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CONCEPTUALIZANDO SOBRE
OPERACIONES ENTRE
POLINOMIOS Y RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES1
Por: Maestra: Martha Cecilia Mosquera Urrutia 2
PARA EMPEZAR…
3
“Mamad Ben Musa al-Khwarizmi” 780 al 835 Nació
en una ciudad llamada Jwarizmi que actualmente se
llama Jiva y está en Uzbekistán 4 es considerado
como uno de los precursores del álgebra moderna
por la importancia de su obra y la forma como
resolvía las ecuaciones… Fue matemático,
astrónomo y geógrafo. Su contribución a las
matemáticas se encuentra en gran extensión en el
Legado del Islam (Pág. 498-504). Es posible que
fuera él quien introdujo en el lenguaje el término
“álgebra” por el título de su libro al-jabr wa´lmuqabala, que significa “Ciencias de Reducción y
Cancelación”
Sin embargo, su importancia en la historia de las
matemáticas no estriba en este interesante detalle,
sino en el hecho de que fue el primero en presentar
un tratado sistemático sobre el álgebra, tomando
como su base no solo los conocimientos de los
griegos 5 sino también los de los hindúes, al
Este trabajo es síntesis de algunos resultados de la investigación
“ESTRATEGIAS DE MEDIACIÓN PEDAGÓGICA PARA EL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO” con
estudiantes del grado 9º del Colegio Distrital Rafael Bernal
Jiménez. Bogotá. 2005. En este caso el trabajo que socializamos
en el Segundo Encuentro de Matemáticas y Física del IED
ALMIRANTE PADILLA, corresponde a los resultados de la
práctica diaria en el aula de clase, cuando evocando a Al-Juarizmi
al recurrir a cuadrados raíces y números, tratamos de
conceptualizar sobre las operaciones con polinomios, mientras
jugamos y armamos rectángulos.
2 Docente de planta del Programa de Licenciatura En
Matemáticas. Universidad Surcolombiana. Neiva- Huila. Grupo
E.MAT.H
3 AL JUARIZMI foto en http://www.educa.madrid.org/web
4 biografía Al - Jwarizmi - enseñanza de las matemáticas
5
A pesar de que las tareas iniciales de Al-Juarizmi y sus colegas
los Banu Musa en la Casa De La Sabiduría de Bagdad, incluían la
traducción de los manuscritos científicos griegos; pienso que sus
trabajos no se apoyan en Los Elementos De Euclides, por la
ausencia del manejo axiomático propio de sus aportes…
En los cuales se exhibe, maestría en la generalización y en la
resolución de ecuaciones en ausencia total de simbolización.
1
introducir la aplicación de los nombres de los
números hindúes a la solución numérica de
ecuaciones; la aplicación principios de transposición
de términos y la reducción de fracciones implícitas y
explícitas, logrando así una gran influencia en el
pensamiento matemático medieval.
LAS BASES…
Para iniciar la conceptualización de su obra de
corte inminentemente didáctico, hablaba de el
álgebra como “aquello que es fácil y más útil en
aritmética, tal que los hombres lo requieren
constantemente en casos de herencia, legados,
particiones, juicios y comercio y en todos sus
tratos con los demás, o cuando se trata de la
mensura de tierras, la excavación de canales,
cálculos geométricos y otros objetos de varias
clases y tipos…” “cuando considero que la gente
normalmente quiere calcular, veo que siempre es
un número…
También he observado que cada número está
compuesto por unidades y que cualquier número
puede ser dividido en unidades…
Es más, he visto que cada número que puede ser
expresado de uno a diez rebasa al anterior en una
unidad…
“después el 10 es duplicado o triplicado del
mismo modo que lo fueron las unidades… así
obtenemos el veinte y hasta el 100, después el
100 es duplicado del mismo modo…
Y así hasta llegar al límite de la numeración” 6
Tomó primero dos longitudes: la unidad y la variable:
Luego consideró el problema de las áreas, utilizando
estas dos longitudes determinó tres áreas diferentes,
“los cuadrados” que corresponden a cuadrados cuyo
lado mide cualquier longitud (variable), los “números”
o unidades cuadradas y las “raíces”, que
corresponden a rectángulos cuyos lados miden
respectivamente: una unidad y la longitud de la
variable. (Véase la figura 1 en la que se representa
gráficamente la expresión X2 + X + 1)
Procediendo en esa forma, nos es posible entonces
representar cualquier polinomio de segundo grado en
una variable… 7
Graves problemas para el aprendizaje del álgebra en la actualidad
6 Nota de la traducción hecha al latín por Gerardo de Cremona
describiendo los fines de lo que el Sabio pretendía enseñar y
explicando algunas de sus teorías.
