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GUIA DE TALLER DE PREPARACION PARA EXAMEN DE REGULARIZACION
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II
(2015A)
PROFESOR: ING. FRANCISCO HERNANDEZ LUGO
TEORÍA DE CONJUNTOS
Para lograr un desarrollo ordenado de la teoría de la probabilidad requerimos conocer los conceptos
básicos de la teoría de conjuntos. Desde el punto de vista matemático, un conjunto es una colección
bien definida donde los objetos o personas constituyen los elementos o miembros de un conjunto.
Hay tres formas de describir un conjunto:
- Por enumeración: cuando se describe o elabora una lista de los elementos que constituyen el
conjunto.
- Por comprensión: cuando se proporciona una regla con la que se identifican los elementos
del conjunto.
- Por diagrama de Venn: es un método gráfico para representar conjuntos y sus relaciones.
Consta de un rectángulo para representar el conjunto universo, dentro del cual se trazan círculos
para representar los conjuntos.
Conjunto universal: es el conjunto que contiene todos los elementos que interesan en una
situación determinada. Se acostumbra denotarla con la letra 𝕌.
Operaciones con Conjuntos: Las cuatro operaciones básicas con conjuntos son la unión,
intersección, complemento y diferencia.
TÉCNICAS DE CONTEO Y SU APLICACIÓN
Tal vez te hayas preguntado algunas veces ¿Cuántos números telefónicos de celulares existen en México
para cada una de las compañías que existen actualmente dando el servicio? Las soluciones pueden ser
difíciles o laboriosas de resolver para alguien que no sabe contar y trate de investigarlo contando de
uno en uno los teléfonos o mediante un proceso en el cuál se calcula la gama de posibilidades,
empleando una técnica de conteo (procedimiento que se utiliza para enumerar eventos difíciles de
cuantificar).
Tipos de eventos:
SIMPLE: Ocurre de una sola forma y no se puede descomponer en otros eventos.
Compuesto: Ocurre en más de una forma.
El caso de lanzar un dado es un evento simple si se desea que caiga 5 y es un evento compuesto si
se desea obtener un número impar, esto puede ocurrir de ocurrir de tres formas: 1, 3 o 5
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES:
,
Permutaciones: Podemos decir que las permutaciones de un conjunto de elementos es un
“ordenamiento” especifico de todos o algunos de esos elementos del conjunto. Las permutaciones
facilitan el recuento de las diferentes disposiciones ordenadas que pueden hacerse con los elementos
del conjunto. Una característica muy importante que posee una permutación es que el orden en que
𝑛!
se disponen los elementos del conjunto es importante
𝑃(𝑛, 𝑟) = (𝑛−𝑟)!
Permutaciones con repetición: cuando se desea conocer el número de permutaciones de un
multiconjunto como, se calcula como 𝑃(𝑛1, 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 ), se calcula como 𝑃(𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 ) = 𝑛
𝑛!
1 !,𝑛2!, …,𝑛𝑘!
Ejemplo: ¿Cuántos mensajes se pueden enviar con 10 banderas utilizándolas todas, si son cuatro
rojas, tres verdes y tres negras?
Dado: n1 = 4,
n2 = 3 , n3 = 3,
entonces
𝑃(𝑛; 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 ) =
10!
4!3!3!
=
3628800
(24)(6)(6)
=
4200 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑗𝑒𝑠
Permutación Circular: Se presenta cuando los elementos se encuentran dispuestos
en forma circular o continua y esta determinado por: 𝑃(𝑛, 𝑐) = (𝑛 − 1)!
Combinaciónes: Es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin
tener en cuenta el orden de ellos. El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, en
𝑛!
donde cada uno esta formado por elementos que se obtienen por:𝐶(𝑛, 𝑟) = (𝑛−𝑟)!𝑟!
PROBABILIDAD CONJUNTA:
Definiciones Importantes:
Variable Aleatoria: Es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de
un experimento aleatorio.
