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Estadística.
SESIÓN 9: Distribuciones de probabilidad
discreta. Segunda parte.
Contextualización

En la presente sesión analizarás y describirás un experimento binomial,
definirás y conocerás la función de probabilidad de este experimento, su
valor esperado y la varianza.

Asimismo, tendrás la posibilidad de resolver problemas que involucren la
variable aleatoria discreta binomial.
Fuente: http://www.boost.org/doc/libs/1_36_0/libs/math/doc/sf_and_dist/graphs/binomial_pdf_1.png
Introducción

Algunos fenómenos comunes dan como resultado variables
aleatorias discretas y pueden ser descritos por distribuciones de
probabilidad de tipo estándar.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que
tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un experimento de
pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.
Explicación
Distribución Binomial
¿Qué es una Distribución Binomial?
La distribución binomial es una distribución de probabilidad
discreta útil para describir una diversidad de fenómenos.
Un experimento es binomial si cumple con las siguientes
características:
En una ejecución hay dos resultados posibles: éxito y el otro
fracaso.
Hay n ejecuciones, donde n es un número entero positivo fijado de
antemano.
Las ejecuciones son independientes.
La probabilidad de éxito para todas las ejecuciones es la misma.

Modelo de la Distribución Binomial

Si un experimento consiste de n ensayos binomiales, cada uno
con una probabilidad p de obtener un éxito y una probabilidad
q para un fracaso (q=1 – p), entonces, la probabilidad de x
éxitos en n ejecuciones es:

Ejemplos del experimento son:

Lanzamiento de una moneda

Inspeccionar un objeto al azar para clasificarlo como defectuoso o no defectuoso.

Cálculo de la media y varianza:
Explicación

Ejemplo: en San Francisco, 30% de los trabajadores emplean el transporte público.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores exactamente
tres empleen el transporte público?

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores por lo menos
tres empleen el transporte público?
•p = 30% = .3, q= 1 – p = 1-.3 = .7, n = 10, x= 3
n
b( x; n, p)    p x q n x
 x
10 
b(3;10,.3)   (3).3 (.7) 7  (120)(.027)(.0823)  0.2668
3
Explicación

Probabilidad x≥3

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- [P(x=1)+P(x=2)]

Ahora aplicaremos la fórmula de la binomial para encontrar las dos
probabilidades:

Explicación

Sumando estas dos probabilidades nos da el resultado de P(x<3)

P(x<3) = 0.1210 + 0.2334

P(x<3) = 0.3544

Teniendo este dato, pasamos a calcular la P(x≥3)

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- 0.3544 = 0.6456
Explicación

El siguiente ejemplo está tomado de Vadenúmeros.es

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o
NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben
contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al
azar, hallar:

Probabilidad de obtener cinco aciertos.

Probabilidad de obtener algún acierto.

Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

Es una distribución binomial, la persona sólo puede acertar o fallar la
pregunta.

Suceso A (éxito)=acertar la pregunta

Suceso Ā=no acertar la pregunta

Distribución binomial de parámetros n=10.p=0,5

Probabilidad de obtener cinco aciertos:

Obtener exactamente cinco aciertos K=5, aplicamos la fórmula:
p=(A)=0,5
q=p(Ā)=0,5
B(10; 0,5)

Probabilidad de obtener algún acierto

p(x≥1)=
p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+
p(x=10)

El suceso “obtener algún acierto” es el suceso contrario a “no obtener
ningún acierto”.

P(x≥ 1) = 1 – p(x=0)

Calculamos la probabilidad de no obtener ningún acierto p(x=0)

Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos
más

P(x≥5) = p(x=5) + p (x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(x≥5) = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.00098 + 0.0010 = 0.6231
Acertar cinco o
Conclusión

En esta sesión aprendimos a calcular la probabilidad a través de la
distribución binomial, la cual tiene como característica principal el éxito o
fracaso de los eventos (experimentos) que se están analizando.

En la siguiente sesión aprenderemos el cálculo de la distribución Poisson.
Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-de-poisson.jpg
Para aprender más
 En este apartado encontrarás más información acerca
del tema para enriquecer tu aprendizaje.
 Puedes ampliar tu conocimiento visitando los
siguientes sitios de Internet.
 Khanacademy.org. (s.f.). Distribución binomial.
Consultado el 6 de noviembre de 2013:
https://es.khanacademy.org/math/probability/randomvariables-topic/binomial_distribution/v/binomialdistribution-1
 Distribuciones de probabilidades discretas. (s/f).
Consultado el 6 de noviembre de 2013:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_
private/01UNIDAD%20IV.htm
 Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al
tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con
más éxito.
Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.
 Cibergrafía

Vadenumeros.es. Actividades interactivas. Consultado el 3 de marzo de
2014: http://www.vadenumeros.es/