Download Fórmulas Trigonométricas - IES Cristóbal de Monroy

Ejercicios Fórmulas Trigonométricas
Hoja1
1) Hallar las coordenadas de los puntos A,B,C y D de las 13) Comprueba que son ciertas las siguientes igualdades:
figuras siguientes:
2
a) cos(45º ) 
(cos   sen )
2) Realiza la conversión de grados a radianes y viceversa:
Rad
Grados
 4
300
7 4
2 3
120
210
540
3) Calcula razonadamente (si existen) el valor de
siguientes razones trigonométricas:
a) sen 210º
e) sen390º
i) tg150º
b) cos135º
f) sec315º
j) sec120º
c) sen300º
g) cos120º
k) tg 240º
2
2
b) cos(45º ) 
(cos   sen )
2
2
c) sen(45º ) 
(sen   cos )
2
2
d) sen(45º ) 
(sen   cos )
2
e) sen(45º )  cos(45º )  2 cos 
f) sen(30º )  cos(60º )  cos 
las 14) Comprobar que:
d) cos720º
h) cos 225º
l) sec 225º
4) Siendo  y  dos ángulos del primer cuadrante tales que
sen   3 5 y sen   12 13 calcula sen(  ) y
1  tg 2 15º
3
.

2
1  tg 15º
2
15) Sabiendo que
tg    3 4 y que    2,  
determinar las razones seno y coseno del ángulo
(180º 2) .
16) Comprobar que son ciertas las siguientes igualdades:
sen 2a
sen(a  b)
 tg a
b) tg a  tg b 
1  cos 2a
cos a cos b
2
2
c) sen( a  b)  sen(a  b)  sen a  sen b
1
d) sen(a  b)  cos(a  b)  (sen 2a  sen 2b)
2
cos a  cos b
1

e)
sen(a  b)  sen(a  b) cos b  cos a
a)
cos(  ) .
5) Sabiendo que sen   2 3 y que 0º    90º hallar las
razones trigonométricas del ángulo 2 .
6) Si tg   3 4 , calcula tg(  45º )  tg(45º ) .
7) Sabiendo que sen   3 5 y que sen   12 13 siendo
f) 1  cos( a  b) cos( a  b)  sen 2 a  sen 2 b
 y  ángulos del segundo cuadrante, calcular las razones
del ángulo (  ) y justificar en qué cuadrante está el
ángulo diferencia.
g) tg 
8) Considera un ángulo  del tercer cuadrante tal que
tg   2 . Indica en que cuadrante estará el ángulo   2  y
calcula (sin utilizar decimales):
a) tg 2
b) cos
d) cos   2
c) sen 2
9) Los ángulos  y  pertenecen a dos cuadrantes no
consecutivos. Además cos    4 5 y sen  7 25 .
Calcular:
a) sen(  )
b) cos(  )
c) sen 2
d) cos   2 
e) tg   2 
10) Simplifica al máximo la expresión:
cos a  cos(a  b)  sen a  sen(a  b)
y después halla su valor para b   radianes.




    tg      2 tg 2
4

4

17) Calcular el valor de las siguientes expresiones:
a) sen 75º  sen15º
c) cos75º  cos15º
b) sen 75º  sen15º
d) cos75º  cos15º
sen 75º  sen 45º
sen 75º  sen 45º
cos 75º  cos15º
tg 60º
g)
sen 75º  sen15º
e)
f)
sen 60º  sen 30º
sen 60º  sen 30º
18) Simplificar en lo posible las siguientes expresiones:
sen 5  sen 
sen 3  sen 
cos   cos3
c)
sen 3  sen 
a)
b)
cos(  )  cos(  )
sen(  )  sen(  )
d)
sen   sen 3  sen 5  sen 7
cos   cos3  cos5  cos 7
11) Hallar, sin calculadora, las razones trigonométricas del 19) Simplificar la siguiente expresión:
ángulo 105º.
12) Sabiendo que cos   0'2 calcula las razones
trigonométricas del ángulo (  60º ) siendo  un ángulo
del 4º cuadrante.
 5



