Download Gráfica de las funciones Sen(x)

Tópicos de
Matemáticas
Función Seno
Ecuaciones
trigonométricas
Introducción
Puente de Tacoma en el estado de Washington.
El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940,
rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la
calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente
galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó
completamente debido a las grandes oscilaciones.
Conceptos previos
Determina la altura de la
torre Eiffel, si los
elementos que se
conocen son el
ángulo de elevación 
y la longitud de la
sombra proyectada
sobre el piso.
60°
187 m
Conceptos previos
Razones trigonométricas
sen =
Cop
hip
cos =
Cad
hip
tan =
Cop
Cad
Hipotenusa
Cateto
opuesto

Cateto
adyacente
Conceptos previos
Triángulos rectángulos
notables
L
45°
2L
45°
45°
30° - 60°
L
30°
2L
L 3
60°
L
Conceptos previos
Ejercicio1
Si  es un ángulo agudo y cos  =3/4 ,
calcular los valores de las seis funciones
trigonométricas de .
Ejercicio 2
Calcular los valores de las funciones
trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
Conceptos
Circunferencia trigonométrica
La circunferencia trigonométrica es la
circunferencia radio 1 centrado en el origen del
plano XY.
Su ecuación es: x2+y2=1
( x, y )
1

( x, y )

Observar que se tiene:
sen ( )  y
cos( )  x
De manera general se tiene las funciones trigonométricas para
cualquier segmento OP donde P(x,y)
( x, y )
r
y

x
r x y
2
2
y
sen ( ) 
r
x
cos( ) 
r
y
tan( ) 
x
x0
Conceptos
Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un
número T real positivo, tal que
f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f.
El mínimo número real positivo T, si existe
se llama periodo de f.
2π es el periodo de las funciones seno y
coseno
La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener
dándole valores a x desde 0 hasta 2π
Su periodo es 2 π
Además sen(-x)=-sen(x)
1.5
1
0.5
sin( x)
sin( t )
3.14
1.75
0.35
0.5
1.05
2.44
3.84
1
1.5
x t
5.24
6.63
8.03
9.42
La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener
dándole valores a x desde 0 hasta 2π
Su periodo es 2 π
Además cos(-x)=cos(x)
1.5
1
0.5
cos( x)
cos( t )
3.14
1.75
0.35
0.5
1.05
2.44
3.84
1
1.5
x t
5.24
6.63
8.03
9.42
La función coseno puede interpretarse como un
desplazamiento de la función seno:
sen(x)=cos(x-π/2)
1.5
1
sin( x)
cos( t )
0.5
1.57 6.370614359 10
0.5
4
1.57
3.14
1
1.5
x t
4.71
6.28
¿Cómo varía la gráfica de la función sen x,
al cambiar los valores de los parámetros A
, ω>0 , φ?
y  A sen ( ω x  φ )
| A | Amplitud
Donde:
2
T  Periodo 


 desfasamie nto

1
f  Frecuencia 
T
Gráfica de las funciones
Sen(x)
3sen(x)
-3sen(x)
4
3
2
sin( x)
1
3 sin( x)
0
 3 sin( x)
1.57
3.14
4.71
1
2
3
4
x
6.28
7.85
9.42
Gráfica de las funciones
sen(x)
sen(3x)
1.5
1
0.5
sin( x)
sin( 3x)
0
1.05
2.09
3.14
0.5
1
1.5
x
4.19
5.24
6.28
Gráfica de las funciones
sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)
1.5
1
sin( x)


sin s 
0.5


3
 
sin v 
 3
1.05
0
1.05
2.09
3.14
0.5
1
1.5
x s  v
4.19
5.24
6.28
7.33
Gráfica de las funciones
sen(x)
3sen(2x-2π/3)
4
3
2
1
sin( x)


3 sin 2s 
2 
3


0
1.05
2.09
3.14
4.19
1
2
3
4
x s
5.24
6.28
7.33
1. A partir de la grafica de la función
trigonométrica, trace la grafica de la función,
sin localizar puntos.
a) y=2sen(t+π/6)
b) y=cos(t+ π/3)
2. Determine la amplitud y el período de la
función f(x) = 2sen (x/2).
3. Determine la amplitud, el período y trazar la
gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).
Ecuaciones trigonométricas:
Son aquella que contiene expresiones de
trigonometría.
Solución:
Son los valores que puede tomar x para la cual
la ecuación se convierte en una identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las funciones
trigonométricas
en
los
diferentes
cuadrantes.
Determine las soluciones de la ecuación en el intervalo
[0, 2 π].
a)Sen(x)=1/2
b)cos(2x+π/3)=-1
c)Sen(t) tan(t)=sen(t)
Combinación de lineal de las funciones
sen(x) y cos(x)
Para a y b números reales, a>o la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx)
Puede escribir en términos en la forma:
f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde
A  a2  b 2
a
π
π
tan C  , para   C 
b
2
2
Empleando la fórmula desarrollada
anteriormente graficar las funciones:
a) f ( x)  sen( x)  cos( x)
b) f ( x ) 
3 cos( 2 x)  sen(2 x)
c) f ( x)  3 cos(3x)  4sen(3x)