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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTÍN
GEMELLI
ÁREA MATEMÁTICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.
Galileo Galilei
ALGEBRA
GRADO NOVENO
2012
PGF03-R03
Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5
DE LO REAL A LO COMPLEJO ............................................................................................... 5
LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS NÚMEROS REALES ............................................ 6
EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL ................................................................. 8
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES........................................................................... 9
EXPONENTES RACIONALES ............................................................................................ 10
NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS ......................................................................... 16
NÚMEROS IMAGINARIOS ................................................................................................. 16
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS IMAGINARIOS ......................................................... 16
NÚMEROS COMPLEJOS ................................................................................................... 20
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO .................................................................... 21
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................... 22
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 26
RELACIONES Y FUNCIONES ............................................................................................... 26
RELACIONES Y PROPORCIONES.................................................................................... 27
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN ...................................................................................... 31
FUNCIÓN LINEAL............................................................................................................... 32
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................. 36
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ......................... 36
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.......................................................... 38
MÉTODO GRÁFICO. .......................................................................................................... 38
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. ............................................................................................ 42
MÉTODO DE IGUALACIÓN ............................................................................................... 43
MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN. ................................................................... 45
REGLA DE CRAMER.......................................................................................................... 46
UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 50
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................. 50
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS .............................................. 51
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS PROPIAS E IMPROPIAS ....................... 53
CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA
INCÓGNITA ........................................................................................................................ 53
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .................................................................... 63
FUNCIÓN EXPONENCIAL ................................................................................................. 65
FUNCIÓN LOGARÍTMICA ...................................................................................................... 68
UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 71
SUCESIONES Y PROGRESIONES ....................................................................................... 71
EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS ................................................. 72
SUCESIONES ..................................................................................................................... 74
TIPOS DE SUCESIONES ................................................................................................... 75
TÉRMINO GENERAL O TERMINO N-ÉSIMO........................................................................ 77
PROGRESIONES ............................................................................................................... 81
Interpolación de términos en una progresión aritmética ...................................................... 82
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .................................................................................... 85
Interpolación de términos en una progresión geométrica.................................................... 87
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 94
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PRESENTACIÓN
Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrolló
la primera edición de esta obra, en él se abarcan los conceptos básicos, definiciones,
ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se
han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el
desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones
propuestas.
El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar
leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas,
explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrecen
aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos.
Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo
largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia:
Pitágoras es uno de los más antiguos y famosos matemáticos. Todo el mundo recuerda su
famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más.
Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino
también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música.
Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas
muy potentes: los babilonios y los egipcios.
René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar
acontecimientos y fenómenos del universo. Sin duda Newton es el autor del primer paso de
la carrera espacial. Las Leyes descubiertas por él son las que han permitido al hombre poner
un pie en la Luna o enviar naves a Marte y Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter,
Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de telescopio ha permitido ver más lejos en el cielo. Él
junto a Leibniz, fueron los pioneros en el desarrollo de la más potente y maravillosa
herramienta matemática: el Cálculo.
Son muchísimos los pensadores que a lo largo de la historia han contribuido al desarrollo de
las matemáticas y han ampliado esta ciencia dividiéndola en disciplinas que permiten el
desarrollo científico y la comprensión del universo.
Comité Área de Matemáticas
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UNIDAD 1
DE LO REAL A LO COMPLEJO
UNIDAD 1 DE LO REAL A LO CO
PROPÓSITO
Identificar las relaciones y diferencias entre los diferentes conjunto de los números reales y
realizar operaciones aplicando sus propiedades.
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LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS NÚMEROS
REALES
Desde los tiempos remotos los humanos para contar objetos utilizaron los números. Estos
son los números naturales que se representan por la letra N La cantidad de números
naturales es infinita. El término número natural aparece por primera vez en 1763 en the
method of increments de Willian Emerson.
El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaban a este símbolo
sunya que quiere decir “vacío”. Los árabes que tenían relaciones comerciales con la india,
aprendieron la numeración india y la divulgaron en occidente. Los árabes lo denominaron
cefer que en su idioma quiere decir “vacio” Esta palabra dio origen al castellano cero y cifra.
La introducción de los números negativos es muy reciente. La mayoría de los matemáticos
de los siglos XVI y XVII no aceptaban los números negativos. Consideraban absurdo restar
12 de 0, y cuando una ecuación daba raíces negativas se consideraba esa solución como
imposible.
Un argumento de peso en contra de los números negativos se deriva de la proporción
(¿Cómo va ser un menor a un mayor como un mayor a un menor?).
La cantidad de números es infinita y hay misma cantidad de números naturales que de
números enteros.
Posteriormente, y también probablemente debido a las relaciones comerciales, aparecieron
los números que representan trozos de un todo que se ha dividido en partes iguales. Estos
números se llaman Racionales y se representan por Q. La cantidad de números irracionales
es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números racionales. Los
números racionales nos producen problemas porque no los “vemos” como un número, sino
como un número dividido por otro.
Los únicos números que había en los tiempos de Pitágoras eran los números naturales. Lo
que hoy conocemos como números fraccionarios eran considerados como una proporción
entre números. Un problema que se les presentó a los pitagóricos cuando intentaron medir la
