Download Si X es un espacio Normal, e Y es un subespacio cerrado, entonces

Universidad Nacional Abierta
Topología (711)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126
Área De Matemática
Fecha: 07 – 11– 2009
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 8, 9, 10 y 11
OBJ 8 PTA 1
Si X es un espacio Normal, e Y ⊆ X es un subespacio cerrado, entonces Y con la topología relativa, es
un subespacio Normal.
Solución: Ver Libro Maestro. Tomo II. Sección 117, Pág. 19.
OBJ 9 PTA 2
Demostrar que un espacio métrico (X,d) es completo si toda sucesión de Cauchy tiene una subsuseción
convergente.
Solución:
{ } que
Sea { xn } una sucesión de Cauchy en X. Se probará que si { xn } tiene una subsucesión xnk
converge a un punto x0 .
Dado ε > 0 , podemos elegir un número natural N lo suficientemente grande, para que d ( xn , xm ) <
ε
2
,
para todo n, m ≥ N (Esto se puede realizar porque { xn } es de Cauchy).
{ } converge a x , se puede elegir k suficientemente grande para que n
(Ya que n < n < ... es una sucesión creciente de enteros y { x } converge a x )
Como xnk
1
2
≥ N y d ( xnk , x0 ) <
k
0
nk
ε
2
0
ε
Entonces para n ≥ N se tiene que d ( xn , x0 ) ≤ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x0 ) <
2
+
ε
2
= ε . Lo que indica que { xn }
converge a x0 .
OBJ 10 PTA 3
Considere un espacio topológico X cualquiera, si A1 , A2 ,..., Am son conjuntos compactos en X,
demostrar que la unión de éstos es también compacta.
Justifique completamente su respuesta
Solución:
m
Sea {Uα }α∈I un cubriendo por abiertos de la topología de X de
m
∪ A , o sea: ∪ A ⊂ ∪ Uα
i
i
i =1
i =1
α ∈I
Entonces, {Uα }α∈I es en particular un cubrimiento de Ai para todo i = 1,2…m. Como los Ai ,son
compactos, para cada i = 1,2…m. existe un subcubrimiento finito de elementos de {Uα }α∈I , tales que
Ni
m
Ai ⊂ ∪ Uα j entonces,
i
j =1
m
∪ A ⊂ ∪∪Uα
i
i =1
α N1 +α N2 ...+α N m
Ni
i
j
=
i =1 j =1
∪
U k , la última igualdad se obtuvo
k =1
reindicando, donde U k es un elemento de {Uα }α∈I . Por lo tanto:
m
∪A
i
es compacto.
i =1
0BJ 11 PTA 4
Considere el espacio topológico X = R , con la topología usual ℑ , y el conjunto Y = ( 0,1] , si
1
, x∈R.
1 + x2
Indique cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen a la topología cociente inducida por f , y por la
topología usual ℑ de R
1 
A = ( 0,1) , B = ( 0,1] , C =  ,1 , D = {1}
2 
Justifique completamente su respuesta
Solución: f −1 (0,1) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) ∈ ℑ , entonces A pertenece a la topología cociente
f : X 
→ Y , es una función definida por
f ( x) =
f −1 ( 0,1] = R ∈ ℑ , entonces B pertenece a la topología cociente
1 
f −1  ,1 = (−1,1) ∈ ℑ , entonces C pertenece a la topología cociente
2 
−1
f {1} = {0} ∉ ℑ , entonces D no pertenece a la topología cociente
FIN DE EL MODELO