Download Ecuaciones fundamentales trigonométricas.

TRIGONOMETRÍA
U.D. 10 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
1
FÓRMULAS
U.D. 10.4 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
2
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
90º
E
F
C
A
r=1
α
180º
O
270º
@ Angel Prieto Benito
•
ECUACIÓN FUNDAMENTAL
•
Se observa en el triángulo
OAB, que al ser la hipotenusa
r=1, los catetos son líneas
trigonométricas:
AB=sen α
OB=cos α
Por Pitágoras:
AB2+OB2=OA2
sen2 α + cos2 α = r2
sen2 α + cos2 α = 1
Cualquiera que sea el valor
del ángulo.
0º
B
D
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Matemáticas 1º Bachillerato CT
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FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
90º
E
C
A
r=1
O
270º
@ Angel Prieto Benito
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α
180º
•
0º
B
D
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F
OTRA ECUACIÓN
Se observa en el triángulo
OCD, que al ser la hipotenusa
r=1, los catetos son líneas
trigonométricas:
CD=tg α
OC=sec α
OD=r=1
Por Pitágoras:
OD2+CD2=OC2
12+tg2 α = sec2 α
1 + tg2 α = sec2 α
Cualquiera que sea el valor
del ángulo.
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FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
90º
E
C
A
r=1
O
270º
@ Angel Prieto Benito
•
α
180º
•
0º
B
D
•
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•
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•
F
OTRA ECUACIÓN
Se observa en el triángulo
OEF, que al ser la hipotenusa
r=1, los catetos son líneas
trigonométricas:
EF=cotg α
OF=cosec α
OE=r=1
Por Pitágoras:
OE2+EF2=OF2
12+cotg2 α = cosec2 α
1 + cotg2 α = cosec2 α
Cualquiera que sea el valor
del ángulo.
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FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
90º
E
F
C
A
r=1
α
180º
O
270º
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•
ECUACIÓN TANGENTE
•
Se observa en el triángulo
OAB es semejante al
triángulo OCD por tener los
tres ángulos iguales.
OB AB
cos α sen α
---- = ----  -------- = ---------OD CD
1
tg α
Operando:
tg α . cos α = sen α
sen α
tg α = --------cos α
0º
B
D
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Matemáticas 1º Bachillerato CT
6
Ejercicios
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Ejemplo 1
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Sabiendo que el seno de un ángulo del 2º Cuadrante vale 0’6, hallar el
valor de las restantes razones trigonométricas.
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Como sen2 α + cos2 α = 1  (0’6)2 + cos2 α = 1
0,36 + cos2 α = 1  cos2 α = 0,64  cos α = ±√0,64 = = ±0’8
cos α = – 0’8 por estar en el 2º Cuadrante.
tg α = sen α / cos α = 0,6 / (-0,8) = - 0,75
•
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sec α = 1 / cos α = 1 /(-0’8) = - 1,25
cosec α = 1 / sen α = 1 /0’6) = 5/3
cotg α = 1 / tg α = 1 /(-0,75) = - 4/3
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Ejemplo 2
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Sabiendo que el coseno de un ángulo del 3º Cuadrante vale - 0’707, hallar
el valor de las restantes razones trigonométricas.
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Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (-0,707)2 = 1
sen2 α + 0,5 = 1  sen2 α = 0,5  sen α = ±√0,5 = = ±0’707
sen α = – 0’707 por estar en el 3º Cuadrante.
tg α = sen α / cos α = - 0,707 / (-0,707) = 1
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Ejemplo 3
•
Sabiendo que la tangente de un ángulo del 4º Cuadrante vale - 2, hallar el
valor de las restantes razones trigonométricas.
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Como 1 + tg2 α = sec2 α  1 + (-2)2 = sec2 α
sec2 α = 5  sec α = ±√5
sec α = √5 por estar en el 4º Cuadrante.
cos α = 1 / sec α = 1 / √5 = √5 / 5
Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (√5 / 5)2 = 1
sen2 α + 1/5 = 1  sen2 α = 4/5  sen α = ±2/√5  sen α = – 2√5/5
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