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FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
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página 26
Instituto Valladolid Preparatoria
2
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
2.1
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre
0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No existen
tablas para ángulos mayores de 90 grados.
Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, o
el coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonométrica
mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mismo, los
valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cuadrante.
Así, el valor del seno de 135 es sen 135 = 0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, lo
que puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45 se
repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener el valor
del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente.
Hay que tomar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje x positivo, avanzando
en el sentido de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados respecto
de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de las funciones
mayores de 90 grados. Recordar que se le llama ángulo obtuso al mayor de 90º y menor que 180º;
se le llama ángulo cóncavo al mayor de 180º y menor de 360º .
Reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente
entre cero y noventa grados, algo así como "reducir la función desde un ángulo obtuso o cóncavo
a un ángulo agudo". En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio de
ciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45.
La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: La función trigonométrica para un ángulo obtuso o cóncavo (más de 90o) equivale a la función del ángulo agudo que
se forma en el cuadrante correspondiente al ángulo obtuso o cóncavo original.
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
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Esto significa que existen siempre dos ángulos
equivalentes al ángulo obtuso o cóncavo original,
como puede verse en la figura 2.1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reducciones deben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: respecto del eje x o respecto del eje y .
En todos los casos se tienen dos ángulos:
* Un ángulo obtuso o cóncavo (el ángulo original).
* Un ángulo agudo, respecto de x o respecto
de y (el ángulo reducido). Ver la figura 2.1.
Por otra parte, con la calculadora puede comprobarse que si el seno de 225 es
sen 225 = − 0.707106781
numéricamente es el mismo que el seno de 45, solamente que cambiado de signo. Esto hace ver que
las funciones trigonométricas de más de 90 grados,
además de corresponder su valor a una función que
esté entre 0 y 90 grados, algunas son positivas y
otras negativas.
El proceso de reducción consta de 2 pasos:
* el signo de la función ,
* la función equivalente, entre 0o y 90o.
2.2
SIGNOS DE LAS FUNCIONES
Cada función trigonométrica, dependiendo del
cuadrante en el que estén, tiene un signo, ya sea
positivo o negativo.
Se parte de las definiciones de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, que son:
figura 2.1
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seno =
cateto opuesto
hipotenusa
tangente =
cateto opuesto
cateto adyacente
cotangente =
cateto adyacente
cateto opuesto
secante =
hipotenusa
cateto adyacente
cosecante =
coseno =
;
cateto adyacente
hipotenusa
hipotenusa
cateto opuesto
figura 2.2
las cuales son, respecto de la figura 2.2:
sen θ =
y
r
;
cos θ =
x
r
;
tan θ =
y
x
cot θ =
x
y
;
sec θ =
r
x
;
csc θ =
r
y
SEGUNDO CUADRANTE
Conforme a la figura 2.3, se ve que en el segundo cuadrante x es negativa y y positiva (r siempre es positiva),
de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden deducir los signos que les corresponden a cada una de
las funciones trigonométricas, de lo que se obtiene:
sen θ =
+y
= +
+r
+y
tan θ = _
= _
x
;
cos θ =
_x
= _
+r
;
cot θ =
_x
= _
+y
figura 2.3
+r
sec θ = _
= _
x
;
csc θ =
+r
= +
+y
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TERCER CUADRANTE
Conforme a la figura 2.4, se ve que en el tercer cuadrante x es negativa y y negativa (r siempre es positiva), de
manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden
obtener los signos de la siguiente forma:
;
_x
cos θ =
= _
+r
_y
tan θ = _
= +
x
;
_x
cot θ = _
= +
y
+r
_
sec θ = _
=
x
;
+r
csc θ = _
= _
y
_y
sen θ =
= _
+r
figura 2.4
CUARTO CUADRANTE
Conforme a la figura 2.5, se ve que en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa (r siempre es positiva), de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma:
sen θ =
_y
= _
+r
;
cos θ =
tan θ =
_y
_
=
+x
;
+x
cot θ = _
= _
y
sec θ =
+r
= +
+x
;
+r
_
csc θ = _
=
y
+x
= +
+r
figura 2.5
Resumiendo, los signos de las seis funciones trigonométricas en cada cuadrante se muestran en
la siguiente tabla, en donde puede apreciarse que se cumple una especie de ley de la herradura, es
decir que el signo del seno es el mismo que el signo de la cosecante en cualquier cuadrante; el
signo del coseno es el mismo que el signo de la secante en cualquier cuadrante y el signo de la
tangente es el mismo que el signo de la cotangente en cualquier cuadrante:
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2.3
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FUNCIÓN EQUIVALENTE
Conviene en este momento recordar dos cosas: una, que reducir una función trigonométrica de
más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como
"reducir el ángulo obtuso a un ángulo agudo". La otra, que el proceso de reducción consta de dos
pasos: hallar el signo de la función y luego la función equivalente.
El proceso de reducción consiste en:
a) Asignar el signo de la función, de acuerdo al cuadrante en que esté (ver la tabla
anterior), y
b) tomar la función equivalente con el correspondiente ángulo reducido, es decir,
con el correspondiente ángulo agudo.
