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TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 1
SEGUNDO BIMESTRE
página 2
1
FUNCIONES DE MAS DE 90 GRADOS
1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No
existen tablas para ángulos mayores de 90 grados.
Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, o
el coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonométrica mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mismo, los valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cuadrante.
Así, el valor del seno de 135 es sen 135 = 0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, lo
que puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45
se repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener el
valor del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente. Hay que tomar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje X positivo, avanzando en el sentido de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados respecto de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de las
funciones mayores de 90 grados.
Reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente
entre cero y noventa grados, algo así como "reducir la función desde un ángulo obtuso a un ángulo agudo". En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio de
ciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45.
La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: El ángulo original
de más de 90o (el ángulo obtuso) equivale al ángulo agudo que se forma en el cuadrante respectivo. Esto significa que existen siempre dos ángulos equivalentes al ángulo obtuso, como puede
verse en la figura 1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reducciones
deben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: respecto del eje X o respecto del eje Y .
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En todos los casos se tienen dos ángulos:
* Un ángulo obtuso (el ángulo original).
* Un ángulo agudo, respecto de X o respecto de Y (el ángulo reducido). Ver la figura
1.
Por otra parte, con la calculadora puede
comprobarse que si el seno de 225 es
sen 225 = − 0.707106781
numéricamente es el mismo que el seno de
45, solamente que cambiado de signo. Esto
hace ver que las funciones trigonométricas de
más de 90 grados, además de corresponder su
valor a una función que esté entre 0 y 90 grados, algunas son positivas y otras negativas.
Y
Ángulo equivalente
opción 2: por
el eje Y
Ángulo
equivalente
opción 1:
por el eje X
Ángulo
obtuso
(original)
X
En el segundo cuadrante
Y
Ángulo obtuso
(original)
El proceso de reducción consta de 2 pasos:
* el signo de la función ,
* la función equivalente, entre 0o y 90o.
1.2 SIGNOS DE LAS FUNCIONES
X
Ángulo equivalente
opción 1:
por el eje X
Ángulo
equivalente
opción 2: por
el eje Y
En el tercer cuadrante
Cada función trigonométrica, dependiendo
del cuadrante en el que estén, tiene un signo,
ya sea positivo o negativo.
Y
Se parte de las definiciones de las funciones
trigonométricas para ángulos agudos, que son:
seno =
coseno =
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
hipotenusa
X
Ángulo
equivalente
opción 1: por
el eje X
Ángulo
obtuso
(original)
Ángulo
equivalente
opción 2:
por el eje Y
En el cuarto cuadrante
figura 1
SEGUNDO BIMESTRE
página 4
tangente =
cotangente =
cateto opuesto
cateto adyacente
X
cateto adyacente
cateto opuesto
secante =
hipotenusa
cateto adyacente
cosecante =
hipotenusa
cateto opuesto
r
Y
X
figura 2
las cuales son, respecto de la figura 2:
sen θ =
y
r
;
cos θ =
x
r
tan θ =
y
x
;
cot θ =
x
y
sec θ =
r
x
;
csc θ =
r
y
SEGUNDO CUADRANTE
Conforme a la figura 3, se ve que en el segundo cuadrante X es negativa y Y positiva, de manera que
aplicando las definiciones anteriores se pueden deducir los signos que les corresponden a cada una de las
funciones trigonométricas, de lo que se obtiene:
sen θ =
+y
=+
+r
+y
tan θ =
=−
−x
-X
Y
r
−x
=−
+r
;
cos θ =
;
−x
cot θ =
=−
+y
-X
figura 3
sec θ =
+r
=−
−x
;
csc θ =
+r
=+
+y
Y
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TERCER CUADRANTE
Conforme a la figura 4, se ve que en el tercer cua
drante X es negativa y Y negativa, de manera que
aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma:
sen θ =
tan θ =
−y
=−
+r
cos θ =
−y
=+
−x
cot θ =
−x
=−
+r
-X
-Y
r
−x
=+
−y
-X
sec θ =
+r
=−
−x
csc θ =
+r
=−
−y
figura 4
CUARTO CUADRANTE
Conforme a la figura 5, se ve que en el cuarto cuadrante
X es positiva y Y negativa, de manera que aplicando las
definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la
siguiente forma:
sen θ =
−y
=−
+r
cos θ =
+x
=+
+r
tan θ =
−y
=−
+x
cot θ =
+x
=−
−y
+r
=+
+x
csc θ =
sec θ =
X
r
-Y
X
figura 5
+r
=−
−y
Resumiendo, los signos de las seis funciones trigonométricas en cada cuadrante se muestran en
la siguiente tabla, en donde puede apreciarse que se cumple una especie de ley de la herradura,
es decir que el signo del seno es el mismo que el signo de la cosecante en cualquier cuadrante;
el signo del coseno es el mismo que el signo de la secante en cualquier cuadrante y el signo de
la tangente es el mismo que el signo de la cotangente en cualquier cuadrante:
página 6
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1.3 FUNCIÓN EQUIVALENTE
Conviene en este momento recordar dos cosas: una, que reducir una función trigonométrica de
más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como
"reducir el ángulo obtuso a un ángulo agudo". La otra, que el proceso de reducción consta de dos
pasos: hallar el signo de la función y luego la función equivalente.
