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Existen muchos movimientos que se repiten a
intervalos iguales de tiempo, como ser las
oscilaciones de una masa sobre un resorte, el
movimiento de un péndulo y las vibraciones de un
instrumento musical de cuerda.
Otros numerosos sistemas también muestran
movimiento oscilatorio. Por ejemplo, las moléculas en
un sólido oscilan alrededor de sus posiciones de
equilibrio; en circuitos de corriente alterna, el voltaje,
la corriente y la carga ecléctica varían periódicamente
con el tiempo.
Péndulo de Foucault
En Física se ha idealizado un
tipo de movimiento oscilatorio, en
el que se considera que sobre el
sistema no existe la acción de las
fuerzas de rozamiento, es decir,
no existe disipación de energía y
el movimiento se mantiene
invariable, sin necesidad de
comunicarle energía exterior a
este. Este movimiento se llama
movimiento armónico simple (MAS).
Se dice que una prtícula se
mueve
con
un
movimiento
armónico simple cuando su
desplazamiento desde el punto de
equilibrio, varía en el tiempo t, de
acuerdo con la relación:
f: f(t) = A cos (ω t + φ)
A, es la amplitud del movimiento.
La constante ω recibe el nombre
de frecuencia angular, y el ángulo
constante φ se llama constante de
fase. El período T, del movimiento
es el tiempo que tarda la partícula
en completar un ciclo y viene
dado por: T = 2π
ω
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Leonhard Euler
(Suiza, 1707–1783)
El verdadero autor del actual simbolismo y de la
expresión analítica de la trigonometría fue Euler. En
su “Introductio” (1748) dio una exposición
admirablemente fundada de toda la teoría de las
funciones trigonométricas, incluyendo su desarrollo en
serie.
Euler estudió en la Universidad de Basilea con el
matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los
16 años.
En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia
Catalina I, fue miembro del profesorado de la
Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue
nombrado catedrático de física en 1730 y de
matemática en 1733. En 1741 fue profesor de
matemática en la Academia de Ciencias de Berlín a
petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler
regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció
hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida
parcial de visión, –antes de cumplir 30 años y por una
ceguera casi total, al final de su vida– Euler produjo
numerosas obras matemáticas importantes, así como
reseñas matemáticas y científicas. Fue uno de los
últimos hombres que pudo tener un conocimiento
acabado de todas las matemáticas de su época.
GUSTAVO A. DUFFOUR
8
FUNCIONES
ANGULARES
1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO
1.1. DEFINICIÓN
El ángulo α se mide por la longitud del arco
p
AP , con una unidad apropiada para medir
ángulos.
P
α
A
Según cual sea la unidad usada, se
tendrán diferentes sistemas para medir ángulos.
1.2. SISTEMAS DE MEDIDAS
En trigonometría suelen emplearse dos
unidades distintas para medir ángulos, que
originan dos sistemas de medidas: el
sexagesimal y el circular.
Sistema sexagesimal
Unidad: grado
Se toma como unidad el grado
sexagesimal, o simplemente grado, que se
define como:
Una de las 360 partes en que se divide la
circunferencia.
Por lo tanto, se tiene que:
Una circunferencia equivale a 360º
El grado se divide a su vez en 60 minutos
y el minuto en 60 segundos.
MATEMÁTICA DE CUARTO
Recordemos que, mientras que
el símbolo ° se utiliza para indicar
grados, no se utiliza ningún
símbolo para indicar la medida en
radianes.
La división de una circunferencia
en 360 grados es muy arbitraria,
debida a los antiguos babilonios, a
quienes les agradaban los múltiplos
de 60.
La medida de un ángulo en
grados es ampliamente usada en
ingeniería y en las ciencias físicas,
principalmente
en
astronomía,
navegación y topografía.
El método más corriente para
localizar una estrella en el cielo, o
un punto en la superficie de la
Tierra, es utilizar su distancia
angular en grados, minutos y
segundos a ciertos puntos o
líneas de referencia fijadas.
La posición de un objeto en la
superficie de la Tierra se mide en
grados de latitud norte o sur del
ecuador y grados de longitud este
u oeste del meridiano principal,
que normalmente es el meridiano
que pasa por Greenwich, en
Inglaterra.
La división en 2π partes es
fundamental. Los radianes se
usan casi exclusivamente en
estudios teóricos, como en el
cálculo, debido a la mayor
simplicidad de ciertos resultados,
de las funciones angulares, en
especial para las derivadas y la
expresión de series infinitas.
121
Sistema circular
En este sistema se toma como unidad de
medida el radián, que se define como:
El ángulo cuyo arco es igual al radio de la
circunferencia a la cual pertenece.