Es importante distinguir entre variable aleatoria y los posibles valores que ésta puede tomar, se
empleará letras mayúsculas, tales como X, para designar la variable aleatoria y correspondiente
minúscula, x, para designar un valor posible.
Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad numerable de valores, en cambio,
una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores de un intervalo, este tipo de
variables, no se les puede asignar probabilidades a cada valor concreto.
Función de Probabilidad: Denominada como Px(x), de una variable aleatoria discreta X
representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x. Es decir:
Px(x) = P(X = x)
Donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x.
Sus propiedades se definen como: Sea X una una variable aleatoria discreta con función de
probabilidad Px(x). Entonces:
1. Px(x) ≥ 0, para cada valor x.
2. Las probabilidades individuales suman 1, es decir:
ΣPx(x) = 1
Donde la notación indica la suma sobre todos los posibles valores de x.
Función de Probabilidad Acumulada: Denominada como Fx(x0), de una variable aleatoria
discreta X representa la probabilidad de que X no tome un valor superior a x0, como función de x0. Es
decir:
Fx(x0) = P(X ≤ x0)
Donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x0.
Sus propiedades se definen como: Sea X una una variable aleatoria discreta con función de
probabilidad acumulada Fx(x0). Entonces:
1. 0 ≤ Fx(x0)≤ 0, para cada valor x0.
2. Si x0 y x1 son dos números tales que x0.x1, entonces:
Fx(x0) ≤ Fx(x1)
Relación entre Función de Probabilidad y Función de Probabilidad Acumulada: Sea X
una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x) y función de probabilidad
acumulada Fx(x0). Entonces:
F(x) = ΣPx(x) = 1
Donde la notación indica que la suma es sobre todos los posibles valores de x que son menores o
iguales que x0.
Valor Esperado.
Denominado como E(X), de una variable aleatoria X se define como:
E(X) = Σx·Px(x)
Donde la notación indica que la suma es sobre todos los posibles valores de x.
El valor esperado de una variable aleatoria se conoce como su media y se representa μx.
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x), y sea g(X) una función de X.
Entonces, el valor esperado, E(g(X)), de esta función se define como:
E[g(X)] = Σg(x)·Px(x)
Varianza.
Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina la varianza, σx, y se obtiene como:
Otra forma alternativa de expresar la varianza es de la siguiente manera:
La desviación típica, σx, es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Función de Probabilidad Conjunta.
Sean X e Y dos variables aleatorias discretas. La función de probabilidad conjunta representa la
probabilidad de que simultáneamente X tome el valor x e Y tome el valor y, como función de x e y. Se
usa la notación PX,Y(x, y), de donde:
PX,Y(x, y) = P(X = x ∩ Y = y)
Propiedades:
1. PX,Y(x, y) ≥ 0, para cualquier par de valores x e y.
2. La suma de las probabilidades conjuntas PX,Y(x, y) sobre todos los posibles pares de valores
debe ser 1.
Función de Probabilidad Marginal.
Sean X e Y dos variables conjuntamente distribuidas. En este contexto, la función de probabilidad de
la variable aleatoria X se denomina función de probabilidad marginal, y se obtiene sumando las
probabilidades conjuntas sobre todos los posibles valores de Y, es decir:
PX(x) = ΣPX,Y(x, y)
Análogamente, la función de probabilidad marginal de la variable aleatoria Y es:
PY(y) = ΣPX,Y(x, y)
Función de Probabilidad Condicional.
Sean X e Y dos variables conjuntamente distribuidas. La función de probabilidad condicional de la
variable aleatoria Y, dado que la variable aleatoria X toma el valor x, representa la probabilidad de
que Y tome el valor y, cuando se especifica el valor x para X.
Esta función, se representa como PY|X(y|x), y por la condición de probabilidad condicional:
Variables Aleatorias Independientes.
Las variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si su función de probabilidad conjunta es el
producto de sus funciones de probabilidad marginal, es decir, si y sólo si:
Px, y(x, y) = Px(x)·Py(y)
Para todos los posibles valores x e y.
