Download Derivadas
Document related concepts
Transcript
LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES 1 TEOREMA Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0 2 PUNTOS CRITICOS Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0. Ejemplo: Determinar el punto crítico de: f ( x) x 3 x 1 3 2 3 Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b] 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c 3. Calcular f(a) y f(b) 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto. Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de: 1 f ( x) x 3x 1 en ;4 2 3 2 4 TEOREMA Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces: Si f ’(x) > 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a, b] 5 TEOREMA Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces: Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces f es estrictamente DECRECIENTE en [a, b] 6 Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f ( x) x 6 x 9 x 1 3 2 7 Criterio de la primera derivada Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces: i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c, entonces c es un punto de MÁXIMO local de f ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c, entonces c es un punto de MÍNIMO local de f 8 Ejemplo: Determinar los valores extremos locales de: f ( x) x 6 x 9 x 1 3 2 9 TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) > 0 + la gráfica de f es cóncava hacia arriba en x = c 10 TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) < 0 - la gráfica de f es cóncava hacia abajo en x = c 11 Punto de inflexión La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si: 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto 3 La concavidad cambia de sentido en c 12 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es continua • Si f ’’ cambia de signo 13 Ejemplo: Determinar: a) Intervalos de concavidad. b) Puntos de inflexión c) Trazar la gráfica de f Para: f ( x) x 6 x 9 x 1 3 2 14 Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual: f ’(c) = 0, entonces, Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local15