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La Gaceta de la RSME, Vol. 16 (2013), Núm. 2, Págs. 313–330
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El Diablo de los Números
Sección a cargo de
Javier Cilleruelo
¿Debemos intentar resolver la conjetura de Markoff?
por
Anitha Srinivasan
Resumen.
En este artículo explicaremos en qué consiste la conjetura de
Markoff, una conjetura de casi 100 años de antigüedad, y muy difícil de resolver, sobre las soluciones enteras de la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 3xyz. Daremos
una breve historia donde veremos los resultados principales empezando con
el célebre teorema de Markoff, su relación con varios temas de naturaleza diversa (espectros de Markoff y Lagrange, fracciones continuas, aproximaciones
por racionales, árboles, palabras de Christoffel, grupos de ideales,. . . ), y finalizando con algunos casos particulares de la conjetura cuya demostración es
particularmente sencilla.
1.
Introducción
Richard Guy empezó su artículo «¡No intentéis resolver estos problemas!» ([13] o
[16, p. 231]) diciendo «Tal exhortación probablemente producirá un efecto contrario,
pero lo digo en serio y explicare por qué», y procedió a describir cinco conjeturas
consideradas extremadamente difíciles de resolver. Una de estas conjeturas es la
fascinante conjetura de Markoff sobre las soluciones de la ecuación diofántica
x2 + y 2 + z 2 = 3xyz,
(1)
llamada ecuación de Markoff.
Una terna de enteros positivos (a, b, c) tal que a, b, c satisfacen esta ecuación se
denomina terna de Markoff. Los números a, b, c se llaman números de Markoff. Si la
terna satisface a ≤ b ≤ c se dice que es una terna ordenada.
La conjetura de Markoff dice que si c es un número de Markoff y (a, b, c) y (a0 , b0 , c)
son dos ternas de Markoff tales que a ≤ b ≤ c y a0 ≤ b0 ≤ c, entonces a = a0 y b = b0 .
En otras palabras —y teniendo en cuenta que de los resultados de la sección 4 se
sigue que todo número de Markoff aparece como maximal en alguna terna—, dado
314
El Diablo de los Números
un número de Markoff c, hay exactamente una terna de Markoff ordenada (a, b, c)
con el elemento maximal igual a c.
Los números de Markoff aparecieron por primera vez en el artículo [18], publicado por Andrei
Andreyevich Markoff en 1879 y donde demostraba un teorema impresionante, ahora conocido como teorema de Markoff, sobre el valor mínimo de
una forma cuadrática binaria real. En cuanto al
nombre, es también muy común verlo escrito como Markov. Dado que Markoff era un matemático
ruso, las dos maneras de escribirlo pueden considerarse correctas o, más bien, incorrectas. En la
literatura parece que Markoff se usa en los trabajos más relacionados con lo que trataremos aquí, y
se suele usar Markov en otras áreas como la Probabilidad, donde da nombre a las cadenas y los
procesos de Markov.
Andrei Andreyevich Markoff
Markoff, en ese trabajo fenomenal, no trató la
(1856–1922)
conjetura, pues su prueba solo necesitaba los números de Markoff sin importar la conjetura. Fue
Frobenius [12], en 1913, quien la enunció, y por eso también se conoce a veces como
conjetura de Frobenius. La conjetura no está resuelta a día de hoy. Sin embargo,
está demostrada en algunos casos especiales.
Cuando el número de Markoff es o bien una potencia de un número primo impar,
c = pn , o bien dos veces una potencia de un número primo impar, c = 2pn , entonces
la conjetura es cierta. Los primeros resultados en esta dirección son de Baragar [2]
cuando c = pn , y Button [4] y Schmutz [21] en el caso c = pn o 2pn . Otras pruebas
de estos mismos casos aparecen en [17], [24] y [28]. También se sabe que la conjetura
es verdad cuando el mayor divisor impar de 3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de un
primo. Baragar [2] dio la prueba en el caso en que 3c − 2 o 3c + 2 es un primo o
cuatro veces un primo, y Zhang [27] completó los casos restantes. Jorge Jiménez dio
otra demostración sencilla de este caso (véase el teorema 7.2). Button, en [5], mostró
que la conjetura es cierta para números de Markoff que tienen la forma kpn , donde
p es un primo y k < 1035 . Este resultado es una consecuencia del hecho de que la
conjetura ha sido verificada para los números de Markoff c ≤ 10140 .
La prueba más sencilla del caso c = pn o 2pn , que reproducimos en la sección 7,
está dada en [24]. Esta demostración es completamente elemental, pues usa solamente
el concepto de máximo común divisor y algunas propiedades básicas bien conocidas
de los números de Markoff. ¡Así que se podía haber dado en la época de Frobenius!
Las otras pruebas conocidas en estos casos usan una variedad de métodos de áreas
como Geometría Aritmética y Geometría Hiperbólica, lo que muestra la importancia
de los números de Markoff y sus ramificaciones a muchas áreas de Matemáticas.
Quizás también muestra que se consideraba muy difícil probar la conjetura incluso
en estos casos sencillos. Dado que existe la demostración elemental de [24] para
estos casos, es lógico preguntarse si quizás también existe una prueba sencilla de la
315
La Gaceta ? Secciones
conjetura en el caso general. Antes de que el lector empiece con todo ánimo, dejando
cualquier otra tarea, a tratar de resolver esta conjetura, se le ruega que tenga en
cuenta los comentarios de matemáticos maduros como Richard Guy. Por otra parte,
y en opinión de esta autora, esta conjetura toca tantas áreas de estudio, en maneras
tan inesperadas, que cualquier intento serio de resolverla tendría como consecuencia
un enriquecimiento del conocimiento. Para ver más resultados sobre esta conjetura,
se pueden consultar los artículos [5], [9] y [23].
