transacciones comerciales.
Nombre
Kilometro cuadrados
Hectómetro cuadrados
Decámetro cuadrados
Metro cuadrados
Decímetro cuadrados
Centímetro cuadrados
Milímetro cuadrados
Símbolos
Km2
Hm2
Dm2
m2
dm2
Cm2
Mm2
Equivalencia
1.000.000m2
10.000m2
100m2
1m2
0,01m2
0,0001m2
0,000001m2
Volumen:
El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás
conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad
de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión
de Pauli.
Kilometro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico
Metro cúbico
Decímetro cúbico
Centímetro cúbico
Milímetro cúbico
Km3
Hm3
Dm3
m3
dm3
Cm3
Mm3
1.000.000.000m3
1.000.000m3
1.000m3
1m3
0,001m3
0,000001m3
0,000000001m3
¿Cuál es el área de un trapecio cuya base mayor mide
quince (15) centímetro (cm), la base menor mide dos tercios
𝟐
( ) de la mayor y la altura mide cuatro (4cm) centímetros?
𝟑
Datos
h= 4 cm.
h
B=15 cm.
b= 10 cm
𝐴=
1
2
ℎ . (𝐵 + 𝑏) → 𝐴 =
1
2
4𝑐𝑚 . (15𝑐𝑚 + 10𝑐𝑚)=
𝐴 = 2𝑐𝑚 . (25𝑐𝑚) → 𝑨 = 𝟓𝟎 𝐜𝐦𝟐
REP.
B=15 cm
El área de un rombo mide doscientos sesenta (260)
centímetros cuadrado (cm2), si la diagonal menor del rombo
mide diez (10) centímetros (cm), ¿Cuánto mide la diagonal
mayor y su perímetro?
𝐀=
Datos
d
A= 260
D
cm2.
𝐃 .𝐝
𝟐
→ 𝑫=
𝑫=
D= ?
d= 10 cm
𝟐 .𝑨
𝒅
𝟓𝟐𝟎 𝐜𝐦𝟐
𝟏𝟎 𝒄𝒎
→ 𝑫=
𝟐 .𝟐𝟔𝟎 𝐜𝐦𝟐
𝟏𝟎 𝒄𝒎
=
→ 𝑫 = 𝟓𝟐𝒄𝒎
REP.
DIAGONAL MAYOR MIDE: 52 cm.
p= ?
CALCULANDO EL PERÍMETRO:
c
a
a= 10 cm.
𝐶 = √𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐
b= 52 cm
𝐶 = √100 + 2704 → 𝐶 = √2804 = C = 59,95 cm
c= ?
b
→ 𝐶 = √(𝟏𝟎)𝟐 + (𝟓𝟐)𝟐
=
𝑷 = 𝟒 . 𝟓𝟐, 𝟗𝟓 𝑪𝑴 → 𝑷 = 𝟐𝟏𝟏, 𝟖𝟏 𝒄𝒎
P≡4= números de las dos del ROMBO
PERÍMETRO ES: 211,81.
¿Calcular el área y el perímetro de un triangulo cuya base
mide ocho (8) centímetros (cm) y la altura mede cinco (5cm)
centímetro?
h= 5 cm.
a
c
𝐀=
b= 8 cm
c= ?
h
𝐛 .𝐡
8𝑐𝑚 . 5𝑐𝑚
→
𝟐
2
𝑨 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦𝟐
Rep.
b
𝐶 = √𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐
→𝐴=
40𝐜𝐦𝟐
2
=
El área es igual a: 𝟐𝟎 𝐜𝐦𝟐
→ 𝐶 = √(𝟓)𝟐 + (𝟒)𝟐
𝐶 = √25 + 16 → 𝐶 = √41
=
= C = 6,40 cm
𝑷 = 𝟖𝒄𝒎 + 𝟔, 𝟒𝟎𝒄𝒎 + 𝟔, 𝟒𝟎𝒄𝒎 → 𝑷 = 𝟐𝟎, 𝟖 𝒄𝒎
El Perímetro es igual a: 20,8 cm.
¿Cual es el área de un triangulo cuya medidas son: ocho,
seis y siete (8; 6; 7) centímetros (cm), de longitud de cada
uno de sus lados. (Cuatro (5) métodos para la resolución del
ejercicio?
