Download Divergencia de un campo eléctrico

El campo electrostático de una carga puntual q es
~ (~r) =
E
q rb
4 "0 r 2
~
Calcula la divergencia de E.
¿Qué sucede en el origen?
Solución:
La divergencia en coordenadas esfericas se escribe
div F~ =
1 @ r2 Fr
1
@
1 @F'
+
(F sin ) +
2
r
@r
r sin @
r sin @'
así que en este caso
~ = q 1
div E
4 "0 r 2
@ r2
1
r2
@r
que es
~ =
div E
q 1 @ (1)
=0
4 "0 r2 @r
En el origen el campo no está de…nido. Conforme r ! 0, la componente radial del campo eléctrico se hace inde…nidamente grande; es decir,
lim
r!0 4
q 1
=1
"0 r 2
y la divergencia del campo electrico en el origen resulta ser una delta de Dirac centrada en el origen.
Resumiendo, podemos decir que
~ = q (~r)
div E
1