El proceso de reducción consiste en:
a) Asignar el signo de la función, de acuerdo al cuadrante en que esté (ver la tabla
anterior), y
b) tomar la función equivalente con el correspondiente ángulo reducido, es decir,
con el correspondiente ángulo agudo.
Es importante distinguir entre la función equivalente y el valor numérico de la función. Por
ejemplo, si sen 135 = sen 45 = 0.7077106781 , se dice que para el sen 135 su función equivalente es sen 45 , en cambio el valor numérico de sen 135 es 0.707106781. Cuando se hace o se
pide hacer una reducción, lo que importa solamente es la función equivalente, no el valor numérico de la función.
Ese ángulo equivalente reducido, o sea el equivalente entre 0º y 90º, puede estar tomado hacia
el eje X o hacia el eje Y. Cuando se hace hacia el eje X se dice que la reducción se hace por me-
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dio del eje X; de la misma forma, si el ángulo equivalente reducido que viene en tablas, se toma
hacia el eje Y , se dice que la reducción se hace por medio del eje Y.
1.3.1 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE X
EN EL PRIMER CUADRANTE
Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,
menores de 90o.
EN EL SEGUNDO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 6, es decir, el ángulo
obtuso (de más de 90 grados) que es el original y
un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el
ángulo reducido correspondiente, o al que se debe
reducir.
Ángulo agudo equivalente al original
Ángulo
obtuso
(original)
Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde θ representa
el ángulo obtuso original, son:
180 -
En el segundo cuadrante
sen θ = +
cos θ = !
tan θ = !
cot θ = !
sec θ = !
csc θ = +
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen (180 ! θ)
cos (180 ! θ)
tan (180 ! θ)
cot (180 ! θ)
sec (180 ! θ)
csc (180 ! θ)
sen 114
cos 133
tan 98
sec 169
csc 136
=
=
=
=
=
figura 6
+
!
!
!
!
sen (180 ! 114)
cos (180 ! 133)
tan (180 ! 98)
sec (180 ! 169)
csc (180 ! 136)
Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original.
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
sen 66
cos 47
tan 82
sec 11
csc 44
SEGUNDO BIMESTRE
página 8
EJERCICIO 1
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor
lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = sen (180 ! 125) = sen 55 .
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 174
sen 144
sen 121
17)
18)
19)
20)
5)
6)
7)
8)
sec 119
sec 109
sec 171
sec 130
cos 119
cos 159
cos 171
cos 139
21)
22)
23)
24)
csc 117
csc 131
csc 176
csc 143
9) tan 100
10) tan 108
11) tan 129
12) tan 147
13)
14)
15)
16)
cot 102
cot 154
cot 122
cot 172
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
tan 139
sec 166
csc 160
cot 122
csc 124
cos 120
sen 128
cot 133
EN EL TERCER CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 7, es decir,
el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que
es el original y un ángulo agudo (menor de
90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados,
donde θ representa el ángulo obtuso original,
son:
sen θ = !
cos θ = !
tan θ = +
cot θ = +
sec θ = !
csc θ = !
sen (θ ! 180)
cos (θ ! 180)
tan (θ ! 180)
cot (θ ! 180)
sec (θ ! 180)
csc (θ ! 180)
Ángulo agudo equivalente al original
Ángulo obtuso
(original)
- 180
Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
En el tercer cuadrante
figura 7
TRIGONOMETRÍA
Ejemplos:
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
1)
2)
3)
4)
5)
sen 214
cos 233
tan 198
sec 269
csc 183
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
sen (214 ! 180)
cos (233 ! 180)
tan (198 ! 180)
sec (269 ! 180)
csc (183 ! 180)
=
=
=
=
=
!
!