Árbol de Probabilidad
Un Diagrama de Árbol se utiliza para analizar los resultados posibles de un evento de
probabilidad a través de la construcción de un conjunto de eventos secuenciales. El árbol
se construye a partir de un nodo que representa la primera acción que se ha de
efectuar ; de este se desprenden tantas ramas como maneras diferentes de poder llevar
a cabo esa acción. En las terminales de cada rama se dibujan otros nodos que
representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como
formas lógicas de realizarse esa segunda acción.
Acción
Raíz
Ramificaciones
Acción
Ejemplo 1: Diseñen el diagrama de árbol correspondiente a las siguientes situaciones hipotéticas y
resuelvan:
a) Se tiene una urna que contiene 3 pelotas con las letras A, B y C y otra con 5 pelotas con
los números del 1 al 5. Si se elige una pelota de cada urna, ¿cuántas parejas distintas se
pueden formar?
b) Se tiene una urna con 5 pelotas numeradas del 1 al 5. Se selecciona una pelota, se anota
el número y se regresa a la urna. Se selecciona otro número y se registra el número que
sale. ¿Cuántas parejas de números distintos se formaran?
c) Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, la
probabilidad será:
a) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
b) Seleccionar tres niñas.
c) Seleccionar tres niños.
d) Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
a) Tres caras.
b) Tres cruces.
c) Dos caras.
Distribución Binomial.
Supongamos que un experimento aleatorio tiene sólo dos resultados posibles mutuamente
excluyentes y conjuntamente exhaustivos, “éxito” y “fracaso”, y que p es la probabilidad de obtener
éxito en cada repetición.
Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éxitos, X, resultante se
denomina distribución binomial. Su función de probabilidad es:
para x = 0, 1, 2, ..., n.
Media de la distribución binomail: μx = E(X) =n·p
Varianza de la distribución binomial: σx2 = E[(X - μx)2 = n·p·(1 - p)
Ejemplo 1. Sea X la variable aleatoria “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres
veces”.
Obtén la función de distribución de X.
El espacio muestral del experimento de lanzar la moneda tres veces es el siguiente:
Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}
Donde:
C: Cara.
X: Cruz.
El espacio muestral contiene 8 elementos, la probabilidad de salir cualquiera de ellos es la misma, por
lo tanto de 1/8.
La variable aleatoria definida por el enunciado, X, “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres
veces”, hallamos su función de probabilidad:
No obtener ninguna cara, X = 0: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio
muestral de al lanzar la moneda tres veces, no obtener cara ninguna vez. Por lo tanto, su probabilidad
es:
P(X = 0) = 1/8
Obtener una cara, X = 1: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral
de al lanzar la moneda tres veces, obtener una cara. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 1) = 3/8
Obtener dos caras, X = 2: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral
de al lanzar la moneda tres veces, obtener dos cara. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 2) = 3/8
Obtener tres caras, X = 3: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio
muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener tres caras. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 3) = 1/8
Una vez obtenida la función de probabilidades para cada caso, pasamos a resolver el problema
hallando su función de distribución (o función de probabilidad acumulada):
No obtener ninguna cara, F(0) = P(X ≤ 0) = 1/8
Obtener una cara, F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
Obtener dos caras, F(2) = P(X ≤ 2) = F(1) + P(X = 2) = 4/8 + 3/8 = 7/8
Obtener tres caras, F(3) = P(X ≤ 3) = F(2) + P(X = 3) = 7/8 + 1/8 = 1
Ejemplo 2. Para el experimento aleatorio de lanzamiento de dos dados, se define la variable
aleatoria X como “el menor de los dos números obtenidos”.
Halla y represente gráficamente las funciones de probabilidad y distribución. Calcula la media y la
varianza de X.
El espacio muestral del experimento de lanzar dos dados, es el siguiente:
Ω = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53,
54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}
Donde el primer elemento corresponde al primer dado, y el segundo al segundo dado, por ejemplo:
12:
1 → Primer dado.
