Download Diapositiva 1 - Página Jimdo de yrosero

Predicados y cuantificadores


La lógica de primer orden (LPO) o
cálculo de predicados de primer orden
es cualquier sistema de la lógica
matemática que extiende la lógica
proposicional empleando variables,
predicados y cuantificadores de
variables


La lógica de primer orden no hace ningún
supuesto, sin embargo, sobre si existen
o no las propiedades o las relaciones.
Sólo se ocupa de estudiar el modo en
que hablamos y razonamos con
expresiones lingüísticas.


Terminología - Definiciones
 Para desarrollar el tema, necesitamos
establecer acuerdos para algunos términos.
****************
Llamaremos CONJUNTO a una colección de
objetos cualquiera. A estos objetos se les llama
también elementos del conjunto.
 Los conjuntos se representan usualmente con letras
mayúsculas: A,B,C,D,....
 A los elementos que forman parte del conjunto se
les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....


Terminología - Definiciones
Dado un conjunto cualquiera,
entenderemos por VARIABLE la
representación genérica de un
elemento cualquiera del conjunto.
Para designar variables se utilizan las
letras “x”, “y”, “z”.


Variables
Las variables sustituyen al “fulano” o
“mengano” del lenguaje común.
En lugar de decir :
“Hay un fulano que quiere hablar contigo”,
diremos:
“Hay un x que quiere hablar contigo. ”.
En este ejemplo, x sería un “elemento
genérico ” del conjunto de seres
humanos .


Constantes
 A una palabra, letra o símbolo, lo llamaremos
constante si y sólo si designa a un elemento
determinado de un conjunto.
 Ejemplos:
 Para el conjunto de los seres humanos:
Luisa, Patricia, Silvia, Max y Pedro serían constantes.
 Para el conjunto de animales:
Perro, delfín y colibrí, serían constantes.
Las constantes se designan también con letras
minúsculas, usualmente : a,b,c,d…..


Predicados
(Definición CLAVE!)
Un predicado es un enunciado que
contiene una o más variables, no
es una proposición, pero se
convierte en proposición cuando
se sustituye la o las variables
por constantes.


Características esenciales
de esta definición…
es un enunciado
contiene una o más variables
no es una proposición
se convierte en proposición
cuando se sustituye la o las
variables por constantes.


Notación de Predicados
Designaremos los Predicados con letras
mayúsculas y al lado -entre paréntesispondremos la o las variables que están
en el predicado.
Ejemplos:
P(x): x es rubio
Q(y): y es un número par
P(x,y): x es múltiplo de y
R(z,t): z es un río de t


Veamos si son Predicados constatando con
las características esenciales de la
definición.
P(x): x es rubio
 Enunciado con una variable
(esta variable representa un elemento
genérico del conjunto de seres humanos)
 No es proposición
 Sustituyendo la variable por una constante…
 P(Eric): “Eric es rubio”
¿Es proposición?......
 Conclusión :
P(x) es un predicado


Q(y): y es un número par
 Enunciado con una variable
(esta variable representa un
elemento genérico del conjunto de
números enteros)
 No es proposición
 Sustituyendo la variable “y”por una
constante del conjunto de los
números enteros:
 Q(2): “ 2 es un número par”
 Q(77): “ 77 es un número par”
¿Es proposición?......
 Conclusión :
Q(y): es un predicado


P(x,y): x es múltiplo de y
 Enunciado con dos variables
(estas variable representan
elementos genéricos del conjunto
de números enteros)
 No es proposición
 Sustituyendo las variables por
constantes…
 P(25,5): 25 es múltiplo de 5
 P(25,4): 25 es múltiplo de 4
 Conclusión :
P(x,y): es un predicado


R(z,t): z es un río de t
 Enunciado con dos variables
(z: objeto genérico del conjunto de
ríos
t: objeto genérico del conjunto de
países del mundo
 No es proposición
 Sustituyendo las variables por
constantes…
 R(Orinoco,Venezuela): El Orinoco es
un río de Venezuela
 R(Danubio,España): El Danubio es un
río de España
 Conclusión :
R(z,t): es un predicado


Definición de Dominio de
un Predicado
 Llamaremos dominio del predicado P(x), al
conjunto formado por todas aquellas
constantes que al ser sustituidas en el
mismo, lo transforman en una proposición.
 Informalmente diríamos que el dominio de un
predicado son todas aquellas constantes que
tiene “sentido” considerar.
 El Dominio es lo que se conoce como Universo
o Universo del discurso.


Ejemplos de Dominios
Predicados
1. x es un profesor de
la UNICAUCA
2. x es par
3. z es una emisora de
TV venezolana
Dominios
1. Conjunto de
profesores
universitarios
2. Conjunto de
números enteros
3. Conjunto de
emisoras de TV


Dominio de verdad
El dominio de verdad (o conjunto
de validez) de un predicado es el
conjunto formado por todas las
constantes que al ser sustituidas en
el predicado, lo convierten en una
proposición verdadera.


Características esenciales
Es un conjunto
Los elementos del conjunto son
“constantes” (representadas por:
a,b,c,…)
Estas “constantes”, al ser
sustituidas en el predicado, lo
convierten en una proposición
verdadera.


Ejemplos de Dominios de
verdad
Predicados
1. x es un profesor de
la UNICAUCA
Dominios de verdad
1. Conjunto de
profesores de la
2. x es par
2. Conjunto de
números enteros
pares
3. Conjunto de
emisoras de TV
venezolanas
3. z es una emisora de
TV venezolana
UNICAUCA
¿Verdadero o falso?


