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Capítulo 6
Probabilidad, Aleatoriedad e
Incertidumbre
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Probability, Randomness, and Uncertainty
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Sections 6.1-6.4 Classical Probability
Objetivos:
• Aprender el vocabulario básico utilizado en técnicas de
conteo.
• Resolver problemas utilizando probabilidad clásica.
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Probability, Randomness, and Uncertainty
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Section 6.1 Important Definitions
Probabilidad:
• En su uso cotidiano, la palabra probabilidad se refiere a un evento o
circunstancia que se cree que ocurrirá. No obstante, se toma en
cuenta también la posibilidad de que no ocurra.
• La probabilidad se usa para cuantificar la incertidumbre.
• Los juegos de azar, como lanzar una moneda, proveen una manera
de demostrar algunas de las leyes fundamentales de la probabilidad.
• Estadísticamente hablando, estos juegos se llaman experimentos.
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Section 6.1 Important Definitions
Experimento Aleatorio:
• Un experimento aleatorio se define como cualquier actividad o
fenómeno que cumple las siguientes condiciones:
i.
ii.
iii.
Hay un resultado distinto para cada ensayo del
experimento.
El resultado del experimento es incierto.
El conjunto de todos los distintos resultados del
experimento puede ser especificado y se llama el
espacio muestral (sample space).
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Section 6.1 Important Definitions
Eventos:
• Un evento simple es cualquier miembro del espacio
muestral (sample space) .
Si lanzaras una sola moneda existen solamente 2 eventos simples
{Head, Tail} en el experimento.
• Un evento es una serie de eventos simples.
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Section 6.1 Important Definitions
Espacio muestral (Sample Space):
• El espacio muestral contiene cada resultado posible que podría
ocurrir en el experimento.
• Para un experimento de lanzar una moneda el espacio
muestral sería:
S = {Head, Tail}.
• El espacio muestral puede ser llamado también conjunto de
resultados (outcome set).
• El resultado de un experimento aleatorio debe ser un evento
simple.
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Section 6.1 Important Definitions
Ejemplo:
Experimento 1: Lanza una moneda tres veces y observa el número
de “caras”(H)
¿Se han cumplido las tres condiciones de un experimento
aleatorio?
i.
ii.
iii.
Habría sólo un resultado por ensayo ya que no es posible
obtener exactamente una y exactamente dos “caras” en el
mismo ensayo.
El resultado sería incierto antes de lanzar las tres monedas.
El espacio muestral puede ser especificado y está compuesto
por 8 eventos simples:
S={TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}
El experimento cumple las condiciones de un experimento
aleatorio.
Un evento puede ser la obtención de más de una cara, que implica
el siguiente conjunto de eventos simples: {THH, HTH, HHT, HHH}.
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Section 6.1 Important Definitions
Ejemplo:
Experimento 2: Tira un dado y observa el número en la superficie
superior.
¿Se han cumplido las condiciones de un experimento aleatorio?
Solución:
i.
ii.
iii.
Se obtendrá solamente un resultado
El valor del resultado es desconocido.
El espacio muestral puede ser especificado y está compuesto
por eventos simples:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Este experimento cumple las condiciones de un experimento
aleatorio.
Un evento puede ser tirar un número par, que estaría representado
por un conjunto de eventos simples: {2, 4, 6}.
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Probability, Randomness, and Uncertainty
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Section 6.1 Important Definitions
Ejemplo:
Experimento 3: Saca una carta de una baraja bien revuelta que
consista en 13 corazones, 13 espadas, 13 diamantes y 13 tréboles y
observa el resultado.
¿Se cumplen las tres condiciones de un experimento aleatorio?
Solución:
i.
ii.
iii.
Se obtendrá sólo un resultado.
El resultado es incierto porque la carta será elegida al azar.
El espacio muestral consiste en el conjunto de resultados,
S = {corazón, trébol, espada, diamante}.