2.
El teorema de Markoff
En esta sección veremos el teorema de Markoff, en cuya prueba surgieron por
primera vez los números de Markoff. No trataremos de demostrarlo, pues, además
de ser sumamente no trivial, no está relacionado directamente con la conjetura. Lo
que sí que es interesante es ver cómo entran los números de Markoff en este teorema.
Markoff escribió dos artículos ([18] y [19]) en los que probaba el teorema usando
la teoría de fracciones continuas y la teoría de formas cuadráticas binarias. Una
excelente exposición de la demostración usando fracciones continuas está dada por
Cusick y Flahive [10]. Además, tanto Cassels como Bombieri dieron pruebas más
sencillas y fáciles de entender que las originales de Markoff; la de Cassels [6] usaba
formas, y la de Bombieri [3] utilizaba fracciones continuas y cierto tipo de palabras
primitivas.
Una forma cuadrática binaria real es una función f (x, y) = ax2 +bxy+cy 2 , donde
a, b, c son números reales. A partir de ahora, la palabra forma siempre significa una
forma cuadrática binaria. Si los numeros a, b, c son enteros entonces se denomina
forma entera; y, también en este caso, si mcd(a, b, c) = 1, hablamos de una forma
primitiva. El número b2 − 4ac = d(f ) es el discriminante de la forma f = f (x, y).
Cuando d(f ) > 0, la forma se llama indefinida. El valor mínimo de la forma f es el
número
m(f ) = ı́nf{|f (x, y)|},
donde x, y son enteros y no ambos iguales a 0. Nótese que m(f ) = m(−f ). Un
múltiplo de una forma f (x, y) = ax2 +bxy+cy 2 es una forma rax2 +rbxy+rcy 2 donde
r 6= 0 es un número real. Se puede comprobar que si la forma f tiene discriminante
d, entonces el discriminante de la forma rf es r2 d; también que m(rf ) = |r|m(f ).
Por ejemplo, si f = x2 + xy − y 2 , entonces m(f ) = 1 y m(rf ) = |r|.
Dos formas f (x, y) = ax2 + bxy+ cy2 y g(x, y) = a0 x2 + b0 xy + c0 y 2 se dicen
equivalentes si hay una matriz A =
αβ
γ δ
, donde α, β, γ, δ son enteros y satisfacen
αδ − βγ = ±1, tal que f (αx + βy, γx + δy) = g(x, y). Es fácil probar que las formas
equivalentes tienen el mismo valor mínimo.
Korkine y Zolatareff mostraron que el valor mínimo de cualquier
forma cuadrática
√
d
√
binaria real f con discriminante d > 0 cumple m(f ) ≤ 5 ; y, si f es equivalente
√
a un múltiplo de F1 (x, y) = x2 + xy − y 2 , su valor mínimo es m(f ) = 1 = √d5 .
También probaron que, si f no es equivalente a un múltiplo de F1 , entonces m(f ) ≤
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El Diablo de los Números
√
√d ,
8
√
mientras que m(f ) = 1 = √d8 si f es equivalente a un múltiplo de la forma
F2 (x, y) = x2 + 2xy − y 2 .
Markoff, inspirado
por este resultado, se puso a pensar sobre el valor que debe
√
d
√
reemplazar a 8 para las formas no equivalentes a los múltiplos de F1 (x, y) o F2 (x, y),
y así descubrió una sucesión infinita de formas, donde F1 (x, y) y F2 (x, y) son las dos
primeras. Esta sucesión de formas, ahora llamadas formas de Markoff, se corresponde
con los números de Markoff de modo que, para cada número de Markoff m, hay una
forma de Markoff Fm = Fm (x, y). La sucesión de las formas de Markoff es, entonces,
F1 , F2 , F5 , F13 , F29 , . . . . Usando estas formas, Markoff dio el siguiente teorema.
Teorema 2.1 (Markoff). Sea f (x, y) = ax2 +bxy +cy 2 una forma con discriminante
d = b2 −√4ac > 0 y m(f ) = ı́nf{|f (x, y)| : x, y ∈ Z, no ambos nulos}. Entonces
m(f ) > 3d si y solo si f es equivalente a un múltiplo de una forma de Markoff
Fm (x, y).
Obsérvese que el discriminante de √
la forma de √
Markoff Fm es d(Fm ) = 9 − 4/m2
d(Fm )
d(Fm )
. En particular, las formas
y su mínimo cumple m(Fm ) = 1 = √
>
3
2
9−4/m
de Markoff satisfacen
p
d(f )
.
3
Lo que Markoff probó es que son esencialmente las únicas para las que esta desigualdad es cierta.
Con su teorema, Markoff extendió el resultado de Korkine y Zolatareff antes
mencionado en la siguiente manera. Korkine y Zolatareff habían probado que, si
f
√
no es equivalente a un múltiplo de F1 (x, y) = x2 + xy − y 2 , entonces m(f ) ≤ √d8 ,
m(f ) >
√
mientras que m(f ) = √d8 si f es equivalente a un múltiplo de F2 (x, y) = x2 +2xy−y 2 .
Del teorema de Markoff se√desprende que, si f no es equivalente a un múltiplo de F1
o F2 , entonces m(f ) ≤ √ d
y, en caso de que f sea equivalente a un múltiplo de
2
F5 (x, y) = x +
9
5 xy
−
221/25
7 2
5 y , se tiene
m(f ) = √
√
d
.
