Download TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

U N de Cuyo – F. Ingeniería
Ingreso - Matemática
Ing. Gladys Astargo
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En este eje continuaremos con la competencia básica de Resolución de Problemas y además las
siguientes competencias específicas
1. Analizar una función o un fenómeno físico o químico sencillo a partir de su representación gráfica
y/o a partir de sus ecuaciones matemáticas.
2. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos.
Contenidos
Habilidades y destrezas
Indicadores de Logro
conceptuales
Inherentes a la Resolución de Problemas vistos en el TP 1 • Identifica datos e incógnitas.
Clasificación de sistemas de medición
de ángulos y aplicación a la conversión • Completa la información necesaria recurriendo
Trigonometría
a otras fuentes: observación, experimentación,
entre ángulos medidos en sistema
básica.
textos, Internet y otras.
sexagesimal y radial.
Sistemas de
Identificación de las relaciones entre • Plantea y usa ecuaciones adecuadas.
medición de
ángulos complementarios, que difieren
• Usa la notación adecuada.
ángulos.
en π/2, suplementarios, que difieren en
Relaciones
• Opera con números reales en forma correcta.
π y opuestos.
entre ángulos.
Resolución de ecuaciones
• Usa y realiza las conversiones de unidades
Ecuaciones e
trigonométricas
y
verificación
de
necesarias.
identidades
identidades.
trigonométricas.
• Analiza las soluciones aritméticas halladas,
Observación, identificación y análisis
Funciones
vinculándolas con el problema planteado.
(determinación de dominio, imagen y
trigonométricas
ceros) de las gráficas de las funciones • Comunica el/los resultado/s en forma
adecuada.
seno, coseno y tangente.
.
1) Completa la tabla
rad
π /6
º
5π /6 3π /2
135º
−π
5π /4
120º
240º
300º
−270º
315º
2) Expresa en radianes (utiliza una fracción unitaria adecuada):
a) 16º30’
b) 690º
c) −135º
d) 25º40’34’’
3) Expresa en grados sexagesimales (utiliza una fracción unitaria adecuada):
a) 13 π /6
b) 7π /4
c) −11 π /12
d) 7 π /5
4) Construye un triángulo rectángulo isósceles de 1 unidad de longitud cada cateto. Averigua
a) Medida de la hipotenusa.
b) Las funciones trigonométricas de 45º a partir del triángulo, utilizando razones trigonométricas.
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αº
5) Completa la tabla:
α (rad)
sen α
cos α
tg α
0º
30º
45º
60º
90º
6) Si sen t < 0 y cos t < 0, entonces:
a) 0 < t < π/2
b) π/2 < t < π
c) π < t < 3π/2
d) 3π/2 < t < 2π
e) Ninguna respuesta anterior es correcta
7) Observa la circunferencia trigonométrica y el ángulo α < 90º representado, expresa en función de
sen α, cos α, o tg α
a) sen (−α) =
b) sen β =
c) sen γ =
d) sen δ =
e) cos β =
f) cos (–α) =
g) cos γ =
h) cos δ =
i) tg (–α) =
j) tg γ =
β
y
γ
α
−α x
δ
8) Indica si las siguientes afirmaciones son V o F:
a) sen γ = sen (γ − 90º)
b) tg β = tg(β + π)
c) tg γ = cotg (π/2 − γ)
d) tg (−ϕ) = tg ϕ
e) cos (α + π) = sen α
f) sen (π − α) = cos α
9) Completa con los signos que correspondan y con ángulos del primer cuadrante:
a) sen 150º =….sen……. =…. cos…….
b) cos 210º =…..sen…..… =…. cos……..
c) tg 315º =… tg…….. =…. cotg………
d) tg 420º =…. tg……….=… cotg……..
10) Si cos α = −0,7071…, podemos afirmar que:
a) 90º < α < 180º
b) 180º < α < 270º
c) 270º < α < 360º
d) N.R.A. es C.
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11) Encuentra todos los valores posibles de β ∈ (0º, 360º) si:
3
a) sen β = –
b) tg β = 3
2
12) Completa con el múltiplo de π/2 que hay que sumar para conservar la igualdad:
cos x = sen (x + .... π/2)
− sen x = sen (x + .... π/2)
− cos x = sen (x + .... π/2)
sen x = sen (x + .... π/2)
13) Calcula el valor de x
a) x = (sen 90º + sen 45º).(2.sen 30º + cos 135º)
b) 4 sen(π /4) cos(π /4) = x + 2 [cos 0 + cos(π /3)]
c) a x + tg(π /3) cotg(π /6) − 2−1/2 cos(π /4) = x + a − 3 sen(π /6)
14) Si π < α < 2π y cos α = tg (3π /4) + sec (2π /3) + tg2 (π /3) + sen (7π /6), entonces
b) α = 5π/3
a) α = 11π/6
c) α = 7π/6
d) α = 4π/3
e) Ninguna respuesta anterior es correcta
15) Se enfoca la parte superior de un edificio con un teodolito colocado en un trípode de 1,20 m de
altura y ubicado a una distancia de 50 m de la base del edificio. El teodolito marca un ángulo de
elevación de 61º ¿Cuál es la altura de un edificio?
16) Desde un avión que vuela a 2.000 m sobre el océano, el ángulo de depresión de la costa de una
isla, es de 23º. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer el avión para estar justo sobre ese punto de la costa?
17) Se debe cercar un terreno triangular ubicado en un cruce de caminos, perpendiculares entre sí. Un
