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Actividad para el curso de
Física:
Fundamentos de
trigonometría. Teorema de
Pitágoras.
Profesor Eduardo Abraham
Escárcega Pliego*.
Índice
1. Introducción.
1
2. Apunte
1
2.1. Funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.
1
2.2. Teorema de Pitágoras. . . . . . . .
3
2.3. Teorema de Pitágoras y funciones
trigonométricas de un ángulo ¸ en
un triángulo rectángulo. . . . . . .
4
2.4. Intervalos de valor de las funciones
trigonométricas de un ángulo ¸ en
un triángulo rectángulo. . . . . . .
3. Ejemplos.
4
7
4. Guía de estudio para el estudiante.
10
4.1. Preguntas a nivel conocimiento. . .
10
4.2. Preguntas a nivel comprensión. . .
10
4.3. Preguntas a nivel aplicación.
10
. . .
5. Ejercicio tipo examen.
1.
10
Introducción.
Se presenta material correspondiente a una actividad del Curso de Física del profesor Eduardo
Abraham Escárcega Pliego para los temas: Fundamentos de trigonometría y teorema de Pitágoras.
Ambos temas proveen de conceptos útiles para el
desarrollo de explicaciones y predicciones que se
construyen en física a hechos fenomenológicos en
el ámbito de aplicación de la física.
No se busca estudiar toda la trigonometría sino
los conceptos fundamentales y algunas de las relaciones entre funciones trigonométricas de un ángulo
en un triángulo rectángulo que resulten de utilidad
para el curso de física, que convenga estudiar y presentar en un inicio para no repetir el contenido cada
vez que sea usado.
Los contenidos tratados se pueden analizar en
la lista de contenidos que aparece al principio del
documento, la cual también permite “ navegar ” en
el documento en su versión electrónica.
Esta actividad sigue los lineamientos generales
para las actividades del Curso de Física del Profesor
Eduardo Abraham Escárcega Pliego.
2.
Apunte
2.1.
Funciones trigonométricas de un
ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.
En esta sección se responde a las pregunta: ¿Qué
son las funciones trigonométricas de un ángulo en
*
Colegio
de
Ciencias
y
Humanidades,
tel
sur,
Universidad
Nacional
Autónoma
de
xico.
Correo-e:
[email protected];
planMéea-
[email protected]. Esta obra se distribuye bajo
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de una manera que sugiera que tiene su apoyo o que apoyan
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obra derivada a partir de esta obra.
1
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Actividad
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UNAM
Figura 1: Triángulo rectángulo en el espacio.
un triángulo rectángulo?
Sea un triángulo en el espacio definido por tres
puntos A, B, y C y por los segmentos de recta, AB,
BC, CA el cual se representará por 4 ABC.
Sea que los segmentos AB y BC definan un ángulo recto con vértice en el punto B, es decir, sea
que los segmentos AB y BC sean mutuamente perpendiculares, ver la figura (1). Entonces diremos
que tal triángulo 4 ABC será un triángulo rectángulo.
Sea que nombremos por ¸, alfa minúscula del
alfabeto griego, al ángulo formado por el segmento
AB y el segmento AC con vértice en el punto A
del triángulo rectángulo 4 ABC, ver figura (1).
Entonces nombraremos como cateto adyacente al
ángulo ¸ al segmento AB, como cateto opuesto al
ángulo ¸ al segmento BC y como hipotenusa del
triángulo rectángulo al segmento AC.
Sea que el cateto adyacente al ángulo ¸ del
triángulo rectángulo, el segmento AB, tenga un
tamaño x. Sea que el cateto opuesto al ángulo ¸
del triángulo rectángulo, el segmento BC, tenga
un tamaño y. Sea que la hipotenusa del triángulo
rectángulo, el segmento AC, tenga un tamaño r,
todo en referencia a la figura (1). Entonces se definen las funciones trigonométricas del ángulo ¸ en
el triángulo rectángulo 4 ABC seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo
¸ en el triangulo rectángulo como:
seno(¸) = sen(¸) =
y
r
coseno(¸) = cos(¸) =
(1)
x
r
(2)
tangente(¸) = tan(¸) =
y
x
(3)
cosecante(¸) = csc(¸) =
r
y
(4)
secante(¸) = sec(¸) =
r
x
cotangente(¸) = ctg(¸) =
(5)
x
y
(6)
Las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en
un triángulo rectángulo son iguales a las constantes de proporcionalidad directa entre los tamaños
de los lados de triángulos rectángulos semejantes
que tengan un mismo ángulo interno ¸.
