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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADA
TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 (E. P. E.) SISTEMAS
Ciclo 2007-0
Tema :
FUNCIONES
BÁSICAS
1
FUNCIÓN
Una función es una regla o
correspondencia que asigna a cada
número de entrada un único número
de salida.
Al conjunto de número de entrada se
llama dominio de f y se denota por
Dom(f). Al conjunto de números de
salida se llama rango de f y se denota
por Ran(f).
2
x
PROCESO
f(x)
Entrada
Salida
Por ejemplo:
f(x) = x + 2
Si x= 1
==> f( 1) = 3
x= -4
==> f(-4) = -2
3
Una variable que representa los números de
entrada para una función se llama variable
independiente. La que representa los números
de salida es una variable dependiente.
Ejemplo
Variable
independiente
A(r) =  r2
Variable
dependiente
4
Dominio no especificado
Considere una función: y = f(x)
x: se denomina variable independiente
(toma cualquier valor del dominio)
y: se denomina variable dependiente
(porque su valor depende de x)
Si Dom(f) no se especifica, entonces, el
Dom(f) es el conjunto más grande de
valores de x para los que f(x) existe.
5
Ejemplo
Determine el dominio de:
a) f ( x)  x  1
b) f ( x)  x 1
1
c) f ( x)  x 2  4
2
d)
f ( x) 
1
x5
6
FUNCIONES
BASICAS
7
Función
Constante
4
3
c
2
f(x) = c
1
-2
-1
0
1
2
4
Función
Afín
3
2
b
f(x) = ax + b
-3
-2
1
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
Función
Cuadrática
4
3
f(x) =
2
x2
1
-2
-1
0
1
2
Función
Cúbica
3
2
f(x) = x3
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
Función
valor absoluto
4
3
f(x) = |x|
2
1
-2
-1
0
-1
1
2
Función
raíz cuadrada
4
3
f(x) = x
2
1
-1
0
-1
1
2
3
4
Función
Recíproca
3
2
f(x) = 1/x
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Si:
2
ax +bx+c=0
, entonces:
 b  b  4ac
x
2a
2
Resolver:
2
• 5x -2x-7=0
• (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2
15
La función exponecial natural y = ex y la función
logaritmo natural y = ln x
y
y = ex
e
y = ln x
1
1
e
x
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si e x = y
Teorema
Si p y q son números reales y r es un
número racional,entonces
i)
epeq=e p+q
p
e
ii) q  e p  q iii) (ep)r=epr
e
17
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Resolver:
• e 3x-1=e2
• e3x-1=5
3x-1=2ex+1
• 3e
2x+5
•e
=1
18
ECUACIÓN LOGARITMICA
Resolver:
• Log2(2x-1)=4
• Log(3x+5)=-2
• Ln(x-2)=5
19
Funciones Seno y
Coseno
Ecuaciones
trigonométricas
20
Introducción
Puente Tacoma en el estado de Washington.
El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y
rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones
en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le
llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el
puente se derrumbó completamente debido a las grandes
oscilaciones.
21
Conceptos previos
Determina la altura de la
torre Eiffel, si los
elementos que se
conocen son el
ángulo de elevación 
y la longitud de la
sombra proyectada
sobre el piso.
60°
187 m
22
Conceptos previos
Razones trigonométricas
sen() =
Cop
hip
cos() =
Cad
hip
tan() =
Cop
Cad
Hipotenusa
Cateto
opuesto

Cateto
adyacente
23
Conceptos previos
Triángulos rectángulos
notables
L
45°
2L
45°
45°
30° - 60°
L
30°
2L
L 3
60°
L
24
Conceptos previos
Ejercicio1
Si  es un ángulo agudo y cos() =3/4 ,
calcular los valores de las seis funciones
trigonométricas de .
Ejercicio 2
Calcular los valores de las funciones
trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
25
Conceptos
Circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es la circunferencia
radio 1 centrado en el origen del plano xy.
Su ecuación es:
x  y 1
2
2
1
26
Conceptos
Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un
número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x),
para todo x del dominio de f.
El mínimo número real positivo T, si existe se
llama periodo de f.
27
La gráfica de la función y = sen(x), se
puede obtener dándole valores a x desde
0 hasta 2

