Download 2015 Examen Master eliminatoria

2. Si una y sólo una de las siguientes fórmulas es verdadera, ¿cuál es?
a) ((R∨Q)⊃ ¬P)∧¬P)∨(¬(S≡¬S)⊃ ¬P)
b) ((P∧Q)⊃ R)∨(P⊃ (S∨¬Q))
c) ¬(¬((Q∧¬S)⊃ ¬P)∧ (P∧(Q∧¬R)))
d) ((P∨Q)∧(Q⊃¬P))∧¬(¬Q≡P)
e) P⊃ ((¬R∧¬Q)⊃ ¬P)
XIII OLIMPIADA INTERNACIONAL DE LÓGICA
FASE ELIMINATORIA
NIVEL MASTERS
N° de aciertos: _____
Nombre:__________________________________________ Institución:______________
Instrucciones. Responde este examen en la hoja de respuestas que se te ha proporcionado,
teniendo en cuenta lo siguiente:
• Su elaboración se ha centrado en el uso apropiado de los principios de la lógica clásica
formal. Por lo cual, no se requieren más habilidades que las derivadas del estudio de la
lógica clásica formal para resolverlo.
• Los ejemplos son ficticios.
• Considera solamente las premisas que están explícitamente escritas.
• Cuando leas la frase ¿Qué se sigue?, el examen se refiere a seguirse según la lógica
clásica formal.
• Las disyunciones expresadas en español deberán interpretarse como disyunciones
inclusivas a menos que explícitamente se indique que son exclusivas (por ejemplo,
incluyendo la expresión pero no ambas).
• Las letras del abecedario latino (P, Q, R, etc.) se usan para representar proposiciones; las
letras griegas se usan para representar esquemas proposicionales (α, β, etc.) y conjuntos de
proposiciones (Γ, Δ, etc.).
• Los símbolos utilizados para las conectivas lógicas negación, conjunción, disyunción
inclusiva, condicional material, bicondicional material, cuantificador existencial y cuantificador
universal son: ¬, ∧, ∨, ⊃, ≡, ∃ y ∀, respectivamente.
• Otros símbolos usados son los signos de agrupación, paréntesis y llaves (, ), {, }.
• Cada pregunta tiene una única respuesta correcta. Elige, por tanto, para cada pregunta sólo
una opción como respuesta de las cinco posibles. Cada acierto que tengas te dará un punto.
Tienes una hora y media para resolver el examen ¡Suerte!
1. ¿Qué se sigue de las siguientes premisas?
1. P∨(S⊃(¬Q≡R))
2. (S⊃(Q⊃(¬R∨¬P))) ⊃ (R⊃¬Q)
3. Q ∧ ((Q⊃¬R)≡(Q⊃¬Q))
a) ((PvR)∧S) ⊃ (¬Q∧(Q≡¬R))
b) (Q∨R) ⊃ (P∧S)
c) ¬P∧(S∨¬R)
d) Todas las anteriores.
e) Ninguna de las anteriores.
3. Dado un conjunto de fórmulas Γ, si sabemos que de las siguientes fórmulas una y
sólo una no se sigue de Γ, ¿cuál es?
a) (P≡¬S)∧¬Q
b) P∧(R⊃(S∨Q))
c) (¬S⊃Q)∨((¬S∧¬Q)⊃¬P)
d) P≡(R∧¬Q)
e) S∧¬(¬Q⊃¬P)
4. En la isla de los caballeros y bribones (donde sólo habitan caballeros, que
siempre dicen la verdad, y bribones, que siempre mienten), el detective Johnson investiga
un crimen. Al interrogar a 5 sospechosos, de los que sabe que tres son caballeros y dos son
bribones (pero sin saber quién es quién), le responden:
1.
2.
3.
4.
5.
Ana: El culpable es Pedro sólo si María es inocente.
Pedro: María es inocente o Juan es culpable.
María: Pedro es el culpable y además miente.
Juan: María es culpable, yo soy inocente.
Carlos: Pedro miente y soy inocente.
Suponiendo que sólo hay un culpable, que todo el que es inocente no es culpable y
todo el que es culpable no es inocente, el detective pudo concluir que:
a) La culpable es Ana.
b) El culpable es Pedro.
c) La culpable es María.
d) El culpable es Juan.
e) El culpable es Carlos.
5. Señale si el siguiente argumento es válido o no y si sus premisas son o no
consistentes.
1.
2.