Es importante distinguir entre la función equivalente y el valor numérico de la función. Por
ejemplo, si sen 135 = sen 45 = 0.7077106781 , se dice que para el sen 135 su función equivalente
es sen 45 , en cambio el valor numérico de sen 135 es 0.707106781. Cuando se hace o se pide
hacer una reducción, lo que importa solamente es la función equivalente, no el valor numérico de
la función.
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Ese ángulo equivalente reducido, o sea el equivalente entre 0º y 90º, puede estar tomado hacia
el eje x o hacia el eje y. Cuando se hace hacia el eje X se dice que la reducción se hace por medio
del eje x; de la misma forma, si el ángulo equivalente reducido que viene en tablas, se toma hacia
el eje Y , se dice que la reducción se hace por medio del eje y.
2.3.1
REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE X
EN EL PRIMER CUADRANTE
Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,
menores de 90o.
EN EL SEGUNDO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 2.6, es decir, el ángulo
obtuso (de más de 90 grados) que es el original y un
ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo
reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
Ángulo agudo equivalente al original
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde 2 representa el
ángulo obtuso original, son:
sen 2 = +
cos 2 = !
tan 2 = !
cot 2 = !
sec 2 = !
csc 2 = +
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
180 -
En el segundo cuadrante
sen (180 ! 2)
cos (180 ! 2)
tan (180 ! 2)
cot (180 ! 2)
sec (180 ! 2)
csc (180 ! 2)
sen 114
cos 133
tan 98
sec 169
csc 136
=
=
=
=
=
Ángulo
obtuso
(original)
Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
figura 2.6
+
!
!
!
!
sen (180 ! 114)
cos (180 ! 133)
tan (180 ! 98)
sec (180 ! 169)
csc (180 ! 136)
Recuérdese que 2 representa al ángulo obtuso original.
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
sen 66
cos 47
tan 82
sec 11
csc 44
página 32
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EJERCICIO 4
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo
puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso
de reducción que es: sen 125 = sen (180 ! 125) = sen 55 .
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 174
sen 144
sen 121
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 159
cos 171
cos 139
9)
10)
11)
12)
tan 100
tan 108
tan 129
tan 147
13)
14)
15)
16)
cot 102
cot 154
cot 122
cot 172
17)
18)
19)
20)
sec 119
sec 109
sec 171
sec 130
21)
22)
23)
24)
csc 117
csc 131
csc 176
csc 143
25)
26)
27)
28)
csc 124
cos 120
sen 128
cot 133
29)
30)
31)
32)
tan 139
sec 166
csc 160
cot 122
EN EL TERCER CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.7, es decir,
el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que es
el original y un ángulo agudo (menor de 90
grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos
comprendidos entre 180 y 270 grados, donde
2 representa el ángulo obtuso original, son:
sen 2 =
cos 2 =
tan 2 =
cot 2 =
sec 2 =
csc 2 =
!
!
+
+
!
!
sen (2 ! 180)
cos (2 ! 180)
tan (2 ! 180)
cot (2 ! 180)
sec (2 ! 180)
csc (2 ! 180)
Ángulo agudo equivalente al original
Ángulo obtuso
(original)
- 180
Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
En el tercer cuadrante
figura 2.7
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Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 214
cos 233
tan 198
sec 269
csc 183
página 33
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
sen (214 ! 180)
cos (233 ! 180)
tag (198 ! 180)
sec (269 ! 180)
csc (183 ! 180)
=
=
=
=
=
!
!
+
!
+
sen 34
cos 53
tan 18
sec 89
csc 3
EJERCICIO 5
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo
puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino el
proceso de reducción que es: sen 228 = ! sen (228 ! 180) = ! sen 48 .
1)
2)
3)
4)
sen 205
sen 194
sen 244
sen 251
5)
6)
7)
8)
cos 219
cos 199
cos 261
cos 239
9)
10)
11)
12)
tan 190
tan 208
tan 244
tan 217
13)
14)
15)
16)
cot 193
cot 205
cot 259
cot 245
17)
18)
19)
20)
sec 219
sec 199
sec 231
sec 239
21)
22)
23)
24)
csc 197
csc 191
csc 256
csc 183
25)
26)
27)
28)
csc 224
sen 200
tan 188
tan 233
29)
30)
31)
32)
sec 261
cos 230
cot 251
csc 258
EN EL CUARTO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.8, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo
(menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son:
Ángulo obtuso
(original)
360 Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
En el cuarto cuadrante
figura 2.8
página 34
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sen 2 = ! sen (360 ! 2)
cos 2 = + cos (360 - 2)
tan 2 = ! tan (360 - 2)
cot 2 = ! cot (360 - 2)
sec 2 = + sec (360 - 2)
csc 2 = ! csc (360 ! 2)
Recuérdese que 2 representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 294
cos 283
tan 298
cot 316
sec 330
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
sen (360 ! 294)
cos (360 ! 283)
tan (360 ! 298)
cot (360 ! 316)
sec (360 ! 330)
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
sen 66
cos 77
tan 62
cot 44
sec 30
EJERCICIO 6
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
1)
2)
3)
4)
sen 275
sen 294
sen 344
sen 351
5)
6)
7)
8)
cos 319
cos 299
cos 321
cos 315
9)
10)
11)
12)
tan 290
tan 308
tan 344
tan 317
13)
14)
15)
16)
cot 272
cot 299
cot 306
cot 344
17)
18)
19)
20)
sec 319
sec 359
sec 310
sec 289
21)
22)
23)
24)
csc 297
csc 281
csc 276
csc 313
25)
26)
27)
28)
csc 324
tan 300
sen 348
cos 333
29)
30)
31)
32)
cot 359
sec 333
sec 302
sen 322
EJERCICIO 7: (generales)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el primer cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el segundo cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante.
Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje X.
Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje X.
Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje X.
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 35
Reducir las siguientes funciones por medio del eje X:
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 194
sen 244
sen 321
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 199
cos 271
cos 309
9) tan 100
10) tan 208
11) tan 299
12) tan 347
13)
14)
15)
16)
sen 105
tan 243
csc 201
cos 339
17)
18)
19)
20)
cot 119
cot 199
cot 271
cot 309
21)
22)
23)
24)
sec 117
sec 191
sec 276
sec 343
25)
26)
27)
28)
csc 124
csc 200
csc 288
csc 333
29)
30)
31)
32)
cot 97
sec 184
tan 275
cot 347
33)
34)
35)
36)
sen 123
sen 199
sen 249
sen 332
37)
38)
39)
40)
cos 128
cos 194
cos 275
cos 308
41)
42)
43)
44)
tan 105
tan 238
tan 288
tan 340
45)
46)
47)
48)
cos 100
sec 200
cot 300
csc 316
49)
50)
51)
52)
cot 117
cot 196
cot 276
cot 329
53)
54)
55)
56)
sec 118
sec 193
sec 277
sec 348
57)
58)
59)
60)
csc 127
csc 230
csc 291
csc 330
61)
62)
63)
64)
tan 35
sen 61
cos 77
cot 12
2.3.2
REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE Y
COFUNCIONES
Se dice que la reducción se hace por medio del eje Y cuando el ángulo reducido es respecto del
eje Y, como lo muestra la figura 2.1 de la página 27.
En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos
agudos es de 90 grados, de manera que si uno de ellos es 2, el
otro será (90 ! 2). Ver figura 2.9. En esa misma figura 2.9 se
puede observar que las seis funciones trigonométricas del ángulo
2 son:
sen θ =
y
r
;
cos θ =
x
r
tan θ =
y
x
;
cot θ =
x
y
r
90 θ
θ
x
sec θ =
r
x
;
csc θ =
mientras que las del ángulo (90 ! 2) son:
r
y
figura 2.9
y
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sen ( 90 − θ ) =
x
;
r
cos ( 90 − θ ) =
y
r
tan ( 90 − θ ) =
x
;
y
cot ( 90 − θ ) =
y
x
sec ( 90 − θ ) =
r
;
y
csc ( 90 − θ ) =
r
x
de aquí se ve que las siguientes funciones son iguales:
sen 2 = cos (90 ! 2)
cos 2 = sen (90 ! 2)
tan 2 = cot (90 ! 2)
cot 2 = tan (90 ! 2)
sec 2 = csc (90 ! 2)
csc 2 = sec (90 ! 2)
Las funciones anteriores que son iguales se llaman cofunciones 1, es decir, el seno y el coseno son cofunciones; la tangente y la cotangente son cofunciones; la secante y la cosecante son cofunciones.
figura 2.10
En otras palabras, el seno de un ángulo 2 medido respecto
del eje X es igual al coseno del ángulo (90 ! 2) medido respecto del eje Y. Lo mismo puede afirmarse de la tangente de un
ángulo 2 medido respecto del eje X que es igual a la cotangente del ángulo (90 ! 2) medido respecto
del eje Y. De la secante y la cosecante también. Ver figura 2.10.
Esta es la clave para la siguiente regla:
En toda reducción por medio del eje Y, la función trigonométrica a reducir cambia
a su respectiva cofunción.
1
El prefijo co viene de la preposición latina cum, que significa con y se emplea en el idioma Español para dar idea de algo
que actúa junto con... conjuntamente... en común. Por ejemplo, la palabra codirector significa director con otro; la
palabra coincidir significa incidir al mismo tiempo. Así, las cofunciones tienen en común la misma relación de dos lados
del triángulo; por ejemplo, el seno de θ y el coseno de (90 - θ) tienen en común ser iguales a la relación y/r.
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 37
El proceso de reducción por medio del eje Y es semejante al que se hace por medio del eje X ,
es decir, primero se pone el signo que le corresponde a esa función de acuerdo al cuadrante en el que
esté y luego se busca el valor numérico.
EN EL PRIMER CUADRANTE
Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,
menores de 90o.