 3

 7

cos   x   sen   x   cos   x   sen 
 x
 2

2

 2

 2

Ejercicios Fórmulas Trigonométricas
20) Demostrar que:
a) sen(3 )  3sen   4sen3 
Hoja2
26) Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo
cualquiera, demostrar que:
tg A  tg B  tg C  tg A  tg B  tg C
b) cos(3 )  4cos 3   3cos 
21) Hallar el valor de las siguientes expresiones:

7

7
cos
 cos sen
12
12
12
12

5

5
b) cos cos
 sen sen
12
12
12
12
5
7
5
7
c) cos
cos
 sen sen
12
12
12
12

5

5
d) sen cos
 cos sen
18
18
18
18
a) sen
27) Demostrar que si A y B son dos ángulos de un
triángulo y se cumple que sen( A  B)  sen( A  B)
entonces el triángulo es rectángulo.
28) Demostrar que si A, B y C son los tres ángulos de un
triángulo cualquiera se cumple que:
cos( A  B)  cos C
 cos B
2cos A
29) Hallar el dominio de la función f ( x) 
sen x
.
1  cos 2 x
22) En un circuito de corriente alterna la potencia 30) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
instantánea p como función del tiempo t viene dada por:
b) sen x·cos x  1 2
a) sen 2 x  cos x
p (t )  V I cos  sen 2 (t )  V I sen  sen(t ) cos(t )
m m
m m
Demostrar que esta expresión de la potencia es
equivalente a:
p(t )  Vm I m sen(t )sen(t  )
c) 6cos2 x  cos2 x  5
d) cos 2 x  3sen x  2
e) 3cos x  3  2sen x
g)
f) 3  cos 2 x  5cos x
2
cos x  cos2 x  cos2 x  0
23) Siendo f ( x)  sen x , g ( x)  cos x , y h( x)  tg x , i) tg x  tg2 x  1
usar la siguiente figura para evaluar:
k) cos5x  cos x  0
m) cos2x  cos4x  0
ñ) sen x  2cos 2 x  1 2
p) cos 2 x  2sen x  1
h) 2sen 2 x  cos 2 x  1,5
j) cos 2x  1  4sen x
l) sen 2 x  cos2 x  2
n) cos 4x  cos6x  0
o) sen x  sen 7 x  0
q) cos x  sen x  cos3x
cos( x  30º )
x
1
s)
3
sen( x  30º )
2
t) cos 2 x  cos6 x  sen 5x  sen 3x
u) sen x  sen3x  cos 2 x  cos 4 x
v) cos8x  cos6 x  2cos 210º cos x
r) 2cos x  4sen
a) f (  )
b) g (  )
c) g (  )
d) f (  )
e) h(  )
f) h( )
31) Un rail de forma acanalada es construido con láminas
de aluminio de 12 pulgadas (inches) de anchura. Después
de marcar una distancia de 4 pulgadas en cada extremo, la
24) Siendo f ( x)  sen x , g ( x)  cos x , y h( x)  tg x , lámina es doblada y levantada un ángulo  como se
usar la siguiente figura para evaluar:
muestra en la figura. El área A de la apertura es una
función de  dada por la expresión:
A  16sen (cos   1) , 0º    90º
a) f (2)
e) h(2)

h) f  
2
b) g (2)

e) h  
2

i) g  
2

c) g  
2

d) f  
2
f) g (2)
g) f (2)

j) h  
2
k) h(2)
a) Los cálculos necesarios para hallar el ángulo  que
hace máxima esta área requieren resolver la ecuación
cos 2  cos   0 , 0º    90º
Resolver dicha ecuación haciendo uso de las fórmulas del
ángulo doble.
b) Resolver la ecuación anterior escribiendo la suma de los
25) Si A  B   2 ¿Quién es mayor sen A  sen B o dos cosenos como un producto.
cos A  cos B ? Razonar la respuesta.
c) ¿Cuál es el valor máximo de A para la apertura?