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Algebra Lineal
Tarea No 11: Espacios generados en Rn
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Si el sistema [A|b], es consistente, entonces . . .
A
b ∈ C(A)
B
b∈
/ C(A)
La primera hipótesis b1 ∈ C(A) implicarı́a que b1 es una
combinación lineal de las columnas de A. Por tanto, deberı́an existir escalares e1 , e2 ,. . . ,em tales que
b1 = e1 a1 + e2 a2 + · · · + em am
Solución
si restamos las relaciones anteriores obtenemos:
Si [A|b] es consistente, entonces por el resultado clave 1: b
es combinación lineal de las columnas de la matriz A. Entonces, por la definición del espacio generado, b pertenece
al espacio generado por las columnas de A. Y por definición de C(A) como el espacio generado por las columnas
de A, b ∈ C(A) b2 = b1 +b2 −b1 = (c1 −e1 ) a1 +(c2 −e2 ) a2 +· · ·+(cm −em ) am
2. Si b ∈ C(A), entonces el sistema [A| − 2 b] es . . .
A
inconsistente
por lo tanto, b2 es combinación lineal de las columnas de
A. Por tanto, [A|b2 ] deberı́a ser consistente. Lo cual contradice la segunda hipótesis. Llegar a esta contradicción
lógica, demuestra que el supuesto de que [A|b1 + b2 ] es
consistente no es posible. Por tanto, ese supuesto debe ser
falso. Es decir, [A|b1 + b2 ] es inconsistente 4. Si
B
v=
consistente
36
−12
,w=
9
−3
, y S = {w}.
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
Solución
1. v ∈ S
3. w ∈ Gen {S}
Digamos que A ∈ Mn×m y que
2. w ∈ S
4. v ∈ Gen {S}
A = [a1 a2 · · · am ]
Si b ∈ C(A), entonces b es combinación lineal de las columnas de A. Es decir, existen escalares c1 , c2 ,. . . ,cm tales
que
b = c1 a1 + c2 a2 + · · · + cm am
si multiplicamos esta relación por −2 obtenemos
−2 b = (−2 c1 ) a1 + (−2 c2 ) a2 + · · · + (−2 cm ) am
esto nos dice que −2 b es combinación lineal de las columnas de A. Por el resultado clave 1, [A| − 2 b] es consistente
3. Si b1 ∈ C(A) y b2 ∈
/ C(A), entonces el sistema [A|b1 +b2 ]
es . . .
A
inconsistente
B
consistente
Solución
Observe que este problema quiere poner de manifiesto la
diferencia entre pertenecer a un conjunto y pertenecer al
espacio generado por el conjunto: para que un vector pertenezca a un conjunto, el vector debe aparecer en la lista de
vectores del conjunto; pero para que ese vector pertenezca al generado hay que buscar dentro de las combinación
lineales de los vectores del conjunto.
2) w ∈ S = {w} es cierta, porque w está en la lista de
los vectores de S.
1) v ∈ S = {w} es falsa, porque el vector v no está en
la lista de vectores de S y v 6= w.
3) w ∈ Gen{w} es cierta, porque w = 1 w
4) v ∈ Gen{w} es cierta, porque v = 4 w 5. Si
a=
Solución
Digamos que A ∈ Mn×m y que
A = [a1 a2 · · · am ]
Para demostrar que es inconsistente, razonemos por contradicción: si la afirmación cierta fuera [A|b1 + b2 ] consistente, entonces deberı́an existir c1 , c2 ,. . . ,cm tales que
b1 + b2 = c1 a1 + c2 a2 + · · · + cm am
9
3
,b=
1
3
,c=
−2
6
,d=
45
15
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. a ∈ Gen {b, c}
3. d ∈ Gen {b, c}
5. d ∈ Gen {c}
Solución
Por el resultado clave 2:
2. d ∈ Gen {a}
4. b ∈ Gen {a, c}
6. a ∈ Gen {d}
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
2
Un vector b pertenece al espacio generado por
los vectores a1 , a2 , . . . , ak si y sólo si [a1 · · · ak |b]
es consistente.
debemos armar matrices aumentadas y verificar consistencia de los sistemas (independientemente si la solución es
única o hay infinitas soluciones):
1. ¿a ∈ Gen {b, c}? Cierto, porque hay consistencia en:
rref
[b c|a] −−−→
1
0
0
1
5
−2
2. ¿d ∈ Gen {a}? Cierto, porque hay consistencia en:
rref
[a|d] −−−→
1
0
5
0
3. ¿d ∈ Gen {b, c}? Cierto, porque hay consistencia en:
rref
[b c|d] −−−→
25
−10
1 0
0 1
6. Si