EN EL SEGUNDO CUADRANTE
Ángulo agudo equivalente al original
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 2.11, es decir, el ángulo
obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo
agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
Ángulo equivalente
reducido por
el eje Y
- 90
Ángulo obtuso
(original)
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde 2 representa el
ángulo obtuso original, son:
En el segundo cuadrante
figura 2.11
sen 2 = + cos (2 ! 90)
cos 2 = ! sen (2 ! 90)
tan 2 = ! cot (2 ! 90)
cot 2 = ! tan (2 ! 90)
sec 2 = ! csc (2 ! 90)
csc 2 = + sec (2 ! 90)
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 114
cos 133
tan 98
sec 169
csc 136
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
cos (114 ! 90)
sen (133 - 90)
cot ( 98 - 90)
csc (169 - 90)
sec (136 - 90)
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
cos 24
sen 43
cot 8
csc 79
sec 46
Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.
página 38
Instituto Valladolid Preparatoria
EJERCICIO 8
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA:
En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los
ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre
otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa
que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = + cos (125 ! 90) = + cos 35 .
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 174
sen 144
sen 121
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 159
cos 171
cos 139
9)
10)
11)
12)
tan 100
tan 108
tan 129
tan 147
13)
14)
15)
16)
cot 102
cot 154
cot 122
cot 172
17)
18)
19)
20)
sec 119
sec 109
sec 171
sec 130
21)
22)
23)
24)
csc 117
csc 131
csc 176
csc 143
25)
26)
27)
28)
csc 124
cos 120
sen 128
cot 133
29)
30)
31)
32)
tan 139
sec 166
csc 160
cot 122
EN EL TERCER CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 2.12, es decir, el ángulo
obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo
agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde 2 representa el
ángulo obtuso original, son:
Ángulo obtuso
(original)
270
-
Ángulo
equivalente
reducido por el eje Y
En el tercer cuadrante
sen 2 = ! cos (270 ! 2)
cos 2 = ! sen (270 ! 2)
tan 2 = + cot (270 ! 2)
cot 2 = + tan (270 ! 2)
sec 2 = ! csc (270 ! 2)
csc 2 = ! sec (270 ! 2)
figura 2.12
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 214
cos 233
tan 198
sec 269
csc 183
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
página 39
cos (270 - 214)
sen (270 - 233)
cot (270 - 198)
csc (270 - 269)
sec (270 - 183)
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
cos 56
sen 37
cot 72
csc 1
sec 87
EJERCICIO 9
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA:
En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los
ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre
otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa
que valga ! 0.743144825, sino el proceso de reducción que es: sen 228 = ! cos (270 ! 228) = ! cos 42 .
1)
2)
3)
4)
sen 205
sen 194
sen 244
sen 251
5)
6)
7)
8)
cos 219
cos 199
cos 261
cos 239
9)
10)
11)
12)
tan 190
tan 208
tan 244
tan 217
13)
14)
15)
16)
cot 193
cot 205
cot 259
cot 245
17)
18)
19)
20)
sec 219
sec 199
sec 231
sec 239
21)
22)
23)
24)
csc 197
csc 191
csc 256
csc 183
25)
26)
27)
28)
csc 224
sen 200
tan 188
tan 233
29)
30)
31)
32)
sec 261
cos 230
cot 251
csc 258
EN EL CUARTO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 2.13, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde 2 representa
el ángulo obtuso original, son:
Ángulo obtuso
(original)
-2
70
Ángulo
equivalente reducido
por el eje Y
En el cuarto cuadrante
figura 13
página 40
Instituto Valladolid Preparatoria
sen 2 = ! cos (2 ! 270)
cos 2 = + sen (2 ! 270)
tan 2 = ! cot (2 ! 270)
cot 2 = ! tan (2 ! 270)
sec 2 = + csc (2 ! 270)
csc 2 = ! sec (2 ! 270)
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 294
cos 283
tan 298
cot 316
sec 330
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
cos (294 - 270)
sen (283 - 270)
cot (298 - 270)
tan (316 - 270)
csc (330 - 270)
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
cos 24
sen 13
cot 28
tan 46
csc 60
CONCLUSIONES:
Cuando la reducción se hace por medio del eje X:
1) La función trigonométrica se conserva.
2) Se utilizan los valores de 180 y 360 .
Cuando la reducción se hace por medio del eje Y:
1) La función trigonométrica cambia a su cofunción.
2) Se utilizan los valores 90 y 270 .
EJERCICIO 10
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA:
En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los
ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre
otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 328 no interesa
que valga ! 0.529919264, sino el proceso de reducción que es: sen 328 = ! cos (328 ! 270) = ! cos 58 .
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 41
1)
2)
3)
4)
sen 275
sen 294
sen 344
sen 351
5)
6)
7)
8)
cos 319
cos 299
cos 321
cos 315
9)
10)
11)
12)
tan 290
tan 308
tan 344
tan 317
13)
14)
15)
16)
cot 272
cot 299
cot 306
cot 344
17)
18)
19)
20)
sec 319
sec 359
sec 310
sec 289
21)
22)
23)
24)
csc 297
csc 281
csc 276
csc 313
25)
26)
27)
28)
csc 324
tan 300
sen 348
cos 333
29)
30)
31)
32)
cot 359
sec 333
sec 302
sen 322
EJERCICIO 11: (generales)
1) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje Y.
2) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje Y.
3) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje Y.
