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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DAICS
E.AP. INGENIERÍA CIVIL
Nociones de Instrumentación y Equipo en Ing. Civil
2013-II
SEMANA 03
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
I.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1.1
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Sen (α+β) = senα*cosβ + cosα*senβ
Cos (α+β) = cosα*cosβ – senα*senβ
tg (α+β) = tg α + tg β
1 - tg α* tg β
1.2
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Sen (α-β) = senα*cosβ - cosα*senβ
Cos (α-β) = cosα*cosβ + senα*senβ
tg (α - β) =
tg α - tg β
1 + tg α* tg β
1.3
Razones trigonométricas del ángulo doble
1.4
Razones trigonométricas del ángulo mitad1
Ing. Janet Verónica Saavedra Vera
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1.5
Transformaciones de sumas y diferencias en productos
1.6
Transformaciones de productos en sumas
1
Es importante tener en cuenta que el ángulo mitad puede pertenecer a un
cuadrante distinto que el ángulo. Por eso hay que tener en cuenta el cuadrante
al que pertenece para elegir el signo en la fórmula (positivo o negativo).
II.
Resolución de triángulos cualesquiera
2.1
Teorema del seno
Nota: se demuestra que la proporción existente en este teorema es igual al
diámetro de la circunferencia circunscrita
Ing. Janet Verónica Saavedra Vera
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2.2
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Teorema del coseno
Y, análogamente:
2.3
Resolución de un triángulo conocidos los tres lados
1º Se aplica el teorema del coseno para conocer un ángulo.
2º Se vuelve aplicar el teorema del coseno y se conoce otro ángulo.
2.4
Resolución de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido
1º Se calcula el otro lado mediante el teorema del coseno.
2º Se calcula uno cualquiera de los otros ángulos mediante el teorema del
coseno.
2.5
Resolución de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo no
comprendido entre ellos
1º Mediante el teorema del seno se halla uno de los otros ángulos.
2º Para calcular los otros elementos se aplica uno cualquiera de los teoremas.
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él.
Ing. Janet Verónica Saavedra Vera
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El problema general de resolución de un triángulo consiste en hallar las longitudes de sus
lados a, b y c y el valor de sus ángulos A, B y C.
En general basta con conocer tres cualesquiera de estos seis elementos para obtener los
otros tres: conocido dos ángulos y un lado, un lado y dos ángulos o los tres lados. El caso
de los tres ángulos no tiene solución única pues hay infinitos triángulos semejantes que
cumplen la condición.
En realidad tenemos cuatro problemas diferentes:
1. Conocidos dos ángulos y un lado.
2. Conocidos dos lados y el ángulo adjunto a uno de ellos.
3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
4. Conocidos los tres lados
Para resolverlos, vamos a utilizar dos teoremas:

Teorema del seno

Teorema del coseno
Ejercicio nº 1
En un triángulo rectángulo se conocen los valores de un cateto (a) = 11m, y la hipotenusa
(c) = 20m. Sabido que el ángulo opuesto a la hipotenusa (C) es de 90º, hallar los
elementos restantes: ángulo del cateto (A), segundo cateto (b) y su ángulo opuesto (B).
Ejercicio nº 2
Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80km. Las visuales desde el avión a
A y B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está
el avión?
EJERCICIOS PROPUESTOS:
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1. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6cm., respectivamente y se cortan
bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
2. Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36º, si avanzamos hacia
ellos en línea recta y los volvemos a observar, el ángulo es de 50º. ¿Qué altura
tienen los chopos?
3. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es
de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto
distan A y C?
4. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m.,
otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?
5. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un
ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3km. por hora y el otro a
3.5km por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?
6. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12m., se
observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la
altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º
Ing. Janet Verónica Saavedra Vera