4
−3
1
−2
a =  0  , b =  1  , c =  1  , d =  −2 
2
0
4
−4

4. ¿d ∈ Gen {a, c}? Cierto, porque hay consistencia en:
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
rref
[a c|d] −−−→
1
0
0
1
5
0
1. a ∈ Gen {b, c}
2. d ∈ Gen {a, b}
3. c ∈ Gen {a, b, d}
5. ¿d ∈ Gen {c}? Falso, porque hay inconsistencia en:
rref
[c|d] −−−→
1
0
0
1
6. ¿d ∈ Gen {a}? Cierto, porque hay consistencia en:
rref
[d|a] −−−→
1
0
1/5
0
Para realizar los cálculos en una TI, los vectores deben
capturarse como vector columna utilizando punto y coma
(;) en lugar sólo una coma (,). Por otro lado, notemos que
la función augment concatena dos matrices o vectores
columna. Si deseamos pegar más de dos, debemos usarla
varias veces.
Solución
De acuerdo a los cálculos de una TI como viene en la siguiente figura: la primera es falsa, la segunda verdadera y
la tercera es falsa. Recuerde que la clave es la consistencia
o inconsistencia; es decir, si queda o no pivote en la última
columna (columna de las constantes). Observe en la imagen que cuando se capturaron todos los vectores se hizo
en una sola lı́nea de comandos separando con dos puntos
(:) esto con el fin de que todo quedara en una sóla imagen.
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
3
c) Como
7. Si

6
5
−2
0
a =  0  , b =  6  , c =  4  , d =  −18 
16
6
0
4








1 0
4 0
rref
[a b d |e1 e2 e3 ] −−−→  0 1 −3 0
0 0
0 1

0 1/4
1/6
0 
1/3
0
al tener un pivote a la derecha concluimos que R3 *
W3 ; y por tanto, R3 6= W3 .
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. W1 = Gen {a, b, c} = R3
2. W1 = Gen {a, b, c} = Gen {a, c, d} = W2
3. W3 = Gen {a, b, d} = R3
Solución
Requerimos dos resultados importantes:
Gen {a1 . . . , an } ⊆ Gen {b1 . . . , bm } si y sólo si
[b1 · · · bm |a1 · · · an ] en su reducida o escalonada tiene
todos sus pivotes a la izquierda.
R3 = Gen {e1 =< 1, 0, 0 >, e2 =< 0, 1, 0 >, e3 =< 0, 0, 1 >}
Con esto en mente
a) Como

1 0 0
rref
[a b c |e1 e2 e3 ] −−−→  0 1 0
0 0 1
−9/38 −3/38
−2/19
5/38
3/19
1/19

1/4
0 
0
al estar todos los pivotes a la izquierda concluimos
que R3 ⊆ W1 . Por otro lado, como


−2 5
6 4 
0 6
0
0
4
1 0 0
rref
[e1 e2 e3 |a b c ] −−−→  0 1 0
0 0 1
al estar todos los pivotes a la izquierda concluimos que W1 ⊆ R3 . Teniendo ambas contenciones
W 1 = R3 .
b) Como

1 0 0
rref
[a b c |a c d ] −−−→  0 1 0
0 0 1
1
0
0
0
0
1

4
−3 
0
al estar todos los pivotes a la izquierda concluimos
que W2 ⊆ W1 . Por otro lado, como