Reducir las siguientes funciones por medio del eje Y:
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 194
sen 244
sen 321
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 199
cos 271
cos 309
9)
10)
11)
12)
tan 100
tan 208
tan 299
tan 347
13)
14)
15)
16)
sen 105
tan 243
csc 201
cos 339
17)
18)
19)
20)
cot 119
cot 199
cot 271
cot 309
21)
22)
23)
24)
sec 117
sec 191
sec 276
sec 343
25)
26)
27)
28)
csc 124
csc 200
csc 288
csc 333
29)
30)
31)
32)
cot97
sec 184
tan 275
cot 347
33)
34)
35)
36)
sen 123
sen 199
sen 249
sen 332
37)
38)
39)
40)
cos 128
cos 194
cos 275
cos 308
41)
42)
43)
44)
tan 105
tan 238
tan 288
tan 340
45)
46)
47)
48)
cos 100
sec 200
cot 300
csc 316
49)
50)
51)
52)
cot 117
cot 196
cot 276
cot 329
53)
54)
55)
56)
sec 118
sec 193
sec 277
sec 348
57)
58)
59)
60)
csc 127
csc 230
csc 291
csc 330
61)
62)
63)
64)
tan 35
sen 61
cos 77
cot 12
página 42
2.4
Instituto Valladolid Preparatoria
ÁNGULOS MAYORES DE 360 GRADOS
También es posible sacar las
funciones trigonométricas para
ángulos mayores de 360 grados, o
sea, de más de una vuelta. Simplemente a dicho ángulo se le restan
el número de vueltas completas
que le quepan y al resto se le aplica lo analizado anteriormente.
Es muy fácil entender por qué
figura 2.14
deben quitarse vueltas enteras para obtener un ángulo menor de
360 grados cuya función sea equivalente. Supóngase que se tiene
inicialmente una polea montada sobre una base, como lo muestra la figura 2.14, (posición inicial)
en la que se ha puesto una marca tanto en la polea como en la base, haciéndose coincidir para que
sirva de referencia de la posición inicial de dicha polea.
En un momento dado se le da
un impulso a la polea haciéndola
girar libremente, de manera que al
detenerse queda en la posición final mostrada en la misma figura
2.14. La cuestión a resolver es: ¿Para dónde y cómo giró la polea?
Existen cuatro posibilidades, las
cuales se muestran en el siguiente
cuadro sinóptico de la figura 2.15.
Si se hace girar en el sentido
contrario a las manecillas del reloj,
o lo que es lo mismo, en el sentido
de avance de los cuadrantes, el ángulo se considera positivo; si se
hace girar en el sentido de las manecillas del reloj, o lo que es lo
mismos en sentido contrario al
avance de los cuadrantes, el ángulo
se considera negativo.
figura 2.15
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 43
En otras palabras, un ángulo es positivo si a partir del eje X + se mide en sentido contrario a las
manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes. Un ángulo es negativo si a
partir del eje X + se mide en el sentido de las manecillas del reloj, o bien en sentido contrario al
avance de los cuadrantes.
La figura 2.16 muestra los casos en que la
polea haya girado positivamente, es decir, en
sentido contrario al de las manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes.
Pero se dé la opción 1 (menos de una vuelta) o la opción 2 (más de una vuelta), el resultado final es el mismo, es decir, la marca en la
polea quedó donde mismo en una u otra opción. Por esa razón, los dos ángulos se consideran equivalentes.
La figura 2.17 muestra el caso de que la
polea haya girado negativamente, es decir en
el sentido de las manecillas del reloj o al inverso del avance de los cuadrantes.
figura 2.16
Pero, igualmente, se dé la opción 3 (menos de una vuelta) o la opción 4 (más de una vuelta), el
resultado final es el mismo, es decir, la marca en la polea quedó donde mismo en una u otra opción.
Por esa razón, los dos ángulos se consideran equivalentes.
De tal manera que, por ejemplo, el ángulo
de 375 es equivalente al ángulo de 15 grados,
pues si a 375º se le quita una vuelta entera, o
sea 360º, quedan los 15º.
En general, para saber cuántas vueltas enteras “le caben” a cualquier ángulo mayor de
360 grados, debe dividirse el ángulo entre
360. Del cociente obtenido, la parte entera
indica el número de vueltas completas que le
caben.
Por ejemplo, para reducir el ángulo de
1749 grados, se divide 1749 entre 360, lo cual
da 4.8583333. La parte entera de este cociente, el 4, indica que a 1749 le "caben" cuatro
vueltas completas. Esas cuatro vueltas son
4× 360 = 1440º
figura 2.17
página 44
Instituto Valladolid Preparatoria
de manera que se obtiene:
p 1749 = p (1749 ! 1440) = p 309
Para reducir una función trigonométrica de más de 360 grados se realizan los
siguientes pasos:
1) Se reduce el ángulo de más de 360 grados a su equivalente de menos de 360
grados.
2) Se reduce la función trigonométrica, ya sea por medio del eje X o por medio del
eje Y, conforme se analizó anteriormente.
Ejemplo 1: Reducir por medio del eje X la función sen 987 .