diagonal de un cuadrado de lado 1 es que no se podían expresar con los números que
tenían. Era una longitud inconmensurable. Se dice que prohibieron revelar este
descubrimiento a sus discípulos, porque ellos defendían que todo se podía reducir a un
número. El primer número no racional que se descubrió fue
y el segundo .
Estos números se llaman irracionales algebraicos, porque se pueden obtener del algebra, por
ejemplo
se deduce de x2 = 2 y junto con los números trascendentes, los que no se
pueden obtener del algebra, por ejemplo
y el número e forman los números reales, se
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representan por R, la cantidad de números reales es infinita pero hay más números reales
que naturales.
El término número reales fue utilizado por Descartes en 1637.
HISTORIAS DE PI
Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es PI: 3,141592…
La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está íntimamente ligada al
número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores
aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones
de cifras de este familiar y extraño número.
Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él
descubrió la famosa fórmula del área del círculo: A = p· r2 . Y también el volumen y el área
de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi
aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo
aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones
numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una
omnipresencia casi mágica.
La resolución de ecuaciones del tipo x2 + 2 = 0, planteo el mismo problema que se les
presento a los pitagóricos, no existe ningún número, de los que hemos visto, que cumplan
con esta condición, por lo que fue necesario plantear otro tipo de números que llamamos
Complejos y se representa por C.
¿EN QUE SE APLICA?
El conjunto de los números reales enriquece el campo de las aplicaciones de las
matemáticas y en la actualidad es fundamento de varias teorías, porque ha contribuido al
avance y desarrollo de las ciencias físicas. Sobre este conjunto se trabaja el cálculo integral y
diferencial y es un instrumento poderoso para solucionar problemas que surgen en física,
astronomía, ingeniería, química y en otros campos, incluyendo algunos de las ciencias
sociales.
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TENIENDO COMO BASE EL TEXTO ANTERIOR CONTESTAR LAS SIGUIENTES
PREGUNTAS
1. ¿Cómo se crearon los números enteros, cual es su símbolo y de donde proviene el
símbolo?
2. ¿Cómo denominaban los indios el cero? ¿Qué significa?
3. ¿Qué palabra dio origen al castellano cero y cifra?
4. ¿cuándo consideraban una solución como imposible los matemáticos de los siglos XVI
y XVII?
5. ¿Que son los números racionales y como se simbolizan?
6. ¿Cuáles fueron los primeros números irracionales?
7. ¿Que son los números trascendentes?
8. ¿Quién uso el término números reales y en qué fecha?
9. ¿Por qué se crearon los números complejos? ¿cómo se representan?
10. ¿Cuántas proposiciones tiene la lectura?
EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL
Cualquier número racional (Q) puede representarse por un número decimal periódico. Para
expresar un número racional en forma decimal se divide el numerador entre el denominador
en la forma usual. Y cualquier decimal periódico, puede representarse por un número
racional
Por ejemplo:
13 = 3,25
0,212=7
4
33
Sin embargo también existen expresiones decimales como:
0,100100010000…
01,123456789101112…
3,14159265358979323846
Que son infinitas no periódicas: Estas expresiones decimales corresponden a los números
irracionales (I)
Son irracionales por ejemplo: todas las raíces no exactas, los números
π = 3,14159265358979323846
e= 2.71828182
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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
Para todo número real a: a n = a x a x a x ax … x a (n veces)
Propiedades:
ao = 1 para todo a ≠ 0
= a m-n
am . a n = a m+ n
(a m)n = a m . n
)n=
(ab)n = a n b n
a–n =
,a≠ 0
RADICALES
Si a, b Є R y n es un número entero positivo tal que b
n-ésima de a.
Se escribe,
=
=a
x
n
= a, entonces b se llama la raíz
=
=
=
Radicales semejantes: Dos radicales son iguales si tienen el mismo índice y la misma
cantidad subradical
Operación con radicales: Para operar los radicales se deben tener en cuenta:
Sólo se pueden sumar o restar radicales semejantes
Sólo se pueden multiplicar o dividir radicales del mimo índice
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EXPONENTES RACIONALES
Si m y n son enteros con m ≠ n y n › 0, entonces
=
,
si empre y cuando exista
y a y m no sean ambos iguales a cero.
ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES
Dos magnitudes son conmensurables si la razón entre sus medidas se puede expresar como
un número racional. En cambio son magnitudes inconmensurables aquellas que no se
pueden expresar como el cociente de dos números enteros.
En la práctica, siempre podemos comparar dos magnitudes y encontrar una razón exacta o
aproximada entre sus medidas. Pero siendo riesgoso no siempre es posible.
Además de las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, hay otros
números irracionales de gran importancia como son: el número
, que corresponde a la
razón entre la medida de la circunferencia y el diámetro; también el número áureo y el
número e, bese de los logaritmos neperianos.
Numero
Uno de los problemas clásicos de la antigüedad consistía en tratar de encontrar un cuadrado
cuya área fuera igual a la de un círculo. Este problema se conocía como la cuadratura de un
círculo. Este problema rondo en las cabezas de los matemáticos durante más de 20 siglos
sin encontrar respuesta alguna. Pero los intentos por resolverlo contribuyeron a enriquecer la
matemáticas.
La respuesta a este problema está relacionada con el número conocido
. Esta griega
representa la razón entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro
=
Es más conocida la siguiente expresión:
Perímetro = 2
r
Donde r es el radio de la circunferencia.
Para hallar el valor de
consideramos una secuencia de polígonos regulares inscritos en
una circunferencia.
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Entre mayor sea el número de lados del polígono inscrito, su perímetro es más próximo al de
la circunferencia. Podría considerarse la circunferencia como un polígono con infinito número
de lados.
La siguiente tabla muestra los valores aproximados de la razón entre el perímetro y el doble
del radio de valor uno o diámetro.
Numero de lados
3
Perímetro
5,19
Perímetro sobre el 5,595
doble del radio
4
5
6
8
5,65
2,825
5,87
2,935
6
3,0
6,12
3,06
El valor aproximado del número
Si continuamos el proceso obtendríamos un valor de
cada vez más preciso,
lamentablemente este procedimiento no tiene fin, de modo que no sabremos cuales el valor
exacto de
sin embargo consideremos como una buena aproximación, el número
= 3,1416
El valor de e:
Aunque existen infinidades de número irracionales, el número conocido como e es muy
importante en la matemática. Su descubrimiento fue posterior al número
. Se escogió la
letra e en memoria del matemático suizo Leonard Euler (1707 - 1783) y se conoce como
“numero Euler”. La demostración de su irracionalidad fue dada en 1873 por Charles Hermite.
Hay una formula sencilla para calcular su valor:
e=
En donde el símbolo Se conoce como factorial y representa el producto del número entero
por su antecesor hasta el uno.
3 = 3x2x1 = 6
6 = 6x5x4x3x2x1 = 720
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MODELACIÓN
Otra manera de representar el número e es:
e = (1 +
)n cuando n es muy grande
Veamos la siguiente tabla:
n
e = (1 +
)n
1
2
2
2,25
3
4
8
2,37 2,44 2,56
10
2,59
100
2,70
1000
10000
2,7169 2,7181
El numero e tiene muchas aplicaciones en el campo del cálculo y el análisis. Uno de sus
usos se da en los logaritmos. Los logaritmos más utilizados tienen base 10 (logaritmos
vulgares) y base e (logaritmos naturales).
Los logaritmos naturales o neperianos son muy utilizados y su notación es Ln que es log e es
decir, logaritmo en base e.
RECUERDA:
Números naturales (N): números con los que contamos. También se llaman enteros
positivos:{1,2,3,…}
Números enteros (Z): es el conjunto de todos los números naturales con sus opuestos
(negativos) y el cero: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Números racionales (Q): conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en
la forma a/b, donde a y b son enteros, y b ≠ 0
Números irracionales (I): conjunto formado por todas las raíces no exactas de números
naturales y en general por números que no se pueden expresar como el cociente de dos
enteros: {¶, e, √2, √3, … }
Números reales (R): Conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales.
Escribe en cada casilla a cuál de los conjuntos numéricos pertenecen cada número.
N
Z
Q
I
C
-6
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e
Resuelve cada una de las ecuaciones y di a que conjunto numérico pertenece.
 x+2=3
 4x = 2
 x+8=4
 x2 = 2
 4x = 16
 x2 = -1
Consulta:
1. ¿Qué característica tiene un número irracional?
2. Escribe tres números irracionales con una aproximación de 10 cifras decimales
3. Completa la siguiente tabla que relaciona radio y perímetro.
Radio (cm)
Perímetro
3,1
5,4
9,1
9,2
11,5
12,8
(P=2 r)
22,9
30,1 40
4. Halla el valor de e para n = 5, para n =7 y n = 9
5. Hallar los siguientes números factoriales
a.6
b. 5
c. 11
d. 9
e. 0
6. Resuelve el siguiente problema:





Cinco elefantes = dos cerditos
Un cerdito + un gato = un perro
Un elefante + un gato= una cebra
Cuatro cerditos + dos elefantes = dos perros
Cuatro cebras + tres perros = cinco gatos + siete cerditos + un elefante
Si cada elefante vale 2, ¿Cuáles son los valores de cebras, perros, gatos y cerditos?
7. De la siguiente serie de raíces cuadradas indica cuáles representan números racionales y
cuáles números irracionales
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Q
I
Q
I
8. ¿Cuáles de los
irracionales?
a.
b.
c.
d.
siguientes
decimales
representan números racionales y cuales
0,500500500500…
0,1234567890112345678…
3,142857142857142857…
1,2112111211112111112…
9. En cada una de los siguientes ejercicios aplica las propiedades de la potenciación y
simplifica:
(-3)3=
-2-1 + (-1)2 =
(x3)4 (y3)4 (x3)6=
=
(
)4 =
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NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS
NÚMEROS IMAGINARIOS
A lo largo de nuestros estudios de los sistemas numéricos hemos encontrado que cada vez
que deseamos resolver ecuaciones más complejas, el conjunto numérico en el cual se
plantea ecuaciones es limitado y la solución no cae dentro de dicho conjunto.
Así paso con los números naturales, fue necesario ampliar los números a los números
enteros para resolver ecuaciones de la forma a + x = b en el cual
a > b. las ecuaciones
multiplicativas en los enteros no todas tienen solución en este conjunto, fue necesario
ampliar a los números racionales para encontrar la solución a las ecuaciones de la forma ax
= b.
En forma similar al tratar de resolver ecuaciones en los números racionales encontramos que
ecuaciones de la forma x2 = 2, no tienen solución en los racionales porque x = √2 no es un
número racional. Nuestro nuevo conjunto fue el de los números reales.
Con la ecuación x2 + 1 = 0 en el conjunto de los números reales sucede algo similar. Las
ecuaciones de la forma x2 + a = 0 no tienen solución, cuando a > 0 pues x2 = -a de donde x
= .
Como no existe un número real que al elevarlo al cuadrado, de cómo resultado un numero
negativo, es necesario extender el conjunto de los números reales de tal manera que esta
ecuación tenga solución.
Definimos como i la solución de x2 + 1 = 0 es por lo tanto que x = i
De igual manera la solución de la ecuación x2 + 4 = 0 tiene por solución
x=
como
=
=
; entonces
2i es un número imaginario.
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS IMAGINARIOS
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Las operaciones entre números imaginarios son las mismas operaciones entre números
reales.
Adición y sustracción de números imaginarios
Los números imaginarios se suman con el procedimiento de reducción de términos
semejantes:
MODELACIÓN
Hallar la suma de:
9i con 3i
-29i con 15i
15i con – 45i
Solución:
9i con 3i = 12i
-29i con 15i = -14i
15i con – 45i = -30i
Producto de números imaginarios
En la multiplicación de números imaginarios debemos tener en cuenta el producto de
potencias de igual base y encontrar los valores de la potencia de i.
Las potencias de i son: 1, -1, i, -i
i3 = i2 x i = -1 xi =-i i4 = i2xi2 = -1x-1=1
i=
i2 =
Primera potencia
Segunda potencia Tercera potencia
= -1
Cuarta potencia
Las potencias de i mayores que cuatro toman uno de los valores ya conocidos de las
potencias menores o igual que 4. i5 = i4 x i = 1 x i = i
MODELACIÓN
Hallar los siguientes productos
6i2 x 2i3
12i3 x 4i
Solución
(6x2)(i2 x i3) = 12((-1)(-i)) reemplazamos según la tabla ya vista
= 12(i) = 12i
3
(12x4)(i x i) = 48i4 = 48(i2 x i2) = 48((-1)(-1)) = 48(1) = 48
La idea es reemplazar la con la ayuda de la tabla, que son los valores ya conocidos.
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Cociente entre números imaginarios:
Se aplica el cociente de potencias de igual base y se escribe la potencia de i que resulta
según los cuatro valores conocidos.
MODELACIÓN
Hallar los siguientes cocientes
b.
c.
Solución:
(8 4)(i4-2) = 2i2 = 2(-1) = -2
(12 4)(i3-6) = 3i-3
=
debemos convertir el exponente en positivo.
reemplazando según la tabla i3 = - i
=i5-6 = i-1 =
=
Observaciones
La suma o diferencia de dos números imaginarios es otro numero imaginario. Siempre y
cuando no sean opuestos aditivos.
El producto o cociente de números imaginarios puede ser un número real o un número
imaginario.
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1. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones expresando las cantidades imaginarias.
a. x2 + 1 = 0
b. x2 + 16 = 0
c. 2x2 + 1 = 0
d. x2 + 25 = 0
e. x2 + 4 = 0
f. 5x2 + 625 = 0
2. Realizar las siguientes sumas de números imaginarios
a. 9i + 11i + 6i
b. -15i + 32i – 16i
c. 27i + 192i – 4i
d. 18i – 43i + 55i
e. 17i + 56i+ 18i
f. -28i – 64i – 5i – 11i
g. -29i + 55i – 18i + 37i
h. 79i – 87i – 65i – 120i
i. 450i – 335i + 887i – 1150i
3. Realiza las siguientes multiplicaciones de números imaginarios
a. 7i x 2i2
b. -5i3 x 4i
c. 10i x 30i
d. 25i x 7i
e. 6i x (3i – 2i)
f. 12i x 23i x (-5i)
g. i x i x i2
h. 33i x (-115i)
i. 5i2 x 121i2
4. Realizar las siguientes operaciones
a.
b.
c.
d.
e.
(-4i + 7i) x (12i + 7i)
(-4i) – 8i) x (-119i + 16i)
(-5i + 12i) x (6i + 9i)
(34i + 11i) x (-7i - 21)
(34i + 11i) x (-2i -13i)
5. Encuentra el valor el valor de las potencias negativas de i:
a. i-1
b. i2
c. i-3
d. i-4
e. i-5
f. i-6
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NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo es una expresión que consta de un número real sumado a un número
imaginario.
MODELACIÓN
8 + 12i
-6 + 7i
4 – 9i
En general los números complejos son de la forma a + bi donde a y b son números reales e i
es el imaginario y el conjunto que los contiene es C.
a + bi es un número complejo y 0 + bi también es un numero complejo.
El sumado real del número complejo se llama parte real, y el término que contiene a la i se
llama parte imaginaria.
En el numero 6 + 8i la parte real es 6 y la parte imaginaria es 8i.
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos números complejos son iguales si sus respectivas partes reales y partes imaginarias son
iguales entre sí:
a + bi = c + di si y solo si a = c y bi = di
MODELACIÓN
Si los números complejos 2m + (5n - 1)i y 4 – 2i son iguales, encontrar el valor de m y n
Solución
Por definición las partes reales deben ser iguales entonces
2m = 4
m=
=2
Igual con las partes imaginaria
5n – 1 = -2
5n = -2 + 1
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5n = -1
n=
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene igual la parte real
pero la parte imaginaria es el opuesto aditivo.
El conjugado de a + bi es a – bi y se denota con una raya arriba del numero complejo
= a - bi
MODELACIÓN
Hallar el conjugado de los siguientes números complejos
12 + 4i
-6 + 8i
13 – 9i
-8 – 10i
Solución:
= 12 – 4i
= -6 – 8i
= 13 + 9i
= -8 + 10i
ORDEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Para poder establecer un orden en cualquier conjunto debemos estar en capacidad de
decidir cuando un número es mayor que otro. Entre dos números complejos, no podemos
decidir cuando un número es mayor, por ello se dice que el conjunto de números complejo no
está ordenado.
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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Adición y sustracción con números complejos
La adición y la sustracción con números complejos se realiza de idéntica forma a la de
reducción de términos semejantes, basta sumar respectivamente sus partes reales e
imaginarias.
Se conmutan los términos y se reducen términos semejantes, así.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
MODELACIÓN
(2 + 3i) + (6 – 8i)
(-5 -12i ) + (5 + 13i)
Solución:
(2 + 6) + (3 - 8)i = 8 + (-2i) = 8 – 2i
(-5+5) + (-12 +13)i = 0 + i = i
Producto de números complejos
Para realizar el producto entre números complejos se aplica la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto a la adición y sustracción.
MODELACIÓN
Multiplicar (7 – 6i) x (3 – 9i)
Solución
Se multiplica cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor,
así:
(7 – 6i) x (3 – 9i) = 7 x (3 – 9i) – 6i(3 – 9i)
= 21 – 63i – 18i + 54i2
se realizo el producto respectivo y debemos tener en cuenta
2
que i = -1 luego tenemos,
= 21 – 63i – 18i + 54(-1) = 21 – 63i -18- -54 Reducimos temimos semejantes
= -33 – 81i
(7 – 6i) x (3 – 9i) = -33 -81i
En general, si a + bi y c + di son números complejos el producto
(a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i
MATEMÁTICAS – Algebra 9
22
PGF03-R03
División de números complejos
Para realizar la división entre números complejos se escribe la división como un cociente
indicado luego se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
MODELACIÓN
Efectuar (4 + 5i)
(3 – 2i)
Solución:
Se escribe la división en forma de
(4 + 5i)
fracción
(3 – 2i) =
Se
multiplica
numerador
y
denominador por el conjugado del
denominador
Se efectúa el producto
Se observa que en el denominador la
parte imaginaria desapareció ya que
al multiplicar un complejo por su
conjugado este da un número real.
1. Al sumar un número real con un número imaginario a que conjunto pertenece este nuevo
número.
2. Explica la razón matemática del surgimiento de los números enteros, racionales, reales y
complejos.
3. Determina la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos.
a. 11 +5i
b. -6 + 8i
c. 4i + 5
d. 16i -18
e. 18 – 2i
f.
- 9i
g.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
23
PGF03-R03
4. Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son falsas o verdaderas y justifícalas
con un ejemplo.
a. Todo número real es complejo
b. Todo número imaginario es complejo
c. Algunos números reales son imaginarios
d. Algunos números complejos son reales
e. El cero no es complejo
f. El producto de un número real y un imaginario es un número complejo
g. Es lo mismo 2 + 6i que 6i + 2 por la propiedad conmutativa
5. Hallar el valor de x e y de manera que cumpla la igualdad.
a. 11x + 9yi = 33 – 27i
b. 6x + 7yi = -45 – (3 + 28i)
c. 4x + yi = -21 d. (x - 1) = +8yi = -10 – 46i
6. Hallar el conjugado de:
a. 9 – 8i
e. -100 – 2i
b. -12 + 9i
f. 65
c. 13 – 4i
d. -12 – 16i
g. -5i
h. -
7. Responde y justifica con un ejemplo:
a. ¿Cuál es el conjugado del conjugado de m + ni?
b. ¿Dos complejos distintos pueden tener el mismo conjugado?, Explica
c. ¿El conjugado de un número complejo puede ser el mismo número?
d. ¿Todo número complejo tiene conjugado?
e. ¿Al intercambiar la parte real con la imaginaria se obtiene el conjugado?
f. ¿Puedes encontrar un subconjunto de C que este ordenado?
MATEMÁTICAS – Algebra 9
24
PGF03-R03
8. Realiza las siguientes sumas de números complejos.
a. (5 + 9i) + (6 + 8i)
b. (-4 – 2i) + (- 7 + 2i )
b. (-16 + 5i) + (12 + 2i)
d. (110 + 15i) + (-8 – 47i)
c. (27 + 33i) + (2 + 16i)
d. (
)+(
f. (9 + 4i) + (-4 -
)
)
g. (
) + (-
)
9. Realiza los siguientes productos.
a. (2 – 5i) x (22 + 2i)
d. (18 + 5i) x (
b. (5 + 4i) x (6 – 6i)
)
e. (
)x
c. (7 – 8i) x (8 – 5i)
)
10. Realizar los siguientes cocientes
a.
b. b.
c. c.
d. d.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
25
PGF03-R03
UNIDAD 2
RELACIONES Y FUNCIONES
PROPÓSITOS
 Soluciona sistemas de ecuaciones lineales por cualquier
método; gráfico, reducción, sustitución, igualación.
 Analizar y resolver problemas que originan sistemas de
ecuaciones lineales.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
26
PGF03-R03
RELACIONES Y PROPORCIONES
Todo aquello susceptible de ser medido es una magnitud, el largo de una cancha de futbol,
la edad de una persona, la velocidad de un automóvil, el peso de un objeto, la corriente
eléctrica que circula por un conducto, la presión del aire, el volumen de un cuerpo, son todas
magnitudes por que se pueden medir con una unidad patrón.
Los fenómenos de la naturaleza, los experimentos científicos y las acciones de la vida
cotidiana relacionan unas magnitudes con otras. En algunos casos encontrar la ley o regla
que rige a esta relación es algo difícil pero en la mayoría de los casos una sencilla fórmula
matemática expresa la ley que relaciona dos o más magnitudes.
En la vida cotidiana encontramos a menudo situaciones de relaciones y correspondencia
entre elementos de dos conjuntos diferentes así:

Al entrar a un supermercado, a cada artículo le corresponde un precio único.

Dentro del flujo de carros de cualquier ciudad a cada automóvil le corresponde un único
número de placa.

A cada cuerpo sólido le corresponde un valor por su volumen, etc.
La ciencia establece relaciones y correspondencias entre los diferentes fenómenos de la
naturaleza para poder establecer diferentes pronósticos, y así llevar a cabo las funciones
entre dos o más variables. Una vez que se obtengan resultados se pueden representar en
gráficas para mirar el crecimiento o decrecimiento de una situación dada.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
27
PGF03-R03
Proporcionalidad directa.
Dos magnitudes X e Y, se dicen que son “directamente proporcionales entre sí”, o que
están a razón directa, si al aumentar(o disminuir) la magnitud de una de ellas, aumenta(o
disminuye proporcionalmente la magnitud de la otra. La relación de proporcionalidad directa
entre dos variables X e Y se define matemáticamente por la ecuación:
X es directamente proporcional con Y sí y solo si:
k
x
y
Proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes X e Y, se dicen que son inversamente proporcionales entre sí, sí al
aumentar(o disminuir) la magnitud de una de ellas, disminuye(o aumenta
proporcionalmente la magnitud de la otra. La relación de proporcionalidad directa entre dos
variables X e Y se define matemáticamente como sigue:
X es inversamente proporcional con Y sí y solo si:
XY= k
5. Problemas de proporcionalidad. Todo problema de proporcionalidad implica una
relación entre dos variables X y Y, donde se presenta tres datos conocidos (a, b y c) y se
pregunta por un cuarto dato desconocido (x). Esta información se pude ser resumir en
una tabla como sigue:
Variables
X
Y
c
a
Datos
b
x
Sí la relación que se establece entre las variables X e Y es directamente proporcional, al
valor de la incógnita se determina con el producto cruzado de los datos; y si son
inversamente proporcionales, se determina con los productos paralelos como se muestra
en los esquemas a continuación:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
28
PGF03-R03
X es directamente proporcional con Y sí:
X es inversamente proporcional con Y
sí:
Dir.
VAR: X
a
b
Y
c
x
Inv.
bc  datos no ligados
a
VAR:
X
a
Y
c
b
x
 datos ligados a
a c
x = ------b
ax = bc
x = b.c
a
MATEMÁTICAS – Algebra 9
29
PGF03-R03
1. Si 12 litros de pintura cuestan $24.000, ¿cuánto costarán 9 litros?
2. Si 20 mecánicos arman 12 máquinas en un día. ¿Cuántos mecánicos se necesitan para
armar en un día 4 máquinas?
3. En un establo con 50 animales, el alimento dura 18 días. ¿Para cuantos días alcanzaría
la misma cantidad de alimento si los animales fueran 70?
4. Un grifo que da 0,7 litros de agua por segundo llena un estanque en 14 horas. ¿Cuánto
tiempo tardaría en llenarlo un grifo que da 0,6 litros por segundo?
5. Para alimentar 2 caballos durante 20 días se necesitan 174kg de alimento. ¿Cuántos kg.
de alimento se necesitarán para alimentar 15 caballos durante 40 días?
6. Un caminante recorre 120 km andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas
diarias tendrá que caminar para recorre 192 km en 12 días?
Producto Cartesiano:
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En
particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto
de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a
Y: El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la
geometría analítica dio origen a este concepto.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
30
PGF03-R03
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN
Una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma unívoca. La primera de
esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente.
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar
ambas variables (dependiente e independiente).
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de
estas expresiones: D(f), Dom(f).
Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar
la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El
recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones:
R(f), Rango(f), Im(f)
Escriba 5 ejemplos de relaciones o funciones de la vida cotidiana
MATEMÁTICAS – Algebra 9
31
PGF03-R03
FUNCIÓN LINEAL
Las funciones que se representan mediante rectas son las lineales. Su expresión general es:
y  mx  b
Donde m es la pendiente de la recta, es decir, un valor que indica la variación de la y por
cada unidad que aumenta la x. La representación gráfica de la función f, es una recta cuya
pendiente es el coeficiente de x e intercepta al eje y en el punto b
También se representan mediante rectas las funciones constantes, y = k. Son funciones
lineales con pendiente cero.
Un conjunto de ecuaciones lineales se llama “Sistema de Ecuaciones Lineales”; donde están
los sistemas de 2x2 los cuales son de dos ecuaciones y dos incógnitas o los sistemas de
ecuaciones de 3x3 que son los de tres ecuaciones y tres incógnitas.
Pendiente de una recta (m).
La pendiente de una recta que pasa por el origen P  (0,0) y cualquier otro punto del plano,
se puede calcular aplicando la definición de pendiente para dichos puntos.
MODELACIÓN 1. si la recta pasa por P1  3,4 y por el origen P0  0,0 , la pendiente será
m
y2  y1 4  0 4


x2  x1 3  0 3
Significa que por cada tres unidades de avance vertical, la recta avanza horizontalmente
cuatro unidades.
La pendiente de una recta también se puede expresar en porcentajes. Así, una pendiente de
3
equivale al 75% de pendiente.
4
MATEMÁTICAS – Algebra 9
32
PGF03-R03
MODELACIÓN 2. Si la recta pasa por el origen P0  0,0 y por el punto P1   2,8 , la
pendiente será:
m
y2  y1
08

 4
x2  x1 0  (2)
Observa que el valor de la pendiente no depende del cuál punto se tome como coordenadas
P2  x2 , y2  y cuál como coordenadas P1  x1, y1 
CONCLUSIONES
Si x representa cualquier variable independiente y y representa la variable dependiente y si la
relación entre y y x es tal que su representación gráfica es una recta, la ecuación que
expresa a y en función de x es:
y  mx  b .
y  f (x) Se lee, y en función de x:
f ( x)  mx  b ; y  mx  b .
Donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección de la recta con el eje y.
1. Escribe la unidad en que se mide cada una de las siguientes magnitudes:
Temperatura
* Calor
* Tiempo
* Energía
2. Representa cada parejas de rectas en un plano de coordenadas cartesianas:
a. y  3 x ;
y  3x  1
MATEMÁTICAS – Algebra 9
33
PGF03-R03
3. ¿Cada pareja de rectas tienen la misma pendiente?
4. Dibuja las rectas que pasan por los puntos p1 = (1,2) y p2 = (7,11).
a. Dibuja el triangulo rectángulo cuya hipotenusa tiene por extremos los puntos p1 y p2
b. Traza los catetos determinados por el avance vertical y el avance horizontal de la
recta.
c. Calcula el valor del avance vertical y del avance horizontal.
d. Divide el avance vertical entre el avance horizontal.
e. Encuentra el valor de la pendiente.
5. Calcula el valor de las pendientes de las rectas que pasan por el origen P0  0,0 y por
el punto dado a continuación:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
34
PGF03-R03
6. Se compra cierta mercancía a crédito. Se abona el 25% de cuota inicial y el saldo se
paga en cuotas del 5% mensual.
a. Haz una grafica del porcentaje pagado de la mercancía contra tiempo
b. ¿En qué punto corta la recta al eje vertical?
c. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
7. En la siguiente gráfica, encuentra la pendiente de cada recta:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
35
PGF03-R03
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
Para la solución de ecuaciones de primer grado tener en cuenta los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
1. Solucionar las siguientes ecuaciones:
a.
b.
c.
d.
e . 6 X + 7 = 7X + 6
MATEMÁTICAS – Algebra 9
36
PGF03-R03
2. Solucionar los siguientes problemas (PLANTEA LA ECUACIÓN RESPECTIVA Y
SOLUCIONA VERIFICA TU RESPUESTA)
Desde el siglo XVII aC. Los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver
ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de
ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas
En el siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para
resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas
y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer
grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero
utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.
Alrededor del siglo I dC. Los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que
significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones
de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con
su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.
DEFINICIÓN: Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto formado por más de una
ecuación. Los sistemas se denotan de acuerdo con sus dimensiones. Si un sistema de m
ecuaciones con n incógnitas el sistema se llama de dimensiones m x n.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
37
PGF03-R03
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
MÉTODO GRÁFICO.
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y es de la forma:
Las gráficas correspondientes a cada una de las ecuaciones, son líneas rectas.
Al trazar estas dos líneas rectas en el mismo plano de coordenadas cartesianas se
Pueden presentar las siguientes situaciones:
dada por las coordenadas del punto de
corte.
Que las dos rectas se cortan. En este caso
la solución del sistema de ecuaciones está
MATEMÁTICAS – Algebra 9
38
PGF03-R03
Que las dos rectas sean paralelas y no
coincidan. En este caso como no hay
punto de corte el sistema no tiene solución.
Que coincidan. En este caso el sistema
tiene infinitas soluciones y se dice que las
ecuaciones son equivalentes y que
corresponden a la misma recta.
Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un
sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano
xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas.
Ejemplo:
Estas dos rectas se cortan en el punto (REALIZANDO LA TABULACIÓN RESPECTIVA Y
GRAFICANDO TENEMOS):
MATEMÁTICAS – Algebra 9
39
PGF03-R03
Por tanto la solución es el punto de intersección, luego las coordenadas son:
MODELACIÓN: Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones lineales:
x y 9
x  5 y  25
Solución. Se trazan las gráficas de las dos
ecuaciones en un mismo plano cartesiano y
encontramos las coordenadas del punto de
intersección, si existe. Las rectas se intersecan en
el punto (5,4). Luego: la solución del sistema es el
par de ordenado (5,4) o x = 5 y y = 4.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
40
PGF03-R03
Cuando se resuelve gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, al
trazar las rectas en el mismo plano se presentan tres casos:
1. Las dos rectas se intersecan en un punto, cuando esto ocurre, el sistema se dice que es
consistente y tiene una única solución, el punto de intersección.
2. Las dos rectas son paralelas: como las rectas no se intersecan, el sistema no tiene
solución y se dice que es inconsistente.
3. Las ecuaciones son formas diferentes de expresar la misma recta. El sistema es
consistente y tiene un número infinito de soluciones. El sistema también se dice que es
dependiente.
1. Realizar un mentefacto conceptual sobre el método gráfico.
2. Resuelve gráficamente cada sistema de ecuaciones lineales. Clasifica cada sistema como
consistente, consistente dependiente o inconsistente:
a.
x y 8
2x  y  1
4x  2 y  7  0
c.
x
1
y5
2
b.
d.
9x  3y  7
3x  4 y  4
y  3x  5
6 x  2 y  10
MATEMÁTICAS – Algebra 9
41
PGF03-R03
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución
se procede de la siguiente forma:

Se despeja en una de las ecuaciones, alguna de las variables.

Se reemplaza en la otra ecuación la expresión despejada,

Se resuelve la ecuación para la variable que quedó.
MODELACIÓN: Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones:
2x  3y  7  1
 3 x  y  7  2
Solución: En la ecuación 2 despejamos y: y  7  3x
Reemplazamos esta expresión en la ecuación 1:
2x  3y  7
2 x  3( 7  3 x)  7
2 x  21  9 x  7
21  7  9 x  2 x
14  7 x
x2
Sustituimos x=2 en cualquiera de las ecuaciones:
 3 x  y  7
 3( 2)  y  7
 6  y  7
y  7  6
y  1
Por tanto (2,-1) es la solución del sistema original.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
42
PGF03-R03
1. Resuelve los siguientes ejercicios sustitución:
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación
se procede de la siguiente forma:
 Se despeja en las dos ecuaciones la misma variable.
 Se aplica la propiedad transitiva de la igualdad. Si x  a y x  b  a  b
 Se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
 Se resuelve la ecuación.
MODELACIÓN 1. Resolver por igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
x  y  10
6 x  3 y  20
MATEMÁTICAS – Algebra 9
43
PGF03-R03
Solución:
y  10  x
y
20  6 x 20

 2x
3
3
luego, 10  x 
2x  x 
20
 2x
3
20
 10
3
10
3
Reemplazando en x + y = 10
x
10
 y  10
3
10
y  10 
3
40
y
3

1. Resolver
 10 40 
Luego,   ,  es la solución del sistema.
 3 3
los
siguientes
ejercicios
aplicando
el
método
de
igualación:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
44
PGF03-R03
MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN.
 Si es necesario, se multiplica cada ecuación por una constante, de manera que los
coeficientes en una de las variables sean iguales pero con un signo contrario.
 Se suman las dos ecuaciones resultantes.
 Se despeja la variable que quedó y se calcula su valor.
 El valor de la variable se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones y se calcula el
valor de la variable que había sido suprimida inicialmente.
MODELACIÓN 1. Resolver por reducción el sistema:
x  y  12  1
5 x  y  20  2
Reemplazando en 1:
x  y  12
Solución:
2  y  12
x  y  12
y  10
5 x  y  20(1)
x  y  12
Luego (2,10) es la solución del
sistema
 5 x  y  20
 4 x  8
x2
1. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando el método de reducción:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
45
PGF03-R03
REGLA DE CRAMER
La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones.
Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo
de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil
de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin
entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego
resolveremos un ejemplo.
Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:
La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran
los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la
primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de
la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.
El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el
cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las
matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:
El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un
escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
46
PGF03-R03
En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que el valor del determinante es el producto de los
términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:
Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su cálculo hay
que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.
Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de
ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante
de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la
incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la
matriz de los coeficientes de las incógnitas.
Así si partimos del sistema:
Tendremos que las incógnitas valdrán:
Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:
y para el cálculo de la y:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
47
PGF03-R03
Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:
El sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado
si este determinante es distinto de cero.
Como ejemplo vamos a resolver el sistema:
Calculamos primero la x:
y ahora calculamos la y:
Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
48
PGF03-R03
Soluciona los siguientes sistemas aplicando la regla de kramer
a.
d.
x  y  3 

2 x  3 y  1
2 x  3 y  1

4 x  5 y  3
b)
2 x  y  1 

 4 y  3  x
c)
3x  2 y  5

x  2 y 
e)
5 x  y  4

x y
  1 
2 2

f)
2x  3y  5 

3x  12 y  27
MATEMÁTICAS – Algebra 9
49
PGF03-R03
UNIDAD 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Propósito
Identificar y resolver de forma adecuada las diferentes propiedades aplicadas en un
sistema de ecuaciones
MATEMÁTICAS – Algebra 9
50
PGF03-R03
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS
Para resolver problemas que conducen al planteamiento de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, puedes tener en cuenta las siguientes sugerencias:
 Leer bien el enunciado hasta que se entienda.
 Utilizar los símbolos x, y para representar las cantidades desconocidas.
 Usar las expresiones algebraicas para traducir el enunciado del problema.
 Construir las ecuaciones del problema.
 Resolver el sistema
 Una vez obtenida la solución, verificar que está de acuerdo con las condiciones dadas.
MODELACIÓN: La suma de dos números es 47 y su diferencia es 18. ¿Cuáles son los
números?
MATEMÁTICAS – Algebra 9
51
PGF03-R03
1. Resuelva los siguientes problemas aplicando el método de sustitución.
a. La suma de dos números es 140 y su diferencia es 28. ¿Cuáles son los números?
b. La suma de las edades de dos personas es 30 años y el triple de la edad del menor es
igual al doble de la edad del mayor. ¿Cuántos años tiene cada persona?
c. Dos ángulos son suplementarios (la suma de sus amplitudes es 180°) y el triple de la
diferencia de los dos equivale a 12 veces el ángulo menor. ¿Cuánto mide cada ángulo?
d. La suma de dos números consecutivos es 3. ¿Cuáles son los números?
e. El perímetro de un rectángulo es 18 y el doble de la altura excede a la base en 3. Calcula
las dimensiones del rectángulo.
2. Resuelva los siguientes problemas aplicando el método de igualación o el de
reducción.
a. Si la suma de dos números es 25 y uno de los números es x, ¿Cómo simbolizas el otro
número?
5
b. Si el doble de cierta cantidad es
de x, ¿Cómo simbolizas la mitad de esta cantidad?
6
c. La suma de dos números es 140 y su diferencia es 28. ¿Cuáles son los números?
3. Solucionar los siguientes problemas aplicando el método de reducción:
a. Alberto tiene 13 años más que Berta. Si el doble de la edad de Berta excede en 29 años a
la edad de Alberto, halla ambas edades.
b. La suma de las dos cifras de un número es 14. Al intercambiar las cifras de las decenas
con el de las unidades, el número se aumenta en 18. Haya él número original.
c. La suma de dos números es 21 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números?
4. Solucionar los problemas del algebra de Baldor pagina 357 y 358 (por cualquier
método)
MATEMÁTICAS – Algebra 9
52
PGF03-R03
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS PROPIAS E IMPROPIAS
CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CON UNA INCÓGNITA
1
1
x  ( x  3)  2  x
3
La ecuación 2
parece complicada; pero en realidad es una ecuación de
primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente:
7x-18=0
Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una
solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de
solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.
En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben
el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación
cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma:
ax 2  bx  c  0 donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos
referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
1. Raíz Cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma
especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la
2
siguiente forma: ax  c  0
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se
ilustra en el siguiente ejemplo:
MODELACIÓN 1
2
Resuelve por medio de la raíz cuadrada x  8  0
SOLUCIÓN:
x2  8  0
x2  8
x 8
 2 2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
53
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
2
Resuelve por medio de la raíz cuadrada 2 x  3  0
SOLUCIÓN:
2x2  3  0
2x2  3
x2 
3
2
x
x
3
2
 6
2
MODELACIÓN 3
2
Resuelve por medio de la raíz cuadrada 3x  27  0
SOLUCIÓN:
3 x 2  27  0
3 x 2  27
x 2  9
x   19  3i
2. Factorización
2
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax  bx  c  0 son tales que la
2
expresión ax  bx  c  0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado
con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El
método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números
reales:
Si a y b son números reales, entonces:
ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
54
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
2
Resuelve por factorización x  2 x  15  0
SOLUCIÓN:
x 2  2 x  15  0
x  3x  5  0
x3 0
x  3
o
x5 0
o
x5
MODELACIÓN 2
2
Resuelve por factorización 2 x  3 x
SOLUCIÓN:
2 x 2  3x
2 x
2