2 → Segundo dado.
El espacio muestral contiene 36 elementos, la probabilidad de salir cualquier par de datos, es la
misma, por lo tanto tienen una probabilidad de 1/36.
La variable aleatoria definida por el enunciado, X, “el menor de los números obtenidos”, hallamos su
función de probabilidad:
El menor sea un 1, X = 1: Existen 11 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 1. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 1) = 11/36
El menor sea un 2, X = 2: Existen 9 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 2. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 2) = 9/36
El menor sea un 3, X = 3: Existen 7 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 3. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 3) = 7/36
El menor sea un 4, X = 4: Existen 5 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 4. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 4) = 5/36
El menor sea un 5, X = 5: Existen 3 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 5. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 5) = 3/36
El menor sea un 6, X = 6: Existen 1 posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de
que el menor valor sea un 6. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 6) = 1/36
Representamos gráficamente la función de probabilidad:
Donde el Eje X son los posibles valores de la variable aleatoria X, y el Eje Y, es la probabilidad que
toma dicha variable aleatoria en los puntos correspondientes.
Una vez obtenida la función de probabilidades para cada caso, pasamos a obtener su función de
distribución (o función de probabilidad acumulada):
El menor sea un 1, F(1) = P(X ≤ 1) = 11/36
El menor sea un 2, F(2) = F(1) + P(X = 2) = 11/36 + 9/36 = 20/36
El menor sea un 3, F(3) = F(2) + P(X = 3) = 20/36 + 7/36 = 27/36
El menor sea un 4, F(4) = F(3) + P(X = 4) = 27/36 + 5/36 = 32/36
El menor sea un 5, F(5) = F(4) + P(X = 5) = 32/36 + 3/36 = 35/36
El menor sea un 6, F(6) = F(5) + P(X = 6) = 35/36 + 1/36 = 1
Representamos gráficamente la función de distribución:
Una vez calculadas la función de probabilidad y representada gráficamente, y la función de
distribución y representada también, pasamos a obtener la media y la varianza.
Para la media, usamos la expresión de la esperanza:
E(X) = Σx·Px(x)
Por lo tanto, la esperanza es:
E(X) = 1·11/36 + 2·9/36 + 3·7/36 + 4·5/36 + 5·3/36 + 6·1/36 = 91/36
Para la varianza, usamos la siguiente expresión:
Obteniéndose:
‘
σ² = [1²·11/36 + 2²·9/36 + 3²·7/36 + 4²·5/36 + 5²·3/36 + 6²·1/36] - (91/36)² = 2555/1296
EJERCICIOS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, POISSON Y NORMAL
ÁRBOL DE PROBABILIDAD:
1.- Calculen la probabilidad de que al elegir un compañero de su grupo al azar, sea hombre o
mujer. Construyan el árbol de probabilidades para elegir una comisión de cuatro compañeros
del grupo que conformaran el consejo estudiantil grupal que deberá tener; jefe del grupo,
subjefe de grupo, secretario de acuerdos y tesorero; sí:
a) Puede ser elegido cualquier compañero del grupo (este punto será realizado por el
primer tercio del grupo que designo el maestro).
b) La comisión deberá estar conformada por dos hombres y dos mujeres. ( este punto
será realizado por el segundo tercio del grupo que designó el maestro.
c) El jefe de grupo debe ser el número de lista 1, el subjefe de grupo debe ser mujer,
el secretario debe ser hombre y el tesorero puede ser cualquier persona del grupo
que no tenga ya un puesto en la comisión (este punto será realizado por el tercer
tercio del grupo que designó el maestro.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
1.- Calcular la probabilidad de acertar los 12 signos de los 14 que conforman una quiniela.
2.- Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros
(sin importar cuál de ellos queda primero, cuál segundo y cuál tercero).
3.- En el problema anterior, cuál es la probabilidad si hubiera que acertar, no sólo los tres caballos
que ganan, sino el orden de su entrada en meta?