7cm
6cm
1ER MÉTODO
I. HALLAMOS “∝” POR LA LEY DEL COSENO.
𝟔𝟐 = 𝟖𝟐 + 𝟕𝟐 − 𝟐 . 𝟖 . 𝟕 𝐜𝐨𝐬 ∝
𝐜𝐨𝐬 ∝=
8cm
𝟑𝟔−𝟔𝟒−𝟒𝟗
−𝟏𝟏𝟐
→ 𝐜𝐨𝐬 ∝=
−𝟕𝟕
−𝟏𝟏𝟐
→ 𝟑𝟔 = 𝟔𝟒 + 𝟒𝟗 – 𝟏𝟏𝟐 . 𝐜𝐨𝐬 ∝ =
→ cos ∝= 0,6875 =
∝= cos−1(0,6875) → ∝= 𝟒𝟔, 𝟓𝟔°
Rep.
II. LA FIGURA QUEDA
𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟔, 𝟓𝟔 ° =
7cm
h
6cm
𝒉
→ ℎ = 7𝑐𝑚 . sen 46,56° =
𝟕𝒄𝒎
ℎ = 7cm . (0,73) →
46,56°
𝒉 = 𝟓, 𝟏𝟏𝒄𝒎
Rep.
°
III. LUEGO
8cm
𝑨=
h= 5,11 cm.
𝒃. 𝒉
𝟐
=𝑨=
𝟖 𝒄𝒎 . 𝟓,𝟏𝟏𝒄𝒎
→ 𝑨 = 𝟐𝟎, 𝟒𝟒𝐜𝐦𝟐
𝟐
Rep.
b= 8 cm
A= ?
2DO MÉTODO
RESOLVIENDO POR TALES.
𝟕𝒄𝒎
I.
𝒉
𝟔𝒄𝒎
= 𝟖−𝑿 → 7(8 − X) = 6h
6ℎ = 56 − 7𝑋
→ 56 = 6ℎ + 7𝑋
A
II. 𝟕𝟐 = 𝐗 𝟐 + 𝐡𝟐 → por el teorema de Pitágoras.
x
8cm
8-x
𝟒𝟗 = 𝐗 𝟐 + 𝐡𝟐 B
III. OBTENEMOS.
𝟔𝒉 + 𝟕𝑿 = 𝟓𝟔 → 6ℎ = 56 − 7𝑋 → 𝒉 =
𝐗 𝟐 + 𝐡𝟐 = 𝟒𝟗 B
𝟓𝟔−𝟕𝑿
𝟔
A
49 = X 2 +
𝟐
49 = 𝐗 +
(𝟓𝟔− 𝟕𝐗)𝟐
𝟔𝟐
=
𝟓𝟔𝟐 − 2. (𝟓𝟔) . (𝟕𝐗) . (𝟕𝐗)𝟐
36
=
(49) . (36) = 36X 2 + 3136 − 784𝑋 + 49X 2
1764 = 85X 2 − 784𝑋 + 3136
85X 2 − 784𝑋 + 3136 − 1764 = 0
𝟖𝟓𝐗 𝟐 − 𝟕𝟖𝟒𝑿 + 𝟏𝟑𝟕𝟐 = 𝟎
Rep.
IV. DONDE LA ECUACIÓN ES: A= 85 ; B= -784 ; C= 1372
𝑥=
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−(−784) ± √(−784)2 − 4. (85). (1372)
2(85)
𝑥=
784 ± √614656 − 466480
170
𝑥=
784 ± √148176
170
𝑥=
784 + 384,93
170
X1=
784+ 384,93
170
X1= 𝟔, 𝟖𝟕 𝐜𝐦
Rep.
X2=
784− 384,93
170
X2= 𝟐, 𝟑𝟒 𝐜𝐦
Rep.
=
SOLUCIÓN: COMO X1 = 6,87 cm
LUEGO QUE; SUSTITUIMOS EN “h” ≡ A
ℎ=
56 − 7. (6,87)
=
6
ℎ=
56 − 48,09
=
6
𝐡 = 𝟏, 𝟑𝟏 𝐜𝐦
Rep.