lado colindante con una de las rutas mide 1,254 km y el ángulo agudo adyacente a él es de 42º 48’.
¿Qué cantidad de alambre se necesita comprar para hacer una cerca de tres hilos?
18) Para construir un galpón, en una base horizontal se han colocado dos hileras de postes, una tiene
postes de 4 m y la otra de 5,10 m, enterrados 80 cm cada uno. La separación entre las hileras es de 6 m
(medida desde los ejes de los postes). Calcula:
a) La longitud que deben tener las chapas que se usarán para el techo, si deben sobresalir
aproximadamente 40 cm del extremo más bajo.
b) En qué ángulo se deben cortar los extremos libres de los postes para que tengan contacto plano con
las chapas.
19) Una rampa para lanchas, de 50 m tiene una inclinación de 15º con respecto a la horizontal ¿A qué
altura está el extremo de la rampa con respecto al agua?
20) Encuentra la longitud de la sombra que proyecta en el suelo una torre de 15 m, en el momento en
que el ángulo de elevación del sol es de.52º 20’
21) En los siguientes perfiles de una construcción se necesita conocer x:
a)
b)
c)
º
x
14
x
15
30º
30º
4
45º 45º
60º
26
30º
18
x
90º
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22) Una circunferencia tiene 48 cm de diámetro, entonces, la longitud del arco subtendido por un
ángulo central de 225º, es aproximadamente
a) 84,56 cm
b) 57,34 cm
c) 94,25 cm
d) 188,49 cm
23) ¿Qué ángulo, en grados sexagesimales, forman entre sí los rayos de la rueda de una carreta de 80
cm de diámetro, si las pestañas que los sostienen están aproximadamente cada 29,2 cm?
24)
a) Identifica las funciones representadas: observa el gráfico y verifica los valores de las ordenadas
para distintos ángulos. Para ello recuerda que los valores de x son ángulos medidos en el
sistema radial (π rad ≡ 180º), pero π = 3,14159… Por ejemplo un ángulo de 60º lo
representamos en el eje ‘x’ como π/3 ≅1,05.
b) Determina D, I y ceros.
c) En un dominio restringido al intervalo [–4, 4], Identifica los intervalos donde las funciones son
positivas y donde son negativas.
25) Sabiendo que h(x) = cosec x es la recíproca (NO inversa1) de f(x) = sen x, determina el dominio
natural de h(x)
26) Si f(x) = cotg x es la recíproca de tg x, ¿con qué función trigonométrica coinciden sus ceros?
27) Encuentra analíticamente los puntos de intersección entre f(x) = sen x y g(x) = cos x en el
intervalo [–2π, 2π]
28) Completa
a) Un intervalo donde se verifica tg x > sen x. puede ser (0;……)
b) Un intervalo donde se verifica tg x < sen x, puede ser (…..; 0)
c) Uno de los intervalos donde se verifica cos x < sen x puede ser………………..
29) Usando las relaciones fundamentales, simplifica las siguientes expresiones:
1
Las funciones trigonométricas inversas: arc sen x, arc cos x, etc., las verás en Análisis Matemático I
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a) sen x (sen x −1) + cos2 x − 1=
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b) (1− sen α).(1 + sen α) − cos2 α =
30) Comprueba las siguientes identidades trabajando con un solo miembro. En todos los casos se
considera que los divisores son distintos de cero:
a)
sen 2 α
= 1 + cos α
1 − cos α
b)
tg2 α : (sec α + 1) = sec α − 1
(sec2 α – 1). cosec2 α = sec2 α
1 + 2 tg α
1
d)
+
= (cos α + sen α )2
2
2
sec α
cos ec α
1
e)
sec2 α. cos α – tg α. sen α =
sec α
31) Transforma en producto: sen (x + h) − sen x
c)
32) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para x ∈ [0, 2π)
a) tg2 x + tg (x + π) = 0
b) sen x + 2 = –cosec x
c) sen2 x – sen x = cos2 x
d) tg x + ctg x = 2
33) Imagina que estás filmando una carrera de autos desde un puesto ubicado a 40 m de la pista en
forma perpendicular a ella. Comienzas a divisar un auto con un ángulo de 68º con respecto a la
perpendicular y dejas de filmarlo cuando el ángulo de tu cámara es de 20º hacia el mismo lado. ¿Qué
distancia recorrió el auto durante el tiempo de filmación?
34) Una antena se levanta en el techo de un edificio de 60 m de altura. Una persona con los ojos
ubicado en la punta de la antena, observa un perro en la calle que se aleja de la base del edificio. El
ángulo de depresión cambia de 35º 49’ a 30º mientras el perro recorre 30 m, durante el período de
observación. Despreciando la altura del perro, ¿cuál es la altura de la antena?
35) Uno de los tirantes de acero que sostiene una torre de transmisión, está asegurado por un extremo
a la torre y por el otro al piso, formando un ángulo con éste de 60º. Cuando el extremo superior se
sujeta 2,5 m más abajo, el ángulo disminuye a 50º ¿Cuánto mide el tirante, sabiendo que es rígido, es
decir que no se estira?
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AUTOEVALUACIÓN
1) COMPLETA
π
π
π
π

