Download Tema 7: Circuito Equivalente de Thévenin

EQUIVALENTE DE THÉVENIN
Los equivalentes de Thévenin y Norton son técnicas de simplificación de circuitos que se concentran en
el comportamiento en los terminales y son, por tanto, de gran ayuda durante el análisis. Aunque aquí
hablaremos de estas técnicas en relación con los circuitos resistivos, los circuitos equivalentes de
Thévenín y de Norton pueden uiilizarse para representar cualquier circuito compuesto por elementos
lineales.
Figura 7.1 a) Circuito general. b) Equivalente de Thévenin del circuito.
La mejor forma de describir los circuitos equivalentes de Thévenin es haciendo referencia a la Figura 7.1,
que representa cualquier circuito compuesto por fuentes (tanto dependientes como independientes) y
resistencias. Las letras a y b denotan el par de terminales de interés. La Figura 7.1b muestra el
equivalente de Thévenin. Por tanto, un circuito equivalente de Thévenin es una fuente de tensión
independiente VTh en serie con una resistencia RTh , con las que ·se sustituye una interconexión de
fuentes y resistencias. Esta combinación en serie de VTh y RTh es equivalente al circuito original en el
sentido de que, si conectamos la misma carga entre los terminales a y b de ambos circuitos, obtenemos
la misma tensión y corriente en los terminales de la carga. Esta equivalencia se cumple para todos los
posibles valores de la resistencia de carga.
Para representar el circuito original mediante su equivalente de Thévenin, tenemos que ser primero
capaces de determinar la tensión de Thévenín VTh y la resistencia de Thévenín RTh .
En primer lugar, observemos que, si la resistencia de carga es infinitamente ·grande, tenemos una
condición de circuito abierto. La tensión de circuito abierto ·en los terminales a y b del circuito mostrado
en la Figura 7.1b es VTh. Por hipótesis, esta tensión debe ser la misma que la tensión en circuito abierto
en los terminales a y b del circuito original. Por tanto, para calcular la tensión de Thévenin VTh, basta con
hallar la tensión de circuito abierto en el circuito original.
Si reducimos la resistencia de carga a cero, tenemos una condición de cortocircuito. Si cortocircuitamos
los terminales a y b del circuito equivalente de Thévenin, la corriente de cortocircuito, dirigida desde a
hacia b, será
Por hipótesis, esta corriente de cortocircuito debe ser idéntica a la corriente de cortocircuito existente
en la red original cuando se cortocircuitan los terminales a y b. A partir de la Ecuación 7.1,
Por tanto, la resistencia de Thévenin es el cociente entre la tensión de circuito abierto y la corriente de
cortocircuito.
Determinación de un Equivalente de Thévenin
Para determinar el equivalente de Thévenin del circuito mostrado en la Figura 7.2, calculamos primero
la tensión Vab en circuito abierto. Observe que, cuando los terminales a y b están abiertos, no hay
ninguna corriente atravesando la resistencia de 4 Ω. Por tanto, la tensión Vab en circuito abierto es
idéntica a la tensión en las terminales de la fuente de corriente de 3 A, que hemos designado como v1.
Calculamos la tensión v1 resolviendo una única ecuación de tensión de nodo. Si elegimos el nodo inferior
como nodo de referencia, obtenemos
Despejando v1, se tiene que
Por tanto, la tensión de Thévenin del circuito es de 32 V.
Figura 7.2 Circuito utilizado para ilustrar la técnica de los equivalentes de Thévenin.
El paso siguiente consiste en cortocircuitar los terminales y calcular la corriente de cortocircuito
resultante. La Figura 7.2 muestra el circuito en estas condiciones. Observe que la corriente de
cortocircuito va en la dirección de la caída de tensión en circuito abierto entre los terminales a y b. Si la
corriente de cortocircuito va en la dirección del incremento de tensión en circuito abierto entre los
terminales, es preciso insertar en signo menos la Ecuación 7.2.
Figura 7.3 El circuito mostrado en la Figura 7.2, con los terminales a y b cortocircuitados.