1 0 0
rref 
[a c d |a b c ] −−−→ 0 1 0
0 0 1
1
0
0

4/3 0
0 1 
−1/3 0
al estar todos los pivotes a la izquierda concluimos que W1 ⊆ W2 . Teniendo ambas contenciones
W1 = W2 .
8. Si
a=
1
−5
,b=
3
−15
,c=
4
k
Determine el(los) valor(res) de k para que c ∈ Gen {a, b}
Solución
Recordemos que la pertenencia a un espacio generado
está dada por la consistencia de una matriz aumentada; y
que la consistencia de una aumentada depende de la ubicación de los pivotes en la escalonada. Con esto en mente
c ∈ Gen {a, b} si y sólo si
[a b|c]
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
4
es consistente; y esto será cierto si y sólo si no quedan
pivotes en la columna de las constantes en la escalonada.
Escalonaremos y escogeremos k para la consistencia:
1
3 4
4
1 3
R1 ←R1 +5 R1
[a b|c] =
−−−−−−−−−→
−5 −15 k
0 0 k + 20
Estando escalonada podemos concluir: hay consistencia si
y sólo si no hay pivote en la columna de las constantes. Es
decir, si y sólo si k + 20 = 0. Es decir, si y sólo si k = −20.
Resumiendo k = −20 es el único valor de k que garantiza
que c pertenece al espacio generado por a y b 



rref
[a d|e1 e2 ] −−−→
1 2
0 0
−1/12
−1/12
0
1
uno de los pivotes está a la derecha, indicando por la
posición que e1 no está en W1 .
Al fallar una contención, concluimos que los espacios generados no son iguales.
¿Gen {a} = Gen {d}?
Para verificar si acaso W1 = Gen {a} es igual a W2 =
Gen {d}, debemos verificar que se cumpla W1 ⊆ W2 y
también que W2 ⊆ W1 .
9. Si

ii) W2 ⊆ W1 es falso, porque al reducir

1
1
3
a =  9 , b =  1 , c =  2 
0
0
k
i) W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir
Determine el(los) valor(res) de k para que c ∈ Gen {a, b}
rref
[d|a] −−−→
Solución
1
0
1/2
0
10. Si
a=
−1
−12
,b=
5
3
,c=
3
−2
,d=
−2
−24
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1.
2.
3.
4.
Gen {a, d} = R2
Gen {a} = Gen {d}
Gen {a} = Gen {b}
Gen {a, c} = Gen {b, c}
Solución
Debemos tener en mente el resultado clave 3:
Para dos espacios generados W1
=
Gen {a1 , . . . , an } y W2 = Gen {b1 , . . . , bm },
un espacio contiene al otro si y sólo si contiene
a los generadores:
W1 ⊆ W2 si y sólo si cada ai ∈ W2
ningún de pivote está a la derecha, indicando que a
está en W2 .
ii) W2 ⊆ W1 es cierto, porque al reducir
rref
[a|d] −−−→
1 2
0 0
ningún de pivote está a la derecha, indicando que d
está en W1 .
Habiendo probado ambas contenciones, concluimos que los
espacios generados sı́ son iguales.
¿Gen {a} = Gen {b}?
Para verificar si acaso W1 = Gen {a} es igual a W2 =
Gen {d}, debemos verificar que se cumpla W1 ⊆ W2 y
también que W2 ⊆ W1 .
i) W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir
2
¿Gen {a, d} = R ?
Para verificar si acaso W1 = Gen {a, d} es igual a W2
donde
1
0
2
W2 = R = Gen e1 =
, e2 =
0
1
debemos verificar que se cumpla W1 ⊆ W2 y también que
W2 ⊆ W1 .
i) W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir
1 0 −1 −2
rref
[e1 e2 |a d] −−−→
0 1 −12 −24
ninguno de los pivotes está a la derecha, indicando
que a y b están en W2 .
rref
[b|a] −−−→
1 0
0 1
al aparecer pivote a la derecha, concluimos que a no
pertenece a W2 . Por tanto, la contención no se cumple: hay vectores de W1 que no están en W2 (uno de
ellos es a).
Con esto no requerimos verificar la otra contención: no hay
igualdad entre los espacios generados.
¿Gen {a, c} = Gen {b, c}?
Para verificar si acaso W1 = Gen {a, c} es igual a W2 =
Gen {b, c}, debemos verificar que se cumpla W1 ⊆ W2 y
también que W2 ⊆ W1 .
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
i) W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir
1 0 −2 0
rref
[b c|a c] −−−→
3 1
0 1
5
da una matriz con pivote en cada renglón. Ası́ las
columnas de A1 sı́ generan R4 .
ninguno de los pivotes está a la derecha, indicando
que a y c están en W2 .
ii) W2 ⊆ W1 es cierto, porque al reducir
1 0 −1/2 0
rref
[a c|b c] −−−→
0 1
3/2 1
ninguno de los pivotes está a la derecha, indicando
que b y c están en W1 .
Habiendo probado ambas contenciones, concluimos que los
espacios generados sı́ son iguales 2. C(A2 ) = R2 cierto pues
11. Indique en cuáles opciones las columnas de la matriz dada
de m × n no generan a Rm (Asuma que a y b son escalares
diferentes de cero):


