Download Contenido del Tema 1 en Larson

Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Universidad de Sevilla
Matemáticas I. Departamento de Matemática Aplicada II.
Tema 1. Curvas Paramétricas.
Nota Informativa:
Para explicar en clase el contenido del Tema 1 se ha utilizado el libro
de Larson y Edwards, “Cálculo 2”, en su 8a ó 9a edición (el contenido es muy similar en ediciones
anteriores, pero la numeración no coincide). Con la intención de que el alumno no se vea sobrepasado
en la materia que tiene que estudiar vamos a puntualizar y matizar aquí los contenidos que se exigirán
como materia de examen. Además, incluimos una lista con varios ejercicios prácticos sin resolver,
para que cada alumno intente resolverlos.
Contenido del Tema 1 en Larson:
Al margen de lo que venga explicado en el libro, se da por supuesto que el alumno tiene los
conocimientos básicos sobre puntos, vectores, segmentos, rectas (diferentes tipos de ecuaciones),
planos, funciones elementales (polinomios, trigonométricas, exponenciales, sus inversas, composiciones), derivadas e integrales (primitivas e inde…nidas). Si no es así, recomendamos que se repasen
estos conceptos, bien en los textos de Bachillerato, bien en el Volumen 1 del libro de Larson. Los
Ejercicios Propuestos a los que se re…ere los puntos siguientes son, evidentemente, los del libro.
A continuación acotamos los contenidos de las secciones que corresponden al programa de la
asignatura. Dentro de cada sección hay subsecciones y sólo se mencionan aquellas que vamos a
explicar en clase y constituyen materia de examen. El contenido de Teoría son las de…niciones
de los conceptos y los enunciados de los teoremas que aparecen en las subsecciones mencionadas.
Además, el alumno deberá conocer la explicación que se haya dado en clase de dichas de…niciones
y teoremas (no se darán demostraciones rigurosas en clase, pero sí explicaciones del origen de la
fórmula o propiedad propuesta en el teorema, tenga en cuenta que no sirve de nada recordar listas
1
de fórmulas de memoria). Los Ejercicios Resueltos que se mencionan, son una selección de los del
libro. Además de ellos, el alumno tiene los ejercicios resueltos de los exámenes del curso anterior
(teniendo en cuenta que el concepto de curvatura no se explicará este curso y por ello no es materia
de examen). El orden natural en el que se estudian las siguientes secciones es: primero una lectura
rápida de las secciones propuestas de la Lección 12, luego un estudio en profundidad de las secciones
propuestas de la Lección 10, para volver nuevamente con más profundidad a las secciones propuestas
de la Lección 12. Es un estudio redundante, pero la idea del libro es estudiar primero los casos
particulares con los que el alumno está más familiarizado en la Lección 10 (coordenadas cartesianas
y polares) y establecer luego esos mismos resultados en general en la Lección 12 (curvas paramétricas
arbitrarias).
Sección 10.2: Curvas planas y ecuaciones paramétricas: Curvas planas y ecuaciones
paramétricas, Eliminación del parámetro, Hallar ecuaciones paramétricas.
– Teoría: De…nición de una curva plana. De…nición de una curva suave.
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3,4,5.
– Ejercicios Propuestos: 5,19,20,39,40,41,42,43,45,47,49 (al …nal del libro hay soluciones
de los impares).
Sección 10.3: Ecuaciones paramétricas y cálculo: Pendiente y rectas tangentes, Longitud
de arco.
– Teoría: Teorema 10.7 (Forma paramétrica de la derivada), Teorema 10.8 (longitud de
arco en forma paramétrica).
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,3,4. No se exige a los alumnos saber parametrizar
todas las curvas de tipo cicloide, sólamente la que se ha explicado en clase descrita por el
punto (0; 0) de la circunferencia de centro (0; R) y radio R, rodando a lo largo del eje OX
positivo. En el caso de parametrizaciones no elementales, lo que sí se puede pedir es el
cálculo de una longitud de arco, dando como dato la parametrización o buenas indicaciones
para calcularla.
