Download 1 Si a = -2 10 12 , b = 3 -15 -18 , c = -7 3 9 , d =

Si







−2
3
−7
−1
a =  10  , b =  −15  , c =  3  , d =  5 
12
−18
9
6








6
5
−2
0
e =  2 , f =  7 , g =  5 , h =  0 
−3
3
−2
0

Clasifique cada uno de los siguientes espacios generados:
a) Gen {d, e, f }
b) Gen {a, d}
c) Gen {g}
d) Gen {a, e, g}
e) Gen {a, d, e}
De acuerdo a las siguientes categorı́as:
1) Es una recta que pasa por el origen.
2) Es un plano que pasa por el origen.
3) Es todo es espacio R3 .
4) Es el conjunto formado por el vector cero.
Solución
Debemos tener en mente el resultado clave 2:
b pertence al espacio generado Gen{a1 , . . . , ak } si y sólo si [a1 · · · ak |b]
es consistente.
Para determinar qué tipo de conjunto es cada espacio generado, tomemos
un vector x =< x, y, z > un punto cualquiera de R3 :
a) x ∈ Gen {d, e, f } si y sólo si [d e f |x] es consistente:
−1
[d e f |x] =  5
6



−1
6
5
6 5 x
2 7 y  →  0 32 32
−3 3 z
0
0
0

x

5x + y
27
33
32 x − 32 y + z
Este escalonamiento se realiza con las operaciones:
1) R2 ← R2 + 5 R1
2) R3 ← R3 + 6 R1
3) R3 ← R3 −
33
32
R2
27
La consistencia depende de la expresión 32
x − 33
32 y + z: hay consistencia
si y sólo si
33
27
x−
y+z =0
32
32
en el contexto de geometrı́a del espacio, esto representa un plano con
33
vector normal n =< 27
32 , − 32 , 1 > y que pasa por el origen.
b) x ∈ Gen {a, d} si y sólo si [a d|x] es consistente:


−2 −1 x
−2
[a d|x] =  10
5 y → 0
12
6 z
0


x
−1
0 5x + y 
0 6x + z
Este escalonamiento se realiza con las operaciones:
1) R2 ← R2 + 5 R1
2) R3 ← R3 + 6 R1
La consistencia depende de la expresiones 5 x + y y de 6 x + z: hay consistencia si y sólo si
y = −5 x
5 x + y = 0 y 6 x + z = 0 ó
x libre
z = −6 x
en el contexto de geometrı́a del espacio, esto representa una recta con
vector de dirección d =< 1, −5, −6 > y que pasa por el origen.
c) x ∈ Gen {g} si y sólo si [g|x] es consistente:
−2
[g|x] =  5
−2



x
−2
y → 0
z
0

x
5

2 x+y
−x + z
Este escalonamiento se realiza con las operaciones:
1) R2 ← R2 + 5/2 R1
2) R3 ← R3 − 6 R1
La consistencia depende de la expresiones 52 x + y y de −x + z: hay consistencia si y sólo si
5
y = −5/2 x
x + y = 0 y − x + z = 0 ó
x libre
z = x
2
en el contexto de geometrı́a del espacio, esto representa una recta con
vector de dirección d =< 1, −5/2, 1 > y que pasa por el origen.
d) x ∈ Gen {a, e, g} si y sólo si [a e g|x] es consistente:


−2
6 −2 x
−2
[a e g|x] =  10
2
5 y → 0
12 −3 −2 z
0

6
−2
32
−5
0 − 283
32
Este escalonamiento se realiza con las operaciones:

x

5x + y
27
33
x
−
y
+
z
32
32
1) R2 ← R2 + 5 R1
2) R3 ← R3 + 6 R1
3) R3 ← R3 −
33
32
R2
Puesto que los pivotes están a la izquierda; la consistencia se tiene siempre
sin importar los valores de x, y y z: hay consistencia para todo x =<
x, y, z >. Por lo tanto, el espacio generado es todo R3 .