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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos
uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno
y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora.
Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las
letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del
Triángulo.
Empezaremos a ver cada una de las Funciones:
1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente
entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado
Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado
Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente
con Lado Opuesto:
5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa
sobre Lado Opuesto:
Ejemplo: Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones
Trigonométricas en cada caso que se requiera, o las que hacen falta.
1. Primero encontraremos el valor de la ecuación que nos hace falta, en éste caso,
ya que sabemos que la función de Coseno relaciona Lado Adyacente sobre
Hipotenusa, ya conocemos dichos valores, nos faltaría encontrar Lado
Opuesto:
2. Ahora conociendo el valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar
cada una de las funciones que hacen falta:
3. Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:
Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y
área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos
lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del
recto.
Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y los
ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.
Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que está constituido por dos
lados (Opuesto y Adyacente),
Hipotenusa y forma un ángulo de 90 grados (90°)
En el Diagrama se simbología asignada para cada variable
El Lado c es opuesto al ángulo α (Alfa)
El Lado b es opuesto al ángulo β (Beta)
El Lado a es opuesto al ángulo γ (Sigma)
Veamos un Ejemplo, nos proporcionan la siguiente información:
Revisemos la información que tenemos:
Tenemos un ángulo β equivalente a 25° 12 ' 42'', por lo que tenemos que pasarlo
a Grados; aparte conocemos el lado c = 7 cm. Nos piden encontrar un ángulo y
dos lados, que son los que desconocemos.
1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a Grados
2. Conociendo β, podemos conocer γ, ya que α = 90°, así:
3. Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta, ya que
conocemos γ, podemos encontrar el lado por medio de las funciones
trigonométricas:
Despejemos la Variable:
Aplicamos por medio de la Calculadora La Función Seno de 64.79, que es :
0.9047527, luego dividimos 7 ÷ 0.9047527 = 7.73 = c.
4. Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
5. Quedando finalmente la gráfica así:
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos
encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos
rectángulos:
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
2. Se conocen los dos catetos
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Ejercicios
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b =
280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B
c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21
m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B
a = 33/0.5437 = 39.12 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°.
Resolver el triángulo
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22°
b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B =
37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B
c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un
pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del
pueblo se halla?
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de
24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de
sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo
de 70°.
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del
terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos
acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los
radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono
regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de
radio.
Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia
de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas
carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?