3
2
1
y = sen(x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
28
La gráfica de la función y = cos(x), se
puede obtener dándole valores a x desde
0 hasta 2

3
2
1
y = cos (x)
1
 /4
 /4
 /2
3 /4

5 /4
3 /2
7 /4
2
9 /4
5 /2
1
2
3
29
¿Qué relación podemos observar entre las
gráficas de la función sen(x) y cos(x)?
Podemos observar que la gráfica de la
π
función sen(x) tiene un desfase de , con
2
respecto a la gráfica de la función cos(x),
es decir:
π
cos(x)  sen ( x  )
2
30
¿Cómo varía la gráfica de la función
sen(x), al cambiar los valores de los
parámetros A , ω  0 , φ ?
y  A sen ( ω x  φ )
Donde:
|A| = Amplitud
T = Periodo = 2π
ω
f = Frecuencia = 1
T
φ
= Desfasamiento
ω
31
¿Cuál es el cambio que sufre la gráfica
de la función y = sen(x), al variar
parámetros tales como A, >0, ?
3
2
1
/4
y = sen(x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
32
3
2
1
y = sen(x)
A=1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
33
3
2
y = 1.2 sen(x)
1
A = 1.2
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
34
3
2
A = 1.8
y = 1.8 sen(x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
35
3
2
A=2
y = 2 sen(x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
36
3
2
A = 1.8
y = 1.8 sen(x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
37
3
2
1
y = sen(x)
A=1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
38
3
2
1
y = 0.8 sen(x)
A = 0.8
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
39
3
2
1
y = - 0.4 sen(x)
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
A = 0.4
1
2
3
40
3
2
1
/4
A
= 0.6
y = - 0.6 sen(x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
41
3
2
1
/4
y = - sen(x)
/4
A=1
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
42
3
2
1
/4
y = sen(x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  2
1
2
3
43
3
2
1
/4
y = sen(1.2x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  5 
1 .2 3
2
3
44
3
2
y = sen(1.4x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  10 
1.4 7
2
3
45
3
2
1
/4
y = sen(1.6x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  5 
1 .6 4
2
3
46
3
2
y = sen(1.8x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  10 
1 .8 9
2
3
47
3
2
y = sen(2x)
1
/4
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
T  2  
2
2
3
48
3
2
1
/4
y = sen(x)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
49
3
2

 0.4

1
/4
y = sen(x- 0.4)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
50
3
2 

 0.8
1
/4
y = sen(x- 0.8)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
51
3
2

1

1
/4
y = sen(x- 1)
/4
/2
3/4

5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
1
2
3
52
1. A partir de la grafica de la función
trigonométrica, trace la grafica de la
función, sin localizar puntos.
a) y  2sen(t
)
b) y  cos(t  1)
53
2. Determine la amplitud y el período de
la función f(x) = 2sen(x/2).
3. Determine la amplitud, el período y
trazar la gráfica de f(x) = 2sen(-3x).
54
Ecuaciones trigonométricas:
Son aquella que contiene expresiones de
trigonometría.
Solución:
Son los valores que puede tomar x para
la cual la ecuación se convierte en una
identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las
funciones
trigonométricas
en
los
diferentes cuadrantes.
55
4. Determine las soluciones de la ecuación
sen(x)=1/2. En el intervalo [0, 2pi).
5. Determine las soluciones de cos(2x)=0
6. Resolver la ecuación sen(t)*tan(t)=sen(t)
56
Combinación de una suma en la cual
intervienen las funciones sen(x) y cos(x).
Sean a y b números reales y a>o.
Entonces la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx), se puede
escribir en términos del coseno de x,
como sigue f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde
A  a2  b2
a
π
π
tan C  , para   C 
b
2
2
57
7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
f (x)  3 cos2x   sen2x 
8. Si
, utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
9. Si f (x)  2 cos 3x   2sen 3x  , utilizar la
formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación
trazar la gráfica de f.
58