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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
1. Sabiendo que cot g  2 y que


a. cos    
2

b. sen     
3
   2 , determina:
2
d. sec   
e. cot g     


 3

c. tg    
f. cos    
2

 2

2. Hallar el valor de las siguientes expresiones:
sen   / 2  x   cos    x   sen    x 
a.
cos   x   sen   x 
b.
cot g   / 2  x   sen   / 2  x 
2tg    x 
c.
tg    x   cos   x 
cot g    x   cos   / 2  x 
4

, sabiendo que cos    y  IIIC .
2
5
4. Sea cos   a  0,  IC . Determina, en función de a, el valor de
3. Determina el valor de cot g
sen 2   3cos   1
tg  sen  cos 
5. Determinar el valor de A, siendo:
7
 
tg


cot
g


1  cos2 210º
4
4
A
 
2
sen330º sen450º
cosec  300º 
6. Si senA  b, 0º  A  90º , determinar, en función de b, el valor de:
 3

sen   A   tg    A 
 2



 3

cot g   A   cosec   A 
2

 2

1
7. Demostrar que: sen125º  cos25º  sen5º
8. Si sen28º  a , demostrar que:
cos 208º tg152º sen298º a
a2 1
 2
a
tg242º  cos118º  1  a 2  sec 2  28º 
4

y IIC , determina el valor de cos 2 y cos ,
2
5
indicando a qué cuadrante pertenece cada uno.
5
10.Si cosec2   , con 2 IVC , determina el valor de:
4
9. Si cos   
cos2   tg2 
2
15
11.La tangente de un ángulo, x, del segundo cuadrante es -4/5. Halla las
razones trigonométricas de los ángulos 2x y x/2.
12.Demuestra que si x, y, z son los ángulos de un triángulo, entonces
tg  x  y   tgz  0 .
13.Deduce una fórmula que permita expresar la tg  x  y  z  en función de
tgx, tgy, tgz . A partir de la fórmula anterior demuestra que si x, y, z son
los ángulos de un triángulo cualquiera, entonces se cumple que
tgx  tgy  tgz  tgx  tgy  tgz .
14.Determina el valor del ángulo  :
Nota: calcula tg     
2
sen3a
en función del cosa .
sen2a  sena
16.Simplifica las siguientes expresiones:
sen2x
a.
1  cos 2x
sen2a sen2a

b.
1  cos2 a cosa
sen3a  sen5a
c.
sen3a  cos5a
sen 2a 1  cosa

d.
1  cos2 a cosa
sen 2a sen 2a

e.
1  cos2 a cosa


sen  a    tg  a  
2

f.
cot    a 
15.Expresar
g.
sen2a  sen4a
cos 2a  cos 4a
2
h.
i.
j.
k.
a
a

sen

cos

 1  sena 
2
2

sen2a
senx  sen3x  sen5x  sen7x
cos x  cos3x  cos5x  cos7x
sena  senb cosa  cos b

sena  senb cosa  cos b
sen 4 x  cos4 x
l. sen  x  y   cos x  cos  x  y   senx
m. cos       sen  sen       cos 
n. sen  sen    cos   cos    2cos     
2
o.
2
sen       sen     
cos       cos     
3
17.Demuestra las siguientes identidades:
a. tg  cot g  sec  cosec
1
1

 2cosec2 
b.
1  cos  1  cos 
c. cot g2   cos2    cot g cos  
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
2
1
 sen 2   cos2   cos4 
2
sec 
tg  sec3   sec 
 tg2   sen
sec 
cot g sec   cosec
1
sec2   cosec2  
sen 2   cos2 
senx  cos x
1
 tg2x
2
2
cos x  sen x 2
sen2x
x 5cos x  1
 cos2 
senx
2
2
1
cos  x  45º   cos  x  45º   cos 2x
2
x
cos x  2sen 2  1
2
senx
1  cos x
4  4cos x