Las funciones trigonométricas cosecante, secante y cotangente de un ángulo ¸ en un triángulo
rectángulo de acuerdo a sus definiciones están relacionadas con las funciones seno, coseno y tangente del ángulo ¸ en el triángulo rectángulo en
la forma siguiente:
csc(¸) =
1
sen(¸)
(7)
sec(¸) =
1
cos(¸)
(8)
cot(¸) =
1
tan(¸)
(9)
Se cumple también la siguiente relación respecto
a la función tangente del ángulo ¸ en el triángulo
rectángulo:
tan(¸) =
y
x
tan(¸) =
y
r
x
r
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Figura 2: Triángulo rectángulo. Representación gráfica
del teorema de Pitágoras.
Considerando las definiciones de las funciones
trigonométricas seno y coseno del ángulo ¸ en un
triángulo rectángulo dadas por las formulas (1) y
(2) se tendrá:
tan(¸) =
sen(¸)
cos(¸)
(10)
De igual manera se puede afirmar cierta la siguiente igualdad entre las funciones trigonométricas seno, coseno y cotangente de un ángulo ¸ en
un triángulo rectángulo ya que cot(¸) = tan(¸):
cot(¸) =
cos(¸)
sen(¸)
(11)
La importancia de la trigonometría se da a partir
de las propiedades de semejanza de los triángulos
rectángulos. Las funciones trigonométricas de un
ángulo ¸ que esté en triángulos rectángulos semejantes tienen el mismo valor, se les puede evaluar
a partir de un trazo geométrico, como lo es un
círculo de radio unitario, y se les puede usar para
conocer el tamaño de algún segmento en un triángulo rectángulo conocido el tamaño de otro de sus
segmentos y alguna de las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en los triángulos rectángulos
semejantes.
2.2.
Teorema de Pitágoras.
Los tamaños de los lados de tal triángulo rectángulo como el descrito en la sección previa que
se muestra en la figura (1), cumplen el teorema de
Pitágoras1 .
Se considera un triángulo rectángulo como el
mostrado en la figura (2) con tamaños de catetos
x, y y con tamaño de hipotenusa r. El teorema de
Pitágoras afirma que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, r 2 ,
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo, x2 + y 2
r 2 = x2 + y 2
(12)
De otra forma, el tamaño de la hipotenusa del
triángulo rectángulo, r, en términos de los tamaños
de los catetos del triángulo rectángulo, x y y, será:
r =
q
x2 + y 2
(13)
La demostración del teorema de Pitágoras es
un ejercicio que se puede hacer geométricamente
al elegir algún triángulo rectángulo y trazar los
cuadrados que tengan las dimensiones de los lados
del triángulo rectángulo para después hacer cortes
en las áreas de cuadrados menores y probar que
se pueden hacer coincidir esos cortes en el área
del cuadrado que tenga por lado la hipotenusa del
triángulo rectángulo. Otra manera de hacer la demostración del teorema de Pitágoras es trazando
un triángulo rectángulo que tenga todos los tamaños de sus lados coincidentes con números enteros,
1
Pitágoras de Samos (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.)
fue un filósofo y matemático griego considerado el primer
matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el
avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la hora astronomía. Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Pitágoras Artículo sobre Pitágoras en la Wikipedia en español. Consultada el 17 de septiembre del año 2013.
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Figura 3: En la figura se muestra un triángulo rectángulo con catetos de tamaños x = 8, y = 6 y tamaño de
hipotenusa r = 10. Los tamaños de lados del triángulo rectángulo mostrado son números enteros. Se puede
hacer el conteo de unidades de área para demostrar en
este caso el teorema de Pitágoras, que r 2 = x2 + y 2 ,
que 100 = 64 + 36.
como el que tenga x = 8, y = 6 y r = 10, para
luego trazar los cuadrados con dimensiones r 2 , x2
y y 2 en los que se marquen unidades cuadradas y
en los que se pueda hacer el conteo de unidades
cuadradas de r 2 y compararlo con el de x2 + y 2
para ver que sean iguales. Este caso se muestra en
la figura (??).
