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2.7
Forma vectorial de los sistemas de ecuaciones lineales
(La ecuación vectorial x1 a1 + · · · + xn an = b)
En general, para todo número entero positivo n llamaremos vector de Rn a todo conjunto
ordenado de n números reales y lo representaremos normalmente como una columna de números reales (esto es, una matriz con una sola columna), aunque a veces, para ahorrar papel lo
representaremos en la forma ( a1 , . . . , an ) que no hay que confundir con una matriz de una sola
fila (en una matriz no hay comas). Igualmente, un vector de Cn es un conjunto ordenado de n
números complejos y lo escribiremos normalmente también en forma de columna.
Operaciones aritméticas con vectores: sus propiedades algebraicas
Las dos operaciones básicas a las que se pueden someter los vectores de Rn o de Cn , son
la suma de vectores y la multiplicación de un número por un vector (o “reescalado” de vectores), las
cuales se efectúan componente a componente como en el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Si
2
,
u=
, v=
6
2
Si u =
, c = 3,
−1
1
−2
1
2
1+2
3
entonces u + v =
+
=
=
−2
6
−2 + 6
4
2
3×2
6
entonces c u = 3
=
=
−1
3 × (−1)
−3
Dichas dos operaciones básicas de vectores de Rn (o de Cn ) tienen las siguientes propiedades
fundamentales:
(a) Propiedades de la suma de vectores (“Grupo conmutativo”):
1.
2.
3.
4.
Propiedad asociativa de la suma: u + (v + w) = (u + v) + w.
Existencia del neutro de la suma o vector cero: 0 + u = u + 0 = u.
Existencia de opuestos para la suma: −u + u = u + (−u) = 0.
Propiedad conmutativa de la suma: v + u = u + v.
(b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números:
1. Propiedad distributiva para la suma de vectores: x (u + v) = xu + xv.
2. Propiedad distributiva para la suma de números: ( x + y)u = xu + yu.
(c) “Acción de los escalares”:
1. Propiedad asociativa del producto de números por vectores: x (yu) = ( xy)u.
2. Ley de identidad: El número 1 es neutro para la multiplicación de vectores por números: 1 u = u.
1
Rn
Cn
Espacios vectoriales abstractos. Todo conjunto de elementos abstractos que se puedan sumar
entre sí y multiplicar por números reales de tal forma que se cumplan esas propiedades se llama
un espacio vectorial real. y sus elementos se llaman vectores. Si los elementos del conjunto abstracto
se pueden multiplicar por números complejos manteniéndose dichas propiedades, entonces el
conjunto se llama un espacio vectorial complejo. Los números por los que se pueden multiplicar
los vectores de un espacio vectorial se llaman los escalares de ese espacio. Así, los escalares de Rn
son los números reales y los escalares de Cn son los números complejos. De ahora en adelante,
utilizaremos la palabra “escalar” para referirnos a un número real si el espacio en consideración
es Rn y a un número complejo si el espacio en consideración es Cn .
Def. de Espacio
Vectorial.
vectores
escalares
Combinaciones lineales de vectores
Las propiedades algebraicas de las operaciones básicas de vectores (suma y multiplicación
por escalares) hacen posible realizar muchas otras operaciones, como por ejemplo “punto medio” definido como:
punto medio(u, v) = 12 (u + v) = 12 u + 12 v.
Una operación algo más general es la llamada “baricentro” que se puede aplicar a un número
arbitrario de vectores y está definida por la fórmula:
baricentro(u1 , . . . , u p ) = 1p (u1 + · · · + u p ) = 1p u1 + · · · + 1p u p .
La operación más general que se puede realizar con vectores consiste en multiplicar cada
uno de los vectores dados por un número y sumar todos los resultados:
y = c1 u1 + · · · + c p u p
Esta operación se llama combinación lineal de los vectores u1 , . . . , u p . Los escalares ci por los que
han sido multiplicados los vectores ui se llaman los coeficientes o pesos de esos vectores en la
combinación lineal. El vector y obtenido como resultado de la combinación lineal se llama una
combinación lineal de los vectores u1 , . . . , u p con pesos correspondientes c1 , . . . , c p .
Por ejemplo, vamos a calcular la combinación lineal y = c1 u + c2 v donde
2
5
u=
,v =
, c1 = −1 , c2 = 2.
6
3
Para ello calculamos:
y = c1 u + c2 v = (−1)
2
5
8
+2
=
.
6
3
0
8
Entonces decimos que el vector y =
es una combinación lineal de los vectores u, v con
0
coeficientes o pesos −1, 2.
Ejercicio: Averiguar los pesos que hay que dar a los vectores
v1 y v2 de la figura de la izquierda para expresar el vector w
como combinación lineal de ellos.
Solución:
Trazando por w rectas paralelas a los vectores v1 y v2 como se muestra en la figura de
la derecha, observamos que es necesario calcular dos veces y media v1 y restarle a eso la
mitad de v2 :
w = 52 v1 − 12 v2 .
2
peso de un
vector en una
combinación
lineal.
El problema de expresar un vector como combinación lineal de otros
Consideremos este problema: “Dados en Rm (o Cm ) un vector b y n vectores a1 , . . . , an , se
desea saber si b es combinación lineal de los a1 , . . . , an .”
Este problema es equivalente a plantearse si es posible hallar escalares x1 , . . . , xn tales que
x1 a1 + · · · + xn an = b.
(1)
Este problema nos lleva a considerar el conjunto de todos los vectores que se obtienen al
formar combinaciones lineales de a1 , . . . , an , el cual se conoce como el conjunto generado por
a1 , . . . , an y se denota Gen{a1 , . . . , an }. Entonces, el problema de si la ecuación (1) tiene alguna
solución se puede plantear como la cuestión de si b pertenece al conjunto Gen{a1 , . . . , an }.
El subespacio vectorial Gen{a1 , . . . , an }. La suma de dos combinaciones lineales de a1 , . . . , an
es claramente otra combinación lineal de a1 , . . . , an y lo mismo ocurre al multiplicar una combinación lineal de a1 , . . . , an por un número. En consecuencia, si u y v son dos vectores de
Gen{a1 , . . . , an }, su suma es otro vector de Gen{a1 , . . . , an } y el producto de cualquiera de ellos
por un número es también otro vector de Gen{a1 , . . . , an }. Esto hace que el conjunto generado
por los vectores a1 , . . . , an no sea un subconjunto cualquiera de Rn o de Cn sino uno con una
estructura de espacio vectorial, por lo cual se dice que Gen{a1 , . . . , an } es un subespacio vectorial
de Rn (o Cn ).
Sistemas de ecuaciones como ecuaciones vectoriales
La ecuación (1) se conoce como una ecuación vectorial en las incógnitas x1 , . . . , xn . Para resolverla basta reconocer que es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de
coeficientes tiene por columnas los vectores a1 , . . . , an , y cuyo vector de términos independientes
es el vector b.
Recíprocamente: Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación vectorial
en la que una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes del sistema, cuyos pesos son
las incógnitas, está igualada al vector de los términos independientes.
Ejemplo:
Si queremos expresar el vector b como combinación lineal de u, v, w con:


 


 
3
1
3
0
b =  −1  , u =  0  , v =  4  , w =  1 
2
2
−1
2
necesitamos encontrar los coeficientes x1 , x2 , x3 de la combinación lineal x1 u + x2 v + x3 w = b:
 


  

1
3
0
3
x1  0  + x2  4  + x3  1  =  −1 
2
−1
2
2
Esto significa que los números x1 , x2 , x3 tienen que verificar el sistema de ecuaciones lineales:
x1 + 3x2 = 3
4x2 + x3 = −1
2x1 − x2 + 2x3 = 2
3
conjunto
generado por
a1 , . . . , a n
subespacio
vectorial
Ejercicio: Plantear un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean las distintas formas
de expresar el vector b como combinación lineal de u, v, w con:
 
 


 
4
1
3
0
b = 5 , u = 0 , v =  4 , w = 1.
3
2
−1
2
Escribir la matriz del sistema.
Volviendo al problema de expresar un vector como combinación lineal de otros, tenemos:
Un vector b es combinación lineal de los vectores a1 , . . . , an si y sólo si el sistema cuya matriz
ampliada tiene por columnas los vectores a1 , . . . , an , b es compatible.
Esto nos da una nueva forma de expresar la existencia de solución de un sistema de ecuaciones lineales:
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el vector de términos independientes es
combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes.
O también:
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el vector de términos independientes
pertenece al subespacio generado por las columnas de la matriz de coeficientes.
Ejemplo: Supongamos que queremos averiguar si el vector b pertenece al subespacio generado
por los vectores u, v con:


 


3
1
3
b =  −1  , u =  0  , v =  4 
2
2
−1
Basta escribir la matriz cuyas columnas son u, v y b y averiguar si el sistema de ecuaciones que
tiene esa matriz es compatible. Para ello basta realizar la fase 1 (eliminación), lo cual haremos
en forma matricial:






1 3
3
1
3
3
1
3
3
7F
F
→
F
+
F3 → F3 −2F1
3
3 4 2
0 4
0
−1  .
4 −1  −−−−−−
4 −1  −−−−−−→
→ 0
2 −1
2
0 −7 −4
0 0 −4 − 74
La última columna contiene un pivote, por tanto el sistema es incompatible. El vector b no es
igual a una combinación lineal de u y v. No pertenece al subespacio generado por u y v.
Otra forma de pensar en el proceso de eliminación
Hemos visto dos formas equivalentes de pensar y de realizar el proceso de eliminación
mediante operaciones elementales: Inicialmente lo pensamos como operaciones realizadas sobre
las ecuaciones del sistema y más tarde vimos que esto era equivalente a realizar las operaciones
elementales sobre las filas de la matriz del sistema. Ahora estamos en posición de pensar que
las operaciones elementales se realizan sobre los vectores a1 , . . . , an , b. En una primera etapa
se construyen operaciones elementales que tranformen a1 en un vector cuyo primer elemento
es 1 y los demás cero. etc. Cada vez que aplicamos una operación elemental al sistema o a la
matriz del sistema, podemos pensar que la realizamos sobre cada vector columna de la matriz
del sistema. La conclusión de esto es la siguiente:
Si un vector b es combinación lineal de a1 , . . . , an , el vector b0 obtenido al realizar una o varias
operaciones elementales sobre b es también combinación lineal —y con los mismos coeficientes— de los
vectores a10 , . . . , a0n obtenidos al realizar dichas operaciones elementales sobre los vectores a1 , . . . , an .
4