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Teoría de grupos por Luis Jaime Corredor Londoño Alumnos encargados: Felipe Uribe 200922400, Laura Viviana Cadavid 20011151514, Paula Baquero Lozano 200722442 Es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones, además de servir como base para estructuras algebraicas más complejas como por ejemplo los campos vectoriales.1 Los grupos son estructuras matemáticas en las que un conjunto G tiene una operación binaria, es decir que se puede realizar entre dos elementos de G. Los grupos pueden ser finitos o infinitos (cantidad finita o infinita de elementos que los componen) Ejemplo: Una operación binaria en G compuesta por dos elementos diferentes de G resulta en un elemento que pertenece a G 𝐺𝑋𝐺 → 𝐺 Además se deben satisfacer 3 axiomas básicos para poder definir formalmente un grupo, los cuales son los siguientes: 1) Asociatividad: Para los elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos siempre dará el mismo resultado. 2) Identidad: Debe haber una identidad o elemento neutro tal que operar cualquier elemento del conjunto por la identidad da el mismo elemento. 1
Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial
Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132, 152 páginas, en rústica. Traducción
del ruso: Juana Elisa Quastler. 3) Inversos: Hay un elemento en el conjunto tal que al operarlo por el otro se obtiene la identidad. Esto es que hay inversos. Además los inversos para cada elemento en un conjunto son únicos, es decir que no hay dos elementos diferentes ”a” y “b” en un conjunto “G” que sirvan de inverso a un único elemento ”c” del mismo conjunto. Primer teorema Si se tienen 𝑥𝑒 = 𝑒𝑥 = 𝑥 Y 𝑥𝑒 ʹ′ = 𝑥𝑒 ʹ′ = 𝑥 Entonces 𝑒 = 𝑒ʹ′ Tipos de grupos Hay diferentes tipos de grupos, algunos de los más importantes son los siguientes: Grupos cíclicos: Un grupo es cíclico si existe un elemento g dentro del grupo G tal que G = { gn | n ∈ } Segundo teorema Si G es un grupo cíclico, entonces o bien G es infinito y G ≅ ≅ o bien G es finito, |G|=n y G Ejemplo: El grupo formado por los elementos {(00), (01), (10), (11)} ya que al operar el 1 consigo mismo se puede generar el resto de los elementos del grupo. Grupos Abelianos: Son grupos que son conmutativos, es decir que cumplen lo siguiente: Si se tienen dos elementos a y b que pertenecen al grupo A y se cumple que Entonces el grupo es Abeliano. Los grupos que no son conmutativos son grupos no Abelianos. Ejemplo: Todo grupo cíclico G es Abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = am y y = an para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Biyección e Isomorfismo Isomorfismo Dos grupos, G1, con la operación *, y G2, con la operación O, decimos que son isomorfos si existe una bisección f : G1 → G2 compatible con las operaciones, es decir2, f(g * g0) = f(g)Of(g0), ∀g, g0∈ G1 Donde la operación * es una ley de composición interna, o tiene la propiedad de clausura: a, b ∈ G ⇒ a * b ∈ G Ejemplo: Todo grupo Abeliano finito es isomorfo a uno de la forma Biyección Una función es biyectiva si a cada uno de los elementos del conjunto de salida les corresponde un único elemento del conjunto de llegada. 2
http://bioinfo.uib.es/~merce/Docencia/AlgInf/Tema3/grupos.pdf Aplicaciones Física Un ejemplo de la teoría de grupos aplicada a la física es el grupo de galileo, el cual está formado por todas las transformaciones en el tiempo y en el espacio que conservan los sistemas de referencia inerciales, por lo que conserva las leyes de Newton3. Funciona de la siguiente manera, si se tiene un sistema A con coordenadas (x,y,z) en reposo y otro B en movimiento con coordenadas (x’,y’,z’) se puede hacer una transformación mediante las siguientes ecuaciones Donde Vx es la velocidad en la coordenada x del sistema de referencia B vista por A y t es el tiempo transcurrido. Sobre Luis Jaime Londoño Estudios: Hizo su carrera como matemático en la Universidad de Los Andes entre 1977 y 1980 e igualmente hizo su magister en matemáticas en ésta entre 1981y 1983 para luego hacer su doctorado en matemáticas de la Universitat Bonn entre 1984 y 1989. Experiencia: Ha trabajado en el Comité para Latinoamérica de la Association For Symbolic Logic, en la Universidad de los Andes, en la University of California Irvine, en el Mathematical Science Research Institut y en la University of Notre Dame. Áreas de actuación: Sus áreas de principal actuación son la lógica matemática y el álgebra. En el área de lógica se dedica a la investigación de la de modelos y el grupo de rango de Morley finito. 3
http://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/varios/relatividadfaq.pdf En el área de álgebra, se dedica a la investigación de la teoría de grupos. Experiencia adicional: Además de su amplia experiencia en matemáticas, Luis Jaime habla alemán, inglés, español y francés y fue premiado con el Estímulo a Investigadores del Instituto Colombiano Para El Desarrollo De La Ciencia Y La Tecnología "Francisco José De Caldas" -­‐ Colciencias -­‐ de 1996