Download a n = a 1 + (n-1)

Sucesiones
Autor: Grupo Océano
Colaborador:
Prof. Lourdes Barreno Huffman
Portal Educa Panamá.
Concepto de sucesión



Una sucesión es un conjunto ordenado de
números que presenta una regularidad.
Conocida la relación existente entre ellos, es
posible calcular el siguiente número de
sucesión.
Un ejemplo de sucesión es 1, 3, 5, 7,… tal
como se puede observar, los términos están
relacionados de la forma que cada uno se
obtiene al sumar dos unidades al anterior, por
lo que siempre es posible calcular el siguiente
número de la serie:
1--------- 3 -------- 5 -------- 7
+2
+2
+2
Nociones Básicas
Para obtener el siguiente número se calcula
7 + 2 = 9. De este modo, con sucesivas sumas
de dos, se podrán añadir infinitos números a
esta sucesión.
 Las sucesiones se representan mediante una
letra, normalmente la a, seguida de la letra n
en el subíndice, del siguiente modo:

 an = 1, 3, 5, 7,..
Sucesiones


En una sucesión, cada término ocupa una posición
concreta. En la sucesión 1, 3, 5, 7,…el número 3
ocupa la segunda posición, lo que se expresa
como: a2 = 3. En la cuarta posición se encuentra el
número 7, y se representa mediante la expresión
a4 = 7.
Los tipos de sucesiones más frecuentes en
matemáticas son las progresiones aritméticas y las
progresiones geométricas.
Progresiones Aritméticas

Las progresiones aritméticas son un tipo
de sucesiones que se caracterizan
porque la diferencia entre dos de sus
números consecutivos es siempre la
misma. Esta cantidad constante se
conoce como diferencia o razón y se
representa mediante la letra d.
Ejemplos
En la sucesión 1, 3, 5, 7,…
 Por ejemplo, al restar dos términos
consecutivos, se obtiene siempre el
mismo resultado:
3–1=2
5–3=2
7–5=2
 El número dos es por lo tanto, la
diferencia de esta progresión aritmética.

Término General
 En
una progresión aritmética se
cumple, por definición, que cualquiera
de sus términos se obtiene al sumar la
diferencia al término anterior.
Término General
El término an que ocupa el lugar n, será
siempre igual al anterior más la diferencia d,
es decir, an= an-1 + d, para todos los valores
de n, salvo el inicial (a1), que no tiene un
término anterior. En consecuencia se tendrá:
 a2 = a1 + d
 a3 = a2 + d = a1 + d+ d = a1 + 2d
 a4 = a3+ d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
 Si se generaliza , se obtiene que para
cualquier n:
 an = a1 + (n-1) . d

an = a1 + (n-1) . d
Término
General
Primer término
de la sucesión
Diferencia
Término General
Esta expresión ( diapositiva anterior) se
conoce
con el nombre de término
general. Para hallar el término general
de una progresión aritmética, es
suficiente saber cuál es el primer
término de la serie y cuál la diferencia.
 Para averiguar, por ejemplo, el término
general de la progresión aritmética 7,
11, 15, 19… es necesario calcular en
primer lugar, la diferencia.

Calcular la Diferencia
Para ello, se restan dos números
consecutivos de la progresión:
 11- 7 = 4
La diferencia es d = 4. El primer término,
a, es igual a 7. El término general de una
progresión aritmética será, por tanto:
an = 7 + (n-1) . 4
Se elimina el paréntesis y se obtiene:
an = 7 + 4n - 4
Simplificar
Se simplifica la expresión anterior:
 an = 4n + 3
 Si se quiere hallar el valor que ocupa la
progresión en la posición 19, se
sustituye en el término general la letra n
por el número 19. En el caso del
ejemplo propuesto sería:
 a19 = 4 . 19 +3 = 79

Propiedad Fundamental
En una progresión aritmética de n
términos , las sumas de los pares de
términos equidistantes de los extremos,
 a1+ an, a2 +an -1, a3 + an-2…

Propiedad Fundamental

Tienen siempre el mismo valor. Se
puede comprobar que esta propiedad se
cumple en la siguiente progresión:
Progresiones Aritméticas
Cuando la progresión aritmética consta
de un número impar de términos, la
propiedad fundamental se cumple al
sumar el término central consigo mismo.
 En general, dados los
n primeros
términos de una progresión aritmética,
 a1, a2 , a3…..

Progresiones Aritméticas
Se cumple siempre que:
 a1+ an, a2 +an -1, a3 + an-2…
= ak + an-k+1
 Si se tienen en cuenta que:
 a1+ an = a1 + a1 + (n-1) . d
 Se deduce que todas las desigualdades
anteriores son a su vez, equivalentes a:
 2a1 + (n – 1).d

Progresiones Aritméticas

En la progresión 3, 7, 11, 15, 19, 23…
del ejemplo anterior se comprueba que
para el primer caso,

26 = 2 . 3 + (6 -1) . 4
Suma de Términos
Se trata de hallar una fórmula para
calcular el valor Sn = de la suma de los
términos de una progresión aritmética,
hasta un término an dado:
Sn= a1+ a2 + a3 + …an-1 + an

Suma de Términos
Para deducirla, se utiliza la propiedad
fundamental, antes expuesta.
El
desarrollo de Sn también se puede
escribir con los términos en orden
inverso, de la siguiente manera:
 sn = an + an-1 +… a3 + a2 + a1
 Si se suman ambas expresiones , se
tiene:
 sn + sn = ( a1+ an ) + (a2 + an-1 ) +….
 + (an-1 + a2 ) + ( an + a1 )

Suma de términos
Por la propiedad fundamental, se sabe
que los valores de cada uno de los n
paréntesis son el mismo, por lo cual se
deduce que:
 2sn = n . ( a1 + an ) y al despejar sn.



S N = ( a1 + an ) . n
2
Suma de Términos

Para calcular, por ejemplo la suma de
los 19 primeros términos de la
progresión aritmética 7,11, 15, 19 … se
puede aplicar esta fórmula:
s19 = ( a1 + a19 ) . 19
2
Suma de términos

Si se tiene en cuenta que :
 a1=
7
a19= 79
 Tal como ya ha sido calculado en un
ejemplo anterior, se obtiene:
 s19 = ( 7 + 79 ) . 19 = 817

2