– Ejercicios Propuestos: 17,35.
2
Sección 10.4: Coordenadas polares y grá…cas polares: Coordenadas polares, Transformación (o cambio) de coordenadas, Grá…cas polares, Pendiente y rectas tangentes.
– Teoría: De…nición de coordenadas polares, Teorema 10.10 (transformación o cambio de
coordenadas), Teorema 10.11 (se deduce como caso particular del Teorema 10.7).
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3,4,5,6. No se exige a los alumnos saber dibujar
todas las curvas de tipo caracol, rosa, lemniscatas, etc..., sólamente las que se han explicado
en clase o similares (vea también los Ejercicios que se proponen más adelante en estas
notas).
– Ejercicios Propuestos: 23,24,25,27,29,30,64.
Sección 10.5: Longitud de arco en coordenadas polares: Longitud de arco en forma
polar.
– Teoría: De esta sección sólo se pide conocer la longitud de arco en forma polar
(Teorema 10.14). La fórmula no se memoriza, se deduce como caso particular de la
fórmula general (Teorema 10.8).
– Ejercicios Resueltos: Ejemplo 4.
– Ejercicios Propuestos: 56,57,60,83 (apartados b,c).
Sección 12.1: Funciones vectoriales: Curvas en el espacio y funciones vectoriales. Límites
y continuidad.
– Teoría: De…nición de función vectorial en el plano y en el espacio. De…niciones de límite
y continuidad de una función vectorial.
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3,4.
– Ejercicios Propuestos: 27,31,37,49,59,60.
Sección 12.2: Derivación de funciones vectoriales: Derivación de funciones vectoriales.
– Teoría: De esta sección lo que se requiere es sólamente la de…nición de la derivada de una
función vectorial. Es importante conocer la interpretación geométrica de la derivada, pues
con ella se llevan a cabo todos los cálculos geométricos (tangente, longitud, etc.) y físicos
(velocidad, aceleración) sobre las curvas. Hay que conocer los Teoremas 12.1 y 12.2.
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3.
– Ejercicios Propuestos: ninguno.
3
Sección 12.4: Vectores tangentes y vectores normales: Vectores tangentes y vectores
normales.
– Teoría: De…nición del vector unitario tangente, De…nición del vector unitario normal
principal.
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3,4.
– Ejercicios Propuestos: 7,11,15,23,29.
Sección 12.5: Longitud de arco: Longitud de arco, Parámetro longitud de arco.
– Teoría: Teorema 12.6. De…nición de la función longitud de arco. Teorema 12.7.
– Ejercicios Resueltos: Ejemplos 1,2,3,4.
– Ejercicios Propuestos: 9,11,13,19.
Ejercicios que el alumno debe saber resolver:
Ejercicio 1. Sea C la curva en el espacio de ecuación vectorial r(t) = (3 sen t; 4t; 3 cos t),
[0; 2 ] :
t 2
1. Dibuje la curva.
2. Calcule los vectores T (t) y N (t) (tangente unitario y normal unitario).
p
p
3 2
3 2
;3 ;
): La ecuación de la recta
3. Calcule la recta tangente a la curva C en el punto A(
2
2
tangente se pide de las tres maneras clásicas:
x
x0
u0
=
y
y0
v0
=
z
z0
w0
,
(
ax + by + cz + d = 0:
a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0;
4. Parametrice la curva C en función del parámetro longitud de arco.
4
8
>
< x = x0 + tu0 ;
y = y0 + tv0 ;
>
:
z = z0 + tw0 :
Ejercicio 2. Sea C la curva plana de ecuación implícita x2
2y + y 2 = 0:
1. Deduzca que C es una circunferencia y dibújela. Calcule su centro y su radio.
2. Parametrice la curva C de dos maneras distintas e indique en qué intervalo varía el parámetro:
(a) Tomando el parámetro como el ángulo que va desde el eje OX + hasta el segmento OP ,
para cada P 2 C. Llamemos r1 ( ) a esta parametrización.