221/25
Procediendo de este modo, si
0
m < m son dos números de Markoff consecutivos y f es una forma no equivalente
a un múltiplo de ninguna de las formas de Markoff F1 , F2 , F5 , F13 , . . . , Fm , donde
1, 2,√5, . . . , m son los números de Markoff menores o iguales que m, entonces m(f ) ≤
√ d 02 .
9−4/m
Hemos descrito aquí el resultado de Markoff tal como lo explica Cassels en [6].
Cassels hizo la observación de que hay una ambigüedad al definir las formas de
Markoff, y la razón es que la definición de una forma de Markoff Fm (x, y) depende
de la terna ordenada (a, b, m) (cada número de Markoff es el elemento maximal
de una terna ordenada). Entonces, si la conjetura de Markoff no es cierta para m,
tenemos dos ternas de Markoff ordenadas y distintas con el elemento maximal igual
a m, lo que quiere decir que habría dos formas Fm (x, y). Sin embargo, el teorema de
Markoff no se ve afectado por este punto, pues solo trata de los números de Markoff
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La Gaceta ? Secciones
(más bien, de las soluciones de la ecuación de Markoff), sin importar las ternas de
Markoff.
El teorema 2.1 tiene una forma equivalente en la que, en vez del valor mínimo de
formas cuadráticas, se habla de las aproximaciones de los números irracionales por
números racionales; dado un número irracional α, el objetivo es conocer para qué
constantes C existen infinitos números racionales pq tales que
α − p < C 1 .
q
q2
Dos números irracionales α y β son equivalentes si α = aβ+b
cβ+d donde a, b, c, d son
enteros y satisfacen ad − bc = ±1. En este contexto, el teorema de Markoff dice que
cada número irracional α admite un número infinito de aproximaciones racionales pq
tales que
α − p < √ 1 ,
q
5q 2
√
y, si α es equivalente a w1 = 1+2 5 , entonces la constante √15 no se puede reemplazar
por un número menor. Si α no es equivalente a w1 entonces hay un número infinito
de aproximaciones racionales pq tales que
α − p < √ 1 ,
q
8q 2
√
y, esta vez, si α es equivalente a w2 = 1 + 2, la constante √18 no se puede mejorar.
Prosiguiendo, se puede llegar a un enunciado general similar al del teorema 2.1, con
la diferencia de que, en lugar de una sucesión de formas Fm , tenemos una sucesión
de números irracionales wm donde m es un número de Markoff.
Terminamos esta sección con un resultado de mucho interés y relevancia en el
área de los grupos de clases de ideales en los cuerpos cuadráticos.
Teorema 2.2 ([25]). El grupo de clases de ideales de un cuerpo cuadrático real
de
√
d
discriminante d está generado por ideales con normas menores o iguales que 1+b 3 c.
El teorema 2.2 es una consecuencia directa del teorema de Markoff aplicado a
las formas binarias enteras. Si Fm es una forma de Markoff entonces mFm , si m es
2
impar, o m
2 Fm , cuando m es par, es una forma entera con discriminante 9m − 4 o
m 2
9( 2 ) −1 respectivamente. Se sabe que las formas enteras primitivas de discriminante
d forman un grupo, llamado el grupo de clases de ideales. El teorema 2.2 muestra
que
si hay una clase de ideales donde cada ideal en la clase tiene norma mayor que
√
d
,
3 entonces esta clase corresponde a una forma de Markoff Fm y la norma mínima
en esta clase es igual a 1 + b
3.
√
d
3 c.
Los espectros de Markoff y Lagrange
En la sección anterior vimos dos maneras de entender el teorema de Markoff, una
usando formas y la otra con números irracionales. Hay una relación íntima entre estos
318
El Diablo de los Números
dos temas, lo cual ha suscitado gran interés y mucha investigación. Así pues, y pese
a que nos estamos apartando un poco de nuestro objetivo de analizar la conjetura de
Markoff, en esta sección nos vamos a detener brevemente para profundizar en esta
relación.
Empecemos con unas definiciones adicionales relacionadas con los conceptos que
hemos usado en la sección anterior. Para una forma cuadrática real f (x, y) con
discriminante d > 0, definimos la constante de Markoff
√
d
,
M (f ) =
m(f )
donde m(f ) es el valor mínimo de f . El conjunto de todos los valores M (f ) se
denomina espectro de Markoff. Si α es un número irracional, entonces la constante
de Lagrange L(α) se define como el supremo de los números L tales que
α − p < 1
(2)
q Lq 2
es cierto para un número infinito de aproximaciones racionales pq . El conjunto de
todos los valores L(α) se denomina espectro de Lagrange. Nótese que las formas
equivalentes tienen el mismo valor de la constante de Markoff, y los números irracionales equivalentes tienen el mismo valor de la constante de Lagrange.
Es bien conocido que las fracciones continuas se utilizan para dar aproximaciones
racionales de los números irracionales. Una fracción continua (simple) es
1
[a0 , a1 , a2 , . . . ] = a0 +
a1 +
1
a2 + · · ·
donde a0 es un entero y, para i ≥ 1, los ai son enteros positivos. Cada número
real tiene una representación como fracción continua. Los números ai se llaman los
cocientes incompletos de α y, por definición, el enésimo convergente a α es
pn
= [a0 , a1 , . . . , an ] = a0 +
qn
1
a1 +
.
1
a2 + · · ·
1
an
La sucesión ( pqnn ) converge a α y se puede mostrar que, si n ≥ 1,
1
α − pn =
qn
(αn+1 + β1n )qn2
(3)
donde αn+1 = [an+1 , an+1 , . . . ] y βn = [an , an−1 , . . . , a1 ].