Solución:
sen 987 = sen (987 ! 720)
= sen 267
= ! sen (267 ! 180)
= ! sen 87
# Se reduce el ángulo original quitándole dos vueltas enteras al restarle 720.
# Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado
las dos vueltas enteras.
# Se reduce la función trigonométrica por medio del eje X,
con el criterio de la página 32 para el 3er cuadrante.
# Reducción final.
sen 987 = − sen 87
O sea que:
Ejemplo 2: Reducir por medio del eje Y la función cot 1381 .
Solución:
cot 1381 = cot (1381 ! 1080)
= cot 301
= ! tan (301 ! 270)
= ! tan 31
O sea que:
# Se reduce el ángulo original quitándole tres vueltas enteras.
# Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado
las tres vueltas enteras. Obsérvese que todavía no se ha
pasado a la cofunción porque aún no se ha hecho la reducción al ángulo agudo equivalente.
# Se reduce la función trigonométrica por medio del eje Y,
con el criterio de la página 39 para el cuarto cuadrante.
# Reducción final.
cot 1381 = − tan 31
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 45
Ejemplo 3: Reducir por medio del eje X la función tan 1505 .
tan 1505 = tan (1505 ! 1440) # Se reduce el ángulo original quitándole cuatro vueltas
enteras.
= tan 65
# Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado
las cuatro vueltas enteras. Como ya es un ángulo menor
de 90o, ya no se reduce, pues este valor ya está en tablas.
solución:
tan 1505 = tan 65
O sea que:
EJERCICIO 12
Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360o por medio del eje X.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
sen 498
cot 455
sen 608
cot 784
sen 1074
cot 1222
sen 1977
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
cos 559
sec 452
cos 771
sec 1073
cos 2335
sec 2083
cos 2446
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
tan 620
csc 809
tan 833
csc 5507
tan 3096
cos 1730
tan 3007
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
csc 388
sen 1002
cot 773
tan 608
csc 2001
cos 1554
sec 888
Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360o por medio del eje Y.
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
sen 538
cot 405
sen 644
cot 841
sen 1004
cot 1262
sen 999
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
cos 759
sec 502
cos 721
sec 1377
cos 2381
sec 2188
cos 2601
2.5
ÁNGULOS NEGATIVOS
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
tan 628
csc 852
tan 803
csc 3507
tan 4096
csc 1789
tan 1558
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
sec 2336
cos 444
cot 1084
cot 1338
cos 2500
csc 1575
cot 995
Como se mencionó en la página 42, un ángulo es positivo si a partir del eje X + se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, o lo que es lo mismo en en el sentido del avance de los cuadrantes. Un ángulo es negativo si a partir del eje X + se mide en el sentido de las manecillas del
reloj, o lo que es lo mismo en sentido contrario al avance de los cuadrantes.
página 46
Instituto Valladolid Preparatoria
De manera que dos ángulos son exactamente iguales, o son el mismo, si sus valores absolutos
suman una vuelta completa, es decir, 360o. Por ejemplo, p 127 = p ! 233 , ver figura 2.18, solamente
que el de + 127o está medido en el sentido del avance de los cuadrantes (contrario a las manecillas
del reloj), mientras que el de ! 233o está
medido en sentido contrario al avance de
los cuadrantes, o lo que es lo mismo, en el
sentido del avance de las manecillas del
reloj.
Hay que recordar que el cuadrante número 1 es el de arriba a la derecha; el número 2 el de arriba a la izquierda; el número 3 el de abajo a la izquierda y el número
4 el de abajo a la derecha.
El ángulo, en ambos casos, es exactamente el mismo, lo único que cambió fue
la manera de medirlo. En otras palabras,
para decir que un ángulo se midió "por
arriba" se emplea el signo + y para decir
que se midió "por abajo" se emplea el signo !
De tal forma que:
figura 2.18
Para convertir un ángulo positivo en negativo, simplemente se le resta 360, e inversamente,
para convertir un ángulo negativo en positivo, simplemente se le suma 360.