1. A1 = 

2. A2 =
1
0
0
0
−1
3
2
0
0
0

−3
2 −5
5
0
2 −5
1 

0 −1
0 −1 
0
0
1
2
2
−4


0
5
3. A3 =  1 −1 
1
3
−1
3
4. A4 =
3 −9
1
0
0
1
da una matriz con pivote en cada renglón. Ası́ las
columnas de A2 sı́ generan R2 .
3. C(A3 ) = R3 falso pues

1 0
rref
A3 −−−→  0 1 
0 0

4. C(A2 ) = R4 falso pues
rref
A4 −−−→
Nuestro resultado clave para resolver el problema es el siguiente:
Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado
con vectores en Rn , entonces: W = Rn si y sólo
si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o escalonar) se
tiene pivote en cada renglón.
Recuerde que en la argumentación de este resultado,
que cada renglón tenga pivote dará la consistencia de
[v1 · · · vk |b] para cualquier vector b de Rn que se elija.
Para solver este ejercicio bastará con reducir la matriz dada.
1. C(A1 ) = R4 cierto pues
1 2
0 0
rref 
A1 −−−→ 
 0 0
0 0
da una matriz con un renglón sin pivote. Ası́ las columnas de A3 no generan R3 .
Solución

rref
A2 −−−→

−3 0 0 0
0 1 0 0 

0 0 1 0 
0 0 0 1
1 −3
0
0
da una matriz con un renglón sin pivote. Ası́ las columnas de A4 no generan R2 12. Indique las opciones ciertas:
1 R7 puede generarse con 6 vectores 7.
2 R7 puede generarse con 7 vectores 7.
3 R7 puede generarse con 14 vectores 7.
4 R7 puede generarse con 14 vectores 7 cualquiera.
5 R7 puede generarse con 8 vectores 6.
Solución
Nuestro resultado clave para resolver el problema es el siguiente:
Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado
con vectores en Rn , entonces: W = Rn si y sólo
si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o escalonar) se
tiene pivote en cada renglón.
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
6
1 ¿R7 puede generarse con 6 vectores 7?
Falso. Un conjunto con 6 vectores 7 colocados como
columnas darı́a lugar a una matriz 7 × 6; serı́a imposible que al reducirla diera lugar a una matriz que
tuviera pivote en cada uno de los 7 renglones, porque
sólo tiene 6 columnas y los pivotes deben de ir en
columnas diferentes (tendrı́a a lo más 6 pivotes).
2 ¿R7 puede generarse con 7 vectores 7?
Cierto. Por ejemplo, con el conjunto con 7
     

0
0
1





 0   1   0 



     











 0   0   1 

     
A =  0 , 0 , 0 ...,











 0   0   0 


















0
0
0



0
0
0
vectores

0 



0 





0 


0 


0 




0 



1
genera a R7 : la matriz que se forma colocando los
vectores de A como columnas es la matriz identidad
7 × 7 que ya está reducida y tiene pivote en cada
renglón.
3 ¿R7 puede generarse con 14 vectores 7?
Cierto. Si al conjunto A del iniciso anterior le añadimos 7 vectores cualquiera, obtenemos un conjunto de
14 vectores que genera a R7 . Pues la matriz que se
forma con ellos como columnas ya está reducida (tiene la matriz identidad al frente) y tiene pivote en
cada renglón.
4 ¿R7 puede generarse con 14 vectores 7 cualquiera?
Falso. La palabra clave es cualquiera. Por ejemplo, el
conjunto
     


1
2
3
14 




 0   0   0 

 0 


























 0   0   0 

 0 
     


D =  0 , 0 , 0 ..., 0 

     