+ tg = sen
– x .cos  − α  y α = 300º, entonces x =………
6
3
2
2

π
π
π
2
+ x sec
, entonces x =………..
Si 2 x + x tg = cotg
3
6
4
Todos los valores posibles de γ ∈ (0; 2π) que verifican “sen (γ + π/4). sen (γ – π/4) = ½ sen γ” son
Si x.sen
(expresa en radianes):………………………………………..
Si β ∈ (0º; 360º) y se cumple que: tg β = 8/3 cos 330º. sen
7π
π
cos2 , entonces todos los valores
6
4
posibles para β son..................................................
2) Problema: La torre de una antena de radio se levanta sobre un edificio de 60 m de altura. Desde un
punto situado en el suelo a 150 m de la base del edificio se observa que el ángulo subtendido por la
torre es de 10º. ¿Cuál es la altura de la torre?
Rta: 33 m
3) Expresa en la forma más simplificada posible:
sen 2 α − cos 2 α
π

− cot g − α  =
π

2

sen (π − α ) ⋅ sen + α 
2

(sen α ≠ o; cos α ≠ 0)
 1

1
4) Verifica la identidad: 
−
 ⋅ (1 + cos x ) = 1
 sen 2 x sen x ⋅ tg x 
(sen x ≠ 0, cos x ≠ 0)
5) Calcula las raices de las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0 ≤ x < 2 π. Verifica.
a) 2 sen x = cosec x
c) 2 tg x = sec2 x
1
2
d) tg x – sen x = sec x – 1
b) cos2 x – sen2 x =
6) Problema: Desde la punta de un edificio que mira hacia el mar, una persona observa un bote que
navega directamente hacia ella. Si se encuentra a 100 m sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión
del bote cambia de 25º a 40º durante el período de observación, calcula la distancia que ha recorrido el
bote durante ese tiempo.
7) Problema: Desde un punto P en el suelo, el ángulo de elevación a la punta de una torre es de 26º
50’. Desde otro punto 25 m más cercano a la torre y alineado con P y con la base de la torre, el ángulo
de elevación es de 53º 30’. Calcula la altura de la torre.
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