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XXV Olimpiada Thales
25 años:
Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24,
25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y
se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá
entonces 24 números en la pizarra).
Se vuelven a coger dos números de los
escritos en la pizarra, se borran y se
vuelve a escribir su diferencia en la
pizarra. Esta operación la seguimos
repitiendo mientras podamos.
Al final quedará un único número. ¿Hay alguna forma de
que sea un 2?
Solución
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Solución:
Vamos a hacer un primer intento
2
1
11
21
Enunciado
3 4
12
13
22
5 6
14 15
23
8
7
16
9
17 18
24
10
19
25
20
-
= 3
=3
=2
= 12
= 1
= 5
=5
=7
= 10
= 2
= 5
= 6
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Solución:
Vamos a continuar con las restas de lo
que queda en la pizarra
Recordemos que el objetivo es que
al final nos quede solo un 2
1
2-
= 15
6
5
6
5
=0
2 3
3
7
Luego nos hemos quedado 10
con un 1
12
Enunciado
-
= 2
-
= 1
-
=1
-
=0
-
=0
-
=0
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Solución:
Después de hacer varios intentos,
nos damos cuenta de que podemos
conseguir un 1 pero no damos con el
dos.
Veamos por qué es imposible
conseguir el 2.
La idea es
que la suma de todos los números
que hay en la pizarra en cada
momento, aunque cambia, nunca
puede ser un número par.
Enunciado
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Solución:
La suma de los números del 1 al 25 se puede calcular
usando el conocido truco de Gauss:
el primero más el último 12 veces,
más el número que está en medio,
el 13.

1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
26262626 26 26262626262626  13
26·12 13325
Enunciado
Que es un número impar
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Solución:
Al elegir los dos números, que se van a borrar, pueden
ocurrir tres casos:
Caso 1:
Que cojamos dos números pares
2m + 2n = 2(m+n)
Luego en la pizarra la suma que queda es
325 - 2(m+n) = impar
Además
2m - 2n = 2(m-n)
par
Luego al añadir este número a la pizarra
+
Enunciado
= impar
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Solución:
Caso 2: Que cojamos dos números impares
(2m+1) + (2n+1) = 2(m+n)+2
Luego, en la pizarra, la suma que queda es
325 - 2(m+n)-2 = impar
Además
(2m+1) - (2n+1) = 2(m-n) par
Luego, al añadir este número a la pizarra,
+
Enunciado
= impar
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Solución:
Caso 3: Que cojamos un número par y otro impar
2m + (2n+1) = 2(m+n)+1
Luego, en la pizarra, la suma que queda es
325 - 2(m+n)-1= par
Además
2m - (2n+1) = 2(m-n)-1 impar
Luego, al añadir este número a la pizarra,
+
Enunciado
= impar
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Solución:
En resumen,
Coja los números que coja,
al borrarlos y escribir su
diferencia en la pizarra,
la suma total de los números que
quedan, siempre seguirá siendo
impar,
luego nunca puede salir un
Enunciado
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