Á𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 =
𝑨=
𝒃 .𝒉
𝟐
𝟖𝒄𝒎 . 𝟏, 𝟑𝟏 𝒄𝒎
𝟐
A= 5,24 cm2
Rep.
EL ÁREA DEL TRIANGULO X1 ES: A= 5,24 cm2
SOLUCIÓN: COMO X2 = 2,34 cm
LUEGO QUE; SUSTITUIMOS EN “h” ≡ A
56 − 7. (2,34)
=
6
56 − 16,38
ℎ=
=
6
ℎ=
𝐡 = 𝟔, 𝟔𝟎 𝐜𝐦
Rep.
𝒃 .𝒉
𝟐
𝟖𝒄𝒎 . 𝟔, 𝟔𝟎 𝒄𝒎
𝑨=
𝟐
Á𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 =
A= 26,4 cm2
Rep.
EL ÁREA DEL TRIANGULO X2 ES: A= 26,4 cm2
3ER MÉTODO
RESOLVIENDO POR RESOLUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
HALLAMOS “m” Y “n” COMO LO
INDICA LA FIGURA.
I.
m+n=8
𝟕
𝒎
m
8cm
II.
COMO:
𝑚 6𝑚
+
=8
1
7
7𝑚 + 6𝑚
=8
7
13𝑚
=8
7
13𝑚 = 8 .7
13𝑚 = 56
56
13
𝒎 = 𝟒, 𝟑𝟎 𝒄𝒎
III.
𝟔
𝒏
→ 7𝑛 = 6𝑚 → 𝒏 =
𝟔𝒎
𝟕
B
n
m+n=8
𝑚=
=
A
POR PITÁGORAS
𝟕𝟐 = 𝐦𝟐 + 𝐡𝟐
𝟕𝟐 = 𝟒, 𝟑𝟎𝟐 + 𝐡𝟐
𝟒𝟗 = 𝟏𝟖, 𝟒𝟗 + 𝐡𝟐
𝟒𝟗 - 𝟏𝟖, 𝟒𝟗 = 𝐡𝟐
𝟑𝟎, 𝟓𝟏 = 𝐡𝟐
√30,51 = ℎ
5,52 cm = h
IV.
LUEGO QUE:
𝒃 .𝒉
𝟐
𝟖𝒄𝒎 . 𝟓, 𝟓𝟐 𝒄𝒎
𝑨=
𝟐
Á𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 =
A= 22,08 cm2
Rep.
4TO MÉTODO
I. HALLAMOS “𝜷” POR LA LEY DEL
COSENO
𝟕𝟐 = 𝟔𝟐 + 𝟖𝟐 − 𝟐 . (𝟔) . (𝟖) 𝐜𝐨𝐬 𝛃
49 = 36 + 64 + (−96 cos 𝛽)
49 − 36− 64
−96
= cos 𝛽
−51
51
= cos 𝛽 →
= cos 𝛽
−96
96
cos 𝛽 = 0,53125
β = cos−1 (0,53125)
𝜷 = 𝟓𝟕, 𝟗𝟏°
QUEDA:
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟔, 𝟓𝟔° =
𝑿
𝟕 𝒄𝒎
𝑿 = 𝟕𝒄𝒎 . 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟔, 𝟓𝟔°
X
8cm
8-X
𝐜𝐨𝐬 𝟓𝟕, 𝟗𝟏° =
𝟖−𝑿
𝟔 𝒄𝒎
𝟖 − 𝑿 = 𝟔𝒄𝒎 . 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝟕, 𝟗𝟏°
Hallar el área de cada uno de los siguientes polígonos
regulares en los cuales A= apotema; L= lados;
P= perímetro.
Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.
Datos:
Área = ?
A =3cm
L = 4,4cm
𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 . 𝒂𝒑𝒐𝒕𝒆𝒎𝒂
Á=
𝟐
I. HALLAMOS PERÍMETRO “P”
𝑷 = 𝑵. 𝑳 →
II. CALCULAMOS EL ÁREA
𝐏 = 𝐍 .𝐋
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝐏 = 𝟓 . 𝟒, 𝟒𝐜𝐦
Donde N=
número
de lados
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝟐𝟐 𝒄𝒎 . 𝟑 𝒄𝒎
𝟐
𝑷. 𝑨
𝟐
𝟔𝟔𝐜𝐦𝟐
→ Á=
𝟐
𝟐
𝐏 = 𝟐𝟐𝐜𝐦
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟑𝟑𝐜𝐦
Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm.