7 Aunque su trabajo llegó hasta los polinomios y algunas
ecuaciones de grado 3, en este trabajo nos reducimos a los
polinomios y ecuaciones cuadráticos.
Y ES ASÍ…
Como, utilizando un material que nosotros mismos
podemos construir 8 y jugando a armar rectángulos
le damos sentido a las operaciones con polinomios…
Y su área es un cuadrado,
más cinco raíces, más seis
unidades cuadradas.
De allí concluimos que:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Por Karen Arango y Julieth Colmenares 9
+||
|+=
11
Karen y Julieth con sus aprendientes
Daniel, Jhon Leiner y Ronald.
DIVISIÓN
Por Ives Forero y Pilar Matallana 12
MULTIPLICACIÓN
“Si nuestro problema es dividir… por ejemplo 2X2 +
9X + 12 entre X + 4 tomamos las fichas
correspondientes: dos cuadrados, nueve raíces y
doce unidades cuadradas y las distribuimos
formando un rectángulo, sobre una banda de
longitud igual al lado de un cuadrado más cuatro.
Nótese que la idea de nuevo es formar un
rectángulo.
“Para multiplicar retomamos el concepto de área,
asumiendo los factores que nos dan como las
longitudes de los lados de un rectángulo… el
producto entre ellos es el área del mismo”
Por ejemplo: si nuestro trabajo es multiplicar (x+2)
por (x+3) entonces tomamos en la línea horizontal la
longitud correspondiente a el lado de un cuadrado y
dos unidades y en la vertical nuevamente el lado de
un cuadrado y tres unidades, y luego completamos el
rectángulo utilizando las fichas.
Al acomodar las piezas en la banda el rectángulo
queda así:
(Ver figura)
Y sobran 8 unidades cuadradas que no es posible
acomodar; de allí concluimos que el cociente es 2X +
“Realizar las adiciones y sustracciones con este
material, se reduce al concepto de agregar y
desagregar “figuras semejantes” mediante un conteo
simple de figuras que tengan la misma forma y
tamaño… “
Por Daniel Castellanos y Ronald Fandiño 10
Observando el área que debemos cubrir nos damos
cuenta de que necesitamos: un cuadrado, cinco
raíces y seis unidades cuadradas, entonces nuestro
rectángulo queda así:
Para estos talleres el material fue elaborado por el profesor
Fernando Campos del Hobo-Huila
9 Karen y Julieth son ambas del curso 9A y desarrollaron su
trabajo con estudiantes de los grados quinto, sexto, séptimo y
octavo quienes opinaron que el tema les pareció muy interesante y
fácil de comprender … a ellas mi felicitación y aliento para que
continúen en esa vía.
10 Daniel y Ronald de 9B trabajaron con estudiantes de octavo,
noveno y undécimo y contaron con la presencia de una de las
docentes de matemáticas del colegio quien se refirió a ellos como
“niños alegres y sencillos con gran capacidad para hacer
comprender sus ideas…”
1. Que es la longitud del otro lado del rectángulo y el
residuo es 8.