3.
4.
∀x((Px∧¬Qx)⊃∃y(Pxy))
∀x∀y((Pxy≡Pyx)∧(Px≡¬Rx))
∀x∀y(¬Pxy⊃(¬Rx∧¬Py))
∀x(Qx⊃Rx)∧∃y∀z(Pyz⊃¬Pzy)
.: ∃y∀x(¬Pxy∨Ry)
a) Argumento válido con premisas consistentes.
b) Argumento válido con premisas inconsistentes.
c) Argumento inválido con premisas consistentes.
2
1
d) Argumento inválido con premisas inconsistentes.
e) No se puede determinar la validez del argumento.
6. ¿Qué fórmula es equivalente a (P∨Q)≡((R∧¬S)∧(T⊃S))?
9. Sea Γ un conjunto de premisas consistente. Si le añadimos una nueva fórmula “α”
y obtenemos un nuevo conjunto de premisas inconsistente, ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es necesariamente verdadera?
a) α es una fórmula inconsistente
b) α es la negación de uno de las proposiciones de Γ
c) α es una fórmula consistente sólo si es la negación de uno de los
enunciados de Γ
d) α es uno de los enunciados en Γ, o bien α es una fórmula inconsistente.
e) α es inconsistente si y sólo si es la negación de una fórmula de Γ
a) ((R∧¬S)∧¬T)⊃(P∨Q)
b) ((R∧¬T)∧¬S)≡(¬P∧¬Q)
c) ¬(R⊃(S∨T))≡(¬Q⊃P)
d) ¬(¬R⊃(¬S∨¬T))≡(¬Q⊃P)
e) ((R∧¬T)∧¬S)≡(¬P⊃¬P)
7. ¿Qué premisa podemos agregar al siguiente argumento de tal manera que éste
siga siendo válido o inválido (según sea el caso)?
10. Si α es una tautología y β es una fórmula contingente, ¿cuál de las siguientes
fórmulas no es una tautología?
1. (¬P ≡ Q) ≡ (R∧¬Q)
2. (¬R ⊃ P)∧(Q∨R)
.: P∧¬(Q ≡ R)
a) [α ⊃ (β ⊃ α)] ∧ α
b) [¬α ⊃ (β ≡ α)] ∨ β
c) (α ⊃ ¬α) ≡ [(¬α ⊃ ¬α) ⊃ β]
d) (β ⊃ (β ⊃ (β ⊃ (β ⊃ α))))
e) ¬(¬(α ⊃ ¬α) ≡ (β ≡ ¬β))
a) P∧¬(¬Q∨¬R)
b) R ≡ ¬(¬P⊃R)
c) P∧(Q∧¬R)
d) ¬Q∧(R ≡ P)
e) (¬R⊃(¬R⊃R))⊃¬R
11. Sea un conjunto Γ de fórmulas. Supongamos que una y sólo una de las
siguientes fórmulas es consecuencia lógica de Γ, ¿cuál es?
8. ¿Cuál opción es equivalente a la traducción del siguiente diagrama esquemático
al lenguaje de la lógica proposicional?
a) (∃x ¬Px) ⊃ (¬∃y Qy)
b) ∀x (Px ⊃ Qx)
c) ∀y (Py ⊃ Py) ⊃ (∀x Qx)
d) (∀x Px) ⊃ (∀x Qx)
e) (∀x Px ⊃ ∀y ¬Qy) ⊃ (¬∃y Qy)
12. ¿Cuál de las siguientes fórmulas debe agregarse como premisa 1 para que el
siguiente argumento sea válido?.
Tenga en cuenta las siguientes convenciones:
1. __________
2. ∀x (Fx ≡ x=a)
3. Pb
∴ (a=b) ∧ ∃x (Px ∧ Fx)
a) Fa ∧ Pb
b) ∃x (Px ∧ Fx)
c) ∀x (Fx ⊃ Px)
d) Fb ⊃ Pb
e) ∀x (Px ⊃ Fx)
a) (R∧P)≡(P∧(R⊃¬Q))
b) ¬(P∨(¬Q∧¬R))≡(R∨¬P)
c) (R⊃P)⊃((¬P∨Q)∧(P⊃R))
d) ¬(R⊃P)≡((P⊃Q)∧(P⊃R))
e) (¬R∧P)≡((Q∧R)⊃¬P)
13. ¿Qué se sigue de lo siguiente: Todos los que crucen la puerta encontrarán la
gloria, pero aquellos que permanezcan tendrán la salvación. Hay quienes encuentran la
gloria, pero hay quienes no cruzan la puerta, sin embargo todos mueren?