Este experimento cumple las condiciones de un experimento
aleatorio.
Un evento puede ser sacar una espada o un trébol, lo que estaría
representado por un conjunto de eventos simples: {espada, trébol}.
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Probability, Randomness,
and Uncertainty
Ch. 6 Probability,
Randomness, and Uncertainty
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Section 6.2 Interpreting
Probability:
Relative
Frequency
6.2 Interpreting
Probability:
Relative
Frequency
Frecuencia Relativa:
• Alguien que quisiera conocer la probabilidad de obtener una
“cara” al lanzar una moneda podría lanzar una moneda varias
veces y observar el número de veces que obtuviera una “cara”.
• La probabilidad puede ser calculada como el número de
veces que se observaron “caras” dividido por el número de
veces que se lanzó la moneda. Esta es la interpretación de
frecuencia relativa de la probabilidad.
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Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency
Frecuencia Relativa:
• Si un experimento es llevado a cabo n veces, en condiciones
idénticas, y el evento A aparece k veces, la frecuencia relativa de
A es:
k
Relative Frequency of A  .
n
• Si la frecuencia relativa se estabiliza conforme n incrementa,
entonces se dice que la frecuencia relativa es la probabilidad de A.
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Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency
Frecuencia Relativa de
“caras”
Frecuencia Relativa:
Ésta es una gráfica de las primeras 42 veces que se lanza una moneda. La
frecuencia relativa después de 42 volados es de 36%. Esto significa que en 42
volados, la moneda cayó en caras 36% de las veces. Es necesario lanzar la
moneda más veces para estabilizar el porcentaje.
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Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency
Frecuencia Relativa de
“caras”
Frecuencia Relativa:
Aquí, el número de “volados” comienza en 200. Para el tiro 296, hay 141
caras y 155 cruces que equivalen a una probabilidad de .4764 (o
frecuencia relativa) de caras. Aunque esto es ligeramente menor de lo
esperado, este porcentaje es razonable considerando la aleatoriedad de
lanzar una moneda.
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Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency
Frecuencia Relativa de
“caras”
Frecuencia Relativa:
0
Resulta claro que de 1350 a 1450 lanzadas el porcentaje converge en
algún punto cercano a .5 y se mantiene estable.
En la lanzada número 1450, hay 718 caras y 732 cruces lo que es
equivalente a una probabilidad de .4952 (o frecuencia relativa) de
obtener caras.
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Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency
Regularidad Estadística:
¿La frecuencia relativa observada en algún momento será .5?
• Ninguna ley matemática ni física requiere que la frecuencia relativa
observada llegue a un nivel predeterminado. Sin embargo, si la
probabilidad de observar una cara es de 0.5, la frecuencia relativa
observada debe acercarse estrechamente después de un gran
número de lanzamientos de moneda.
k 718
 .4952
Frecuencia relativa del evento “obtener una cara” A  
n 1450
• La frecuencia relativa de obtener una cara parece converger a la
frecuencia relativa esperada. Esto se llama regularidad estadística.
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Section 6.3 Interpreting Probability: Subjective Approach
Aproximación Subjetiva:
• Un ejemplo de probabilidad subjetiva es la predicción del clima.
• El meteorólogo del canal 2 predice que existe un 80% de
probabilidad de lluvia, pero el del canal 4 predice una probabilidad
de 66%. Por último, en el canal 5 se predice con un 33% de
probabilidad que habrá lluvia.
¿Quién es más preciso?
• De hecho, es posible que el cálculo de los tres meteorólogos
sean precisos.
¿Cómo es esto posible?
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Section 6.3 Interpreting Probability: Subjective Approach
Aproximación Subjetiva:
• Si 80% de los días en los que el meteorólogo del canal 2
predijo un 80% de probabilidad de lluvia de hecho llueve
entonces es un meteorólogo muy preciso.
• Si 66% de los días en que el meteorólogo del canal 4 predijo
66% de probabilidad de lluvia lloviera, entonces sería tan preciso
como el del canal 2.