 3x  0
x2 x  3  0
x0
o
2 x-3  0
x0
o
x
3
2
MODELACIÓN 3
2
Resuelve por factorización 2 x  8 x  3  0
SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de
usarse otro método para encontrar la solución.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
55
PGF03-R03
3. Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática
2
2
general ax  bx  c  0 para que quede así: x  A  B . Donde A y B son constantes. Esta
última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó
en la sección anterior. Así:
x  A2  B
x A B
x  A  B
Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar
2
un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a x  6 x para
que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica
para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:
x  m 2
 x  m 2
 x 2  2 xm  m 2
 x 2  2 xm  m 2
En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado
de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos
lleva directamente a la regla:
2
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma x  bx
2
b
b2
 
Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:  2  o sea 4
MODELACIÓN 1
2
Completa el cuadrado de x  6 x
b
 
SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma  2 
2
2
36
6
9
  
2
2
4
2
, por lo que obtenemos: x  6 x  9  x  3
MATEMÁTICAS – Algebra 9
56
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
2
Completa el cuadrado de x  3 x
2
2
9 
3
 3
9
x 2  3x    x  
 
4 
2
SOLUCIÓN: Sumamos  2  ; o sea 4 , así:
La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra
mejor con ejemplos
MODELACIÓN 3
Resuelve x  6 x  2  0 por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
x 2  6x  2  0
Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del
miembro izquierdo.
x 2  6x  2
Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el
cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.
x 2  6x  9  9  2
Factorizamos el miembro izquierdo.
2
 x  32
 11
Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.
x  3   11
x  3  11
MODELACIÓN 4
2
Resuelve 2 x  4 x  3  0 por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
2x 2  4x  3  0
Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos los
términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.
3
x 2  2x   0
2
3
x 2  2x 
2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
57
PGF03-R03
3
1
2
x  12  5
2
5
x 1  
2
x 2  2x  1 
x  1
5
2
10
2
2  10
x
2
x  1
4. Fórmula cuadrática
Para obtener la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación
2
general ax  bx  c  0 y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el
método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos
memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c.
Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a
ambos miembros de la ecuación. Queda así:
x2 
b c
 0
a a
Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.
x2 
b
c

a
a
Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro
del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;
x2 
b b2
b2
c
 2 

2
a 4a
a
4a
Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz
cuadrada.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
58
PGF03-R03
b 
b 2  4ac

x 
 
2a 
4a 2

2
b
b 2  4ac
x

2a
4a 2
x
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
b
b 2  4ac

2a
4a 2
Obtenemos esto:
 b  b 2  4ac
x
2a
Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla
para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos.
Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente
información útil respecto de las raíces:
b2 - 4ac
ax2 + bx + c = 0
Positivo
Dos soluciones reales
Cero
Una solución real
Negativo
Dos soluciones complejas
MATEMÁTICAS – Algebra 9
59
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
2
Resuelve 2 x  4 x  3  0 por la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.
x
x
 b  b 2  4ac
2a
Sustituimos la fórmula y simplificamos.
  4  
 42  42 3
22 
4  16  24
4
4  40
x
4
x
4  2 10
4
2  10
x
2
x
MODELACIÓN 2
2
Resuelve x  11  6 x por la fórmula cuadrática
2
SOLUCIÓN: x  6 x  11  0
a = 1, b = -6 y c = 11
x
escribimos
en
la
forma
general
e
identificamos
 b  b 2  4ac
2a
Sustituimos la fórmula y simplificamos.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
60
PGF03-R03
x
  6  
 62  4111
21
6  36  44
2
6 8
x
2
6  2i 2
x
2
x  3i 2
x
1. Realice un cuadro comparativo, entre la aplicación de factorización y formula general
para funciones cuadráticas.
2. Resuelve por medio de la raíz cuadrada
a.
b.
c.
d.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
61
PGF03-R03
3. Resuelve por el método de factorización y grafique las siguientes ecuaciones
4. Resuelve las siguientes funciones cuadráticas aplicando la formula general:
5. Resuelve por factorización, si es posible
a.
b.
c.
Soluciona las siguientes ecuaciones aplicando el método que más convenga:
a.
e.
b.
f.
c.
g. x 2 + (7 − x) 2 = 2 5
d.
h. 7 x 2 + 2 1 x − 2 8 = 0
MATEMÁTICAS – Algebra 9
62
PGF03-R03
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Ecuación exponencial
Un a e cu a ción e xp o ne n cia l e s a que lla e cua ció n en la qu e la in có gn it a
a p a re ce en e l e xp o n en t e .
P a ra re so lve r u na e cu a ción e xp o ne ncia l va m o s a t e ne r e n cu e nt a :
1.
2.
3 . L a s p rop ie da d e s de la s po t en cia s .
 a0 = 1 ·
 a1 = a