+
!
+
página 9
sen 34
cos 53
tan 18
sec 89
csc 3
EJERCICIO 2
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor
lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino
el proceso de reducción que es: sen 228 = ! sen (228 ! 180) = ! sen 48 .
1)
2)
3)
4)
sen 205
sen 194
sen 244
sen 251
17)
18)
19)
20)
sec 219
sec 199
sec 231
sec 239
5)
6)
7)
8)
cos 219
cos 199
cos 261
cos 239
21)
22)
23)
24)
csc 197
csc 191
csc 256
csc 183
9) tan 190
10) tan 208
11) tan 244
12) tan 217
13)
14)
15)
16)
cot 193
cot 205
cot 259
cot 245
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
sec 261
cos 230
cot 251
csc 258
csc 224
sen 200
tan 188
tan 233
EN EL CUARTO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 8, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo
agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o
sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde θ representa el
ángulo obtuso original, son:
Ángulo obtuso
(original)
360 Ángulo
equivalente
reducido
por el eje X
En el cuarto cuadrante
figura 8
SEGUNDO BIMESTRE
página 10
sen θ = ! sen (360 ! θ)
cos θ = + cos (360 - θ)
tan θ = ! tan (360 - θ)
cot θ = ! cot (360 - θ)
sec θ = + sec (360 - θ)
csc θ = ! csc (360 ! θ)
Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 294
cos 283
tan 298
cot 316
sec 330
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
sen (360 ! 294)
cos (360 ! 283)
tan (360 ! 298)
cot (360 ! 316)
sec (360 ! 330)
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
sen 66
cos 77
tan 62
cot 44
sec 30
EJERCICIO 3
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.
1)
2)
3)
4)
sen 275
sen 294
sen 344
sen 351
17)
18)
19)
20)
sec 319
sec 359
sec 310
sec 289
5)
6)
7)
8)
cos 319
cos 299
cos 321
cos 315
21)
22)
23)
24)
csc 297
csc 281
csc 276
csc 313
9) tan 290
10) tan 308
11) tan 344
12) tan 317
13)
14)
15)
16)
cot 272
cot 299
cot 306
cot 344
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
cot 359
sec 333
sec 302
sen 322
csc 324
tan 300
sen 348
cos 333
EJERCICIO 4: (generales)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el primer cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el segundo cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante.
Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante.
Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje X.
Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje X.
Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje X.
TRIGONOMETRÍA
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página 11
Reducir las siguientes funciones por medio del eje X:
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 194
sen 244
sen 321
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 199
cos 271
cos 309
9) tan 100
10) tan 208
11) tan 299
12) tan 347
13)
14)
15)
16)
sen 105
tan 243
csc 201
cos 339
17)
18)
19)
20)
cot 119
cot 199
cot 271
cot 309
21)
22)
23)
24)
sec 117
sec 191
sec 276
sec 343
25)
26)
27)
28)
csc 124
csc 200
csc 288
csc 333
29)
30)
31)
32)
cot 97
sec 184
tan 275
cot 347
33)
34)
35)
36)
sen 123
sen 199
sen 249
sen 332
37)
38)
39)
40)
cos 128
cos 194
cos 275
cos 308
41)
42)
43)
44)
tan 105
tan 238
tan 288
tan 340
45)
46)
47)
48)
cos 100
sec 200
cot 300
csc 316
49)
50)
51)
52)
cot 117
cot 196
cot 276
cot 329
53)
54)
55)
56)
sec 118
sec 193
sec 277
sec 348
57)
58)
59)
60)
csc 127
csc 230
csc 291
csc 330
61)
62)
63)
64)
tan 35
sen 61
cos 77
cot 12
1.3.2 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE Y
COFUNCIONES
Se dice que la reducción se hace por medio del eje Y cuando el ángulo reducido es respecto del
eje Y, como lo muestra la figura 1 de la página 3.