Es conocido
que el espectro de Markoff contiene al espectro
de Lagrange y que
√
√
M (f ) ≥ 5 para todas las formas f . Por tanto L(α) ≥ 5 > 2 y de (2) deducimos
que
α − p < 1
(4)
q 2q 2
La Gaceta ? Secciones
319
para un número infinito de fracciones pq . Un resultado clásico dice que si (4) es
cierto para un racional pq , entonces este es un convergente de α, lo que quiere decir
que, para hallar L(α), en (2) necesitamos considerar solamente las fracciones pq que
son convergentes de α; en particular, por esta razón, y teniendo en cuenta (3), la
constante de Lagrange también se define como
1
.
(5)
L(α) = lı́m sup αn+1 +
βn
n
√
Si α = 1+2 5 = [1, 1, . . . ] es la razón áurea, es fácil ahora calcular L(α). Tenemos
√
αn+1 = α y βn = pqnn y por lo tanto (αn+1 + β1n ) converge a α + α1 = 5, luego de
√ √
(5) se sigue que L 1+2 5 = 5.
El teorema de Markoff (teorema 2.1) dice que, si M (f ) < 3, entonces q
f es equi-
valente a una forma de Markoff Fm y, por lo tanto, M (f ) = M (Fm ) = 9 − m42 ,
donde m es un número de Markoff. En términos
de los números α irracionales teq
nemos que, si L(α) < 3, entonces L(α) = 9 − m42 , lo que quiere decir que, en el
intervalo (0, 3), los espectros de Markoff y Lagrange coinciden; más aún, toman una
cantidad numerable de valores que se corresponden con los números de Markoff.
La parte de los espectros para valores mayores que 3 todavía no se entiende
completamente, y sigue siendo un área de investigación activa. Un número que está
en el espectro de Markoff pero no está en el espectro de Lagrange, dado por Freiman,
es
[2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2] + [0, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2] = 3.293 . . . ,
donde estamos denotando n = n, n, n, n, . . . . Se sabe que los dos espectros son conjuntos cerrados y por eso se buscan los intervalos abiertos llamados huecos maximales, es decir, que no tienen ningún valor del espectro de Markoff y cuyos puntos
extremos
pertenecen al espectro de Markoff. El primer hueco maximal descubierto
√ √
fue ( 12, 13). Freiman [11, teorema 1, p. 66, teorema 2, p. 95] mostró que, a partir
del número
f=
693746111282512
√
= 4.5278 . . . ,
153640040533216 − 19623586058 462
todos los números pertenecen a los dos espectros, lo que deja solamente el intervalo
(3, f ) donde los espectros no coinciden; quizás es esta la razón por la cual muchas
veces se intercambian los nombres de los dos espectros. Freiman hizo extensos cálculos para probar este resultado, y más de 100 páginas de su libro antes mencionado
están dedicadas a él. Para leer más detalles de este tema se puede consultar [10],
donde se da una bonita y detallada descripción.
4.
El árbol de Markoff
Markoff mostró que hay una manera fácil de generar todos los números de Markoff
y que se pueden representar en un árbol. Observemos primero que, si en una terna de
320
El Diablo de los Números
a
c
3ab − c
b
Figura 1: La regla de construcción del árbol de Markoff.
Markoff (a, b, c), que en principio no consideramos ordenada, dos de los tres números
son iguales, entonces 2a2 + b2 = 3a2 b, lo que quiere decir que a2 divide a b2 , o a
divide a b. Si b = ak, donde k en un entero, la ecuación queda 2 + k 2 = 3ak, y por
tanto k divide a 2, así que forzosamente k = 1 o 2. En ambos casos tenemos a = 1 y
obtenemos las dos ternas (1, 1, 1) y (1, 1, 2), llamados ternas de Markoff singulares.
Dada una terna de Markoff (a, b, c), queremos ahora hallar todas las ternas de
Markoff (a, b, x). Eso requiere resolver la ecuación a2 + b2 + x2 = 3abx. Considerando
esta ecuación como una cuadrática en x obtenemos dos soluciones, x = c y x =
3ab − c. Hemos descubierto una nueva terna (a, b, 3ab − c). De la misma manera,
fijando a y c, o b y c, obtendremos las ternas de Markoff (a, c, 3ac−b) y (b, c, 3bc−a).
Por lo tanto, de una terna de Markoff no singular (a, b, c) obtenemos tres nuevas
ternas de Markoff, de las que se dice que son las ternas vecinas de (a, b, c). Por
ejemplo, de la terna (1, 2, 5) obtenemos sus vecinas (1, 1, 2), (1, 5, 13) y (2, 5, 29).
Las ternas de Markoff no singulares se pueden disponer en un árbol donde cada
vértice representa una terna de Markoff. Si dos ternas de Markoff son vecinas entonces hay una arista entre los vértices que las representan. Dado que cada terna de
Markoff no singular tiene tres vecinas, de cada vértice del árbol de Markoff salen tres
aristas. Cada vértice, entonces, es el punto de intersección de tres regiones; y las tres
regiones que se intersecan en un vértice representan los tres números de Markoff de
la terna de Markoff representada por este vértice. En la figura 1 se puede observar
la regla por la que se construye el árbol para los dos vecinos (a, b, c) y (a, b, 3ab − c),
y en la figura 2 la parte del árbol en la que aparecen todas las ternas vecinas de
(a, b, c). Empezando con la terna de Markoff (1, 2, 5) podemos construir el árbol de
Markoff (figura 3) usando la regla de construcción de la figura 1.