 am · a
n
= am+n
 am : a
n
= am
 (a m ) n = a m
 an · b
 an
b
n
n
- n
· n
= (a · b)
= (a
n
b)
n
P a ra so lu cio na r u n a e cu a ció n e xp on e n cia l va m o s a te n e r e n cu en t a los
t re s p un t o s a n te riore s y la s p ro p ie dad e s.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
63
PGF03-R03
MODELACIÓN
Solucionar las siguientes ecuaciones exponenciales
a.
b.
c.
S ol uc i ón
a. 22x – 1 = 22
2x – 1 =2
2x = 2 + 1
2x = 3
x=
b.
Aplicando (2) tenemos que
Despejando x tenemos
Aplicando la propiedad
=
tenemos
aplicando (2) tenemos
Eliminando denominadores tenemos
2 (x - 3) = 3 (2x - 1) realizando el producto indicado
2x – 6 = 6x – 3
agrupando términos semejantes
2x – 6x = -3 + 6
reduciendo términos
-4x = 3
despejando x
x=
c.
Factorizando tenemos
Despejando 2x tenemos
2x = 28.
2x = 8
2x = 23
x=3
8 = 23 reemplazamos
aplicando (2)
MATEMÁTICAS – Algebra 9
64
PGF03-R03
1. Solucionar las siguientes ecuaciones exponenciales
a.
b.
c.
d.
e.
f.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma
f ( x)  a x Siendo a y x reales.
La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o,
dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero
se puede ampliar al cuerpo de los complejos.
Esta función se nota exp: R → R+*
Donde e es la base de los logaritmos naturales.
y = exp x <=> x = ln y (con y >0)
MATEMÁTICAS – Algebra 9
65
PGF03-R03
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica
principalmente de las propiedades de su derivada.
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en
cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de
expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.
Definición formal
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre
Sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea a
R, a >0, a  1
Función exponencial de base “a”, a  1, es la aplicación
de R en los reales estrictamente positivos que hace
corresponder a cada “x” real una imagen ax real
positiva.
f : R
 R  {0}
x
 y  a x
Para cualquier “a” se cumple que
f(0) = a0 =1 y f(1) = a1 = a
Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1
MATEMÁTICAS – Algebra 9
66
PGF03-R03
La gráfica de la función y=ax
con a
R, a>1 es:
y=ax; a>1
a
1
-3
-2
-1
Gráfica de y = e
0
1
2
3
x
MODELACIÓN:
Tabular y graficar las siguiente función
a. F(x) = 2x
Veamos la gráfica de y = 2 x
x
y
-3
-2
-1
1/8 1/4 1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
y=2x
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
MATEMÁTICAS – Algebra 9
67
PGF03-R03
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se llama función logarítmica a la función real de variable real; La función logarítmica es una
aplicación biyectiva definida de R*+ en R :
La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
Los números negativos y el cero no tienen logaritmo, la función logarítmica de base a es la
recíproca de la función exponencial de base a.
Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281...
Se hallan por medio de la fórmula: a x  a y  x  y
La func i ón l oga rí tmi c a en base a es la func i ón i nve rs a de l a ex pone nc ia l en
base a.
Propiedades de las funciones logarítmicas
MATEMÁTICAS – Algebra 9
68
PGF03-R03
Do m in io :
Re co rrid o :
E s co n t in u a .
L o s pu n to s (1 , 0 ) y (a , 1 ) pe rt e ne cen a la gráf ica .
E s in ye ct iva (ninguna imagen tiene más de un original).
Cre cie n t e si a >1 .
De cre cie n t e si a <1 .
Las gráfica de la func i ón l oga rí tmi c a e s s i mé tric a (respecto a la bisectriz del 1er y
3er cuadrante) de la gráfica de l a func i ón e x pone nci a l , ya que son funciones
reciprocas o inversas entre sí.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
69
PGF03-R03
Simulación:
1. Consulta las propiedades de los logaritmos y realiza un cuadro comparativo sobre las
propiedades de la potenciación y logaritmación.
2. Graficar las siguientes funciones
a. Y =
X
Y
1/16
1/8
1/4
1/2
0
2
4
8
16
1/8
1/4
1/2
0
2
4
8
16
0.7
0.5
0.3
1
2
3
4
5
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
b. Y =
X
Y
1/16
c. Y = f(x) = l nx
X
Y
0.9
d. Y =
X
Y
-3
e. Y =
X
Y
Y=
X
Y
x
MATEMÁTICAS – Algebra 9
70
PGF03-R03
UNIDAD 4
SUCESIONES Y PROGRESIONES
UNIDAD 4 GEOMETRÍA Y NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA
PROPÓSITOS
 Reconoce que es una sucesión determina el termino general de cada
sucesión.
 Reconoce una progresión la clasifica en aritmética o geométrica y
determina el termino general de una progresión.
 Realiza operaciones con progresiones
MATEMÁTICAS – Algebra 9
71
PGF03-R03
EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS
Las siguientes historias están relacionadas con el manejo de cantidades que inicialmente son
pequeñas, pero que debido a la forma cómo crecen llegan a tomar valores extremadamente
grandes, las cuales ilustran el manejo de las sucesiones y progresiones.
Si cierto día ahorra $2000; al día siguiente, el doble; al tercer día el doble de lo ahorrado el
segundo día, y así sucesivamente, ¿Cuanto ahorraras el décimo día?
Un millonario que tenía fama de un gran comerciante encontró un día a un hombre de
aspecto muy común que al saber de su riqueza se acerco para proponerle un negocio. El
millonario lo escucha, sin poder ocultar la desconfianza que le producía.
Sin embargo hicieron el siguiente trato. Cada día durante un mes, le traigo cien mil pesos.
Claro que no voy a hacerlo gratis.
El primer día usted debe entregarme un peso. ¿Un peso? Pregunto asombrado el millonario.
Un peso - contestó el hombre. Por los segundos cien mil pesos, usted pagara dos pesos, por
los terceros cuatro pesos, por los cuatro ocho, por los quintos dieciséis y así sucesivamente
durante todo un mes; Cada día usted me pagara el doble de lo anterior.
A los siete días de haber empezado el negocio nuestro millonario había cobrado ya
setecientos mil pesos y pagado la ínfima suma de:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = $ 127
Con los días la alegría del millonario no duro mucho, pues pronto empezó a comprender que
este hombre no era ningún tonto y que el negocio que había concertado no era tan ventajoso
como él pensaba en un comienzo; Sin embargo, no podía romper las reglas pues el mismo
había elaborado el contrato.
Al final del mes, el millonario estaba arruinado.
1. Calcula el dinero que recibió el desconocido en el día 10 – 12 y 15.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
72
PGF03-R03
2. Calcula el dinero que recibió el millonario en los días 10 – 12 y 15.
3. Compara los pagos realizados por el millonario y la cantidad recibida por el hombre
desconocido a partir del día 20. ¿Qué sucede a partir del día 20 hasta el día 30?
4. Elabore una caricatura que ilustre esta historia y redacta un final para ella.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
73
PGF03-R03
SUCESIONES
Un arreglo de un conjunto de n elementos, en un orden definido, produce un conjunto
ordenado llamado sucesión.
Son sucesiones reales:
1 1 1
2 3 4
1
n
a) 1, , , ,..., ,... la ley característica se enunciaría así: es una sucesión formada por los
números inversos de los números naturales.
b) 1, 2 , 3 , 4 ,..., n ,... aquí la ley sería: raíces cuadradas de los números naturales
c)
1 2 3 4
n
, , , ,...
,... La ley sería: Una sucesión formada por fracciones cuyo numerador es
2 3 2 3 n 1
la serie de los números naturales y el denominador es igual al numerador más una
unidad.
Conocida la ley de formación, se puede determinar cualquier término de la sucesión en
función del lugar que ocupe.
Una sucesión, cuando tiene un número determinado de términos, como por ejemplo la
2
3
1 2
formada por estos seis números, no necesariamente tiene que tener
5 3
sucesión: 1, ,6, 8, ,
una ley de formación ya que todos sus términos están perfectamente definidos al conocerlos
todos.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
74
PGF03-R03
TIPOS DE SUCESIONES
S uc e si one s c onve rge nte s
L a s s uce s i ones c onve rge nte s so n la s su ce sio ne s qu e t ie n e n l í mi te
fi ni to .
L ím it e = 0
L ím it e = 1
* S uc e si one s di ve rge nte s
L a s s uc es i one s di ve rge nte s so n la s su ce sio n e s qu e no t ie ne n l í mi te
fi ni to .
L ím it e = ∞
* S uc e si one s os c ila nte s
L a s s uc e si one s os c i l a ntes no son c onve rge nte s ni di ve rge nte s . S us
t é rm ino s a lt e rn a n d e m a yo r a m e no r o vice ve rsa .
1 , 0 , 3 , 0 ,5 , 0, 7 , . . .
* S uc e si one s a l te rna da s
L a s s uc es i ones al te rna da s son a qu e lla s qu e a l te rna n lo s s i gnos d e su s
t é rm ino s. Pu e de n se r:
MATEMÁTICAS – Algebra 9
75
PGF03-R03
* Con ve r ge nte s
1 , −1 , 0 . 5 , −0 . 5 , 0 .2 5 , −0 .2 5 , 0 .1 2 5, −0 . 1 2 5, . .
T an t o s lo s t é rm in os p a re s co mo lo s im p a re s t ie ne n d e lím it e 0 .
* Di ve r ge nte s
1 , 1 , 2 , 4 , 3 , 9, 4 , 1 6 , 5 , 25 , .. .
T an t o s lo s t é rm in os p a re s co mo lo s im p a re s t ie nd en de lím it e +∞.
* O s c i la nte s
−1 , 2 , −3 , 4 , −5, . .. , (−1 ) n n
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
S e d ice que u na su ce sió n e s e st rict a me n te cre cie nt e s i cad a té rm ino e s
m a yo r o igu a l qu e e l a n te rio r .
an+1 > an
2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4, 17 ,. . .
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
S e d ice qu e u na su ce sió n e s cre cie nt e s i ca d a t é rm in o e s ma yo r o igu a l qu e
e l a n te rio r .
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2 ; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4 ;
...
Sucesiones estrictamente decrecientes
S e d i ce qu e un a su ce sió n e s e st rict am e nt e de cre cie nt e si ca d a t é rm in o de la
su ce sió n e s m en o r qu e e l an t e rio r.
an+1 < an
MATEMÁTICAS – Algebra 9
76
PGF03-R03
1 , 1 /2 , 1 / 3 , 1 /4 , 1/5 , 1 /6 , . ..
1 / 2 < 1; 1 /3 < 1 /2 ; 1 / 4 < 1 / 3 ; . . .
Sucesiones decrecientes
S e d ice qu e u na su ce sió n e s e st ricta m en t e d e cre cien te s i ca da t é rm in o d e
la su ce sión e s men o r o igu a l qu e e l a n t e rio r.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
S e d ice qu e u na su ce sió n es co n sta n t e si t o do s su té rm in o s son igu a le s ,
an= k.
5 , 5 , 5 , 5 , . ..
TÉRMINO GENERAL O TERMINO N-ÉSIMO
En las sucesiones estudiadas antes, los términos
1
n
representan de forma simbólica
, n,
n
n 1
a la ley de formación de cada sucesión, se representan por a n y se llaman término general de
la sucesión.
A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a n. El valor
de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10, en una
n2
sucesión cuyo término general es: an =
n 1
2
1
1

