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Funciones Seno y
Coseno
Ecuaciones
trigonométricas
Introducción
Puente Tacoma en el estado de Washington.
El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y
rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones
en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le
llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el
puente se derrumbó completamente debido a las grandes
oscilaciones.
Conceptos previos
Determina la altura de la
torre Eiffel, si los
elementos que se
conocen son el
ángulo de elevación 
y la longitud de la
sombra proyectada
sobre el piso.
60°
187 m
Conceptos previos
Razones trigonométricas
sen() =
Cop
hip
cos() =
Cad
hip
tan() =
Cop
Cad
Hipotenusa
Cateto
opuesto

Cateto
adyacente
Conceptos previos
Triángulos rectángulos
notables
L
45°
2L
45°
45°
30° - 60°
L
30°
2L
L 3
60°
L
Conceptos previos
Ejercicio1
Si  es un ángulo agudo y cos() =3/4 ,
calcular los valores de las seis funciones
trigonométricas de .
Ejercicio 2
Calcular los valores de las funciones
trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
Conceptos
Circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es la circunferencia
radio 1 centrado en el origen del plano xy.
Su ecuación es:
x  y 1
2
1
2
Conceptos
Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un
número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x),
para todo x del dominio de f.
El mínimo número real positivo T, si existe se
llama periodo de f.
La gráfica de la función y = sen(x), se
puede obtener dándole valores a x desde
0 hasta 2
p
3
2
1
y = sen(x)
1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
La gráfica de la función y = cos(x), se
puede obtener dándole valores a x desde
0 hasta 2
p
3
2
1
y = cos (x)
1
-p /4
p /4
-1
-2
-3
p /2
3p /4
p
5p /4
3p /2
7p /4
2p
9p /4
5p /2
¿Qué relación podemos observar entre las
gráficas de la función sen(x) y cos(x)?
Podemos observar que la gráfica de la
π
función sen(x) tiene un desfase de , con
2
respecto a la gráfica de la función cos(x),
es decir:
π
cos(x)  sen ( x  )
2
¿Cómo varía la gráfica de la función
sen(x), al cambiar los valores de los
parámetros A , ω  0 , φ ?
y  A sen ( ω x - φ )
Donde:
|A| = Amplitud
T = Periodo = 2π
ω
f = Frecuencia = 1
T
φ
= Desfasamiento
ω
¿Cuál es el cambio que sufre la gráfica
de la función y = sen(x), al variar
parámetros tales como A, >0, ?
3
2
1
-p/4
y = sen(x)
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
y = sen(x)
A=1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
y = 1.2 sen(x)
1
A = 1.2
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
A = 1.8
y = 1.8 sen(x)
1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
A=2
y = 2 sen(x)
1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
A = 1.8
y = 1.8 sen(x)
1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
y = sen(x)
A=1
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
y = 0.8 sen(x)
A = 0.8
-p/4
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
y = - 0.4 sen(x)
-p/4
p/4
A = 0.4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
A
= 0.6
-1
-2
-3
y = - 0.6 sen(x)
p/4
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
y = - sen(x)
p/4
A=1
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
y = sen(x)
p/4
p/2
3p/4
p
5p/4
-1
T  2p  2p
1
-2
-3
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
y = sen(1.2x)
p/4
p/2
3p/4
p
-1
T  2p  5 p
1 .2 3
-2
-3
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
y = sen(1.4x)
1
-p/4
p/4
p/2
3p/4
-1
T  2p  10 p
1.4 7
-2
-3
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
y = sen(1.6x)
p/4
p/2
3p/4
-1
T  2p  5 p
1 .6 4
-2
-3
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
y = sen(1.8x)
1
-p/4
p/4
p/2
3p/4
-1
T  2p  10 p
1 .8 9
-2
-3
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
y = sen(2x)
1
-p/4
p/4
p/2
3p/4
-1
T  2p  p
2
-2
-3
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2
1
-p/4
y = sen(x)
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2

 0.4

1
-p/4
y = sen(x- 0.4)
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2 

 0.8
1
-p/4
y = sen(x- 0.8)
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
3
2

1

1
-p/4
y = sen(x- 1)
p/4
-1
-2
-3
p/2
3p/4
p
5p/4
3p/2
7p/4
2p
9p/4
5p/2
1. A partir de la grafica de la función
trigonométrica, trace la grafica de la
función, sin localizar puntos.
a) y  2sen(t
)
b) y  cos(t - 1)
2. Determine la amplitud y el período de
la función f(x) = 2sen(x/2).
3. Determine la amplitud, el período y
trazar la gráfica de f(x) = 2sen(-3x).
Ecuaciones trigonométricas:
Son aquella que contiene expresiones de
trigonometría.
Solución:
Son los valores que puede tomar x para
la cual la ecuación se convierte en una
identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las
funciones
trigonométricas
en
los
diferentes cuadrantes.
4. Determine las soluciones de la ecuación
sen(x)=1/2. En el intervalo [0, 2pi).
5. Determine las soluciones de cos(2x)=0
6. Resolver la ecuación sen(t)*tan(t)=sen(t)
Combinación de una suma en la cual
intervienen las funciones sen(x) y cos(x).
Sean a y b números reales y a>o.
Entonces la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx), se puede
escribir en términos del coseno de x,
como sigue f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde
A  a2  b2
a
π
π
tan C  , para -  C 
b
2
2
7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
f (x)  3 cos2x   sen2x 
8. Si
, utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
9. Si f (x)  2 cos 3x  - 2sen 3x  , utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
Funciones Seno y
Coseno
Ecuaciones
trigonométricas
1