De los tres vecinos de una terna no singular de Markoff (a, b, c), solamente uno
tiene el elemento maximal (el número más grande de los tres números de la terna)
menor que el elemento maximal de la terna (a, b, c). Para ver este hecho supongamos
que (a, b, c) está ordenado. Está claro que los dos vecinos (b, c, 3cb−a) y (a, c, 3ac−b)
tienen el elemento maximal mayor que c. Usemos ahora que la ecuación de Markoff
(1) se puede escribir como
a
b
c
+
+
= 3.
bc ac ab
a
Observamos que si a < b < c, entonces bc
+
c
3
3
>
3
−
=
,
esto
es,
ab
2
2
3ab − c < c.
b
ac
<
1
c
+
1
a
≤
3
2,
lo que nos da
(6)
Por lo tanto, el vecino (a, b, 3ab − c) tiene el elemento maximal menor que c y es el
321
La Gaceta ? Secciones
3ac − b
a
c
3ab − c
b
3bc − a
Figura 2: Las ternas vecinas de (a, b, c).
único vecino con esta propiedad. Markoff usó este hecho para mostrar que todas las
ternas de Markoff se encuentran en el árbol (figura 3). Dada una terna de Markoff
(a, b, c) podemos generar una sucesión de ternas cuyos elementos maximales son
decrecientes, y donde cada terna es vecina de la terna anterior. Eso quiere decir que
después de un número fijo de pasos llegaremos a la terna (1, 2, 5), lo que a su vez
implica que la terna de Markoff dada está en el árbol de Markoff, porque con la
misma sucesión de vecinos podemos llegar de (1, 2, 5) a (a, b, c) en el árbol. De este
modo, la conjetura de Markoff dice simplemente que, en el árbol de Markoff, un
número de Markoff no aparece en dos sitios distintos.
Quizás el lector agudo haya notado algo interesante de los números que aparecen
en la rama inferior del árbol, 1, 5, 13, 34, 89, . . . ; son los números de Fibonacci con índices impares. Los números de Markoff tienen muchas más propiedades interesantes,
algunas de cuales damos a continuación.
Teorema 4.1 (Propiedades de los números de Markoff).
1. Los tres números de cada terna de Markoff son coprimos dos a dos.
2. Todos los divisores impares de un número de Markoff son congruentes con 1
módulo 4. Todo número de Markoff par es congruente con 2 módulo 4.
3. Si c es un número de Markoff, entonces todos los divisores impares de 9c2 − 4
son congruentes con 1 módulo 4.
4. Si c es un número de Markoff par, entonces los números
impares.
3c+2
8
y
3c−2
4
son
Demostración. La prueba de la primera parte es igual que la prueba antes vista
de que cada terna de Markoff aparece en el árbol. Empezando con la terna (a, b, c)
producimos una sucesión de ternas de Markoff donde cada terna es vecina de la
terna anterior con el elemento maximal menor. Está claro que, después de un número
322
El Diablo de los Números
985
169
14701
29
37666
433
6466
2
5
1
2897
194
7561
13
1325
34
89
Figura 3: El árbol de Markoff.
finito de pasos, llegamos a la terna (1, 2, 5). Ahora, notando que para cualquier terna
(a, b, c) se cumple mcd(a, b) = mcd(a, c) = mcd(b, c) = mcd(a, b, c) y que, si (a, b, c)
y (a0 , b0 , c0 ) son dos ternas vecinas, entonces mcd(a, b, c) = mcd(a0 , b0 , c0 ), concluimos
que mcd(a, b) = mcd(a, c) = mcd(b, c) = mcd(a, b, c) = mcd(1, 2, 5) = 1.
Para probar las partes 2 y 3 usaremos que las soluciones de la ecuación de Markoff (1) cumplen
((a + b)2 + c2 )((a − b)2 + c2 ) = (9c2 − 4)(ab)2 .
(7)
Un resultado clásico es que todos los divisores impares de una suma de dos cuadrados
coprimos son congruentes con 1 módulo 4. También que, si esta suma es par, entonces
es congruente con 2 módulo 4, esto es, 4 no divide a una suma par de dos cuadrados
coprimos. En la ecuación (7), y si c es impar, en el lado izquierdo tenemos el producto
de dos sumas de cuadrados coprimos (de la parte 1 se deduce que mcd(a + b, c) =
mcd(a − b, c) = 1). Por lo tanto, cada divisor impar del lado derecho es congruente
323
La Gaceta ? Secciones
con 1 módulo 4, lo que nos da el resultado observando que, por simetría, podemos
intercambiar los papeles de a, b, y c. El caso c par es similar; observemos simplemente
c 2
2
que, en este caso, ( a+b
2 ) ± ( 2 ) son sumas de cuadrados coprimos.
Analicemos ahora la parte 4. Si c es par, entonces, por las partes anteriores, tenemos c ≡ 2 mód 4 y a ≡ b ≡ 1 mód 4, lo que quiere decir que 25 es la mayor potencia
es
de 2 que divide al lado izquierdo de la ecuación (7) y, por lo tanto, (3c+2)(3c−2)
32
impar. Los dos números 3c − 2 y 3c + 2 son divisibles por 4 porque c ≡ 2 mód 4.
Si 3c − 2 ≡ 0 mód 8, entonces 3c − 2 = 8(2k + 1) para algún entero k, con lo cual
3c + 2 = 16k + 12 = 4(4k + 3), lo que no es posible por la parte 3, luego 3c + 2 es
divisible por 8 y 3c − 2 por 4.
5.
El número de números de Markoff menores que x
En el árbol de Markoff (figura 3) vemos que los números de Markoff parecen crecer
rápidamente, y es natural preguntarse cuántos números de Markoff son menores
que un número fijo x. Denotaremos por N (x) esta cantidad. Zagier [26] dio una
bonita demostración de que, cuando x es grande, N (x) ∼ C(log x)2 , donde C es una
(x)
constante explícita y la notación f (x) ∼ g(x) significa que fg(x)
tiende a 1 cuando x
tiende a ∞. Para estimar N (x), lo que Zagier cuenta no son los números de Markoff,
sino las ternas de Markoff (a, b, c) tales que a < b < c y c ≤ x. Si la conjetura de
Markoff es cierta, está claro que el número de estas ternas es igual a N (x); y, en caso
que la conjetura no sea cierta, este número es mayor que N (x). Se usa el árbol de
Markoff para contar estas ternas porque sabemos (según hemos visto en la sección 4)
que todas las ternas de Markoff se encuentran en el árbol.
Para analizar el comportamiento asintótico del árbol de Markoff, observemos
primero que se puede asumir que a crece con x, pues se puede ver que los valores
pequeños de a contribuyen k log x a N (x). Dividiendo la ecuación de Markoff (1)
por (3ab)2 , tenemos
c 2
1
1
c
=
,
+ 2+
2
9a
9b
3ab
3ab
c 2
c
c
con lo cual ( 3ab
) ∼ 3ab
, esto es, 3ab
∼ 1 o 3ab ∼ c. Mutiplicando por 3 y tomando
logaritmos llegamos a que, para a grande,
log(3a) + log(3b) = log(3c) + ε
donde ε tiende a 0 cuando c tiende a ∞. La expresión anterior sugiere usar la
aplicación Φ(x) = log(3x), que lleva una terna de Markoff (a, b, c) a una solución
aproximada (p, q, r) de la ecuación
p + q = r.
Observamos que p + r = log(3a) + log(3c) = log(9ac) ∼ log(3(3ac − b)) porque
3ac − b ∼ 3ac, lo que quiere decir que la terna vecina (a, c, 3ac − b) será enviada a la
terna (p, r, p + r) y, haciendo lo mismo con las demás ternas vecinas, vemos que la
aplicación Φ lleva la figura 2 con los vecinos de (a, b, c) a la figura 5 con los vecinos
324
El Diablo de los Números
p
p+q
r
q
Figura 4: La regla de construcción del árbol de Euclides.
p+r
p
p+q
r
q
q+r
Figura 5: Los vecinos en el árbol de Euclides.
de (p, q, r). Así pues, la aplicación Φ transforma el árbol de Markoff en otro árbol,
el llamado árbol de Euclides, con la regla de construcción dada en la figura 4, de
modo que, si dos ternas son vecinas en el árbol de Markoff, entonces sus imágenes
bajo Φ son vecinas en el árbol de Euclides. Por lo tanto, hay una correspondencia
biyectiva entre los dos árboles, donde (1, 2, 5), la primera terna del árbol de Markoff,
es enviada a (1, 2, 3), la primera terna en el árbol de Euclides; y utilizando la regla
dada en la figura 4, podemos construir el árbol de Euclides fácilmente (véase la
figura 6). Observemos finalmente que, al igual que en el árbol de Markoff, todas
las ternas (a, b, c) en el árbol de Euclides satisfacen mcd(a, b, c) = 1 pues lo cumple
(1, 2, 3).
Si E(x) es el número de ternas (a, b, c) en el árbol de Euclides con c ≤ x, entonces
E(x) es el número de soluciones (a, b, c) tal que a + b = c con mcd(a, b) = 1 y
1 ≤ a < b < c ≤ x. Eso es fácil de contar usando la función φ de Euler (recordemos
que φ(n) es el número de enteros positivos m menores o iguales que n tales que
mcd(m, n) = 1), y obtenemos
E(x) = −1 +
3 2
1X
φ(c) ∼
x ,
2
2π 2
c≤x
donde hemos usado el hecho bien conocido de que
P
c≤x
φ(c) ∼
3 2
π2 x
(véanse, por
325
La Gaceta ? Secciones
169
7
29
5
433
8
2
Φ
2
5
3
1
1
194
7
13
4
34
5
Figura 6: La biyección entre los árboles de Markoff y Euclides.
ejemplo, [1, teorema 3.7] o [14, teorema 330]). Utilizando argumentos más precisos,
y dado que el árbol de Euclides es aproximadamente la imagen bajo la aplicación
Φ(x) = log(3x) del árbol de Markoff, Zagier llegó a su resultado de que
N (x) ∼ C(log x)2
donde C es cierta constante explícita.
6.
Las palabras de Christoffel y las matrices de Markoff
Una pregunta muy interesante sobre el valor 3 en la ecuación de Markoff es la
siguiente. Si remplazamos el 3 en (1) por otro número, digamos 5, ¿hay soluciones?
La respuesta es no y en general sabemos, como consecuencia de un teorema de Atiyah
y Singer [15], que si n es un entero positivo entonces la ecuación
x2 + y 2 + z 2 = nxyz
(8)
tiene soluciones en enteros x, y, z solo cuando n = 1 o n = 3. Cuando n = 1 se puede
demostrar que una solución (x, y, z) de (8) satisface mcd(x, y, z) = 3 y, por lo tanto,
( x3 , y3 , z3 ) es una solución de la ecuación de Markoff (1). Inversamente, si (a, b, c) es
una solución de (1), la terna (3a, 3b, 3c) es una solución de (8) con n = 1, lo que
quiere decir que hay una biyección entre las soluciones (x, y, z) de (8) con n = 1 y
las soluciones (a, b, c) de la ecuación de Markoff (1).
326
El Diablo de los Números
De hecho, Cohn trabajó únicamente con la ecuación x2 + y 2 + z 2 = xyz, usando
las denominadas matrices de Markoff o de Cohn-Markoff, cuyas trazas (la suma de
los elementos en la diagonal principal) son tres veces un número de Markoff. Damos
a continuación solo la idea principal de Cohn, sin precisar ni los términos ni las
pruebas, para las cuales remitimos al lector a [8].
Sea SL2 (Z) el grupo formado por las matrices con coeficientes enteros y determinante 1 y F el subgrupo de SL2 (Z) generado libremente por las matrices
1 1
2 1
A=
y B=
.
1 2
1 1
Si X e Y son dos generadores cualesquiera de F, entonces Fricke demostró que
(tr X)2 + (tr Y )2 + (tr XY )2 = (tr X)(tr Y )(tr XY ),
(9)
donde tr M denota la traza de la matriz M . Cohn mostró que a cada terna de Markoff
(a, b, c) corresponde una terna de matrices de Markoff (X, Y, XY ) tal que
tr X = 3a,
tr Y = 3b,
tr XY = 3c,
(10)
y por lo tanto estas matrices satisfacen (9).
Las matrices de Markoff están íntimamente relacionadas con las palabras de
Christoffel. Usando palabras de Christoffel, se puede dar una hermosa interpretación
geométrica de los números de Markoff. El concepto que da lugar a las palabras
de Christoffel no es nada nuevo, sino que fue introducido por Christoffel en 1875,
unos años antes del trabajo de Markoff, aunque su denominación como palabras de
Christoffel es más reciente. Para construir las palabras de Christoffel consideremos
un retículo de puntos con coordenadas enteras. Un camino entero consiste en una
serie de pasos consecutivos elementales, donde un paso elemental es el segmento
[(a, b), (a + 1, b)] o [(a, b), (a, b + 1)]. Denotemos un paso elemental horizontal por x,
y un paso elemental vertical por y.
Sean p y q enteros positivos coprimos. Consideramos el segmento que va desde
el origen (0, 0) al punto (p, q), y el camino entero entre estos dos puntos, por debajo
del segmento, tal que el polígono formado por este camino y el segmento no tiene
puntos interiores con coordenadas enteras. La palabra de Christoffel de pendiente pq
es una palabra escrita con el alfabeto {x, y} definido por este camino. Por ejemplo, la
figura 7 muestra la palabra de Christoffel de pendiente 53 . Cada palabra de Christoffel
tiene una descomposición en dos palabras de Christoffel obtenidas al descomponer
el camino en dos partes, donde la primera parte es la que une (0, 0) con el punto de
coordenadas enteras más cercano al segmento. Por ejemplo, la descomposición de la
palabra w = xyxyyxyy de la figura 7 es w = w1 w2 con w1 = xyxyy y w2 = xyy.
Dada una palabra de Christoffel, al reemplazar cada x por la matriz A = ( 11 12 ) ,
y cada y por B = ( 21 11 ) , obtenemos una matriz cuya traza es tres veces un número
de Markoff, esto es, una matriz de Markoff. Por ejemplo, la matriz que corresponde
a la palabra w = xyxyyxyy dada en la figura 7 es M = ABABBABB, cuya traza es
tr M = 3 · 37666. También tenemos M1 = ABABB y M2 = ABB que corresponden
327
La Gaceta ? Secciones
(3, 5)
(0, 0)
Figura 7: La palabra de Christoffel xyxyyxyy con pendiente
5
.
3
a las palabras w1 y w2 , y está claro ahora que la terna de Markoff correspondiente
a w = w1 w2 es ( tr 3M1 , tr 3M2 , tr3M ) = (433, 29, 37666). Reutenauer, en [20], demostró
que existe una correspondencia entre las ternas de Markoff y las palabras de Christoffel. Lo que acabamos de ver es cómo conseguir la terna de Markoff correspondiente
a una palabra de Christoffel.
Para ver el inverso, es decir, dada una terna de Markoff (a, b, c) obtener la palabra de Christoffel correspondiente, usamos el resultado de Cohn que da una terna de
matrices de Markoff (X, Y, XY ) que corresponde a (a, b, c), donde X, Y son generadores de F. Las matrices X y Y son elementos del grupo generado por A y B, de lo
cual se deduce fácilmente (intercambiando los papeles de A, B por x, y) la palabra
de Christoffel correspondiente a la terna de Markoff (a, b, c).
7.
Pruebas elementales
La conjetura de Markoff solamente está probada en el caso en que el número de
Markoff c es una potencia o dos veces una potencia de un primo, o cuando el divisor
impar más grande de 3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de un primo. Reproducimos
aquí las pruebas completamente elementales dadas en [24] (el teorema 7.2 es debido
a Jorge Jiménez). Empezamos con una identidad fácil de verificar. Si (a1 , b1 , c) y
(a2 , b2 , c) son dos ternas de Markoff, entonces
(a1 a2 − b1 b2 )(a1 b2 − b1 a2 ) = c2 (a1 b1 − a2 b2 ).
(11)
Teorema 7.1. Si un número de Markoff c es una potencia de un primo o dos veces
una potencia de un primo, entonces la conjetura de Markoff es verdad para c.
Demostración. Sean (a1 , b1 , c) y (a2 , b2 , c) dos ternas de Markoff que satisfacen
ai ≤ bi ≤ c para i = 1, 2. Supongamos que a1 b1 − a2 b2 = 0. De la identidad (11) se
deduce que a1 a2 = b1 b2 o a1 b2 = b1 a2 . Si a1 a2 = b1 b2 entonces, por ser mcd(a1 , b1 ) =
328
El Diablo de los Números
mcd(a2 , b2 ) = 1, tenemos a1 = b2 y a2 = b1 . De la misma manera, si a1 b2 = b1 a2
tenemos a2 = a1 y b2 = b1 . Podemos por tanto asumir que a1 b1 − a2 b2 6= 0.
Sea g > 2 un primo impar que divide a c. Demostraremos, por reducción al
absurdo, que g no puede dividir a los dos números a1 a2 −b1 b2 y a1 b2 −b1 a2 . Asumimos
lo contrario, es decir, que a1 a2 ≡ b1 b2 mód g y a1 b2 ≡ b1 a2 mód g. Multiplicando
esas dos congruencias obtenemos a21 a2 b2 ≡ b21 a2 b2 mód g, lo que da a21 ≡ b21 mód g
porque mcd(a2 b2 , c) = 1. Combinando esta última congruencia con g | (a21 + b21 ) (por
la ecuación (1)) tenemos g | b1 , lo que no es verdad porque mcd(c, b1 ) = 1. Hemos
demostrado que mcd(a1 a2 −b1 b2 , a1 b2 −b1 a2 , c0 ) = 1, donde c0 = c cuando c es impar
y 2c cuando c es par (nótese además que, por la parte 2 del teorema 4.1, si c es par,
entonces 2c es impar). Podemos entonces escribir c = pq o 2pq, dependiendo de si c
es impar o par respectivamente, con p y q coprimos y de modo que se verifica
a1 a2 − b1 b2 ≡ 0
mód p2
y
a1 b2 − b1 a2 ≡ 0
mód q 2 .
Ahora, si c es una potencia de un primo impar o dos veces una potencia de un primo
impar, concluimos que uno de los dos números p o q, digamos que q, es igual a 1. Por
lo tanto p = c o 2c , dependiendo de si c es impar o par respectivamente. Si c es impar
tenemos a1 a2 − b1 b2 ≡ 0 mód c2 . Dado que ai , bi ≤ c, sigue que a1 a2 − b1 b2 = 0 y
por eso a2 = b1 y b2 = a1 (porque mcd(ai , bi ) = 1), lo que es imposible.
Si c es par, entonces ai , bi son impares, y como todos los números de Markoff
impares son congruentes con 1 módulo 4 (parte 2 del teorema 4.1), tenemos a1 a2 −
2
2
b1 b2 ≡ 0 mód 4. También a1 a2 − b1 b2 ≡ 0 mód c4 (porque p = 2c ), y como c4 es
impar (c ≡ 2 mód 4), se deduce como en el caso anterior que a1 a2 −b1 b2 ≡ 0 mód c2 ,
y hemos terminado la demostración.
Teorema 7.2. Si c es un número de Markoff tal que el mayor divisor impar de
3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de un primo, entonces la conjetura de Markoff es
verdad para c.
Demostración. Sean (a1 , b1 , c) y (a2 , b2 , c) dos ternas de Markoff, y Ai =
i
Bi = ai −b
2 , para i = 1, 2. De la ecuación de Markoff (1) tenemos
(2 − 3c)(2Ai )2 + (2 + 3c)(2Bi )2 = −4c2 .
ai +bi
2
y
(12)
Restando las dos ecuaciones para i = 1, 2 en (12) obtenemos
(3c − 2)((2A1 )2 − (2A2 )2 ) = (3c + 2) (2B1 )2 − (2B2 )2 .
(13)
Supongamos que p es un primo impar que divide a 3c + 2. Asumimos que p |
mcd(2(A1 + A2 ), 2(A1 − A2 )). Entonces p | 2A1 y de (12) se sigue p | c, lo que
no es posible, y por lo tanto de (13) obtenemos que p divide a 2(A1 + A2 ) o a
2(A1 − A2 ). En la misma manera, si p | (3c − 2) llegamos a que p divide a 2(B1 + B2 )
o a 2(B1 − B2 ).
Analicemos ahora qué ocurre cuando c es impar y 3c + 2 es una potencia de
un primo p. Entonces, (3c + 2) | 2(A1 + A2 ) o 2(A1 − A2 ), lo√que no es posible si
ai ≤ bi ≤ c, porque entonces de (1) tendríamos ab < c o a < c, lo que conduciría
La Gaceta ? Secciones
329
√
a 3c + 2 ≤ 2(A1 + A2 ) = b1 + b2 + a1 + a2 ≤ 2(c − 1) + 2 c. El caso en que 3c − 2
es una potencia de un primo se trata de la misma manera.
Finalmente, asumamos que c es par. Por el teorema 4.1 tenemos que c no es
divisible por 4, y 3c−2
y 3c+2
son impares. También que A1 , A2 son enteros impares y
4
8
B1 , B2 son enteros pares. Por lo tanto, si 3c−2
es una potencia de un primo, entonces
4
B1 −B2
B1 +B2
3c−2
3c−2
2
divide a
oa
, y por eso 4 ≤ | B1 +B
| ≤ 2c si ai ≤ bi ≤ c, lo cual
4
2
2
2
3c+2
es una contradicción. El caso en que 8 es una potencia de un primo es similar.
Las pruebas que hemos dado son elementales. ¿Podemos conseguir algo semejante
en otros casos, por ejemplo cuando el número de Markoff es un producto de dos
primos? Dejamos al lector decidir, puesto que ya conoce un poco mejor esta conjetura
tan difícil de ignorar.
Agradecimientos. Me gustaría dar las gracias a Jorge Jiménez por su lectura
cuidadosa del manuscrito, que ha ayudado a eliminar varias imprecisiones.
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Anitha Srinivasan, Department of Mathematics, Saint Louis University – Madrid Campus,
Avenida del Valle 34, 28003 Madrid, Spain
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