Datos:
Área = ?
A =5,7cm
L = 3,7cm
𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 . 𝒂𝒑𝒐𝒕𝒆𝒎𝒂
Á=
𝟐
I. HALLAMOS PERÍMETRO “P”
𝑷 = 𝑵. 𝑳 →
II. CALCULAMOS EL ÁREA
𝐏 = 𝐍 .𝐋
𝐏 = 𝟏𝟎 . 𝟑, 𝟕𝐜𝐦
𝐏 = 𝟑𝟕𝐜𝐦
Donde N=
número
de lados
Á𝒓𝒆𝒂 =
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝟑𝟕 𝒄𝒎 . 𝟓,𝟕 𝒄𝒎
𝟐
𝑷. 𝑨
𝟐
→ Á=
𝟐𝟏𝟎,𝟗𝟎 𝐜𝐦𝟐
𝟐
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟏𝟎𝟓, 𝟒𝟓𝐜𝐦𝟐
Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm.
Datos:
Área = ?
A = 9,6cm
P = 63cm
𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 . 𝒂𝒑𝒐𝒕𝒆𝒎𝒂
Á=
𝟐
II. HALLAMOS LADOS “L”
POR CONSIDERACIÓN.
𝐏
𝐋=𝐍
𝐋=
𝟔𝟑 𝐂𝐌
𝟕
𝑷 = 𝑵. 𝑳 →
Donde N=
número
de lados
II. CALCULAMOS EL ÁREA
Á𝒓𝒆𝒂 =
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝟔𝟑 𝒄𝒎 . 𝟗,𝟔 𝒄𝒎
𝟐
𝑷. 𝑨
𝟐
→ Á=
𝟔𝟎𝟒,𝟖𝟎 𝐜𝐦𝟐
𝟐
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟑𝟎𝟐, 𝟒𝟎𝐜𝐦𝟐
𝐋 = 𝟗 𝐜𝐦
Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.
Datos:
Área = ?
A = 1,8cm
L = 3cm
𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 . 𝒂𝒑𝒐𝒕𝒆𝒎𝒂
Á=
𝟐
III.HALLAMOS PERÍMETRO “P”
𝑷 = 𝑵. 𝑳 →
II. CALCULAMOS EL ÁREA
𝐏 = 𝐍 .𝐋
𝐏 = 𝟔 . 𝟑𝐜𝐦
Donde N=
número
de lados
Á𝒓𝒆𝒂 =
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝟏𝟖 𝒄𝒎 . 𝟏,𝟖 𝒄𝒎
𝟐
𝑷. 𝑨
𝟐
→ Á=
𝟑𝟐,𝟒𝟎 𝐜𝐦𝟐
𝐏 = 𝟏𝟖𝐜𝐦
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟏𝟔, 𝟐𝟎𝐜𝐦𝟐
𝟐
Se desea llenar un tanque de forma cilíndrica, si su radio
mide cero con setenta y cinco (0,75) metros (m), y la altura
de uno con setenta y cinco (1,75) metros (m). Determinar el
volumen de líquido que contendrá.
r
V = π . r2 h
Datos:
V=?
r = 0,75 m
h = 1,75 m
h
V = 3,14 . (0,75 m)2 . 1,75 m
V = 3,14 . 0,5625 m2 . 1,75 m
𝑽 = 𝟑, 𝟎𝟗𝟎𝟗 𝐦𝟑
Se quiere pintar un tanque de forma cilíndrica, si su radio
es diez (10) metros (m), y su altura quince (15) metros (m),
si un galón de pintura alcanza para veinticinco (25) metros
al cuadrado (m2), ¿Cuántos galones se necesitan para
pintar el tanque?
I.
CALCULAR LA SUPERFICIE DEL CILINDRO.
r
l = 𝟐𝝅. 𝒓
Datos:
G=?
r = 10 m
h = 15 m
h
o
l = 𝟐 3,14 . 10m → l = 62,8 m
o
o
.
II. CALCULAR EL ÁREA DEL CILINDRO.
𝐀 = 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞 . 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚
𝑨 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝒎 . 𝟏𝟓 𝒎 = 𝟗𝟒𝟐 𝐦𝟐
→
II.