FACTORIZACIÓN
Camilo Flórez y Liliana Jiménez 13
“Con este método factorizar es muy fácil” le
explicaba Camilo un poco aburrido a sus cuatro
oyentes… porque nos dan las piezas y hay que
8
Aquí están Daniel y Ronald listos para entrar al aula
acompañados por Jhon Leiner Sánchez de 9A (en el centro) quién
definitivamente cautivó a los asistentes que no podían creer en la
explicación de un tema por medio del RAP.
12Si Pilar Matallana… gracias al apoyo de Ives Forero estudiante
que siempre se ha destacado por su capacidad de abstracción y
espíritu altruista, también Pilar, a pesar de la poca confianza que
muchos tienen en ella logró exponer su tema en el encuentro.
13 Camilo y Liliana son de 9B, dos estudiantes que se destacan
por su creciente interés y empeño por ser cada día mejores.
11
armar con ellas un rectángulo, apoyado siempre por
Liliana lograron explicar muy bien su tema, en este
caso la factorización del trinomio cuadrado está dada
por sus dimensiones .
Camilo y Liliana se quedaron sin saber que en la
evaluación los estudiantes que asistieron, le
extendieron a sus profesores la recomendación de
utilizar métodos innovadores como el que ellos
tuvieron la oportunidad de experimentar… también
hicieron énfasis en que a pesar de ser estudiantes de
grado décimo, nunca habían comprendido el
verdadero sentido de la factorización y que
seguramente sus compañeros tampoco y esa fue la
principal razón por la cual muchos decidieron no
asistir al cursillo.
de varios ejemplos, sugiero en este caso presentar
las ecuaciones para que ellos y ellas determinen de
que tipo son y presentar tipos determinados para que
ello y ellas construyan los ejemplos, no sé cual es la
verdadera razón pero en la mayoría de las páginas
de Internet aparece como ejemplo la ecuación
x2+10x=39, sugiero entonces hacer que los y las
estudiantes interpreten esta solución y resuelvan
otras que se planteen.
Analizamos pues la ecuación x2+10x=39 es de la
forma Cuadrados y raíces iguales a números “un
cuadrado mas diez raíces son iguales a 39
números…”
La idea entonces es tomar todas las unidades que se
necesiten para formar con las que están a la
izquierda un cuadrado perfecto…
14
Pilar, Liliana, Ives, Karen y Julieth.
15
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS
“Al-Juarizmi = Al-goritmo = Método
Al-jabr = completar
Es el proceso de eliminar términos negativos
Al-muqabala = equilibrar
Es el proceso de reducir los términos positivos de la
misma potencia cuando se dan a ambos lados de una
ecuación” 16
Consultando en libros y páginas de Internet se
encuentra que Al-Juarizmi consideró 6 tipos de
ecuaciones cuadráticas:
•
•
•
•
•
•
Cuadrados igual a raíces
Cuadrados igual a números
Raíces igual a números
Cuadrados y raíces iguales a números
Cuadrados y números iguales a raíces
Raíces y números iguales a cuadrados
Entonces el trabajo con los estudiantes consiste en
hacer la interpretación de cada caso mediante un
proceso de clasificación, seguido del planteamiento
9 Durante la instalación del evento ellos estaban muy
entusiasmados y no paraban de hablar de sus respectivos
temas…
15 Jhon Leiner Sánchez de 9A “RAPPEANDO PARA APRENDER”
al fondo John Edison Murcia, Diego Piracoca y Jhonatan Martín,
quienes nos apoyaron con sus aportes sobre la experiencia de
“Aprovechar el periodismo para aprender matemáticas”
16
http://www.revistaarabe.com.ar/noticias_Al-Juarizmi.asp
Primero colocamos el cuadrado y luego la “mitad de
las raíces a un lado y la otra mitad abajo… luego
tomamos las unidades cuadradas necesarias para
formar el cuadrado… hacemos lo mismo al lado
derecho… comparamos… y concluimos que para
que los dos cuadrados tengan la misma área debe
ser x=3. (Utilizando los métodos modernos
encontramos que es esa la solución positiva de la
ecuación”
Posteriormente comprobar la analogía del método
manual con el de “completación del cuadrado” y
trabajar en la deducción de la fórmula general para
resolver una ecuación de segundo grado en una
variable.