4.- Un examen de probabilidad está formado por tres temas. El tema A contiene 6 preguntas, el
tema B contiene 4 y el tema C contiene 8 y se tiene que contestar únicamente tres preguntas de
cada tema , ¿de cuántas maneras un estudiante puede elegir sus preguntas?
TEOREMA DE BAYES:
1.- En una fábrica de enlatados, las líneas de ensamble I, II y III representan el 50%, 30% y
20% de la producción total respectivamente. Sí se sella inadecuadamente 0.4 % de las latas de
la línea de ensamble I y 0.6% y 1.2% de las líneas de ensamble II y III. ¿Cuál es la probabilidad
de que….
a) Una lata producida en esta fábrica de conservas esta en mal estado?
b) Una lata mal sellada provenga de la línea de ensamble?
2.- Una persona sale de vacaciones a Morelia el 20%, el 35% de las veces a Veracruz y el resto
a Acapulco.
En Morelia dedica el 80% del tiempo a visitar museos; en Veracruz, el 40% del tiempo lo
pasa en la playa y en Acapulco el 70% del tiempo también a la playa.
a) Si se sabe que la persona fue a la playa, ¿cuál es la probabilidad que haya ido a
Acapulco?
b) Si se sabe que la persona no fue a la playa, ¿cuál es la probabilidad de que haya
ido a Morelia?
c) ¿Cuál es la probabilidad de haber ido a la playa pero no haberse metido en ella?
3.- Se tienen dos urnas; la urna F tiene 11 pelotas, 8 verdes y 3 blancas; la urna G tiene 9
pelotas, 7 verdes y 2 blancas.
a) Calculen la probabilidad de sacar una pelota verde de la urna F.
b) Hallar la probabilidad de sacar una pelota verde.
c) Supongan que una persona ya saco una pelota verde, ¿cuál es la probabilidad de que
proceda de la urna G?
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.- Sean los conjuntos A y B dos conjuntos cualesquiera. Traza los diagramas de Venn respectivos
y sombrea la operación que se indica:
a) Ac
b) Ac ∩ B
c) Ac ∪ B
d) B – A
e) (A ∪ B)c
f) (A ∩ B)c
g) Ac ∩ Bc
h) Ac ∪ Bc
2.- Una persona va al tianguis de la cruz y pregunta a 90 jóvenes sobre su gusto musical y los
resultados son los siguientes:
38 prefieren el Heavy metal
29 gustan del punk
37 prefieren el gothic rock
9 escuchan heavy metal y punk
10 gustan del punk y gothic rock
11 escuchan heavy metal y gothic rock
3 gustan de estas tres corrientes.
Con estos datos:
a) Traza el diagrama de Venn e indica los eventos a analizar.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar le guste el gothic rock y el punk,
pero no el heavy metal?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar no le guste el gothic ni el punk
ni el heavy metal?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar le guste únicamente el gothic
rock?
BINOMIAL*
1.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las
tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a).- Las cinco personas.
b ) . - Al m e n o s t r es p er s o n a s .
c ). - E x a c t a m e n t e d o s p e r s o n a s .
2.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
3.- La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que
acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
4.- En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba
y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado
que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es
suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
a).- Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
b).- Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos
infracciones.
5.- Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes.
Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la
probabilidad de los siguientes sucesos?
a).- Ningún paciente tenga efectos secundarios.
b).- Al menos dos tengan efectos secundarios.
c).- ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes
al azar?
6.- En un juego una persona recibe 15 pesetas cuando saca una sota o un caballo y recibe 5 pesetas si saca un rey o un as
de una baraja española con 40 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar 4 pesetas ¿Cuál es la ganancia
esperada para una persona que entra en el juego?