 0   0   0 

 0 























0
0
0
0






0
0
0
0
no genera a R7 : cuando se arma una matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto se obtiene una
matriz reducida que no tiene pivotes en los renglones
del 2 al 7.
5 ¿R7 puede generarse con 8 vectores 6?
Falso. Para generar a R7 , lo vectores deberı́an estar
en el mismo R7 ; es decir, debı́an tener 7 componentes
y no 6 como tienen los vectores 6 13. Determine todos los valores de x tales que

 
 

2
−2 
 2
Gen  3  ,  2 − x  , 
−5 


1
1
−3 + x
no es todo R3
Solución
Nuestro resultado clave para resolver el problema es el siguiente:
Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado
con vectores en Rn , entonces: W = Rn si y sólo
si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o escalonar) se
tiene pivote en cada renglón.
Usando ese resultado, para que el espacio generado no sea
R3 la escalonada que se obtiene de la matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto no debe tener pivote
en cada renglón. De allı́ obtendremos la condición para
x. Como la matriz tiene variables, haremos el escalonamiento en forma manual.




2
2
−2
2
2
−2
3
R2 →R2 − 2 R1
 3 2−x
−→  0 −1 − x
−5  −−−−−−−−
−2 
1
x−3
1
R3 →R3 − 21 R1
0
0
x−2
Para no tener pivote en el último renglón x − 2 = 0, de
allı́ que un valor para x es 2. Pero también vemos que
si el elemento (2, 2) es cero, el elemento (2, 3) cancela al
elemento (3, 3); es decir, hacer −1 − x cero también nos
dará un renglón sin pivote: −x − 1 = 0 nos da el valor
x = −1. Resumiendo, los valores x = 2 y x = −1 son los
únicos valores para x de manera que el espacio generado
del problema no es R3 14. Considere los vectores:

v1
=


v3
=


v5
=


6
−15  , v2
−6

−1
v4
−4  ,
0

−10
−10  , v6
−12

−3
 1 
2


−5
 −5 
−6


5
 5 
6

=
=
=
y los subespacios generados:
W1
W2
= Gen {v1 , v2 , v3 }
= Gen {v4 , v5 , v6 }
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A
W2 ⊆ W1 y W1 6⊆ W2
B
W1 6⊆ W2 y W2 6⊆ W1
C
W1 = W2
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
D
7
W1 ⊆ W2 y W2 6⊆ W1
Solución
Para poder comparar los espacios generados en términos
de si uno de ellos contiene al otro utilizaremos nuestro
resultado clave de comparación:
Para dos espacios generados W1
=
Gen {a1 , . . . , an } y W2 = Gen {b1 , . . . , bm },
un espacio contiene al otro si y sólo si contiene
a los generadores:
Alternativas en la respuesta puede ser:
W1 ⊆ W2 si y sólo si cada ai ∈ W2
W1 ⊆ W2 y W2 6⊆ W1
Esto ocurre cuando
¿W1 ⊆ W2 ? es falso, porque al reducir

1 2
rref 
[v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 0 0
0 0
−1 0
0 1
0 0
0
0
1

0
1/3 
1
aparecen pivotes a la derecha, concluimos que no se cumple
la contención es decir, W1 6⊆ W2 . Vectores de W1 que no
están en W2 son por ejemplo v1 y v2 (la ubicación de los
pivotes a la derecha nos indica el vector que no pertenece
al espacio generado a la izquierda).
al reducir [W2 |W1 ] todos los pivotes quedan a la izquierda, pero
al reducir [W1 |W2 ] por lo menos un pivote queda a
la derecha.
W1 ⊆ W2 y W2 6⊆ W1
W2
vi
W1
¿W2 ⊆ W1 ? es falso, porque al reducir

1
rref 
[v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 0
0
0
1
0
1/3
1
0
0
0
1
0
0
2