3
4
a) Si los que encuentran la gloria permanecen, entonces cruzan la puerta o no
tienen salvación.
b) Si aquellos que encuentren la gloria permanecen, los que crucen la puerta
tendrán la salvación.
c) Nadie que encuentre la gloria tiene la salvación o alguien no cruza la
puerta, pero permanece.
d) Algunos cruzan la puerta y otros no.
e) Si alguien que cruza la puerta se salva, entonces si alguien permanece
encuentra la gloria.
14. ¿Cuál es la mejor formalización para: Para cada estudiante existe un único
número de matrícula? Donde Nx: x es número de matrícula. Ex: x es estudiante. Txy: x
tiene a y.
a) ¬∃x [Ex ∧ ∀y∃z ¬(¬(¬Nz ∨ ¬Txz) ∧ (¬(Nz ∧ Txz) ∨ z=y))]
b) ∀x [ Ex ⊃ ∃y ∀z ( (Nz ∧ Tzx) ⊃ (z=y) ) ]
c) ∀x [ Ex ⊃ ∀z ∃y ( (Nz ∧ Txz) ≡ ¬(z=y) ) ]
d) ∃x [ ( Nx ∧ ∀y (Ey ⊃ Tyx) ) ∧ ∀z (Nz ⊃ (z=x) ) ]
e) ∀x [ Ex ⊃ ∃y ( (Ny ∧ Txy) ∧ ¬ ∃z ( (Nz ∧ Txz) ∧ (z=y) ) ) ]
15. La marina publicó en el periódico Mizu Mizu el grado de peligrosidad de cuatro
piratas en una especie de conteo por puntos, entre más puntos tengan los piratas, más
peligrosos son. Los piratas fueron Law alias “El Cirujano”, Kid alias “El Capitán”, Luffy
alias “Sombrero de paja” y X Drake alias “Dory”.
Sabemos que X Drake supera a “El capitán” por al menos 3 puntos, “El cirujano”
supera a Luffy por 3 puntos y “Sombrero de paja” pierde por 3 puntos contra Kid. Con la
información anterior ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta?
a) Kid y Law tienen el mismo grado de peligrosidad
b) “El Cirujano” es más peligroso que “Dory”
c) Existe al menos un par de piratas con el mismo grado de peligrosidad
d) “Sombrero de paja” y “Dory” tienen el mismo grado de peligrosidad
e) X Drake es más peligroso que Luffy
16. Un día el pirata Luffy estaba perdido y vagando por una isla donde se encontró a
tres piratas de los que sabía con anterioridad que uno siempre decía la verdad, otro siempre
mentía y otro, denominado como pirata X, un día mentía y al otro decía la verdad. Luffy
estaba confundido y no sabía en qué día se encontraba, así que les preguntó a los tres
piratas de los que no sabía tampoco qué tipo de pirata eran.
El primero de nombre Crocodile alias “Mr. 0” dijo: “hoy es lunes y no es lunes”.
El segundo de nombre Bentham alias “Mr. 2” dijo: “hoy es lunes”.
El tercero de nombre Nico Robin alias “la niña demonio” dijo: “hoy es lunes o no es
lunes”.
Con la afirmación anterior ¿Cuál de las siguientes opciones pudo Luffy determinar con
seguridad?
a) “Mr. 0” es el pirata que siempre miente o Bentham es el pirata X
b) Nico Robin es la pirata que siempre dice la verdad y “Mr. 0” es el pirata
que siempre miente.
c) Hoy no es lunes y Crocodile siempre miente.
d) “La niña demonio” siempre dice la verdad o Crocodile siempre dice
mentiras.
e) Bentham es el pirata X o Nico Robin es la pirata que siempre dice la
verdad.