2.3.
Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras se relaciona con las
funciones trigonométricas seno y coseno de cierto
ángulo ¸ en el triángulo rectángulo usado para
formular el teorema de Pitágoras en referencia a la
figura (2).
Se parte del teorema de Pitágoras y se divide
la igualdad que lo representa entre el tamaño de
la hipotenusa del triángulo rectángulo elevado al
cuadrado
r 2 = x2 + y 2
r2
x2
y2
=
+
r2
r2
r2
!2
!
x
y 2
1 =
+
r
r
Si se tienen en cuenta las igualdades (1) y (2) se
confirma que:
1 = sen2 (¸) + cos2 (¸)
(14)
Aquí la notación usada para potencia al cuadrado de las funciones trigonométricas del ángulo ¸ en
el triángulo rectángulo considerado es como sigue:
sen2 (¸) = (sen(x))2 y cos2 (¸) = (cos(x))2 .
2.4.
Intervalos de valor de las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.
Los valores de las funciones trigonométricas de
un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo tienen valores acotados entre límites que resulta simple establecer. Los criterios siguientes son de utilidad para
tal fin:
De un triángulo rectángulo el tamaño de los
catetos nunca resulta ser mayor que el tamaño
de la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras respecto a un ángulo
¸ en un triángulo rectángulo pide que 1 =
sen2 (¸) + cos2 (¸).
La división de un número entre cero es una
indeterminación.
El número cero dividido entre cualquier número da el número cero como resultado.
Cuando el ángulo ¸ tiende a valer cero, el
tamaño del cateto adyacente al ángulo ¸, x,
tiende a valer el tamaño de la hipotenusa, r,
del triángulo rectángulo y el tamaño del cateto opuesto al ángulo ¸, y, tiende a valer cero.
Ver la figura (2.4).
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Figura 4: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando
el ángulo ¸ tiende a valer cero, el tamaño del cateto
adyacente al ángulo ¸, x, tiende a valer el tamaño de
la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo y el tamaño
del cateto opuesto al ángulo ¸, y, tiende a valer cero.
Figura 5: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando
el ángulo ¸ tiende a valer un ángulo recto, el tamaño
del cateto opuesto al ángulo ¸, y, tiende a valer el
tamaño de la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo y
el tamaño del cateto adyacente al ángulo ¸, x, tiene a
valer cero.
Cuando el ángulo ¸ tiende a valer un ángulo
recto, el tamaño del cateto opuesto al ángulo
¸, y, tiende a valer el tamaño de la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo y el tamaño
del cateto adyacente al ángulo ¸, x, tiende a
valer cero. Ver la figura (5).
Cuando el ángulo ¸ vale la mitad de un ángulo recto, el tamaño del cateto opuesto al
ángulo ¸, y, y el tamaño del cateto adyacente al ángulo ¸, x, tendrán el mismo valor,
x = y, por lo que también tendrán sl mismo
valor las funciones trigonométricas sen(¸) y
cos(¸), es decir, sen (¸) = cos (¸). Ver la
figura ( 6).
Es posible obtener los valores de las funciones
trigonométricas del ángulo de medio ángulo
recto de la igualdad (14) y de la igualdad (11).
De la igualdad (14) con la condición de que
sen (¸) = cos (¸) se pueden obtener los valores de sen (¸) y de cos (¸):
1 = sen2 (¸) + cos2 (¸)
1 = sen2 (¸) + sen2 (¸)
1
1
2
v
u
u1
t
2
1
p
2
0;707106
= 2 sen2 (¸)
= sen2 (¸)
r
=
sen2 (¸)
= sen (¸)
= sen (¸)
1
sen(¸) = cos(¸) = p = 0;707106
2
En el caso de las funciones csc(¸) y sec(¸)
que se relacionan con las funciones trigonométricas sen(¸) y cos(¸) según las igualdades
(7) y (8):
csc(¸) =
1
1
; sec(¸) =
sen(¸
cos(¸
Para un ángulo ¸ con el valor de medio ángulo
recto las funciones trigonométricas cosecante
y secante del ángulo ¸ en un triángulo rectángulo valdrán:
p
csc(¸) = sec(¸) =
p
2
= 2 = 1;414214
1
De la igualdad (11) se tiene:
tan(¸) =
sen(¸)
cos(¸)
Figura 6: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando el
ángulo ¸ vale la mitad de un ángulo recto, el tamaño
del cateto opuesto al ángulo ¸, y, y el tamaño del
cateto adyacente al ángulo ¸, x, tienen el mismo valor,
x = y, por lo que también se tendrá que sen (¸) =
cos (¸).