0
0 
−1
aparecen pivotes a la derecha, concluimos que no se cumple la contención es decir, W2 6⊆ W1 . Un vector de W2 que
no está en W1 es por ejemplo v4 (la ubicación del pivote a
la derecha nos indica el vector que no pertenece al espacio
generado a la izquierda). En resumen, nuestra situación se
describe como:
W2 ⊆ W1 y W1 6⊆ W2
Esto ocurre cuando
al reducir [W1 |W2 ] todos los pivotes quedan a la izquierda, pero
al reducir [W2 |W1 ] por lo menos un pivote queda a
la derecha.
W2 ⊆ W1 y W1 6⊆ W2
W1
vj
W1 6⊆ W2 y W2 6⊆ W1
W1
W2
W2
v1
v4
v2
W 1 = W2 ≡ W2 ⊆ W1 y W1 ⊆ W 2
Esto ocurre cuando
La siguiente figura ilustra los cálculos en una TI. Observe
que es más cómodo capturar los vectores como renglones
en una matriz y después transponerla.
al reducir [W1 |W2 ] todos los pivotes quedan a la izquierda, y
al reducir [W2 |W1 ] todos los pivotes quedan a la izquierda.
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
8
b) Si b ∈ Gen {a1 , a2 } y [a1 , a3 |c] es consistente, entonces b + c ∈ Gen {a1 , a2 , a3 }
W1 = W2
W1
W2
Cierto. Para demostrar la implicación supongamos
que las hipótesis sean veraderas: b ∈ Gen {a1 , a2 }
implica que b es una combinación lineal de a1 y de
a2 . Por tanto, deben existir escalares c1 y c2 tales
que:
b = c1 a1 + c2 a2
15. Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1 , a2 , a3 |b] es inconsistente, entonces b
Gen {a1 , a2 }
Por otro lado, [a1 , a3 |c] consistente implica que existen escalares e1 y e2 tales que
c = e1 a1 + e2 a3
∈
sumando las igualdades tenemos
b) Si b ∈ Gen {a1 , a2 } y [a1 , a3 |c] es consistente, entonces b + c ∈ Gen {a1 , a2 , a3 }
b + c = (c1 + e1 ) a1 + c2 a2 + e2 a3
c) Si 5 b ∈ Gen {a1 , a2 }, entonces [a1 , a2 , a3 |b] es consistente.
por tanto, b + c es una combinación lineal de a1 , a2
y de a3 ; por lo tanto b + c ∈ Gen {a1 , a2 , a3 }.
d) Si [a1 , a2 , a3 |b] es consistente, entonces b
Gen {a1 , a2 , a3 }
∈
c) Si 5 b ∈ Gen {a1 , a2 }, entonces [a1 , a2 , a3 |b] es consistente.
e) Si b ∈ Gen {a1 , a2 } y c ∈ Gen {a1 , b}, entonces
[a1 , a2 |c] es consistente.
Cierto. Supongamos que la hipótesis es cierta: 5 b ∈
Gen {a1 , a2 } implica que 5 b es una combinación lineal de a1 y de a2 . Por tanto, deben existir escalares
c1 y c2 tales que
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
5 b = c1 a1 + c2 a2
2) No se sabe
de donde
3) Cierto
b=
c2
c1
a1 +
a2
5
5
y de allı́ que
Solución
a) Si [a1 , a2 , a3 |b] es inconsistente, entonces b
Gen {a1 , a2 }
∈
Falso. Razonemos por contradicción: si la hipótesis y
la conlusión fueran ciertas:
b ∈ Gen {a1 , a2 }
significarı́a que b es una combinación lineal de a1 y
de a2 . Por tanto, deberı́an existir escalares c1 y c2
tales que
b = c1 a1 + c2 a2
y por tanto
b = c1 a1 + c2 a2 + 0 a3
y concluirı́amos que [a1 a2 a2 |b] es consistente (una
solución serı́a x =< c1 , c2 , 0 >). Pero esto es imposible porque la hipótesis dice que ese mismo sistema es
inconsistente.
b=
c1
c2
a1 +
a2 + 0 a3
5
5
por tanto [a1 , a2 , a3 |b] es consistente (una solución
es x =< c1 /5, c2 /5, 0 >).
d) Si [a1 , a2 , a3 |b] es consistente, entonces b
Gen {a1 , a2 , a3 }
∈
Cierto. Supongamos que la hipótesis es cierta:
[a1 , a2 , a3 |b] consistente implica que existen escalares c1 , c2 y c3 tales que