17. “Si huele a peligro, alguien prepara una venganza”, donde: Cx= x es peligro,
Pxy=x prepara a y, Lx= x es una venganza, Hxy= x huele a y.
a) ∃x (Cx ∧ ∃y Hxy) ⊃ ∃z∃w (Lz ∧ Pwz)
b) ∃x (Cx ∧ ∃y Hyx) ⊃ ∃z∃w (Lz ⊃ Pwz)
c) ∃x (Cx ∧ ∃y (Cy ∧ Hyx)) ⊃ ∃z∃w (Lz ∧ Pwz)
d) ∃x (Cx ∧ ∃y (Cy ∧ Hyx)) ⊃ ∃z∃w (Lz ∧ Pzw)
e) ¬(∃x (Cx ∧ ∃y Hxy)) ⊃ ∃z∃w (Lz ∧ ¬Pwz)
18. Se debe encontrar un enunciado que no sea implicado por alguno de los demás,
pues de serlo se seguiría de Γ (ya que los demás se siguen de Γ).
a) Hay gatos que no son emo.
b) No hay gatos.
c) Todos los gatos son emo.
d) Si hay gatos entonces algunos no son emo.
e) Ningún gato es emo.
19. ¿Cuál de las siguientes es la traducción más adecuada para el siguiente
enunciado: Si hay más de un homúnculo, nadie sufrirá? Diccionario: Hx= x es un
homúnculo, Sx= x sufrirá.
a) ∃x {Hx ∧ ∀y[Hy⊃¬(y=x)]}⊃¬∀z (Sz)
b) ∀z (Sz) ∨ ¬∃x{Hx∧∀y[Hy⊃(y=x)]}
c) ∃x {Hx ∧ ∀y [Hy⊃ (y=x)]}⊃ ∀z (¬Sz)
d) ¬∃z (Sz) ∨ ∀x{Hx⊃ ∀y[Hy⊃ (y=x)]}
e) ∀x {(Hx)∧ ∃y [Hy⊃ ¬(y=x)]}⊃∀z(Sz)
20. ¿Cuál es la mejor simbolización para el siguiente enunciado: “Los lógicos
clásicos admiten dos tipos distintos de verdad lógica.”? Diccionario: Vx= x es una verdad
lógica, Lx= x es un lógico clásico, Axy= x admite a y.
a) ∃x {(Lx) ⊃ ∃y∃z [(Vy ∧ Vz) ∧ (Axy ∧ Axz)]}
b) ∀x {(Lx) ⊃ ∃y∃z {[(Vy ∧ Vz) ∧ (Axy ∧ Axz)] ∧ ¬(y=z)}}
c) ∀x {(Lx) ⊃ ¬∃y∃z {[(Vy ∧ Vz) ∧ (Axy ∧ Axz)] ∧ (y=z)}}
d) ∀x {(Lx) ⊃ ∃y∃z {[(Vy ∧ Vz) ∧ (Ayx ∧ Azx)] ∧ ¬(y=z)}}
e) ∃x {(Lx) ⊃ ∀y∀z {[(Vy ∧ Vz) ∧ (Axy ∧ Axz)] ∧ ¬(y=z)}}
21. Dado el siguiente conjunto de premisas, ¿cuál de las opciones se sigue?
5
6
c) ∀x((Px∧Qx)⊃∀y((x≠y)⊃(Py⊃¬Qy)))
d) ∀xƎy(((Px∧Qy)∧ (x≠y))⊃Qx)
e) ∀x((¬Px∧Qx)⊃∃y((x≠y)⊃Px))
1. [(P∧R) ∨ ¬Q] →Q
2. (Q∨P) →(S∧R)
3. (S→ ¬T) ∨(T→¬Q)
a) ((Q∨¬Q) ⊃¬Q) ∨(R∧¬S)
b) (S≡T) ∧(R⊃(Q⊃Q))
c) ((S∧T)⊃(Q∨¬R)) ∧((T⊃R)⊃¬S)
d) ((S∧R) ∧T) ∨(¬Q∨(¬T∧(R∧S)))
e) (T⊃(R∨(S∧Q)))∧¬Q
22. Dado el conjunto Γ: { α→β , ( β↔β ) ↔ ¬ α , γ ∨ α , ¬ (γ∧α) , γ→ β } Si sabemos que
α, β y γ son fórmulas, y que entre ellas hay dos contingencias y una contradicción, ¿qué se
sigue necesariamente de Γ?
a) (γ ≡ ¬ γ)
b) (α⊃ α)⊃ β
c) (α≡γ) ∧ (β≡γ)
d) γ ⊃(α ∧ β)
e) (α ∧ β) ∧ γ
23. ¿Cuál de las siguientes es la mejor simbolización para El estado mexicano
comete crímenes y la desaparición de los normalistas es uno de ellos? Diccionario: Cx= x
es un crimen, Mxy= x comete y, d= la desaparición de los normalistas, e= el estado
mexicano.