1  cos x
senx
2senx  sen2x
sen cos       cos  sen       sen
cot g  cot g  1
cot g  cot g
cos  x  y   cos  x  y 
o. cos x  cos y 
2
p. sen  a  b   sen  a  b   cos2 b  cos2 a
n. cot g      
2
sen2x
x
r. 1  cos x  2cos2
2
seca  sec b  csca  csc b
s. sec  a  b  
csca  csc b  seca  sec b
q. tgx  ctgx 
t.
cos  a  b   cos  a  b 
 tgb
sen  a  b   sen  a  b 
4
u. ctg2 x  tg2 x  4ctg2x csc 2x
2senx
sen 2 x
v.
 cos x 
tg2x
cos x
sen  a  b  tga ctgb  1

w.
sen  a  b  tga ctgb  1




x. tg   a   tg   a   2tg2a
4

4

18.Sabiendo que x es un ángulo agudo y que se verifica que
5
cos  90º x   cosecx  , determina el valor de tgx  sec x .
2
3
19.Si tg  sec   2 , demostrar que sen  .
5
20.Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. tgx  1
b. sen2 x  cos x  1
c. 2cos2 x  sen 2 x  1  0
d. tg2 x  tgx  0
e. 2senx  cos2 x  6sen3x  0
3
f. cos  2x  20º   
2
1
5

g. sen 2 x 
sec x 4
h. 2cos x  3tgx
i. 3cosecx  2cos x  cot gx  3  0
j. cos x  tgx  sec x
k. 3sec x  3senx  tgx  3
l. 3cot gx  4senx  2cos x  tgx
m. cos2x  5cos x  3  0
n. 3senx  cos2 x  3
o. cos5x  cos x  0
1
p. senx  2cos 2x  
2
4
4
q. sen x  2cos x  1  0
x
r. 4sen    2cos x  3
2
5

s. sen2x  cos  
 3




t. 4sen  x   cos  x    3
6
6


x
u. 8tg 2   1  sec x
2
v. tg2x   tgx
w. cos2x  cos6x  sen5x  sen3x
x. senx  cos x  cos x senx  cos x 
y.
cos
2
x  sen 2 x   sen2x
2
21.Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

3 1
senx  seny 
2
a. 
senx  seny  3  1

2
1

senx

seny


2
b. 
 x  y  2

3
 2senx  1  cos y
c. 
2cos x  1  cos y
3

senx

seny


2
d. 
cos  x  y   3
  2  2
sen  x  y   cos x cos y  0
e. 
seny  0

PROBLEMAS
1. Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del
12% ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal?
¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7km por esa
carretera?
6
2. En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785m. Tres
kilómetros más adelante, la altitud es de 1.265m. Halla la pendiente media
de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.
3. La longitud del lado de un octógono regular es 12m. Hallar los radios de
la circunferencia inscrita y circunscrita.
4. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan
entre sí 10km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora.
Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º . ¿A qué distancia
de A y B se encuentra la emisora?
5. En un círculo de 15cm de radio, halla el área comprendida entre una
cuerda de 20cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.
6. Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la
figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?
7. Una estatua de 2,5m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del
suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo
de 45º . Calcula la altura del pedestal.
8. Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en
la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A
qué altura está el globo?
7
9. Resuelve el siguiente triángulo y calcula las medidas de su altura,
mediana y bisectriz trazadas desde el vértice C.
10.Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un
ángulo de 127º . El primero sale a las 10h de la mañana con una velocidad
de 17 nudos, y el segundo sale a las 11h 30min, con una velocidad de 26
nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150km, ¿podrán
ponerse en contacto a las 3 de la tarde?
Nota: Nudo = milla / hora; milla = 1850 m
11.Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con respecto
a la línea de la costa; y un barco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A está
a 5km de la costa, y el B, a 3km. Calcula la distancia entre los barcos.
12.Queremos calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles, A y B.
Desde C y D tomamos los datos: CD = 300m, ADB = 25º, ACB = 32º,
ACD =46º, BDC = 40º. Calcula AB.
8