La corriente de cortocircuito (isc) puede calcularse fácilmente una vez que conocemos v2. Por tanto, el
problema se reduce a calcular el valor v2 en condiciones de cortocircuito. De nuevo, si utilizamos el nodo
inferior como nodo de referencia, la ecuación correspondiente a v2 es
Despejando v2 en la Ecuación (7.5), tenemos que
Por tanto, la corriente de cortocircuito es
Ahora calculamos la resistencia de Thévenin sustituyendo los resultados numéricos de las Ecuaciones
(7.4) y (7.7) en la Ecuación (7.2):
La Figura 7.4 muestra el equivalente de Thévenin del circuito de la Figura 7.2.
Figura 7.4 Equivalente de Thévenin del circuito mostrado en la Figura 7.2.
Puede verificar que, si conectamos una resistencia de 24 Ω entre los terminales a y b de la Figura 7.2, la
tensión que cae en la resistencia será de 24 V y la corriente que la atraviesa será de 1 A, exactamente lo
mismo que con el circuito equivalente de Thévenin de la Figura 7.4. Esta misma equivalencia entre los
circuitos de las Figuras 7.2 y 7.4 se cumple para cualquier valor de resistencia que conectemos entre los
nodos a y b.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 7.1: Determinación del equivalente de Thévenin de un circuito con una fuente dependiente
Más aspectos del cálculo de equivalentes de Thévenin
La técnica de determinación de RTh que se ha explicado no siempre constituye el método más sencillo
disponible. Hay otros dos métodos que son generalmente más simples de utilizar. El primero resulta útil
si la red contiene sólo fuentes independientes. Para calcular RTh en una de dichas redes, primero
desactivamos todas las fuentes independientes y luego calculamos la resistencia que se ve en la red
desde el par de terminales designado. Una fuente de tensión se desactiva sustituyéndola por un
cortocircuito. Una fuente de corriente se desactiva sustituyéndola por un circuito abierto. Por ejemplo,
considere el circuito mostrado en la Figura 7.8. Desactivar las fuentes independientes simplifica el
circuito, dejándolo como se muestra en la Figura 7.9. La resistencia que se ve mirando hacia los
terminales a y b se denota mediante Rab, que está compuesta por la resistencia de 4 Ω en serie con la
combinación en paralelo de las resistencias de 5 y de 20 Ω. Por tanto,
Figura 7.8 Circuito utilizado para ilustrar un equivalente de Thévenin.
Figura 7.9 El circuito de la Figura 7.8 después de desactivar
las fuentes independientes.
Observe que el cálculo de RTh mediante la Ecuación (7.9) es mucho más simple que mediante las
Ecuaciones (7.3) - (7.8).
Si el circuito o red contiene fuentes dependientes, existe otro procedimiento alternativo para
determinar la resistencia de Thévenin RTh . Primero desactivamos todas las fuentes independientes y
luego aplicamos una fuente de tensión de prueba o una fuente de corriente de prueba a los terminales
de Thévenin a y b. La resistencia de Thévenin es igual al cociente entre la tensión en las terminales de la
fuente de prueba y la corriente entregada por dicha fuente de prueba. A continuación se presenta un
ejemplo en el que se ilustra este procedimiento alternativo de cálculo de RTh , utilizando el mismo
circuito del Ejemplo 7.1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 7.2: Determinación del equivalente de Thévenin mediante una fuente de prueba
EJEMPLOS
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Solución:
Para encontrar RTh, se reemplaza la fuente de 72 V mediante un corto circuito:
Note que las resistencias de 5 Ω y 20 Ω están en paralelo, con una resistencia equivalente de 5 || 20 =
4Ω. La resistencia equivalente de 4 Ω está en serie con la resistencia de 8 Ω para una resistencia
equivalente de 4 + 8 = 12 Ω. Finalmente, la resistencia equivalente de 12 Ω está en paralelo con la
resistencia de 12 Ω, entonces RTh = 12 || 12 = 6 Ω.
Ahora se usa el análisis de voltaje para encontrar vTh . Se empieza redibujando el circuito y etiquetando
los voltajes:
Las ecuaciones de tensiones de nodo son:
Si se ponen estas ecuaciones en forma estándar, tenemos:
La solución a estas ecuaciones es v1 = 60 V y vTh = 64.8 V. Entonces, el circuito equivalente de Thévenin
es una fuente de 64.8 V en serie con una resistencia de 6 Ω.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema:
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