a) ∃x(Cx∧Mex)∧(x=d)
b) ∃x((Cx∧Mex)∧∀y(Cy⊃(y=x)))
c) ∃x(Cx∧Mex)∧∀y(Cy≡Mey)
d) ¬∀x¬(Cd∧Mxd)∧ ∀y(y=d)
e) ∀x(Cx⊃ Mex)∧ ∃y((Cx∧ Mex)∧(x=d))
24. Si sabemos que sólo una de las siguientes fórmulas es verdadera y las demás
falsas ¿Cuál es la verdadera?
a) A⊃B
b) A∧B
c) ¬A
d) ¬A≡¬B
e)A∨B
25. Considere el dominio de discurso {a,b,c,d,e} y las asignaciones de valores de
verdad: Pa:V, Qa:F, Pb:V, Qb:F, Pc:F, Qc:V, Pd:V, Qd:V, Pe:F y Qe:V. ¿Cuál de los
siguientes enunciados es falso bajo estas condiciones?
a) ∀x((x≠d)⊃(Qx≡¬Px))
b) ∀x((¬Qx⊃Px)∧(¬Px⊃Qx))
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26. Alicia quiere vender su alma al diablo, para ello debe recitar un conjuro en el
altar correcto, pero hay tres idénticos; Bosualdo le explica que debe atender a las leyendas
inscritas en ellos, que al menos una de las inscripciones es verdadera y al menos una falsa,
y que existe un único altar en el que debe recitarse el conjuro para vender el alma al diablo.
¿Cuál de las leyendas es falsa?
a) “No debes recitar el conjuro en b)”
b) “No debes recitar el conjuro en este altar”
c) “Debes recitar el conjuro en este altar”
a) Altar B.
b) Altar A.
c) No es posible saber en qué altar debe recitar.
d) Altar C.
e) El altar A o el altar B.
27. Hay exactamente un concursante que ganará la carrera. ¿Cuál de las siguientes
es la mejor formalización para la negación de la oración anterior dado el siguiente dominio
y diccionario? Dominio de discurso: los participantes de la carrera. Diccionario: Gx x
ganará la carrera.
a) ∃x∃y((Gx ∧ Gy) ∧ ∀z(Gz⊃ ((z=x) ∨ (z=y))))
b) ∃x∃y((Gx ∧ Gy) ∧ (x≠ y)) ∨ ∀z(¬Gz)
c) ∃x∃y(Gx ∧ Gy) ∨ ∀z(¬Gz)
d) ∃x(Gx ∧ ∀y(Gy⊃ (x=y)))
e) ∃x∃y(((Gx ∧ Gy) ∧ (x≠y)) ∧ ∀z(Gz ⊃ ((z=y) ∨ (z=y))))
28. ¿Qué se sigue de lo siguiente?
Todo el que es matemático es soberbio. Hay quienes son físicos y matemáticos. Sólo los
físicos son pandrosos. Algunos pandrosos son amantes de los animales. Jaime es físico y
matemático.
a) Jaime es amante de los animales.
b) Hay quienes son soberbios y pandrosos.
c) Jaime es amante de los animales o pandroso.
d) Que Jaime sea pandroso y no sea soberbio, no ocurre.
e) Todos los matemáticos son físicos.
29. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre argumentos no es verdadero?
a) Si no hay una asignación que haga verdadera a todas las premisas
entonces el argumento es válido.
b) En argumentos válidos las tautologías como conclusión pueden ser el
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resultado de premisas falsas.
c) Las contradicciones sólo pueden ser derivadas válidamente de conjuntos
de premisas inconsistentes.
d) Si la conclusión de mi argumento es verdadera en todos los casos, mi
argumento es válido.
e) Si la conclusión de mi argumento es falsa en todos los casos, mi
argumento es inválido.
30. Los políticos siempre mienten. En cierta ocasión, Peña Nieto (que es un
político) dijo algo que la gente no entendió, ¿cuál de las siguientes cosas no pudo haber
dicho?
a) No es cierto que yo estoy aquí ahora.
b) Ya sé que no aplauden, o no es cierto que la casa es y no es de Gaviota.
c) Si sucede que la casa es de Gaviota y ustedes no aplauden, entonces si la
casa es de Gaviota, ustedes aplauden.
d) No es cierto que: si Gaviota aplaude entonces hay alguien que aplaude.
e) Ayer comí frijol con gorgojo.
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