Resp: El espacio muestral será (sota o caballo, rey o As, otra carta)
P(sota o caballo) =
P(rey o as) =
P(otra carta) =
E(X)=
7.- Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:
a).- La función de probabilidad y su representación.
b).- La función de distribución y su representación.
c).- La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
8.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x
0
1
2
3
4
5
P(x)
0,1
0,2
0.1
0,4
0.1
0,1
a).- Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
b).- Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X ≥ 3)
p (3 ≤ X < 4.5)
9.- Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar:
La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
10.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece
cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
11.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero
si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la
esperanza matemática del juego.
12.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 €
con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
POISSON:
1.- De acuerdo con las cifras del Censo Poblacional 2010, en México hay, en promedio, 3.9 habitantes por vivienda. Con
esta información:
a).- Construye la distribución de probabilidad, así como la gráfica correspondiente y descríbela, indicando que tipo de
sesgo presenta.
b).- Calcula la probabilidad de que una vivienda sea habitada por cinco personas.
c).- Encuentra la probabilidad de que en un hogar vivan más de dos personas.
2.- De acuerdo con las estadísticas de criminalidad, en promedio se roba un auto cada tres minutos. Determina:
a).- La distribución de probabilidad y la gráfica correspondiente. Describe de manera breve la distribución.
b).- La probabilidad de que en los siguientes tres minutos se roben dos autos.
c).- La probabilidad de que en los siguientes tres minutos se roben dos autos o menos.
d).- La probabilidad de que se roben seis autos en los siguientes 15 minutos.
3.- Los aviones son los transportes más seguros que hay. Según los datos de las compañías aéreas que más accidentes han
tenido, la probabilidad de sufrir un accidente es de 0.0002%. Si en un aeropuerto se registran en una semana determinada
3500 operaciones aéreas.
a).- ¿Aplicaras una distribución binomial o un Poisson? Justifica tu respuesta.
b).-¿ Cuál es la probabilidad de que haya cuando mucho un accidente aéreo?
c).- ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos accidentes?
4.- Se calcula que 0.3% de quienes llaman a los servicios de atención a clientes de un banco recibirá una señal de línea
ocupada. Si se reciben 1100 llamadas, entonces:
a).- ¿Aplicarías una distribución Binomial o un Poisson? Justifica tu respuesta.
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cinco personas hayan recibido una señal de línea ocupada?
5.- Durante el mundial de 2010 de FutBol en Sudáfrica, la selección Alemana anotó 16 goles en siete partidos que jugó.
Calcula:
a).- El promedio de goles por partido.
b).- La probabilidad de que anote más de dos goles en el próximo partido.
Normal.
1Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución Normal(0, 1). Calcular:
a).- P(Z ≤ 1.47) =
b).- P(Z > 1.47)=
c).- P(Z ≤ −1.47)=
d).- P(Z > 1.47)=
e).- P( 0.45 <Z ≤ 1.47)=
f).- P(−1.47 <Z ≤ − 0.45)=
g).- P(-1.47 < Z ≤ 0.45)=
h).- p= 0.75,z<0.68
2.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y
desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°
3.- La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que
los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
a).- Entre 60 kg y 65 kg.
b).- Más de 90 kg.
c).- Menos de 64 kg.
d).- Entre 60 kg y 65 kg.
e).- Más de 90 kg.
5.- Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
b).- Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la
puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que
obtuvieron las puntuaciones más bajas).
6.- Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su calificación sea, de
hecho, superior a 84?
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
7.- Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
a).- Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
b).- ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
c).- En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
2.- ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
3.- En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
4.- Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución
N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de
excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el
tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
a).- Baja cultura hasta 49 puntos.
b).- Cultura aceptable entre 50 y 83.
c).- Excelente cultura a partir de 84 puntos.
5.- un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al
azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?
b).. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos dos televisores?
6.- En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una
incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la
probabilidad de aprobar el examen.
7.- una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que
entre ellas haya por lo menos 30 tipos se han teléfono.
8.- Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0,5 años. Suponiendo que la
duración de las baterías es una variable normal:
a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años?
b) Si una batería lleva funcionando 3 años. ¿ Cuál es la probabilidad de que dure menos de 4.5 años?