1 GALÓN
X
𝑨 = 𝟗𝟒𝟐 𝐦𝟐
CALCULAR LA CANTIDAD DE GALONES
POR LA REGLA DE 3.
25 m2
942 m2
𝑿=
942 m2 . 1 𝐺𝐴𝐿Ó𝑁
25 m2
→ X = 37,68 GALONES
CANTIDAD A ÚTILIZAR: 37,68 GALONES.
El borrador del profesor es un paralelepípedo de longitud
diez, cuatro y seis (10; 4; 6) centímetros (cm) ¿calcular el
espacio que ocupa y el área total del mismo? (cm).
Datos:
a = 10 cm
b = 4 cm
c=6m
Área = ?
Espacio = ?
I. CALCULAR EL
ÁREA DEL CILINDRO.
𝑨 = 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)
A = 2(10cm . 4cm + 4cm . 6cm + 10cm . 6cm)
𝐴 = 2(40 cm2 + 24 cm2 + 60 cm2 )
2
𝐴 = 2 (124 cm )
𝟐
𝑨 = 𝟐𝟒𝟖 𝐜𝐦
II. CALCULAR EL
ESPACIO DEL CILINDRO.
𝑽 = 𝒂 .𝒃 . 𝒄
𝑉 = 10𝑐𝑚 . 4𝑐𝑚 . 6𝑐𝑚
𝐕 = 𝟐𝟒𝟎 𝐜𝐦𝟑
Conclusión
Modelo del proceso de investigación trigonométricas; se centra en los
modelos de grandes personajes para la definición de una acción investigativa en la
trayectoria de practicar la resolución de sistema trigonométricos, en un gran número
de estos experimentos de los modelos es necesario, para su tratamiento matemático,
cuantificar los resultados analíticos de modo que se asigne un análisis reflexivo en
cada uno de estos ejercicios.
Dichos modelos se rigen por los científicos Hiparco, Claudio Ptolomeo,
Aristarco de Samos, Bartlomé Pitiscus, Francois Viéte, Jhon Neper, Leonard Euler,
Pitágoras, Aristóteles, Aurelio Baldor, partiendo de esta premisa por razones de
modelos y también por metodología; se considera varios tipos de modelos entre ellos
corresponde a cada uno de los científicos mencionados anteriormente; Hiparco: ha
sido un autor clásico cuando se habla de algunas de las relaciones entre los lados y los
ángulos de un triangulo, Bartlomé Pitiscus: desarrollo métodos para la resolución de
triángulos. Descongelar es hacer tan ostensible la necesidad. Francois Viéte; hizo
importante aporte de formulas trigonométricas de anglos múltiples, mientras que los
cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático Jhon
Neper quien invento los logaritmos; Leonard Euler: hizo de la trigonometría una
ciencia, para convertirla en una nueva rama de la matemática. El modelo de
investigación es difícil de encajar, puesto que asume los presupuestos de metodología
de la enseñanza, que arrancan desde las estructuras de Aristóteles y que es, en cierto
modo el modelo participativo de Baldor y Pitágoras ellos insistían en la necesidad de
implantar dentro del currículo aquellos valores que en sí mismo constituye los fines
del mejoramiento de la enseñanza.
Bibliografía Electrónica
Disponible en la web:
 http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
 http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
 http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
 http://www.monografias.com/trabajos36/poligonos-triangulos/poligonostriangulos.shtml
 http://www.vitutor.com/geo/eso/as_1.html
 http://www.escolares.net/trabajos_interior.php?Id=206
 http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal referencia bibliográficas:
Dantzig, Tobías (1971). El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires:
Editorial Hobbs Sudamericana. (Traducido de la cuarta edición en inglés).
 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno
 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno. referencia bibliograficas:
Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). «Al-Kashi's Impractical Method of
Determining the Solar Altitude» Journal for the History of Arabic Science
Aleppo. Vol. 3. n.º 2. pag 219-227.
 Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés).
Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
 Consulta realizada el 25, 27 y 29 de enero de 2010.
 Entrevista con el Licenciado Matemático: Mauricio Morales (profesor del
Liceo Nacional Bolivariano “Alberto Arvelo Torrealba”).