• Finalmente, si el meteorólogo del canal 5 predijera un 33% de
probabilidad de lluvia y de hecho lloviera un 33% del tiempo que
hiciera dicha predicción, este meteorólogo es tan preciso como
los de los canales 2 y 4.
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Section 6.3 Interpreting Probability: Subjective Approach
Aproximación Subjetiva:
• La perspectiva subjetiva se refiere a la probabilidad de un
evento como medida del grado de creencia de que un evento ha
ocurrido.
• El grado de creencia de alguien en un evento dependerá en sus
experiencias de vida.
• La aproximación subjetiva debe permitir diferencias en el grado
de creencia entre personas razonables.
• La probabilidad subjetiva es criticada por no ser un criterio
universalmente aceptado. Dos personas razonables pueden
observar los mismos datos y llegar a conclusiones diferentes
acerca del grado de creencia sobre la aparición de un evento.
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Section 6.4 Interpreting Probability: Classical Approach
Aproximación clásica:
• La probabilidad puede ser calculada como una simple
proporción: el número de eventos simples que componen un
evento dividido entre el número de eventos simples en un
espacio muestral. La probabilidad de un evento, A
representado P (A) está dado por:
P(A) 
number of simple events in A
total number of simple events in the sample space
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Section 6.4 Interpreting Probability: Classical Approach
Ejemplo:
En el experimento 1 lanzamos una moneda tres veces y el
número de caras fue observado. El espacio muestral consistió
en 8 eventos simples {TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT,
HHH}. Digamos que A representa el evento de obtener al menos
una cara.
¿Cuál es la probabilidad de A?
Solución:
El evento A consiste en 7 eventos simples,
{TTH,THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}, existen 8 eventos
simples igualmente probables en el espacio muestral,
7
P (A)  .
8
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Sections 6.5-6.11 Basic Probability Rules
Objetivos:
• Calcular la probabilidad condicional de una situación.
• Utilizar correctamente la regla de probabilidad apropiada para
cada situación.
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Probability, Randomness, and Uncertainty
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Section 6.5 What is Probability?
¿Qué es probabilidad?:
• Existen varias ideas contrapuestas que buscan definir la
interpretación de la probabilidad. De hecho, existe un conflicto
fundamental entre las nociones de regularidad estadística y
grado de creencia.
• La teoría de la probabilidad no requiere la interpretación de
probabilidades, tal como en geometría la interpretación de
puntos, líneas y planos es irrelevante.
• Por fortuna, la probabilidad debe obedecer ciertas leyes sin
importar cómo está definida.
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Probability,
Randomness,
and Uncertainty
Ch. 6 Probability,
Randomness,
and Uncertainty
Section
Some
of Probability
6.6 6.6
Some
Laws Laws
of Probability
Leyes de Probabilidad:
Ley de Probabilidad 1
Una probabilidad de cero significa que el evento no puede ocurrir.
Ley de Probabilidad 2
Una probabilidad de uno significa que el evento tiene que pasar.
Ley de Probabilidad 3
Todas las probabilidades deben situarse entre cero y uno exclusivamente.
Ley de Probabilidad 4
La suma de probabilidades de todos los eventos simples es uno.
Probability, Randomness, and Uncertainty
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Section 6.7 What’s the Connection Between Probability and
Statistics?
Probabilidad y Estadística:
• La mayoría de las veces en las que se trabaja con muestras se
tratan de deducir los parámetros poblacionales de éstas.
• El proceso de emitir juicios sobre los parámetros poblacionales
se llama inferencia estadística.
• No existe garantía de que la muestra represente de manera
precisa a la población debido a que es aleatoria.
• Si una muestra no es representativa, entonces usar la media
muestral como un estimado de la media poblacional resulta
impreciso.
• La probabilidad se utiliza para evaluar la calidad de nuestras
inferencias.