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Sí sen(¸)
=
cos(¸) para un ángulo ¸ de
medio ángulo recto. Entonces:
tan(¸) = 1
En el caso de las función cot(¸) que se relaciona con las función trigonométrica tan(¸)
según las igualdad (9):
1
tan(¸)
cot(¸) =
Para un ángulo ¸ con el valor de medio ángulo
recto
1
1
=
= 1
tan(¸)
1
cot(¸) =
A continuación se analizan los intervalos de valores de las funciones trigonométricas de un ángulo
¸ en un triángulo rectángulo para los ángulos nulo, de medio ángulo recto y de un ángulo recto. Se
refiere a los tamaños de lados y de hipotenusa de
un triángulo rectángulo que se han estado usando,
x, =
y y r respectivamente.
sen(¸) =
y
.
r
Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La
fracción
y
r
=
0
r
= 0, así que sen(¸) = 0.
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que sen(¸) =
1
p
2
= 0;707106.
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
y
r
=
cos(¸) =
x
.
r
fracción
r
r
= 1, así que sen(¸) = 1.
Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La
fracción
x
r
=
r
r
= 1 , así que cos(¸) = 1.
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que cos(¸) =
1
p
2
= 0;707106.
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
x
r
=
tan(¸) =
y
.
x
fracción
0
r
= 0, así que cos(¸) = 0.
Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La
fracción
y
x
=
0
r
= 0, así que tan(¸) = 0.
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que sen(¸) = cos(¸) y que:
sen(¸)
= 1
cos(¸)
tan(¸) =
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
fracción
y
x
=
r
0
resulta no estar determinada.
Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo
recto, el valor de la tangente del ángulo ¸
será infinito, 1:
tan(¸) ! 1 cuando ¸ ! a
«ngulo recto
csc(¸) =
r
.
y
Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La
fracción
r
y
=
r
0
resulta no estar determinada.
Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo
nulo, el valor de la cosecante del ángulo ¸
será infinito, 1:
csc(¸) ! 1 cuando ¸ ! a
«ngulo nulo
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que csc(¸) = sec(¸) y que: csc(¸) =
p
2 = 1;414214.
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
r
y
=
r
r
sec(¸) =
r
.
x
Para un ángulo nulo x = r y
fracción
= 1, así que csc(¸) = 1.
y = 0. La fracción
r
x
=
r
r
= 1, así que
sec(¸) = 1.
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que csc(¸) = sec(¸) y que: csc(¸) =
p
2 = 1;414214.
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
fracción
r
x
=
r
0
resulta no estar determinada.
Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo
recto, el valor de la secante del ángulo ¸ será
infinito, 1:
sec(¸) ! 1 cuando ¸ ! a
«ngulo recto
cot(¸) =
x
.
y
Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La
fracción
x
y
=
r
0
resulta no estar determinada.
Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo
recto, el valor de la tangente del ángulo ¸
será infinito, 1:
cot(¸) ! 1 cuando ¸ ! a
«ngulo nulo
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Función
ángulo
medio
ángulo
trigono-
nulo
ángulo
recto
métrica de
recto
un ángulo ¸
sen(¸)
0
cos(¸)
1
tan(¸)
0
csc(¸)
ind: 1
sec(¸)
1
1
p
2
1
p
2
1
p
2
p
2
cot(¸)
ind: 1
1
1
0
ind: 1
1
ind: 1
0
Cuadro 1: Valores de las funciones trigonométricas para un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo para ángulos
nulo, de medio ángulo recto y recto. ind: abrevia “ indeterminado”. Los valores de funciones trigonométricas
marcados como indeterminados tienen un valor infinito,
1, para ángulos con valores cercanos al valor indicado.
Figura 7: Triángulos rectángulos semejantes.
Para un ángulo de medio ángulo recto ya se
demostró que sen(¸) = cos(¸) y que:
cot(¸) =
cos(¸)
= 1
sen(¸)
Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La
x
y
fracción
=
0
r
= 0, así que cot(¸) = 0.
