Download ANÁLISIS GEOMÉTRICO NOV-2008

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
ANÁLISIS GEOMÉTRICO
ASIGNATURA:
DEPARTAMENTO:
MATEMÁTICAS
PLANES DE ESTUDIO:
CÓDIGO:
Mnemónico AGEO
Numérico
1. OBJETIVOS
GENERALES
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•
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Estudiar los conceptos básicos y los métodos de demostración de la Geometría
que son indispensables para abordar con éxito cursos posteriores.
Desarrollar habilidades tanto para la demostración de teoremas como para la
obtención de conclusiones sólidas a partir de hipótesis dadas.
Desarrollar habilidades para hacer construcciones geométricas con regla y
compás.
Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la
par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia
importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas
estudiadas en el curso.
Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante
lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de
problemas que deben ser sustentados en el aula.
Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y
también de manera individual.
Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las herramientas
tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas.
2. JUSTIFICACIÓN
Este es un primer curso en el que el estudiante aprende a hacer deducciones y
justificaciones de manera adecuada dentro de la teoría de la geometría Euclideana.
Se hace un especial énfasis en el método deductivo, en el que se pasa de las
observaciones a las conjeturas y de éstas a las comprobaciones o a los
contraejemplos, con lo cual se inicia en el razonamiento lógico. Se desarrolla tanto
el pensamiento geométrico como la ubicación espacial, que son indispensables en
nuestro diario vivir. Los temas tratados en este curso que tienen como eje
fundamental las nociones geométricas en el plano y en el espacio son el soporte
fundamental para cursos posteriores.
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3. REQUISITOS ACADÉMICOS:
4. CRÉDITOS ACADÉMICOS:
INTENSIDAD SEMANAL
ICFES NIVEL BAJO ó MEDIO
4
Teórica
Práctica
Independiente
Total de horas/semana
3.0
3.0
6.0
12.0
5. BIBLIOGRAFÍA
Texto principal:
Clemens, S., O’Daffer, G. y Cooney, T. (1998). Geometría. Pearson - Addison
Wesley.
Otras referencias:
1. Caro, J. y Karpf, E. (1998). Apuntes para el estudio de la Geometría. Escuela
Colombiana de Ingeniería.
2. Caro, J., Wills, M. y O’bonaga, E. (2002). Análisis geométrico. Edición
Preliminar. Escuela Colombiana de Ingeniería.
3. Geltner, P. y Peterson, D. (1998). Geometría. International Thomson Editores.
4. Hemmerling. (1996). Geometría Elemental. Limusa Noriega Editores.
5. Moise, E. y Downs, F. (1986). Geometría Moderna. Addison Wesley.
6. CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO
En este curso se estudian los conceptos y proposiciones básicas de la geometría
plana, relacionados con puntos, rectas, planos y polígonos; transformaciones; las
relaciones de congruencia, proporcionalidad y semejanza y la medición de áreas y
volúmenes. También se tratan algunas nociones de geometría del espacio.
7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO
1. Introducción y definiciones básicas
Objetivo:
Identificar segmentos, ángulos, polígonos y círculos, y sus características
fundamentales.
1.1. Puntos, rectas, planos.
1.2. Relaciones entre puntos, rectas y planos. Puntos colineales y puntos
coplanares. Rectas paralelas y rectas concurrentes.
1.3. Figuras geométricas básicas. Segmento, rayo, ángulo, triángulo,
cuadrilátero y círculo.
1.4. Segmentos y ángulos. Segmentos congruentes. Ángulos congruentes.
Ángulo agudo, ángulo recto y ángulo obtuso. Dos construcciones: segmento
congruente con un segmento dado, ángulo congruente con un ángulo dado.
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1.5. Bisectriz de un ángulo. Construcción de la bisectriz de un ángulo.
1.6. Rectas y planos perpendiculares. Rectas perpendiculares a planos. Punto
medio de un segmento y mediatriz de un segmento. Distancia de un punto a
una recta. Dos construcciones: recta perpendicular a una recta, que pasa
por un punto dado de esa recta; recta perpendicular a una recta, que pase
por un punto no perteneciente a ésta.
1.7. Polígonos. Diagonales de un polígono. Polígonos convexos. Polígonos
regulares. Triángulos equiláteros y triángulos isósceles.
2. Razonamiento
Objetivo:
Iniciar el estudio del razonamiento en geometría, especialmente del
razonamiento deductivo a partir de un sistema lógico.
2.1. Proceso de razonamiento inductivo.
2.2. Generalizaciones falsas y contraejemplos.
2.3. El razonamiento deductivo en el desarrollo de la Geometría.
2.4. De los postulados a los teoremas, y de estos a las aplicaciones.
2.5. Proposiciones del tipo “Si...entonces...”.
2.6. Proposición recíproca, proposición inversa y proposición contrarrecíproca.
2.7. Esquemas de razonamiento. Afirmación de la hipótesis, negación de la
conclusión, regla de la cadena.