b = c1 a1 + c2 a2 + c3 a3
por tanto, b es una combinación lineal de a1 , a2 y
a3 . Por lo tanto, b ∈ Gen {a1 , a2 , a3 }.
e) Si b ∈ Gen {a1 , a2 } y c ∈ Gen {a1 , b}, entonces
[a1 , a2 |c] es consistente.
Cierto. Para demostrar la implicación supongamos
que las hipótesis sean veraderas: b ∈ Gen {a1 , a2 }
implica que b es una combinación lineal de a1 y de
Ma1019, Tarea No 11: Espacios generados en Rn
a2 . Por tanto, deben existir escalares c1 y c2 tales
que:
b = c1 a1 + c2 a2
Por otro lado, c ∈ Gen {a1 , b} implica c es una combinación lineal de a1 y de c, por lo que existen escalares e1 y e2 tales que
c = e1 a1 + e2 b
sustituyendo la primera relación en la segunda y
agrupando obtenemos
c = e1 a1 +e2 (c1 a1 + c2 a2 ) = (e1 + e2 c1 ) a1 +e2 c2 a2
por tanto, [a1 , a2 |c] es consistente (una solución es
x =< e1 + e2 c1 , e2 c2 >) 16. Suponga que A y B son matrices m × n y que b es un
vector en Rm . Búsque la respuesta a cada pregunta:
a) Suponga que C(A) = Rm , ¿para todo vector b el
sistema [A|b] es consistente?
b) Suponga que [A|b] es consistente y que C(A) ⊆
C(B). ¿El sistema [B|b] inconsistente?
c) Suponga que para todo vector b el sistema [A|b] es
consistente, ¿C(A) = Rm ?
d) Suponga que C(A) = Rm y que C(A) ⊆ C(B). ¿El
sistema [B|b] consistente para cualquier b?
e) Suponga que el sistema [A|b] es inconsistente para
un vector b particular. ¿C(A) = Rm ?
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Solución
Debemos tener en mente el resultado clave:
[A|b] es consistente si y sólo si b ∈ C(A).
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a) Suponga que C(A) = Rm , ¿para todo vector b el
sistema [A|b] es consistente?
Cierto. Si C(A) = Rm , significa que cualquier vector b ∈ Rm , cumple b ∈ C(A). Es decir, que para
cualquier vector b, [A|b] es consistente.
b) Suponga que [A|b] es consistente y que C(A) ⊆
C(B). ¿El sistema [B|b] inconsistente?
Falso. Si [A|b] es consistente, entonces b ∈ C(A) si
además C(A) ⊆ C(B), concluimos que b ∈ C(B).
Por tanto, [B|b] es consistente.
c) Suponga que para todo vector b el sistema [A|b] es
consistente, ¿C(A) = Rm ?
Cierto. Para probar que hay igualdad entre los conjuntos C(A) y Rm , debemos probar que se contienen mutuamente. Es decir, debemos probar que
C(A) ⊆ Rm y que Rm ⊆ C(A). La primera contención es simple de probar porque las columnas de
A tiene m componentes y por tanto son vectores de
Rm ; y por tanto el espacio que generan debe estar
contenido en Rm . Para probar la otra contención tomemos un vector d cualquiera de Rm . La hipótesis
aplicada a él dirı́a que [A|d] es consistente, y por
tanto d ∈ C(A) esto implica que Rm ⊆ C(A).
d) Suponga que C(A) = Rm y que C(A) ⊆ C(B). ¿El
sistema [B|b] consistente para cualquier b?
Cierto. Supongamos que las dos hipótesis se cumplan:
que
α1 : C(A) = Rm y que
α2 : C(A) ⊆ C(B)
Si b es un vector cualquiera de Rm , por la hipótesis
α1 tenemos que b ∈ C(A). Y por la hipótesis α2 , deducimos que b ∈ C(B). Por nuestro resultado clave,
[B|b] es consistente.
e) Suponga que el sistema [A|b] es inconsistente para
un vector b particular. ¿C(A) = Rm ?
Falso. Si para el vector b de Rm el sistema [A|b] es
inconsistente, entonces b es un vector de Rm que no
está en C(A). Por lo tanto, Rm 6⊆ C(A). Y por tanto,
C(A) 6= Rm