Ejemplos:
1)
) 244 = ) ( 244 − 360 ) = ) ( − 116 )
2)
) ( − 108 ) = ) ( − 108 + 360 ) = ) + 252
3)
) 67 = ) ( 67 − 360 ) = ) ( − 293 )
4)
) ( − 12 ) = ) ( − 12 + 360 ) = ) + 348
5)
) 164 = ) (164 − 360 ) = ) ( − 196 )
6)
) ( − 101 ) = ) ( − 101 + 360 ) = ) + 259
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 47
EJERCICIO 13
Convertir los siguientes ángulos positivos en ángulos negativos:
( 46 =
( 309 =
( 176 =
( 324 =
( 106 =
( 145 =
( 334 =
( 316 =
1)
5)
9)
13)
17)
21)
25)
29)
2)
6)
10)
14)
18)
22)
26)
30)
( 241 =
( 63 =
( 12 =
( 193 =
( 51 =
( 52 =
( 139 =
( 55 =
3)
7)
11)
15)
19)
23)
27)
31)
( 144 =
( 260 =
( 200 =
( 88 =
(6=
( 200 =
( 40 =
(9=
4)
8)
12)
16)
20)
24)
28)
32)
( 154 =
( 300 =
(7=
( 71 =
( 351 =
(4=
( 19 =
( 322 =
Convertir los siguientes ángulos negativos en ángulos positivos:
33)
( ( − 66 )
34)
( ( − 257 )
35)
( ( − 114 )
36)
( ( − 159 )
37)
( ( − 355 )
38)
( ( − 50 )
39)
( ( − 286 )
40)
( ( − 307 )
41)
( ( − 172 )
42)
( ( − 14 )
43)
( ( − 201)
44)
( ( − 6)
45)
( ( − 328 )
46)
( ( − 173)
47)
( ( − 81)
48)
( ( − 17 )
49)
( ( − 186 )
50)
( ( − 53)
51)
( (− 7)
52)
( ( − 354 )
53)
( ( − 177 )
54)
( ( − 11)
55)
( ( − 255 )
56)
( ( − 5)
57)
( ( − 303)
58)
( ( − 105 )
59)
( ( − 77 )
60)
( ( − 80 )
61)
( ( − 199 )
62)
( ( − 50 )
63)
( ( − 37 )
64)
( ( − 325 )
2.6
ÁNGULOS NEGATIVOS DE MÁS DE UNA VUELTA
Se puede presentar el caso de una función trigonométrica de un ángulo negativo de "más de una
vuelta". Entonces lo primero que debe hacerse es quitarle el número de vueltas enteras que le quepan.
Para quitarle vueltas enteras a un ángulo negativo se le suma 360 ó múltiplos de 360.
NOTAS:
1.2.-
El ángulo que resulta sigue siendo negativo.
Todo ángulo negativo debe escribirse entre paréntesis.
página 48
Instituto Valladolid Preparatoria
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen (! 455)
cos (! 813)
tan (! 1413)
sec (! 1803)
csc (! 2183)
=
=
=
=
=
sen (! 455 + 360)
cos (! 813 + 720)
tan (! 1413 + 1080)
sec (! 1803 + 1800)
csc (! 2183 + 2160)
=
=
=
=
=
sen (! 95)
cos (! 93)
tan (! 333)
sec (! 3)
csc (! 23)
Para reducir entonces una función trigonométrica de un ángulo negativo de más de una vuelta,
o sea buscar su equivalente que corresponda a una función comprendida entre 0o y 90o, conforme
a todo lo anteriormente ya explicado, se realizan los siguientes pasos:
Para reducir un ángulo negativo de más de 360 grados:
1)
Se le quitan todas las vueltas enteras posibles.
2)
Se convierte en su correspondiente ángulo positivo.
3)
Se reduce, ya sea por medio del eje X o por medio del eje Y, de
acuerdo con lo visto en la página 31 y en la página 35.
Ejemplo 1: Reducir por medio del eje X :
cot (! 952) = cot (! 952 + 720)
= cot (! 232)
= cot (! 232 + 360)
= cot 128
= ! cot (180 ! 128)
= ! cot 52
O sea que:
L
L
L
L
L
L
se le quitan vueltas enteras.
ángulo negativo de menos de una vuelta.
se transforma en ángulo positivo
ángulo positivo correspondiente
se reduce por el eje x
reducción final
cot (! 952) = - cot 52
Ejemplo 2: Reducir por medio del eje Y .
csc (- 491) = csc (- 491 + 360)
= csc (- 131)
= csc (- 131 + 360)
L se le quitan vueltas enteras.
L ángulo negativo de menos de una vuelta.
L se transforma en ángulo positivo.
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 49
= csc 229
= - sec (270 - 229)
= - sec 41
O sea que:
L ángulo positivo correspondiente.
L se reduce por el eje Y .
L reducción final.
csc (- 491) = - sec 41
EJERCICIO 14
Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos negativos por medio del eje X .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
sen (- 298)
cot (- 55)
sen (- 208)
cot (- 284)
sen (- 104)
cot (- 122)
sen (- 197)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
2.7
VALORES EN LOS EJES
cos (- 559)
sec (- 42)
cos (- 771)
sec (- 173)
cos (- 235)
sec (- 2083)
cos (- 2446)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
tan (- 620)
csc (- 109)
tan (- 833)
csc (- 5507)
tan (- 296)
cos (- 1730)
tan (- 3007)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
csc(- 388)
sen (- 1002)
cot(- 773)
tan(- 608)
csc (- 2001)
cos(- 154)
sec(- 888)
Hasta aquí se tiene un análisis completo de cómo obtener el valor de la función trigonométrica
de cualquier ángulo. Solamente hace falta analizar los ángulos que están sobre los ejes. Porque se
dijo ya cómo reducir cualquier función que corresponda a un ángulo que esté entre 90o y 180o, pero
nada se dijo de cuando es exactamente 90o ó 180o; se dijo también cómo reducir cualquier función
que corresponda a un ángulo que esté entre 180o y 270o, pero nada se dijo de cuando es exactamente
180o ó 270o.
En todos los casos, debe deducirse cuánto vale x y cuánto vale y , observando en la figura correspondiente que una de las dos se hace cero. Por su parte, r siempre es positiva, ya que los signos
positivos o negativos solamente tienen sentido para denotar una medida horizontal o una medida
vertical y, además, siempre va a coincidir o con x o con y .
página 50
Instituto Valladolid Preparatoria
a) PARA 0o
r debe girar
para que
se haga cero
r
conforme r gira, y
se hace más pequeña.