Los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo descritos
pueden ser resumidos en la tabla (??)
Los valores de las funciones trigonométricas de
un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo pueden ser
obtenidas con ayuda de tablas de valores o con ayuda de una calculadora electrónica de tipo científico.
Para poder obtener sus valores es necesario elegir
una manera de medir ángulos
3.
Ejemplos.
(1) Evaluar las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo ¸ para cada un de los triángulos
rectángulos semejantes mostrados en la figura (7). Debe evaluar también el tamaño de la
hipotenusa de cada triángulo rectángulo para
poder evaluar las funciones trigonométricas pedidas. ¿Qué encuentra de semejanza en ellas?.
Respuesta.
A continuación se evalúan las funciones trigonométricas para el ángulo ¸ en el primer triangulo rectángulo, así como la hipotenusa de éste
triángulo. x = 12 , y = 20
r =
q
x2 + y 2
r =
q
r =
q
122 + 202
144 + 400
p
r =
344
r = 23;3238076
sen(¸) =
y
r
sen(¸) =
20
23;3238076
sen(¸) = 0;85749
cos(¸) =
x
r
cos(¸) =
12
23;3238076
cos(¸) = 0;51449
y
x
20
tan(¸) =
12
tan(¸) =
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tan(¸) = 1;66667
r
y
23;3238076
csc(¸) =
20
csc(¸) =
csc(¸) = 1;16619
r
x
23;3238076
sec(¸) =
12
sec(¸) =
sec(¸) = 1;94365
x
y
12
cot(¸) =
20
cot(¸) =
cot(¸) = 0;60000
A continuación se evalúan las funciones trigonométricas para el ángulo ¸ en el segundo
triangulo rectángulo, así como la hipotenusa
de éste triángulo.
x0 = 30 ; y 0 = 50
r
0
r =
r0 =
q
r0 =
q
(x0 )2 + (y 0 )2
302 + 502
900 + 2500
p
3400
r0 =
r 0 = 58;3095189
sen(¸) =
y0
r0
sen(¸) =
50
58;3095189
sen(¸) = 0;85749
cos(¸) =
x0
r0
cos(¸) =
30
58;3095189
cos(¸) = 0;51449
y0
x0
50
tan(¸) =
30
tan(¸) =
tan(¸) = 1;66667
r0
y0
58;3095189
csc(¸) =
50
csc(¸) =
csc(¸) = 1;16619
r0
sec(¸) = 0
x
58;3095189
sec(¸) =
30
sec(¸) = 1;94365
x0
y0
30
ctg(¸) =
50
ctg(¸) =
ctg(¸) = 0;60000
Se observa que las funciones trigonométricas de
un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo dependen de ser evaluadas con los tamaños de los
lados del triángulo rectángulo, pero su valor es
el mismo para un mismo ángulo en triángulos
rectángulos semejantes.
Los tamaños de los lados de triángulos rectángulos semejantes guardan relaciones de proporcionalidad directa, las constantes de proporcionalidad directa entre los tamaños de los lados
de triángulos rectángulos semejantes son las
funciones trigonométricas de los ángulos internos de los triángulo rectángulos semejantes.
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(2) Para un triángulo rectángulo con hipotenusa de
tamaño r, y con catetos adyacente y opuesto
a un ángulo ¸ en el triángulo rectángulo de
tamaños x e y respectivamente:
(a) Si x = 4 e y = 6, hallar r.
Respuesta.
Si: r 2 = x2 + y 2 . Entonces: r =
r =
q
x2 + y 2
r =
q
42 + 62
r =
q
p
x2 + y 2
16 + 36
p
r =
52
r = 7;21110
(b) Si r = 20 e y = 7, hallar x.
Respuesta.
Si: r 2 = x2 + y 2 . Entonces: x2 = r 2 ` y 2
p 2
r ` y2
y x =
x =
q
r2 ` y2
x =
q
202 ` 72
q
400 ` 49
p
351
x =
x =
x = 18;73499
(c) Si r = 36 y x = 4, hallar y.
Respuesta.
Si: r 2 = x2 + y 2 . Entonces: y 2 = r 2 ` x2
p 2
y y =
r ` x2
y =
q
r 2 ` x2
y =
q
362 ` 52
q
1296 ` 16
p
y =
1280
y =
y = 35;77709
(d) Si r = 50 y cos(¸) =
2
,
5
hallar x.
