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XXV Olimpiada Thales 25 años: Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24, 25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá entonces 24 números en la pizarra). Se vuelven a coger dos números de los escritos en la pizarra, se borran y se vuelve a escribir su diferencia en la pizarra. Esta operación la seguimos repitiendo mientras podamos. Al final quedará un único número. ¿Hay alguna forma de que sea un 2? Solución Menú Solución: Vamos a hacer un primer intento 2 1 11 21 Enunciado 3 4 12 13 22 5 6 14 15 23 8 7 16 9 17 18 24 10 19 25 20 - = 3 =3 =2 = 12 = 1 = 5 =5 =7 = 10 = 2 = 5 = 6 Menú Solución: Vamos a continuar con las restas de lo que queda en la pizarra Recordemos que el objetivo es que al final nos quede solo un 2 1 2- = 15 6 5 6 5 =0 2 3 3 7 Luego nos hemos quedado 10 con un 1 12 Enunciado - = 2 - = 1 - =1 - =0 - =0 - =0 Menú Solución: Después de hacer varios intentos, nos damos cuenta de que podemos conseguir un 1 pero no damos con el dos. Veamos por qué es imposible conseguir el 2. La idea es que la suma de todos los números que hay en la pizarra en cada momento, aunque cambia, nunca puede ser un número par. Enunciado Menú Solución: La suma de los números del 1 al 25 se puede calcular usando el conocido truco de Gauss: el primero más el último 12 veces, más el número que está en medio, el 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 26262626 26 26262626262626 13 26·12 13325 Enunciado Que es un número impar Menú Solución: Al elegir los dos números, que se van a borrar, pueden ocurrir tres casos: Caso 1: Que cojamos dos números pares 2m + 2n = 2(m+n) Luego en la pizarra la suma que queda es 325 - 2(m+n) = impar Además 2m - 2n = 2(m-n) par Luego al añadir este número a la pizarra + Enunciado = impar Menú Solución: Caso 2: Que cojamos dos números impares (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n)+2 Luego, en la pizarra, la suma que queda es 325 - 2(m+n)-2 = impar Además (2m+1) - (2n+1) = 2(m-n) par Luego, al añadir este número a la pizarra, + Enunciado = impar Menú Solución: Caso 3: Que cojamos un número par y otro impar 2m + (2n+1) = 2(m+n)+1 Luego, en la pizarra, la suma que queda es 325 - 2(m+n)-1= par Además 2m - (2n+1) = 2(m-n)-1 impar Luego, al añadir este número a la pizarra, + Enunciado = impar Menú Solución: En resumen, Coja los números que coja, al borrarlos y escribir su diferencia en la pizarra, la suma total de los números que quedan, siempre seguirá siendo impar, luego nunca puede salir un Enunciado Menú