Download Geometría Euclídea I - Escuela de Matemáticas

Plan de estudios
GEOMETRIA EUCLIDEA I
Código: MAB301
Nivel: I
Ciclo lectivo: II
Modalidad: Ciclo
Naturaleza: Teórico-práctico
Tipo de curso: Regular
Área: Álgebra y Geometría
Requisito: Lógica y Teoría de Conjuntos
Número de créditos: 04
Horas presenciales: 05
Horas docente: 05
Horas teoría: 03
Horas práctica: 02
Horas estudio independiente: 06
Número de horas totales semanales: 11
Unidad Académica que imparte el curso: Escuela de Matemática
Descripción
En este curso se desarrollarán conceptos fundamentales de Geometría Superior en el
plano y el uso de diferentes métodos de demostración mediante el modelo axiomático.
Los contenidos del curso incluyen los tópicos geométricos del programa de secundaria,
desarrollados desde una perspectiva formal, propia de un nivel universitario. Se
propone la Geometría como alternativa que facilite la visualización, formulación de
conjeturas y el establecimiento de relaciones entre conceptos matemáticos. Los
contenidos teóricos serán complementados con problemas de aplicación y su relación
con otras disciplinas.
Además, se incluye la construcción de algunos entes geométricos con regla y compás y
con el uso de alguna herramienta tecnológica; con el propósito de desarrollar en el
estudiante habilidades y destrezas que le permitan desempeñarse en su profesión y
fortalecer conceptos aprendidos.
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Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
Objetivos
Que el estudiante:
Desarrolle la habilidad para visualizar conceptos y propiedades geométricas del plano
mediante interpretaciones gráficas.
Demuestre resultados geométricos en el plano mediante diferentes métodos aplicando
los conceptos estudiados.
Resuelva problemas asociados con variedad de situaciones, que se describen mediante
conceptos y propiedades geométricas en el plano.
Desarrolle habilidades intelectuales de identificación, comparación e interpretación para
su desarrollo profesional y personal.
Comunique sus ideas, en forma oral y escrita, haciendo uso de un lenguaje formal
simbólico-matemático.
Contenidos
Fundamentos de la geometría
Nociones geométricas primitivas fundamentales y axiomas de incidencia. Relaciones
de colinealidad y coplanaridad. Teoremas básicos de incidencia, rectas concurrentes.
Métrica en Geometría. El sistema de coordenadas como función biyectiva, postulados
de la función distancia. Postulado de la regla y teoremas relacionados. La relación
“estar entre” para puntos y teoremas relacionados. Semirrecta, punto frontera, rayo,
rayos colineales, rayos opuestos, segmento, extremos del segmento, puntos interiores o
puntos internos del segmento, ángulo, ángulos adyacentes, ángulos par lineal, ángulos
par vertical u opuestos por el vértice. El triángulo y sus teoremas fundamentales.
Relación de congruencia de segmentos y teoremas relacionados. Punto medio de un
segmento.
Separación en el plano y el espacio
Conjuntos convexos y no convexos. Teoremas básicos de convexidad. Postulado de
separación en el plano y definiciones relacionadas. Teoremas de separación en el
plano. Teorema de Pasch y teoremas relacionados. Interior y exterior de un ángulo.
Teoremas de incidencia basados en la relación de separación en el plano. Teorema de
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Plan de estudios
la Barra. Postulado de separación en el espacio y definiciones relacionadas. Teoremas
de separación en el espacio.
Medida angular
La función medida angular, postulados de la función medida angular. Clasificación de
ángulos por su medida, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos
congruentes y teoremas relacionados con la congruencia de ángulos. Rayo bisector de
un ángulo.
Teoremas de la construcción, adición y diferencia de ángulos,
proposiciones. Definición y propiedades de perpendicularidad de rectas, rayos y
segmentos y teorema relacionados. Recta mediatriz de un segmento, teoremas
básicos. Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos.
Congruencia de triángulos
La correspondencia “congruencia de triángulos”. Postulado L.A.L. para congruencia de
triángulos y teoremas básicos de congruencia de triángulos. Existencia y unicidad del
rayo bisector. Existencia de recta perpendicular a una recta dada. Lugar geométrico.
Definición y propiedades de las rectas notables en el triángulo y de los segmentos
internos de las rectas notables.
Desigualdades geométricas
Definición de “relación mayor que” para segmentos y para ángulos, teoremas
relacionados. Teoremas básicos de desigualdades.
Geometría absoluta, postulado V de euclides, paralelogramos y proyecciones
paralela y perpendicular
Rectas paralelas, segmentos paralelos, rayos paralelos y teoremas relacionados.
Existencia de una paralela que contiene un punto exterior a una recta dada. Definición
y propiedades de la transversal a dos rectas y de los ángulos que determina. Definición
de cuadrilátero. Cuadriláteros cóncavos o convexos. Definición y proposiciones
relativas al Cuadrilátero de Saccheri. Suma de las medidas de los ángulos internos de
un triángulo en Geometría Absoluta. V Postulado de Euclides. Teoremas básicos de
rectas paralelas y transversales. Suma de las medidas de los ángulos internos de un
triángulo en Geometría Euclídea y proposiciones derivadas. Definición y teoremas
sobre propiedades de: trapecio, paralelogramo, rombo, cuadrado, rectángulo, lados
equipolentes.
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Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
Semejanza de triángulos, teoremas de Thales y de Pitágoras
Definición y teoremas de las funciones “proyección perpendicular” y “proyección
paralela”. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos como correspondencia
biunívoca y teoremas relacionados. Teorema de Pitágoras, recíproco del teorema de
Pitágoras y teoremas relacionados. Segundo teorema de Thales y recíproco del
teorema de Thales.
Construcciones con regla y compás
Construcción de: un segmento congruente con un segmento dado, un ángulo
congruente con un ángulo dado, bisectriz de un ángulo, punto medio y mediatriz de un
segmento, perpendicular a una recta en un punto dado de ésta, perpendicular a una
recta que contenga un punto dado que no pertenece a la recta dada, paralela a una
recta dada que contenga un punto dado, división de un segmento en partes iguales,
construcción de un triángulo dados sus tres lados, una recta transversal a dos rectas
paralelas dadas de un punto dado de modo que el segmento entre las paralelas posea
una distancia dada, un triángulo equilátero conociendo la medida de su altura, un
triángulo isósceles conociendo un ángulo de la base y la altura sobre ésta.
Bibliografía
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de problemas. México. Addison – Wesley Iberoamericana.
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Plan de estudios
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Rica.
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