Respuesta.
Si:
x
r
= cos(¸). Entonces: x = r cos(¸).
x = r cos(¸)
2
x = 50
5
50 ˆ 2
x =
5
100
x =
5
x = 20
3
,
8
(e) Si r = 72 y sen(¸) =
hallar y.
Respuesta.
Si:
y
r
= sen(¸). Entonces: y = r sen(¸).
y = r sen(¸)
y = 72 ˆ sen(¸)
3
y = 72 ˆ
8
216
y =
8
y = 27
(f) Si tan(¸) = 100 y x = 6, hallar y.
Respuesta.
Si:
y
x
=
tan(¸). Entonces: y
=
x ˆ
tan(¸).
y = x ˆ tan(¸)
y = 6 ˆ 100
y = 600
(g) Si tan(¸) = 0;0335 e y = 15, hallar x.
Respuesta.
Si:
y
x
x =
= tan(¸). Entonces:
x
y
=
1
tan(¸)
y
y
tan(¸)
y
tan(¸)
15
x =
0;0335
x =
x = 447;76119403
(h) Si r = 35 y sec(¸) =
9
,
2
hallar x.
Respuesta.
Si:
r
x
= sec(¸). Entonces: x =
x =
x =
r
.
sec(¸)
r
sec(¸
35
9
2
35 ˆ 2
9
70
x =
9
x = 7;77777
x =
cb n d
Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego.
9
CCH
Actividad
Sur para el curso de Física: .Fundamentos de trigonometría. Teorema de Pitágoras.
UNAM
(i) Si r = 60 y csc(¸) =
11
,
3
hallar y.
Respuesta.
Si:
r
y
= csc(¸). Entonces: y =
y =
y =
r
csc(¸)
r
csc(¸)
60
11
3
60 ˆ 3
11
180
y =
11
y = 16;36364
y =
(j) Si cot(¸) = 0;15 y x = 12, hallar y.
Respuesta.
Si:
x
y
= cot(¸). Entonces: y =
x
.
cot(¸)
x
cot(¸)
12
y =
0;15
y =
y = 80
(k) Si cot(¸) = 27 e y = 19, hallar x.
Respuesta.
Si:
x
y
= cot(¸). Entonces: x = y ˆ cot(¸).
x = y ˆ cot(¸)
x = y ˆ cot(¸)
x = 19 ˆ 27
x = 513
(l) Si sen(¸) = 0;667, hallar cos(¸)
Respuesta.
Si: 1 = sen2 (¸) + cos2 (¸). Entonces:
cos2 (¸)
=
1 ` sen2 (¸) y cos (¸)
=
q
1 ` sen2 (¸)
r
cos (¸) =
1 ` sen2 (¸)
cos (¸) =
q
1 ` 0; 6672
cos (¸) =
q
1 ` 0;44489
cos (¸) =
q
0;555111
cos (¸) = 0;74506
(m) Si cos(¸) = 0;2234, hallar sen(¸)
Respuesta.
Si: 1 = sen2 (¸) + cos2 (¸). Entonces:
sen2 (¸) = 1 ` cos2 (¸) y sen (¸) =
q
1 ` cos2 (¸)
r
sen (¸) =
1 ` cos2 (¸)
sen (¸) =
q
1 ` 0;22342
sen (¸) =
q
1 ` 0;04991
sen (¸) =
q
0;95009
sen (¸) = 0;97473
(3) Se quiere conocer la altura de un edificio. Para
ello se cuenta con una cuerda cuya longitud
es de 15 (metro) y con un dispositivo que permite medir ángulos que cuenta con dos miras,
una mira para lograr una alineación horizontal
y otra mira ajustable para determinar el ángulo
que hace un haz de luz que pasa por la mira y
que llega desde la parte más alta del edificio.
Si la alineación horizontal se hace a la altura
de los ojos del observador
4.
Guía de estudio para el estudiante.
4.1.
Preguntas a nivel conocimiento.
(1) .
4.2.
Preguntas a nivel comprensión.
(1)
4.3.
Preguntas a nivel aplicación.
(1)
5.
Ejercicio tipo examen.
cb n d
Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego.
10