θ va tendiendo a cero.
y
r
r
y
x
x
x
cuando
se hace
cero, r coincide
con x y y
desaparece
figura 2.19
De la figura 2.19 se deduce que cuando θ se hace cero al girar r, entonces y = 0 y además
r = x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es decir,
positivo siempre).
Se tiene entonces que
x es positiva
(x º + x)
y es cero
(y þ 0)
r es igual a lo que vale x (r þ x)
De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 0o son:
sen 0 =
y
0
=
=0
r
x
;
cos 0 =
x
x
=
=1
r
x
tan 0 =
y
0
=
=0
x
x
;
cot 0 =
x
x
=
=∞
0
y
sec 0 =
r
x
=
=1
x
x
;
csc 0 =
r
x
=
=∞
0
y
Es decir, que:
sen 0 = 0
cos 0 = 1
tan 0 = 0
cot 0 = ∞
sec 0 = 1
csc 0 = ∞
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 51
b) PARA 90o
r debe girar
para que
se haga 90
cuando
se hace
90, r coincide
con y y x
desaparece
conforme r gira, x
se hace más pequeña.
θ crece acercándose
a 90º.
r
r
y
r
= 90
y
x
x
figura 2.20
De la figura 2.20 se deduce que cuando θ se hace 90 grados al girar r, entonces x = 0 y además
r = y (r mide lo mismo que y por lo que tiene el valor numérico de y, pero sin signo, es decir,
positivo siempre) .
Se tiene entonces que
x es cero
(x þ 0)
y es positiva
(y þ y)
r es igual a lo que vale y (r þ y)
De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 90o son:
sen 90 =
y
y
=
=1
r
y
;
cos 90 =
x
0
=
=0
r
y
tan 90 =
y
y
=
=∞
0
x
;
cot 90 =
x
0
=
=0
y
y
sec 90 =
r
y
=
=∞
0
x
;
csc 90 =
r
y
=
=1
y
y
Es decir, que:
sen 90 = 1
tan 90 =
sec 90 =
;
;
;
cos 90 = 0
cot 90 = 0
csc 90 = 1
página 52
Instituto Valladolid Preparatoria
c) PARA 180o
r debe girar para que
se haga 180
cuando
se hace 180,
r coincide con x y
y desaparece
conforme r gira, y
se hace más pequeña.
θ se aproxima a 180º.
= 180
y
r
r
y
r
-x
-x
-x
figura 2.21
De la figura 2.21 se deduce que cuando θ se hace 180 al girar r, entonces y = 0 y además r se
empalma con x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es
decir, positivo siempre). En este caso hay que agregar que el valor real de x , como está hacia la
izquierda, es - x .
Se tiene entonces que
x es negativa
y es cero
r es igual a lo que vale x
(x ý - x)
(y ý 0)
(r ý x , r no tiene signo)
De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 180o son:
sen 180 =
y
0
=
=0
r
x
tan 180 =
y
0
=
=0
−x
−x
sec 180 =
r
x
=
= −1
−x
−x
cos 180 =
;
−x
−x
=
= −1
r
x
cot 180 =
;
;
−x
−x
=
=−∞
0
y
csc 180 =
Es decir, que
sen 180 = 0
tan 180 = 0
;
;
cos 180 = - 1
cot 180 = -
sec 180 = - 1
;
csc 180 =
r
x
=
=∞
0
y
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 53
d) PARA 270o
r debe girar para que
se haga 270
conforme r gira, x
se hace más pequeña.
θ se aproxima a 270º.
cuando
se hace 270,
r coincide con x y
y desaparece
= 270
-x
-y
-x
-y
r
-y
r
r
figura 2.22
De la figura 2.22 se deduce que cuando θ se hace 270 al girar r, entonces x = 0 y además r
mide lo mismo que y , o sea r = y por lo que tienen el mismo valor numérico, pero r sin signo,
es decir, positivo siempre. En este caso hay que agregar que el valor real de y, como está hacia
abajo, es - y.
Se tiene entonces que
x es cero
y es negativa
r es igual a lo que vale y
(x ý 0)
(y ý - y)
(r ý y ; r no tiene signo)
De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 270o son:
−y
r
−y
tan 270
=
x
r
sec 270 =
x
sen 270 =
−y
= −1
;
y
−y
=−∞
;
0
y
=
=∞
;
0
=
x
0
=
=0
r
y
x
0
=
=0
cot 270 =
−y
−y
r
y
=
= −1
csc 270 =
−y
−y
cos 270 =
Es decir, que
sen 270 = - 1
tan 270 = -
;
;
cos 270 = 0
cot 270 = 0
sec 270 =
;
csc 270 = - 1
página 54
Instituto Valladolid Preparatoria
En síntesis, los valores en los ejes son los siguientes:
0
90
180
270
sen
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
tan
0
∞
0
−∞
cot
∞
0
−∞
0
sec
1
∞
-1
∞
csc
∞
1
∞
-1