• Todas las conclusiones estadísticas deben incluir cierto grado de
incertidumbre.
• La probabilidad es la base de la inferencia estadística porque es
utilizada para estimar la confiabilidad de inferencias muestrales.
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Ch. 6 Probability,
Randomness,
and Uncertainty
Probability,
Randomness,
and Uncertainty
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6.8 Probability
and Business
Section
6.8 Probability
and Business
Probabilidad y Negocios:
• El concepto de probabilidad tiene muchos usos en los negocios.
Cuando un gerente se pregunta si bajar un precio de subasta en
5% aumentará la probabilidad de ganarla, está pensando en
probabilidad.
• La probabilidad también se utiliza como un criterio para diseñar y
evaluar la confiabilidad de un producto, evaluar seguros, gestionar
proyectos, entre otras cosas.
• Un actuario es un tipo especial de estadístico que asiste en el
desarrollo de modelos de seguros que cuantifican la incertidumbre
y ayudan a tomar decisiones de negocios.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Eventos compuestos (compound event):
• Un evento compuesto es un evento que se define al
combinar dos o más eventos.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Eventos compuestos (compound event)
• Supongan que el director de marketing de Sports Illustrated creía
que cualquier persona con un ingreso mayor a $50,000 y/o
suscrito a más de una revista de deportes podría potencialmente
ser un buen prospecto para una campaña publicitaria directa por
correo.
• Así, los eventos:
A = {ingreso annual es mayor a $50,000} y
B = {está suscrito a más de una revista de deportes}.
• Hay diversos tipos de eventos compuestos. Para ilustrar estos
conceptos, considere los eventos A y B.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Unión:
• La unión de los eventos A y B es el conjunto de todos los
resultados incluidos en A o B o ambos y se representa por
.
AB

• Nota que la unión incluye todos los puntos en ambios A y/o B.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Intersección:
• La intersección de los eventos A y B es la serie de
resultados que están incluídos tanto en A como en B.

• El símbolo de la intersección es: .
• Nota que la intersección incluye sólo puntos tanto en A como en
B.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Complemento:
• El complemento de un evento A es la serie de todos los
resultados posibles que no son A.
A
El complemento de
A es lo que está
indicado.
• El complemento de una serie estaría escrito Ac.
• Nota que el complemento de A incluye todos los puntos que no son
A.
• Para el evento A = {ingreso anual es mayor que $50,000}, el
complemento de A sería:
Ac = {ingreso anual es menor o igual a $50,000}.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Mutuamente excluyentes:
• Dos puntos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos
en común
A
B
•También se les llama conjuntos inconexo (disjointedness). La
figura anterior representa dos eventos inconexos.
• Las relaciones entre conuntos complementos, uniones e
intersecciones dan pie a un número importante de leyes de
probabilidad.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Ejemplo:
Ley de probabilidad 5
The probability of A c is given by P(A c )  1  P(A)
Considera el evento A = {ingreso anual es mayor a $50,000}.
Supón que la probabilidad de A es .08.
¿Cuál es la probabilidad de observar a alguien cuyo
ingreso es menor o igual a $50,000?
Solución:
P(ingreso annual es menor o igual a $50,000)
 P (A c )
 1 P A
 1  .08
 .92.
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Section 6.9 Other Probability Rules
Ley de probabilidad 6:
Unión de Eventos Mutuamente Excluyentes
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces
P(A  B)  P(A)  P(B).
A
B
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Section 6.9 Other Probability Rules
Ley de probabilidad 7:
La Regla de Adición (Addition Rule)
Para dos eventos A y B,
P (A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
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Section 6.10 Conditional Probability
Probabilidad Condicional:
• La probabilidad de que un evento ocurra, dado que otro evento
ha ocurrido o es seguro que ocurrirá, se conoce como
probabilidad condicional.
Ejemplo:
• Considera la pregunta sobre si fumar daña a aquellos que están
impuestos de manera indirecta al humo del cigarro.