Como ejemplo resolvamos la ecuación: 4x+5=x2 en
palabras: cuatro raíces más cinco unidades son
iguales a un cuadrado.
Es del tipo: Raíces y números iguales a cuadrados
tomemos pues el material correspondiente:
Entonces se trata de equilibrar, para ello tomamos
el cuadrado y le “quitamos” las cuatro raíces…
En resumen lo que nos queda es…
Y para encontrar el valor de 5 solamente formamos
el cuadrado al lado izquierdo y comparamos…
Y concluimos entonces que x=5
PARA AVANZAR
Dejamos el juego y trabajamos en el cuaderno la
resolución manual de ecuaciones cuadráticas, así
por ejemplo resolver la ecuación cuadrática
ax2+bx=c esta es de la forma cuadrados y raíces
iguales a números…
En primer lugar dividimos toda la ecuación por a≠0
para trabajar con un solo cuadrado entonces queda
x2+(b/a)x=(c/a) y procedemos entonces a “completar
el cuadrado… x2+(b/2a)x+ (b/2a)2 =(c/a)+(b/2a)2
posteriormente factorizamos (agrupamos las piezas
formando un cuadrado) (x+b/2a)2 = (4ac+b2)4a2
luego extraemos la raíz cuadrada en ambos
miembros… x+b/2a = ±(4ac+b2)1/2/2a y el paso final
se obtiene al despejar la x que entonces es igual a:
x=
−b±
Y hacemos este tipo de ejercicios para trabajar en el
plano la representación y resolución de ecuaciones
lineales, cuadráticas y de grado tres.
…
Trabajamos con el triángulo rectángulo, lo
caracterizamos y hacemos comprensión sobre el
Teorema de Pitágoras, para terminar con las bases
de la geometría analítica.
b 2 + 4ac
2a
Nótese que el signo menos que tradicionalmente
aparece en el discriminante de la fórmula se
consigue porque en términos modernos ésta aparece
igualada a cero, pero ese no fue ninguno de los
casos contemplados por Al-Juarizmi.
…
Ahora bien; si necesitamos dos variables lo único
que tenemos que hacer es considerar una nueva
longitud diferente de la unidad y de la variable X que
con anterioridad se haya fijado
…
Hacemos la conceptualización del plano cartesiano,
para trabajar con la caja de polinomios; como parte
de la experiencia este grupo tuvo la fortuna de que
los profesores Saulo Mosquera y Fernando Soto los
visitaran directamente en el colegio y les hicieran la
explicación de la caja de polinomios 17 virtual. Luego
se pudo extender la experiencia a otros cursos.
Rompecabezas y software desarrollado, por Saulo Mosquera,
Fernando Soto y Claudia Gómez docentes de la Universidad De
Nariño-San Juan De Pasto. Nariño-Colombia. Este software
simula el rompecabezas llamado "La Caja de Polinomios"
desarrollado en la Universidad de Nariño con el que se trabaja la
adición, sustracción, multiplicación, división y el proceso de
factorización de Polinomios, además se pueden tocar temas de
parámetros, áreas y solución de ecuaciones lineales entre otros
ampliar información en http://personal.udenar.edu.co/polinomios1/
…
Para hacer síntesis de este trabajo se hacen los
desarrollos utilizando el software CABRI
GEOMETRE II PLUS y se trabaja en Internet la
consulta respectiva para elaborar los hipertextos y
profundizar sobre los temas de interés para los
aprendientes.
17
18
18 Este es el grupo de estudiantes de los grados 9A- y 9B de la
jornada de la tarde 2005, hoy en día la mayoría de ellos y ellas
son estudiantes universitarios y muchos de ellos se han inclinado
por carreras afines con las matemáticas.