Para n = 1, a 1 
11 2
22
4

Para n = 2, a 2 
2 1 3
32
9

Para n = 3 a 3 
3 1 4
10 2
100

Para n = 10 a 10 
10  1 11
MATEMÁTICAS – Algebra 9
77
PGF03-R03
1. Calcule él término indicado en cada una de las siguientes sucesiones:
a. an  n 2  n3 calcula a8
c. an  n  1
n
n
calcula a5
2n
e. an  1n 1 calcula a15
g. an 
n 1
calcula a13
n2
b. an 
2n  1
calcula a3
n
d. an  2n 1 calcula a12
f. an 
n
calcula a21
2n  1
h. an 
1
calcula a19
n 1
2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
78
PGF03-R03
3. Halla los 4 primeros términos de cada sucesión:
a. a n 
n2
n 1
c. a n  n 3  n
e. an  3n
b. a n 
2n  1
2n  2
d. an 
n2
3n  1
f. an 
n
4n  2
4. Establece cuales de las siguientes sucesiones son finitas:
a. an  1  (1)n; n  4
b. an  3 n ; 3  n  5
c. an  2 n  3n; n  1
5
d. an  ; 3  n  12
n
e. an  5n  2 ; 1  n  2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
79
PGF03-R03
5. Encuentra él termino general para cada una de las siguientes sucesiones:
a. 1, 3, 5, 7, 9,....
c. 1, 8, 27, 64, 125,...
b. 2, 4, 6, 8, 10,...
d. 2,
3 4 5 6
, , , ,...
2 3 4 5
e.
1 2 3 4
, , , ,...
2 3 4 5
4 5 7 8
f. 1, , , 2, , , 3,...
3 3 3 3
g.
1 3 5
,1, ,2,
2 2 2
h. 2,3,4,5,6,…
MATEMÁTICAS – Algebra 9
80
PGF03-R03
PROGRESIONES
Un a p ro gre sió n a rit m é t ica e s u n a suce sió n de nú me ros t a le s qu e ca d a u n o
d e e llo s (sa lvo e l p rim e ro ) e s igu a l a l a n t e rio r m á s un n ú me ro f ijo lla mad o
d if e re n cia qu e se re p re sen t a p o r d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1.
S i co n o ce mo s e l 1 e r t é rm in o.
a n = a 1 + (n - 1 ) · d
MODELACIÓN
8, 3, -2, -7, -12, …
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5 n + 1 3
2.
Si conocemos el valor que ocupa cualquier ot ro t é rm in o de la progresión.
a n = a k + (n - k) · d
MODELACIÓN
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5 n + 1 3
MATEMÁTICAS – Algebra 9
81
PGF03-R03
Interpolación de términos en una progresión aritmética
I n t e rpo la r m ed io s d if e re n cia le s o a rit m é t ico s e n t re d o s nú me ro s, e s
co n st ru ir un a p rogre sió n a rit m ét ica qu e t en ga po r ext re m o s lo s n úm ero s
d a do s.
Sean los e xt re mo s a y b , y el número de m e d io s a interpolar m .
MODELACIÓN
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8,
3 , -2, -7 ,
-12.
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
a1 = Primer termino
an= ultimo termino
n = cantidad de términos a sumar
MODELACIÓN
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12,
1. Realizar el mentefacto para progresiones.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
82
PGF03-R03
1. Establece cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:
a. 1, 2, 3, 4,5,…
b. 0.5, 0.0005, 0.005, 5…
c. 1,4/2, 5/6, 2, 7/3,…
d. 1, 5, 9, 13, 17,…
e. –4, 0, 4, 8, 12,…
2. Hallar el valor d para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:
a. 11,20,29,38,47
b. 8,5,2,-1,-4
c. –5,8,21,34
d. –9,-15,-21,-27,-33
e. 25,16,7,-2
f. 3,
22 29 36 43
, , ,
5 5 5 5
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
3. Encuentre la suma indicada de cada progresión aritmética.
a. 2n  1; hallar la suma de los 8 primeros términos.
b. 3,2,1,0,-1,-2,-3,…, S13
c. Hallar la suma de los primeros 50 números naturales pares.
d. 5,7,9,11,…, S12
e. –8,-1,6,13,…, S10
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
4. Solucionar las siguientes situaciones
a . E l cu a rto té rm in o d e u n a p ro gre sió n a rit m é t ica e s 1 0 , y e l se xt o e s 1 6 .
E scrib ir la p ro gre sió n .
b . E scrib ir t re s m ed ios a rit m ét ico s en t re 3 y 2 3 .
c . I n t e rpo la r t re s m ed io s a ritm é t ico s en t re 8 y -1 2 .
d . E l p rim e r té rm ino d e un a p ro gre sió n a rit m é t ica e s -1, y e l
De cim o qu in to e s 27 .
e . L a sum a d e lo s qu in ce p rim e ro s té rm in o s.
f . Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros m ú lt ip lo s de 5 .
g. Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros n úm e ro s a ca ba do s e n 5 .
h . Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros n úm e ro s p a re s m a yo re s qu e 5.
5. Escribe en tu cuaderno el término que ocupa el lugar 50 en las siguientes sucesiones:
a. 20, 17, 14, 11, 8,
b. -9, -2, 5, 12, 19,....
c. -11, -22, -33, -44,....
6. Si a1 = 0 y
d = 3 en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a18?
7. Si a10 = 14 y d = -2, calcular a1.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Un a p ro gre sió n ge o mé t rica e s un a su ce sión en la qu e ca da té rm in o se
o b t ien e m u lt ip licand o a l a n te rio r u na ca n t ida d f ija r, llam a da ra zó n .
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
MO DE L ACI Ó N:
S i t e n em o s la su ce sió n : 3, 6 , 1 2, 24 , 48 , . . .
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2 .
Término general de una progresión geométrica
1 . S i co n o ce mo s e l 1 e r t é rm in o.
an = a1 · rn-1
MODELACIÓN
3 , 6 , 1 2, 24 , 48 , . .
a n = 3 · 2 n - 1 = 3 · 2 n · 2 - 1 = (3 / 2 )· 2 n
2 . S i co n o ce mo s e l va lo r qu e o cu p a cu a lqu ie r o t ro t é rm in o d e la
p ro gre sió n .
an = ak · rn-k
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
MO DE L ACI Ó N
a 4 = 2 4 , k=4 y r=2 .
an = a4 · rn-4
a n = 2 4 · 2 n - 4 = (2 4 /1 6 )· 2 n = (3 /2 ) · 2 n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
I n t e rpo la r m ed io s ge o m é t rico s o p ro p o rcio na le s e nt re d o s n úm e ro s, e s
co n st ru ir u na p rogre sió n ge o m ét rica qu e t en ga p o r e xt re m o s lo s n úme ro s
d a do s.
S e a n lo s ex tre mos a y b , y e l n ú mero d e me di os a in te rp o la r m .
MO DE L ACI Ó N
I n t e rpo la r t re s m ed io s ge om é t rico s en t re 3 y 4 8.
3,
6 , 1 2, 24 ,
4 8.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
MO DE L ACI Ó N
Ca lcu la r la sum a d e lo s p rim e ro s 5 t é rm ino s de la p rogre sió n : 3 , 6 , 1 2,
24, 48, ...
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
MODELACIÓN
Ca lcu la r la su ma d e lo s t é rm in o s de la p ro gre sió n ge o mé t rica de cre cie n te
ilim it a d a :
MODELACIÓN
Encontrar el séptimo término de la progresión geométrica –4,-2,-1,…
Solución:
an
a
1 1

, se tiene: r  3 
a2  2 2
an  1
1
Luego, a1  4; r  ; n  7
2
como
r
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
Reemplazando en an  a1 * r
n 1
1
, se tiene: a7  (4) 
2
7 1
6
1
1
 (4)   
16
2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
1. Determinar la diferencia o razón de las siguientes progresiones aritméticas.
a. 1, 3, 5, 7...
c.
3 11 8
, , ,...
5 10 5
b. –6,
 11
9
,  5,  ..
2
2
d. – 6 , – 4, – 2, ...
2. En las progresiones, determinar el término general, si se puede.
a. –3,-6,-12,-24
c. 3,-3,3,-3
b. 2,4,8,16
d.
1 1
1
,4, ,2,11,2,
4 2
2
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
3. Calcula el termino indicado en cada una de las siguientes progresiones geométricas:
b. a19 con a2  3 , r 
9
2
4. Encuentra los tres primeros términos de las siguientes progresiones geométricas si
se sabe que:
a. a13 en: -2,-1,
1
2
b. a10 en: 20,30,45
c. a2  10 , r  3
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
d. a3 
2
, r 5
5
5. Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones aritméticas y calcula su término
general:
Términos
a1 d
3, 7, 11, 15, ...
-12, -9, -6, -3, ...
12, 9, 6, 3, ...
6, 6, 6, 6, ...
10, 3, -4, -11, ...
120, 152, 184, ...
an
6. Calcula los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones :
a) 1, -1, -3, -5, -7,...
b) 2, 5, 8, 11, 14,...
c) -7, -5, -3, -1, 1,..
7. Interpolar cinco medios aritméticos entre los números 20 y 44.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
Elabora un texto explicativo sobre el anterior mentefacto.
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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PGF03-R03
BIBLIOGRAFIA
 Matemática con Tecnología Aplicada 9. Ed. Prentice Hall
 Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed. Norma
 www.wikipedia.com
 www.postnuclear.net
MATEMÁTICAS – Algebra 9
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