En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos
agudos es de 90 grados, de manera que si uno de ellos es θ, el
otro será (90 ! θ). Ver figura 9. En esa misma figura 9 se puede observar que las seis funciones trigonométricas del ángulo θ
son:
sen θ =
y
r
;
cos θ =
x
r
tan θ =
y
x
;
cot θ =
x
y
;
r
csc θ =
y
r
90 θ
θ
x
r
sec θ =
x
mientras que las del ángulo (90 ! θ) son:
figura 9
y
SEGUNDO BIMESTRE
página 12
sen ( 90 − θ ) =
x
r
;
cos ( 90 − θ ) =
y
r
tan ( 90 − θ ) =
x
y
;
cot ( 90 − θ ) =
y
x
sec ( 90 − θ ) =
r
y
;
csc ( 90 − θ ) =
r
x
de aquí se ve que las siguientes funciones son iguales:
sen θ = cos (90 ! θ)
cos θ = sen (90 ! θ)
tan θ = cot (90 ! θ)
cot θ = tan (90 ! θ)
sec θ = csc (90 ! θ)
csc θ = sec (90 ! θ)
alternos
internos
90 θ
90 θ
y
θ
Las funciones anteriores que son iguales se llaman cofunciones 1, es decir, el seno y el coseno con cofunciones; la
tangente y la cotangente son cofunciones; la secante y la
cosecante son cofunciones.
x
figura 10
En otras palabras, el seno de un ángulo θ medido respecto
del eje X es igual al coseno del ángulo (90 ! θ) medido
respecto del eje Y. Lo mismo puede afirmarse de la tangente de un ángulo θ medido respecto del
eje X que es igual a la cotangente del ángulo (90 ! θ) medido respecto del eje Y. Y de la secante
y la cosecante también. Ver figura 10.
Esta es la clave para la siguiente regla:
En toda reducción por medio del eje Y, la función trigonométrica a reducir cambia
a su respectiva cofunción.
1
El prefijo co viene de la preposición latina cum, que significa con y se emplea en el idioma Español para dar idea de
algo que actúa junto con... conjuntamente... en común. Por ejemplo, la palabra codirector significa director con otro;
la palabra coincidir significa incidir al mismo tiempo. Así, las cofunciones tienen en común la misma relación de dos
lados del triángulo; por ejemplo, el seno de θ y el coseno de ( 90 − θ ) tienen en común ser iguales a la relación y/r.
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
página 13
El proceso de reducción por medio del eje Y es semejante al que se hace por medio del eje X ,
es decir, primero se pone el signo que le corresponde a esa función de acuerdo al cuadrante en el
que esté y luego se busca el valor numérico.
EN EL PRIMER CUADRANTE
Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,
menores de 90o.
EN EL SEGUNDO CUADRANTE
Ángulo agudo equivalente al original
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 11, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un
ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el
ángulo reducido correspondiente, o al que se
debe reducir.
Ángulo equivalente
reducido por
el eje Y
- 90
De manera que las fórmulas correspondientes,
o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son:
En el segundo cuadrante
figura 11
sen θ = + cos (θ ! 90)
cos θ = ! sen (θ ! 90)
tan θ = ! cot (θ ! 90)
cot θ = ! tan (θ ! 90)
sec θ = ! csc (θ ! 90)
csc θ = + sec (θ ! 90)
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 114
cos 133
tan 98
sec 169
csc 136
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
cos (114 ! 90)
sen (133 - 90)
cot ( 98 - 90)
csc (169 - 90)
sec (136 - 90)
Ángulo obtuso
(original)
=
=
=
=
=
+
!
!
!
+
cos 24
sen 43
cot 8
csc 79
sec 46
Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.
SEGUNDO BIMESTRE
página 14
EJERCICIO 5
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor
lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = + cos (125 ! 90) = + cos 35 .
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 174
sen 144
sen 121
17)
18)
19)
20)
sec 119
sec 109
sec 171
sec 130
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 159
cos 171
cos 139
21)
22)
23)
24)
csc 117
csc 131
csc 176
csc 143
9) tan 100
10) tan 108
11) tan 129
12) tan 147
13)
14)
15)
16)
cot 102
cot 154
cot 122
cot 172
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
tan 139
sec 166
csc 160
cot 122
csc 124
cos 120
sen 128
cot 133
EN EL TERCER CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,
como se muestra en la figura 12, es decir, el
ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y
un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el
ángulo reducido correspondiente, o al que se
debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes,
o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde θ representa el ángulo obtuso original, son:
Ángulo obtuso
(original)
270
Ángulo
equivalente
reducido por el eje Y
En el tercer cuadrante
sen θ = ! cos (270 ! θ)
cos θ = ! sen (270 ! θ)
tan θ = + cot (270 ! θ)
cot θ = + tan (270 ! θ)
sec θ = ! csc (270 ! θ)
csc θ = ! sec (270 ! θ)
figura 12
TRIGONOMETRÍA
Ejemplos:
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
1)
2)
3)
4)
5)
sen 214
cos 233
tan 198
sec 269
csc 183
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
cos (270 - 214)
sen (270 - 233)
cot (270 - 198)
csc (270 - 269)
sec (270 - 183)
=
=
=
=
=
!
