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4 Vector Spaces
4.1
ESPACIOS VECTORIALES Y
SUBESPACIOS
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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§ 
Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no
vacío V de objetos, sobre el cual se definen dos
operaciones, llamadas la suma y la multiplicación
por un escalar, sujeto a diez axiomas (o reglas).
Los axiomas se cumplen para todos los objetos u, v,
y w en V y para todos los escalares c y d.
1.  La suma de u y v, denotada por u + v, está en
V.
2.  u + v = v + u
3.  (u + v) + w = u + (v + w)
.
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Slide 4.1- 2
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
4.  Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u
5.  Para cada u en V, existe un vector –u en V tal
que u + -u = 0
6.  El múltiplo escalar de u por c, denotado por
cu, está en V.
7.  c(u + v) = cu + cv
8.  (c + d)u = cu + du
9.  c(du) = (cd)u
10.  1u = u
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Slide 4.1- 3
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§  Utilizando estos axiomas, se puede demostrar que el
vector cero del axioma 4 es único y que el vector –u,
llamado el negativo de u, en el axioma 5 es único
para cada u en V.
§  Tambien se puede probar que:
0u = 0
c0 = 0
-u = (-1)u
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Slide 4.1- 4
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
Algunos espacios vectoriales
El conjunto de todos los vectores de dos entradas R 2
El conjunto de todos los vectores de tres entradas R3
El conjunto de todas las matrices de mxn (Mmn)
El conjunto de todos los polinomios de grado menor e
igual a dos (P2)
§  El conjunto de todos los polinomios de grado menor e
igual a tres (P3)
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§  Ejemplo 1: Dado un conjunto V de todas las flechas
(segmentos de recta dirigidos) en el espacio tridimensional, donde dos flechas son iguales si tienen
la misma longitud y apuntan en la misma dirección.
Definir la suma por la regla del paralelogramo, y para
cada v en V, definir cv como la flecha cuya longitud
es |c| veces la longitud de v, apuntando en la misma
dirección de v si c >=0 y en la dirección opuesta de
otra manera.
§  O sea,
§  Demostrar que V es un espacio vectorial.
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Slide 4.1- 6
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
§  Solucion: La definición de V es geométrica,
utilizando los conceptos de longitud y dirección.
§  No se involucra el sistema de coordenadas xyz.
§  Un vector de longitud cero es un simple punto y
representa al vector cero.
§  El negativo de v es -v.
§  Los axiomas 1, 4, 5, 6, y 10 son evidentes.
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Slide 4.1- 7
SUBSPACIOS
§  Definición: Un subespacio de un espacio vectorial
V es un subconjunto H de V tal que tiene tres
propiedades:
a.  El vector cero de V está en H.
b.  H es cerrado para la suma vectorial. Esto es,
para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
c.  H es cerrado para la multiplicación por
escalares, el vector cu está en H.
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SUBSPACIOS
§ 
Las propiedades (a), (b), y (c) garantizan que un
subespacio H de V es por si mismo un espacio
vectorial, bajo las operaciones vectoriales ya
definidas en V.
§ 
Entonces: cada subespacio es un espacio vectorial.
§ 
A la inversa, cada espacio vectorial es un
subespacio (de si mismo y posiblemente de otros
espacios mas grandes).
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Slide 4.1- 9
UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO
§  El conjunto que tiene como único elemento el vector
cero en un espacio vectorial V es un subespacio de
V, y se le llama el subespacio cero y se escribe como
{0}.
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Slide 4.1- 10
UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO
§  El término combinación lineal se refiere a la suma
de múltiplos escalares de vectores, y Gen{v1,…,vp}
denota el conjunto de todos los vectores que se
pueden escribir como combinaciones lineales de v1,
…,vp.
c1v1 + c2 v 2 + … + c p v p = v
§  Entonces Gen{v1,…,vp} es un espacio vectorial y
contiene todos los v dados por la ecuación anterior
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO NUMERICO
§  Ejemplo 2: considere los vectores
⎡2⎤
⎡2⎤
⎢
⎥
v1 = ⎢ 3⎥
y
v2 = 1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣2⎥⎦
Demostrar que Gen {v1, v2} es un subespacio de
R3
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Slide 4.1- 12
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ 
§ 
Solución: considerar dos vectores arbitrarios en
Gen {v1, v2}
u = c1v1 + c2 v2
y
v = d1v1 + d2 v2
y un escalar c. Numericamente
! 2 $
! 2 $
#
&
#
&
u = c1 # 3 & + c2 # 1 &
# 1 &
# 2 &
"
%
"
%
! 2 $
! 2 $
#
&
#
&
v = d1 # 3 & + d2 # 1 &
# 1 &
# 2 &
"
%
"
%
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
Debemos demostrar que se cumplen las tres
propiedades de los subespacios, donde V es R3 y H es
Gen {v1, v2}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
! 0 $
§  Esto es:
#
&
# 0 &
a.  El vector #" 0 &% está en Gen {v1, v2}
b.  Gen {v1, v2} es cerrado para la
multiplicación por escalares.
c.  Gen {v1, v2} es cerrado para la suma
vectorial.