2.8. Postulados de la Geometría.
2.9. Postulados sobre medición.
2.10. Postulados de la regla y del transportador.
3. Triángulos y congruencia
Objetivo:
Comparar triángulos del mismo tamaño y forma.
3.1. Transformaciones de congruencia: traslación, rotación, simetría axial y
simetría central.
3.2. Triángulos congruentes.
3.3. Criterios de congruencia: LAL, ALA, LLL. Usos de estos criterios.
3.4. Uso de las definiciones y de los postulados en las pruebas.
3.5. Uso de la congruencia de triángulos para la prueba de la congruencia de
ángulos y segmentos mediante la proposición “elementos correspondientes
de triángulos congruentes son congruentes”.
3.6. Cadenas de congruencias.
4. Demostraciones de teoremas
Objetivo:
Demostrar nuevas proposiciones mediante propiedades básicas, definiciones y
proposiciones ya demostradas.
4.1. Pasos en la demostración de un teorema.
4.2. Uso de la “suma y resta de igualdades”.
4.3. Ángulos suplementarios y ángulos complementarios. Teoremas de los
complementos congruentes y de los suplementos congruentes.
4.4. Ángulos opuestos por el vértice. Teorema de los ángulos opuestos por el
vértice.
4.5. Ángulos exteriores a un triángulo. Teorema del ángulo exterior
(comparación entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo y la de
cualquier ángulo interior no adyacente).
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4.6. Uso de las pruebas indirectas.
5. Rectas y planos paralelos
Objetivo:
Aplicar el postulado fundamental de la geometría Euclidiana en la solución de
problemas.
5.1. Conceptos básicos: rectas alabeadas, recta paralela a un plano, planos
paralelos, recta transversal a dos rectas coplanares. Ángulos alternos
internos, ángulos exteriores, ángulos correspondientes.
5.2. Formas de probar que dos rectas son paralelas.
5.3. El postulado de las rectas paralelas.
5.4. Teoremas acerca de rectas paralelas y ángulos alternos internos, y de
rectas paralelas y ángulos correspondientes.
6. Triángulos
Objetivo:
Aplicar los conceptos y teoremas sobre rectas paralelas para deducir
propiedades importantes de los triángulos.
6.1. Triángulos escalenos, acutángulos, obtusángulos y rectángulos. Altura de
un triángulo.
6.2. Congruencia de los ángulos de la base de un triángulo isósceles.
Congruencia de los ángulos en un triángulo equilátero. Congruencia de los
lados opuestos a ángulos congruentes en un triángulo.
6.3. Medidas de los ángulos de un triángulo. Suma de los ángulos interiores de
un triángulo. Relación entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo
y la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.
6.4. El teorema de la congruencia LAA.
6.5. Criterios de congruencia para triángulos rectángulos.
7. Otras propiedades de los triángulos
Objetivo:
Aplicar el Teorema de Pitágoras, los teoremas de la concurrencia y las
desigualdades para triángulos en la solución de problemas.
7.1. El teorema de Pitágoras. Recíproco del teorema de Pitágoras.
7.2. Características de los triángulos “30-60-90” y “45-45-90”.
7.3. Concurrencia de las mediatrices de un triángulo, de las bisectrices de un
triángulo, de las alturas de un triángulo, de las medianas de un triángulo.
7.4. Desigualdades para un triángulo (“En un triángulo, a mayor ángulo se
opone mayor lado”, etc.)
7.5. Desigualdades para dos triángulos (Teoremas LAL y LLL para
desigualdades). Desigualdad triangular.
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8. Cuadriláteros y polígonos
Objetivo:
Identificar los diferentes cuadriláteros, conocer y aplicar sus propiedades.
8.1. Cuadriláteros, paralelogramos.
8.2. Propiedades de los paralelogramos. Formas de probar que un cuadrilátero
es un paralelogramo. Teorema del segmento medio.
8.3. Paralelogramos especiales y sus propiedades: rectángulo, rombo,
cuadrado.
8.4. Trapecios y sus propiedades.
8.5. Acerca de las medidas de los ángulos de un polígono convexo.
9. Semejanza
Objetivo:
Estudiar las propiedades de las figuras que tienen la misma forma pero no
necesariamente el mismo tamaño.
9.1. Razón y proporción.
9.2. Propiedades de las proporciones.
9.3. Teorema fundamental de la proporcionalidad.
9.4. Homotecias.
9.5. Polígonos semejantes.
9.6. Postulado AA para la semejanza.
9.7. Criterios LAL y LLL para la semejanza.
9.8. Propiedades de los triángulos rectángulos deducidas mediante la
semejanza de triángulos.