!
+
!
!
página 15
cos 56
sen 37
cot 72
csc 1
sec 87
EJERCICIO 6
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor númerico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor
lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino
el proceso de reducción que es: sen 228 = ! cos (270 ! 228) = ! cos 42 .
1)
2)
3)
4)
sen 205
sen 194
sen 244
sen 251
17)
18)
19)
20)
sec 219
sec 199
sec 231
sec 239
5)
6)
7)
8)
cos 219
cos 199
cos 261
cos 239
21)
22)
23)
24)
csc 197
csc 191
csc 256
csc 183
9) tan 190
10) tan 208
11) tan 244
12) tan 217
13)
14)
15)
16)
cot 193
cot 205
cot 259
cot 245
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
sec 261
cos 230
cot 251
csc 258
csc 224
sen 200
tan 188
tan 233
EN EL CUARTO CUADRANTE
Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 13, es
decir, el ángulo obtuso original (de más de
90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90
grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir.
De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para
ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde θ representa el ángulo obtuso
original, son:
Ángulo obtuso
(original)
-2
70
Ángulo
equivalente reducido
por el eje Y
En el cuarto cuadrante
figura 13
página 16
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA
SEGUNDO SEMESTRE
sen θ = ! cos (θ ! 270)
cos θ = + sen (θ ! 270)
tan θ = ! cot (θ ! 270)
cot θ = ! tan (θ ! 270)
sec θ = + csc (θ ! 270)
csc θ = ! sec (θ ! 270)
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
sen 294
cos 283
tan 298
cot 316
sec 330
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
cos (294 - 270)
sen (283 - 270)
cot (298 - 270)
tan (316 - 270)
csc (330 - 270)
=
=
=
=
=
!
+
!
!
+
cos 24
sen 13
cot 28
tan 46
csc 60
CONCLUSIONES:
Cuando la reducción se hace por medio del eje X:
1) La función trigonométrica se conserva.
2) Se utilizan los valores de 180 y 360 .
Cuando la reducción se hace por medio del eje Y:
1) La función trigonométrica cambia a su cofunción.
2) Se utilizan los valores 90 y 270 .
EJERCICIO 7
Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.
NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos
mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor
lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 328 no interesa que valga ! 0.529919264, sino
el proceso de reducción que es: sen 328 = ! cos (328 ! 270) = ! cos 58 .
TRIGONOMETRÍA
1)
2)
3)
4)
sen 275
sen 294
sen 344
sen 351
17)
18)
19)
20)
sec 319
sec 359
sec 310
sec 289
FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS
5)
6)
7)
8)
cos 319
cos 299
cos 321
cos 315
21)
22)
23)
24)
csc 297
csc 281
csc 276
csc 313
página 17
9) tan 290
10) tan 308
11) tan 344
12) tan 317
13)
14)
15)
16)
cot 272
cot 299
cot 306
cot 344
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
cot 359
sec 333
sec 302
sen 322
9) tan 100
10) tan 208
11) tan 299
12) tan 347
13)
14)
15)
16)
sen 105
tan 243
csc 201
cos 339
csc 324
tan 300
sen 348
cos 333
EJERCICIO 8: (generales)
1) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje Y.
2) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje Y.
3) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje Y.
Reducir las siguientes funciones por medio del eje Y:
1)
2)
3)
4)
sen 105
sen 194
sen 244
sen 321
5)
6)
7)
8)
cos 119
cos 199
cos 271
cos 309
17)
18)
19)
20)
cot 119
cot 199
cot 271
cot 309
21)
22)
23)
24)
sec 117
sec 191
sec 276
sec 343
25)
26)
27)
28)
csc 124
csc 200
csc 288
csc 333
29)
30)
31)
32)
cot 97
sec 184
tan 275
cot 347
33)
34)
35)
36)
sen 123
sen 199
sen 249
sen 332
37)
38)
39)
40)
cos 128
cos 194
cos 275
cos 308
41)
42)
43)
44)
tan 105
tan 238
tan 288
tan 340
45)
46)
47)
48)
cos 100
sec 200
cot 300
csc 316
49)
50)
51)
52)
cot 117
cot 196
cot 276
cot 329
53)
54)
55)
56)
sec 118
sec 193
sec 277
sec 348
57)
58)
59)
60)
csc 127
csc 230
csc 291
csc 330
61)
62)
63)
64)
tan 35
sen 61
cos 77
cot 12