R
R
Unidad: radián
1.3. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL CIRCULAR
Dado que en una circunferencia de perímetro 2πR hay 360º, se tendrá:
Si R
Toda la circunferencia ? 2πR
→ 1 radián
→ x radianes
x =
1 * 2πR
= 2π radianes
R
Fórmulas de conversión:
Medida en grados
360º 180º 90º 60º 45º 30º
π
π
π
π
Medida en radianes 2π
π
2
3
4
6
180 × radianes
π
π × grados
radianes =
180
grados =
USANDO LA CALCULADORA
Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo
se encuentra.
Modo
Modo
D o DEG para trabajar en grados.
R o RAD para trabajar en radianes.
El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES.
Se supone que el lector tiene algún conocimiento de las tres relaciones
trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones se
estudian en los cursos de trigonometría de años anteriores, al resolver
problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo
(véase el capítulo 7 en este mismo texto).
Las relaciones trigonométricas son muy importantes, no solo por su
relación con los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, sino por las
propiedades que poseen como funciones angulares definidas en los
números reales (véase la página 123).
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GUSTAVO A. DUFFOUR
2 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Una circunferencia de radio unidad, cuyo centro
coincide con el origen de coordenadas, se llama
circunferencia trigonométrica; y el círculo que
determina, círculo trigonométrico.
y
B
II
A’
P
I
α
o
III
A
Al punto A se lo toma como origen de
medida de los ángulos y el punto P, de posición
variable sobre la circunferencia trigonométrica, se
p.
llama extremo del arco AP
x
IV
La circunferencia se considera orientada
positivamente en el sentido contrario al
movimiento de las agujas de un reloj, o sea,
ABA'B'. Los diámetros principales (horizontal y
vertical) dividen al círculo trigonométrico en
cuatro cuadrantes, numerados en la figura.
B’
Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su
posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte
positiva del eje x.
3 – FUNCIONES ANGULARES
3.1. DEFINICIONES
Dado que el radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad: d(O, P) = 1 en el
+
triángulo rectángulo OMP de la figura, se tendrá:
sen α = d(M,P)
cos α = d(O,M)
y
De donde es posible definir el seno y el
coseno de un ángulo como:
P
o
α
M A
x
SENO
En una circunferencia trigonométrica, el seno
de un ángulo es la distancia medida desde el
p al diámetro horizontal
extremo del arco AP
sobre la perpendicular.
COSENO
En una circunferencia trigonométrica, el coseno
de un ángulo es la distancia medida desde el pie de
la perpendicular anterior (véase seno), al centro de
la circunferencia.
MATEMÁTICA DE CUARTO
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7 – EJERCICIOS PROPUESTOS
127)
Véanse los resultados en la página 204.
Verificar las siguientes identidades, «en condiciones de existencia»:
1) ( sen α + cos α) 2 + ( sen α – cos α) 2 = 2
2) (1 + sen α)(1 – sen α) = (cos α)2
3) (1 + cos α)(1 – cos α) = (sen α)2
4) (tg α)(cotg α) = 1
5) (tg α) 2 (cos α) 2 + (cotg α) 2 (sen α) 2 = 1
6) (sen α)(sec α) = tg α
128)
Completar en [0, 2π).
sen( . . . ) = sen x
tg (x) = ( . . . )
130)
1) Transformar el lado de la
igualdad más complicado,
hasta que sea igual al más
sencillo.
2) Transformar ambos lados de la
identidad hasta llegar a la
misma expresión.
Recuérdese que es incorrecto
pasar las expresiones de un lado al
otro del signo de igual. Hacerlo
implica dar por cierta la identidad
que se quiere demostrar.
sen( . . . ) = sen (π + x)
sen( . . . ) = sen (π – x)
cos (π + x) = ( . . . )
129)
Estrategias para probar
identidades
cos (π – x) = ( . . . )
A partir de las representaciones gráficas de las funciones seno y coseno, bosquejar
las representaciones gráficas de las siguientes funciones:
f: f(x) = – sen x
g :g (x) = – cos x
h: h(x) = 1 – sen x
j: j(x) = – 1 – cos x
Resolver las siguientes ecuaciones en: [ 0, 2π).
1) 2(sen x) = 1
2) 3(sen x) = 4 – sen x
3) 3(tg x) =
4) tg (2x – π) = 1
5) sen x =
3
3 (cos x)
2
6) (sen x) + sen x – 2 =0
7) 2(sen x)2 = 3(cos x)
8) (cos x) 2 = 3(sen x) 2
9) 3(tg x) = 2(cos x)
10)
2 − sen x = ( tg x )( cos x )
En la resolución de
ecuaciones trigonométricas,
se deben considerar
siempre las condiciones de
existencia.
Por lo tanto, las soluciones
se deben dar
en condiciones de
existencia.
11) 3(sen x) = 4 – 5(tg x)(cos x)
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GUSTAVO A. DUFFOUR