9.9. Una demostración del Teorema de Pitágoras usando semejanza.
9.10. Razones trigonométricas.
9.11. Razones trigonométricas de triángulos especiales.
10. Círculos
Objetivo:
Identificar los elementos de una circunferencia y utilizar las proposiciones que
los relacionan en la solución de problemas.
10.1. Conceptos básicos: radio y centro de un círculo. Cuerda, diámetro,
tangente, secante. Ángulo central, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito.
Arcos. Arco menor y arco mayor. Círculos congruentes y círculos
concéntricos.
10.2. Relación entre cuerdas congruentes y sus arcos, y entre cuerdas
congruentes y sus distancias al centro del círculo.
10.3. Otras propiedades de las cuerdas (“La mediatriz de una cuerda contiene
al centro del círculo”, etc.).
10.4. Propiedades de las rectas tangentes a un círculo.
10.5. Arco subtendido por un ángulo inscrito, y la relación entre sus medidas.
10.6. Ángulos semi-inscritos y sus medidas.
10.7. Ángulos determinados por dos tangentes a un mismo círculo, o por una
tangente y una secante.
10.8. Ángulos determinados por cuerdas.
10.9. Relación entre longitudes de cuerdas, segmentos secantes y segmentos
tangentes.
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11. Área y perímetro
Objetivo:
Calcular áreas y perímetros de regiones poligonales y circulares.
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11.7.
Regiones planas.
Postulados del área.
Áreas de paralelogramos, triángulos, trapecios, polígonos regulares.
Perímetro de un polígono regular.
Relación entre las áreas y los perímetros de polígonos semejantes.
Área de un círculo y de un sector circular.
Longitud de un arco.
12. Sólidos
Objetivo:
Definir los sólidos básicos (prismas, pirámides, cilindro, cono, esfera), y calcular
sus áreas y volúmenes.
12.1. Rectas y planos perpendiculares en el espacio.
12.2. Rectas y planos paralelos en el espacio.
12.3. Sólidos importantes y sus elementos: prismas, pirámides, cilindros, conos
y esferas.
12.4. Área lateral y área total de un prisma, una pirámide, un cilindro y un cono.
Área de superficie de una esfera.
12.5. El principio de Cavalieri. Volumen de un prisma, de una pirámide, de un
cilindro, de un cono y de una esfera.
12.6. Sólidos semejantes y la relación entre sus áreas y sus volúmenes.
12.7. Troncos de pirámide y troncos de cono.
12.8. Poliedros convexos regulares.
13. Geometría Analítica
Objetivo:
• Estudiar aspectos de la Geometría Euclidiana desde los sistemas de
coordenadas.
• Estudiar la recta.
• Estudiar las secciones cónicas.
13.1. Geometría en coordenadas cartesianas.
13.2. Punto medio de un segmento.
13.3. Pendiente de una recta.
13.4. Fórmula de la distancia.
13.5. Ecuación de la recta.
13.6. Rectas perpendiculares y paralelas.
13.7. Uso de las coordenadas en la prueba de teoremas.
13.8. Cónicas.
13.8.1. Circunferencia
13.8.2. Elipse
13.8.3. Hipérbola
13.8.4. Parábola
13.9. Traslación de ejes.
13.10. Ecuación general de segundo grado.
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8. METODOLOGÍA
Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del
perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el
conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual.
El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje.
De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas
busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje
mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de
problemas que deben ser discutidos en el aula.
Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos
matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como
de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la
incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas,
para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas
matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas.
Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que
los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos
conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa
permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones
pertinentes para el buen desarrollo del curso.
Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los
talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van
dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se
desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos
apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas,
trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el
aula con la guía del profesor y otra de manera independiente.
9. EVALUACIÓN
La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua
de sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral,
coherente, flexible e interpretativa.
La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que
valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos
en cada asignatura.
Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la
sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la
marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades
asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el
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estudiante al finalizar el curso.
Las calificaciones son la expresión cuantitativa de los resultados de las pruebas
académicas. En esta asignatura se consideran cinco calificaciones con el mismo
valor porcentual: nota de cada uno de los tres tercios, un examen final común
obligatorio, y una valoración del trabajo independiente del estudiante y de su
desempeño durante el semestre, en esta última se debe tener en cuenta la
asistencia, el interés demostrado, el trabajo dentro y fuera del aula y el esfuerzo del
estudiante entre otros criterios.
10. VIGENCIA Y MODIFICACIONES
Contenidos vigentes desde:
01/04/2002
Contenidos vigentes hasta:
Nueva
Modificación
Última fecha de actualización:
20/11/2008
Penúltima fecha de actualización:
28/06/2008
Aprobado:
EDGARD OBONAGA GARNICA
Firma:
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