P(x)
Dominio AFIRMACIÓN
X>3
N
P(x) es un predicado
X>3
N
Para todo x del dominio, P(x)
es Verdadera
X>0
Z
La aseveración : “Para todo x
del
dominio,
P(x)
es
Verdadera”,
es
una
proposición.
x+ 2 =2+ x
R
P (-6) es falso
x. 2 =2. x
R
R es el dominio de verdad de
P(x)
x=2.x
R
V
F
V
F
V
Para todo x: P(x) es falso
F


Recordemos los
objetivos……..
 Introducir los
conceptos de
predicado o
proposición abierta,
dominio y dominio de
verdad de
predicados.
 Notación asociada



Sigamos con…..
Introducir los
cuantificadores
existencial y universal y
conocer su función en la
lógica de predicados.
Notación asociada



¿Serán proposiciones?
 Todos los hombres son mortales
 Todos son imparciales
 Algunos animales son sucios
 Todos los miembros de esta comisión han
sido matriculados.
 Cada uno necesita un mínimo de alimentos
 Nada es imposible
 A nadie le gusta la derrota


¿Qué tienen en común?
¿Cuáles son las diferencias?
 Todos los hombres son mortales
 Todos son imparciales
 Algunos estudiantes del curso FBMM02,
lograron aprobar el primer parcial.
 Algunos animales son sucios
 Todos los miembros de esta comisión han sido
estafados.
 Cada uno necesita un mínimo de alimentos
 Nada es imposible
 A nadie le gusta la derrota


Simbolización con
predicados
 Tomemos P(x): x mide más de 1,80
 Establezcamos que el dominio de P(x) son los
seres humanos.
 Dependiendo de los x del dominio que
consideremos, P(x) se convertirá en una
proposición verdadera o en una proposición
falsa.
 P(Silvia) -> F
P(M. Jordan) -> V


Simbolización con
predicados
 P(x): x mide más de 1,80
 ¿Qué pasa cuando generalizamos o
cuantificamos?....................
 “Todos miden más de 1,80 ” o “Algunos
miden más de 1,80 ”………..
 Ya no hay duda respecto al valor de verdad
de estas aseveraciones.
 Se ha convertido el predicado en una
proposición.






Cuantificador Universal

Su símbolo es
y se lee “para todo” (Todo,
para cada, cada uno)
Para simbolizar “Todos son imparciales”, en el
dominio de Seres humanos, haremos uso de los
predicados y del cuantificador universal de la
siguiente manera:
Designamos : P(x) : “ x es imparcial”
La proposición original la simbolizaríamos como
sigue:
x : P(x), y se leería de la siguiente manera:
Para todo x, se verifica que x es imparcial.


Simbolización con predicados
Veamos otro ejemplo:
 Proposición :Todas aquellos que no asisten al
debate, no tienen derecho a votar
 Dominio: personas
 P(x): x asiste al debate
 Q(x): x tiene derecho a votar.
La simbolización en este caso sería:
 x : ~ P(x)  ~ Q(x), y se leería de la
siguiente manera:
Para todo x, se verifica que : Si x no asiste al
debate, entonces x no tiene derecho a votar.
Cuantificador Existencial


Su símbolo es
 y se lee “existe” (alguno, existe al
menos uno,….)
 Para simbolizar “Algunos son imparciales”, haremos uso
de los predicados y del cuantificador existencial de la
siguiente manera:
 Designamos : P(x) : “ x es imparcial”
 Dominio: Personas
 La proposición original la simbolizaríamos como sigue:

x / P(x), y se leería de la siguiente manera:
Existe x, tal que x es imparcial.


Recordemos que..,
 Un cuantificador es
una expresión que
afirma que una
condición se cumple
para un cierto
número de individuos



Ejercicios
Simbolizar los siguientes enunciados ,
usando cuantificadores y especificando
los predicados en cada caso:
Todas las mujeres tienen el cabello largo
Algunos políticos no son respetados
Los franceses aprecian el buen vino
Los números divisibles por dos, son
pares.


Todas las mujeres tienen el
cabello largo
Caso 1:
Dominio: Mujeres
Predicado. P(x): x tiene el cabello largo
Simbolización: x : P(x),
Para todo x (mujer), se verifica que x
tiene el cabello largo.


Todas las mujeres tienen el
cabello largo
Caso 2:
 Dominio: Seres humanos
 Predicados. P(x): x es mujer
Q(x) : x tiene el cabello largo
 Simbolización: x : P(x)
 Q(x)
Para todo x se verifica que si x es mujer,
entonces x tiene el cabello largo


Simbolizar las siguientes
proposiciones cuantificadas.
 Todos los hombres son mortales
 Todos son imparciales
 Algunos animales son sucios
 Todos los miembros de esta comisión han sido
estafados.
 Cada uno necesita un mínimo de alimentos
 Nada es imposible
 A nadie le gusta la derrota


Ejercicios
 Sean P(x), R(x) , Q(x) y S(x)
los siguientes predicados:
 P(x) : x  0
 Q(x) : x2  0
 R(x): x2 -3x –4 = 0
Si el Dominio de estos
predicados es R (reales)
¿Cuáles son los valores
de verdad de las
siguientes
proposiciones?








P(1)
Q( - 5)
P(7)  Q (7)
P(0)  ~ [Q(-1)  R(1)]
[P(2)  Q(2)]  R(2)
 x : P(x)  Q(x)
 x / R(x)  P(x)
 x : P(x)  Q(x)







Dominio de verdad o
Conjunto de validez


Reglas de inferencia
 Reglas de inferencia
 La lógica de primer
orden tiene dos
reglas de inferencia.
La primera es el
modus ponens,
heredada de la lógica
proposicional.


 La segunda es la
regla de
Generalización
universal, que es
característica de la
lógica de primer
orden. La misma
dice:
