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UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO I
Notas de clase
Álgebra extendida de límites
Simbolizaremos cada teorema de álgebra de límites mediante una fórmula que expresa
cómo son las operaciones aritméticas entre números reales o entre números reales y los
infinitos (+∞ y −∞) o entre los infinitos mismos. Por ejemplo, el teorema
Si lím  () =  y lím  () = +∞ entonces lím [ () +  ()] = +∞
→¤
→¤
→¤
(donde el símbolo ¤ representa cualquiera de las cinco posibilidades , +, −, +∞ y
−∞) se simboliza mediante la fórmula
(1)
 + (+∞) = +∞
que se expresa diciendo que la “suma” de cualquier número real con +∞ es +∞. Análogamente, el teorema
 ()
= −∞
→¤  ()
Si lím  () =   0 y lím  () = 0− entonces lím
→¤
→¤
(donde nuevamente el símbolo ¤ representa cualquiera de las cinco posibilidades , +,
−, +∞ y −∞) se simboliza mediante la fórmula

= −∞
0−
(  0)
(2)
que se expresa diciendo que el cociente entre cualquier real positivo y cero por la izquierda es −∞.
No olvide entonces que fórmulas como (1) y (2) no son fórmulas de una aritmética
entre reales e infinitos sino que lo parecen. Ellas son en realidad símbolos abreviados
de teoremas cada uno de los cuales está justificado por una demostración matemática
enmarcada en la teoría formal de límites. No obstante, reflexione unos momentos sobre
cada una de las fórmulas y note cómo la gran mayoría de ellas resultan muy naturales
desde el punto de vista intuitivo.
Notas de clase
Nota. “IND” significa “límite indeterminado” o “forma indeterminada”. Recuerde que
esto significa que no podemos decir de antemano cuál es, en forma general, el resultado
del límite pues depende de cada caso particular, esto es depende de cuáles son las
funciones específicas involucradas, de modo que el valor del límite puede ser en algunos
casos un número real, en otros +∞, en otros −∞ y en otros simplemente solo podemos
decir que no existe o no tiene sentido. (Note que, en consecuencia, aquellos límites de
los cuales sabemos con seguridad que su valor es +∞ o −∞ no son indeterminados.)
Sumas
+ =+
(+∞) +  = +∞
(−∞) +  = −∞
 + (+∞) = +∞
(+∞) + (+∞) = +∞
(−∞) + (+∞) = IND
 + (−∞) = −∞
(+∞) + (−∞) = IND
(−∞) + (−∞) = −∞
Diferencias
− =−
(+∞) −  = +∞
(−∞) −  = −∞
 − (+∞) = −∞
(+∞) − (+∞) = IND
(−∞) − (+∞) = −∞
 − (−∞) = +∞
(+∞) − (−∞) = +∞
(−∞) − (−∞) = IND
Productos
 = 
 · (+∞) = +∞
(  0)
 · (+∞) = −∞
(  0)
0 · (+∞) = IND
 · (−∞) = −∞
(  0)
 · (−∞) = +∞
(  0)
0 · (−∞) = IND
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Álgebra extendida de límites
Más productos
(+∞) ·  = +∞
(  0)
(−∞) ·  = −∞
(  0)
(+∞) ·  = −∞
(  0)
(−∞) ·  = +∞
(  0)
(+∞) · 0 = IND
(−∞) · 0 = IND
(+∞) · (+∞) = +∞
(−∞) · (+∞) = −∞
(+∞) · (−∞) = −∞
(−∞) · (−∞) = +∞
Cocientes
 = 
( 6= 0)
 + ∞ = 0
0 = IND
00 = IND
 + ∞ = 0+
(  0)
0 + ∞ = 0
(  0)
0 − ∞ = 0
0+ = +∞
(  0)
 + ∞ = 0−
0− = −∞
(  0)
 − ∞ = 0
0+ = −∞
(  0)
 − ∞ = 0−
(  0)
0 +  − ∞ = 0−
0− = +∞
(  0)
 − ∞ = 0+
(  0)
0 −  + ∞ = 0−
0 +  + ∞ = 0+
0 −  − ∞ = 0+
Más cocientes
+∞ = IND
−∞ = IND
+∞ = +∞
(  0)
−∞ = −∞
(  0)
+∞ = −∞
(  0)
−∞ = +∞
(  0)
+∞0+ = +∞
−∞0+ = −∞
+∞0− = −∞
−∞0− = +∞
+∞ + ∞ = IND
−∞ + ∞ = IND
+∞ − ∞ = IND
−∞ − ∞ = IND
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Notas de clase
Potencias
 = 
(  0)
(+∞) = +∞
+∞ = 0+
(0    1)
(+∞) = 0+
+∞ = +∞
(  1)
(+∞)0 = IND
−∞ = +∞
(0    1)
(+∞)+∞ = +∞
−∞ = 0+
(+∞)−∞ = 0+
(  1)
Más potencias
(0+) = 0+
(0+) = +∞
(  0)
(  0)
00 = IND
(0+)+∞ = 0+
(0+)−∞ = +∞
1+∞ = IND
1−∞ = IND
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(  0)
(  0)