(b) Tomando el parámetro como el ángulo que va desde el eje AY + hasta el segmento AP ,
para cada P 2 C; donde A es el centro de la circunferencia. Llamemos r2 ( ) a esta
parametrización.
3. Calcule las relaciones entre ambos parámetros y la longitud de arco, es decir, las funciones
s1 ( ), y s2 ( ).
p
p
4. Calcule la recta tangente a la curva en el punto P ( 22 ; 1+ 22 ), usando ambas parametrizaciones.
La ecuación de la recta tangente se pide de las tres maneras clásicas:
y
y = mx + n;
x
y0
= m;
x0
(
x = x0 + tu0 ;
y = y0 + tv0 :
Ejercicio 3. Consideremos la parábola C de ecuación y = x2 + 2x + 3.
1. Dibuje C en el plano xy.
2. Parametrice C usando como parámetro la pendiente de la recta tangente en cada punto.
3. Calcule los vectores T y N en cada punto de la curva.
4. Calcule la recta tangente a C en el punto (2; 11) y exprésela de tres formas distintas (igual que
el último apartado del problema anterior).
Ejercicio 4. Sea C la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 4 cos y M el punto de la
curva de coordenadas polares r = 2; = :
3
1. Elimine el parámetro
f (x; y) = 0.
y obtenga la ecuación de C en forma implícita, es decir, en la forma
2. Calcule la longitud del arco de la curva C que va desde el punto M al origen de coordenadas.
5
Ejercicio 5.
1. Dibuje las curvas de ecuación r = 2 2 cos y r = 2 + 2 cos , 2 [0; 2 ]. Indique los puntos
inicial y …nal de cada una de ellas y el sentido en el que se recorren.
2. Determine los puntos de corte de las dos curvas del apartado anterior.
3. Considere R la región del plano formada por la intersección de r
Sea C la curva frontera de R. Calcule la longitud de C:
2 2 cos con r
2+2 cos .
Ejercicio 6.
1. En el siguiente ejemplo resuelto puede observar que el parámetro de una curva cualquiera
siempre se puede cambiar por otro que varíe en un intervalo predeterminado. El hecho de
cambiar el parámetro de una curva y sustituirlo por otro parámetro se llama ”reparametrizar”.
La reparametrización es una técnica general. Este ejercicio contiene un ejemplo de cómo se
realiza una reparametrización. Este ejercicio se realiza previamente a la reparametrización
mediante la longitud de arco y su único objetivo es comprenderla mejor.
(a) Ejemplo Resuelto: La parametrización f (t) = (t; t2 ); donde t 2 [1; 3]; recorre un arco de
la parábola y = x2 . Podemos conseguir otra parametrización de la forma f ((t(u)); donde
u varíe en el intervalo [ 2; 3]. Para ello calculamos una función que lleve cada t 2 [1; 3]
en u(t) 2 [ 2; 3]. La forma más sencilla es con una recta:
Para calcular u(t) ó t(u) basta despejar en la ecuación de la recta. En este caso necesitamos
2
9
t (u) = u + ;
5
5
6
u 2 [ 2; 3]:
Finalmente, la parametrización (observe el abuso de lenguaje al escribir f (u) cuando lo
que realmente debería escribir es f (t(u))):
f (u) := f (t(u)) =
2
9
u+ ;
5
5
2
9
u+
5
5
2
!
;
u 2 [ 2; 3];
recorre el mismo arco de la parábola y = x2 , pero el parámetro varía en un intervalo
diferente.
2. Utilizando la idea del apartado anterior, encuentre dos funciones vectoriales, r1 (t) y r2 (t); tales
que
(
r1 (t), si t 2 [0; 1]
r(t) :=
r2 (t), si t 2 [1; 2]
es una parametrización de la curva frontera de la región del plano que es interior a las dos
circunferencias:
x2 + y 2 2y = 0, x2 + y 2 2x = 0:
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