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ 
§ 
§ 
§ 
El vector cero de R3 debe estar en Gen {v1, v2}
Suponer un vector arbitrario de Gen {v1, v2},
digamos: !
$
!
$
#
u = c1 #
#
"
2
3
1
&
#
& + c2 #
&
#
%
"
2
1
2
&
&
&
%
Si hacemos c1=0 y c2=0, obtenemos el vector
cero. Entonces el vector cero es una combinación
de v1 y v2 y está en Gen {v1, v2}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ 
§ 
Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la suma
vectorial.
Hacer la suma de dos vectores arbitrarios de
Gen {v1, v2}, o sea:
! 2 $
! 2 $
#
&
#
&
u + v = (c1 + d1 )# 3 & + (c2 + d2 )# 1 &
# 1 &
# 2 &
"
%
"
%
§ 
la suma es una combinación de v1 y v2, por lo que
pertenece a Gen {v1, v2}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
§ 
§ 
Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la
multiplicación por escalares.
Hacer un múltiplo escalar de un vector arbitrario
en Gen {v1, v2}
' ! 2 $
! 2 $*
! 2 $
! 2 $
) #
&
#
&,
#
&
#
&
cu = c ) c1# 3 & + c2 # 1 &, = cc1 # 3 & v1 + cc2 # 1 &
) # 1 &
# 2 &,
# 1 &
# 2 &
%
"
%+
"
%
"
%
( "
§ 
el múltiplo escalar es una combinación de los
vectores v1 y v2, por lo que pertenece a Gen {v1,
v2}
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO, EJEMPLO 2
Los vectores en Gen {v1, v2} , cumples con las tres
propiedades para ser un subespacio, en este caso
de R3
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO
§  Ejemplo 3: Dados v1 y v2 en un espacio vectorial V, y
dado H = Gen{v1, v2}. Mostrar que H es un subespacio
de V.
§  Solución: El vector cero está en H, ya que 0 = 0v1 + 0v 2
§  Para mostrar que H es cerrado para la suma vectorial,
tomar dos vectores arbitrarios en H, digamos,
u = s1v1 + s2 v 2 y w = t1v1 + t2 v. 2
§  Por los axiomas 2, 3, y 8 para el espacio vectorial V,
u + w = ( s1v1 + s2 v 2 ) + (t1v1 + t2 v 2 )
= ( s1 + t1 )v1 + ( s2 + t2 )v 2
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Slide 4.1- 20
UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO
§  De manera que u + w está en H.
§  Además, si c es cualquier escalar, entonces por los
axiomas 7 y 9,
cu = c( s1v1 + s2 v2 ) = (cs1 )v1 + (cs2 )v 2
lo que demuestra que cu está en H y H es cerrado para
la multiplicación escalar.
§  Entonces H es un subespacio de V.
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO
§  Teorema 1: Si v1,…,vp están en un espacio vectorial
V, entonces Gen{v1,…,vp} es un subespacio de V.
§  Llamamos a Gen {v1,…,vp} el subespacio generado
por {v1,…,vp}.
§  Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto
generador para H es un conjunto {v1,…,vp} en H tal
que
H = Gen{v1 ,...v. p }
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO
§  Ejemplo 4: Sea H el conjunto de todos los
vectores de la forma ⎡2 s + 4t ⎤
⎢ 2 s ⎥
⎢
⎥
⎢ 2 s − 3t ⎥
⎢
⎥
⎣ 5t ⎦
§  Demuestre que H es un subespacio de R
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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN
CONJUNTO
§  Ejercicio 4.1.13: Sean
⎡ 1 ⎤
v1 = ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣− 1⎥⎦
! 4 $
⎡ 3⎤
⎡2⎤
#
&
⎢
⎥
v 2 = 1 v 3 = # 2 & w = ⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
# 6 &
⎢⎣2⎥⎦
⎢⎣ 3⎥⎦
"
%
§  Está w en {v1, v2, v3}? Cuantos vectores están en {v1,
v2, v3}?
§  ¿Cuantos vectores están en {v1, v2, v3}?
§  ¿w está en el subespacio generado por {v1, v2, v3}?
EJERCICIOS PROPUESTOS
§  Capítulo 2, sección 8; se recomienda realizar
los ejercicios: 1 a 6
§  Capítulo 4 , sección 1; se recomiendan los
ejercicios: 2, 3, 4, 10, 11, 15, 18, 24 y 35.