• Supón que 3 por ciento de las mujeres que no fuman mueren de
cancer. Sin embargo, si una mujer que no fuma está casada con
un fumador, la probabilidad de morir de cancer es de .08. Ésta es
una probabilidad condicional porque el espacio muestral está
siendo limitado por una condición– en este caso limitado a las
esposas de hombres fumadores.
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Section 6.10 Conditional Probability
Ley de Probabilidad 8:
• La probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido es
P (A | B) 
P (A  B)
.
P (B)
• Los eventos A y B se pueden invertir en la regla anterior para
calcular P(B | A) .
• La notación P (A | B) se lee como la “probabilidad de A dado B”.
La línea vertical en una declaración de probabilidad siempre
significará “dado”.
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Section 6.11 Independence
Independencia:
• Dos eventos, A y B, son independientes si y sólo si
P(A | B)  P(A) or P(B | A)  P(B)
• La independencia es un concepto de extrema importancia en
el análisis estadístico.
• La independencia describe un tipo especial de relación entre
dos eventos.
• Se dice que dos eventos son independientes si el
conocimiento de un evento no provee información sobre la
ocurrencia del otro evento.
• Si dos eventos no son independientes, son dependientes.
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Section 6.11 Independence
Ley de Probabilidad 9:
Regla de Multiplicación para Eventos Independientes
Si dos eventos, A y B, son independientes, entonces
P(A  B)  P(A)  P(B).
Si n eventos, A1,A2,…,An, son independientes, entonces
P(A1  A 2  ...  A n )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n ).
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Section 6.12a Basic Counting Rules
Objetivos:
• Aprender las 5 reglas básicas de conteo
• Diferenciar entre permutación y combinación.
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Section 6.12 Counting
Regla Fundamental de Conteo:
• E1 es un evento con n1 posibles resultados y E2 es un evento
con n2 posibles resultados. El número de maneras que los

eventos pueden ocurrir en secuencia
es n1 . n2.
•Este principio puede ser utilizado para cualquier número de
eventos que ocurran en secuencia.
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Section 6.12 Counting
Ejemplo:
Una proovedora local ofrece bolígrafos de tres diferentes
manufactureras. Los bolígrafos de cada una viene en rojo,
azul, negro o verde y punta fina o mediana para cada color.
¿cuántos tipos diferentes de bolígrafos tiene la tienda?
Solución:
Utilizando la regla fundamental de conteo:
3

4

2

 number of 

  color of ink   types of tips 
 manufacturers 
24
 different pens 
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Section 6.12 Counting
n Factorial:
• El producto 5  4  3  2 1 es un tipo especial de producto
llamado factorial.
• Supón que n es un número entero positivo. Entonces,
n !  n   n  1   n  2   ...  3  2 1.
• Nota: 0! = 1 por definición.
• n! se lee “n factorial”.
• Con esta notación, 5!  5  4  3  2 1  120.
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Section 6.12 Counting
Permutación:
• Una permutación es un orden o arreglo específico de objetos en
una serie. Existen n! permutaciones de n objetos únicos.
• El número de permutaciones de n objetos únicos tomados k a la
vez es:
n!
P 
.
 n  k !
n
k
• También podrías encontrar la notación
n
Pk or P  n, r  .
• Si dados n objectos, con n1 similar, n2 similar, …, nk similar,
entonces el número de permutaciones distinguibles de todos
los objetos n es
n!
.
n
!
n
!
n
!...
n
!
1 2 3 k
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Section 6.12 Counting
Combinación:
• Una combinación es una colección de objetos donde el
orden no tiene importancia.
• El número de combinaciones de n objetos únicos tomados de
k a la vez es:
n!
C 
.
 n  k  !k !
n
k
• Es importante recordar que las permutaciones se utilizan
cuando el orden es importante y las combinaciones cuando el
orden no es importante.