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Predicados y cuantificadores La lógica de primer orden (LPO) o cálculo de predicados de primer orden es cualquier sistema de la lógica matemática que extiende la lógica proposicional empleando variables, predicados y cuantificadores de variables La lógica de primer orden no hace ningún supuesto, sin embargo, sobre si existen o no las propiedades o las relaciones. Sólo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingüísticas. Terminología - Definiciones Para desarrollar el tema, necesitamos establecer acuerdos para algunos términos. **************** Llamaremos CONJUNTO a una colección de objetos cualquiera. A estos objetos se les llama también elementos del conjunto. Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,.... A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,..... Terminología - Definiciones Dado un conjunto cualquiera, entenderemos por VARIABLE la representación genérica de un elemento cualquiera del conjunto. Para designar variables se utilizan las letras “x”, “y”, “z”. Variables Las variables sustituyen al “fulano” o “mengano” del lenguaje común. En lugar de decir : “Hay un fulano que quiere hablar contigo”, diremos: “Hay un x que quiere hablar contigo. ”. En este ejemplo, x sería un “elemento genérico ” del conjunto de seres humanos . Constantes A una palabra, letra o símbolo, lo llamaremos constante si y sólo si designa a un elemento determinado de un conjunto. Ejemplos: Para el conjunto de los seres humanos: Luisa, Patricia, Silvia, Max y Pedro serían constantes. Para el conjunto de animales: Perro, delfín y colibrí, serían constantes. Las constantes se designan también con letras minúsculas, usualmente : a,b,c,d….. Predicados (Definición CLAVE!) Un predicado es un enunciado que contiene una o más variables, no es una proposición, pero se convierte en proposición cuando se sustituye la o las variables por constantes. Características esenciales de esta definición… es un enunciado contiene una o más variables no es una proposición se convierte en proposición cuando se sustituye la o las variables por constantes. Notación de Predicados Designaremos los Predicados con letras mayúsculas y al lado -entre paréntesispondremos la o las variables que están en el predicado. Ejemplos: P(x): x es rubio Q(y): y es un número par P(x,y): x es múltiplo de y R(z,t): z es un río de t Veamos si son Predicados constatando con las características esenciales de la definición. P(x): x es rubio Enunciado con una variable (esta variable representa un elemento genérico del conjunto de seres humanos) No es proposición Sustituyendo la variable por una constante… P(Eric): “Eric es rubio” ¿Es proposición?...... Conclusión : P(x) es un predicado Q(y): y es un número par Enunciado con una variable (esta variable representa un elemento genérico del conjunto de números enteros) No es proposición Sustituyendo la variable “y”por una constante del conjunto de los números enteros: Q(2): “ 2 es un número par” Q(77): “ 77 es un número par” ¿Es proposición?...... Conclusión : Q(y): es un predicado P(x,y): x es múltiplo de y Enunciado con dos variables (estas variable representan elementos genéricos del conjunto de números enteros) No es proposición Sustituyendo las variables por constantes… P(25,5): 25 es múltiplo de 5 P(25,4): 25 es múltiplo de 4 Conclusión : P(x,y): es un predicado R(z,t): z es un río de t Enunciado con dos variables (z: objeto genérico del conjunto de ríos t: objeto genérico del conjunto de países del mundo No es proposición Sustituyendo las variables por constantes… R(Orinoco,Venezuela): El Orinoco es un río de Venezuela R(Danubio,España): El Danubio es un río de España Conclusión : R(z,t): es un predicado Definición de Dominio de un Predicado Llamaremos dominio del predicado P(x), al conjunto formado por todas aquellas constantes que al ser sustituidas en el mismo, lo transforman en una proposición. Informalmente diríamos que el dominio de un predicado son todas aquellas constantes que tiene “sentido” considerar. El Dominio es lo que se conoce como Universo o Universo del discurso. Ejemplos de Dominios Predicados 1. x es un profesor de la UNICAUCA 2. x es par 3. z es una emisora de TV venezolana Dominios 1. Conjunto de profesores universitarios 2. Conjunto de números enteros 3. Conjunto de emisoras de TV Dominio de verdad El dominio de verdad (o conjunto de validez) de un predicado es el conjunto formado por todas las constantes que al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una proposición verdadera. Características esenciales Es un conjunto Los elementos del conjunto son “constantes” (representadas por: a,b,c,…) Estas “constantes”, al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una proposición verdadera. Ejemplos de Dominios de verdad Predicados 1. x es un profesor de la UNICAUCA Dominios de verdad 1. Conjunto de profesores de la 2. x es par 2. Conjunto de números enteros pares 3. Conjunto de emisoras de TV venezolanas 3. z es una emisora de TV venezolana UNICAUCA ¿Verdadero o falso? P(x) Dominio AFIRMACIÓN X>3 N P(x) es un predicado X>3 N Para todo x del dominio, P(x) es Verdadera X>0 Z La aseveración : “Para todo x del dominio, P(x) es Verdadera”, es una proposición. x+ 2 =2+ x R P (-6) es falso x. 2 =2. x R R es el dominio de verdad de P(x) x=2.x R V F V F V Para todo x: P(x) es falso F Recordemos los objetivos…….. Introducir los conceptos de predicado o proposición abierta, dominio y dominio de verdad de predicados. Notación asociada Sigamos con….. Introducir los cuantificadores existencial y universal y conocer su función en la lógica de predicados. Notación asociada ¿Serán proposiciones? Todos los hombres son mortales Todos son imparciales Algunos animales son sucios Todos los miembros de esta comisión han sido matriculados. Cada uno necesita un mínimo de alimentos Nada es imposible A nadie le gusta la derrota ¿Qué tienen en común? ¿Cuáles son las diferencias? Todos los hombres son mortales Todos son imparciales Algunos estudiantes del curso FBMM02, lograron aprobar el primer parcial. Algunos animales son sucios Todos los miembros de esta comisión han sido estafados. Cada uno necesita un mínimo de alimentos Nada es imposible A nadie le gusta la derrota Simbolización con predicados Tomemos P(x): x mide más de 1,80 Establezcamos que el dominio de P(x) son los seres humanos. Dependiendo de los x del dominio que consideremos, P(x) se convertirá en una proposición verdadera o en una proposición falsa. P(Silvia) -> F P(M. Jordan) -> V Simbolización con predicados P(x): x mide más de 1,80 ¿Qué pasa cuando generalizamos o cuantificamos?.................... “Todos miden más de 1,80 ” o “Algunos miden más de 1,80 ”……….. Ya no hay duda respecto al valor de verdad de estas aseveraciones. Se ha convertido el predicado en una proposición. Cuantificador Universal Su símbolo es y se lee “para todo” (Todo, para cada, cada uno) Para simbolizar “Todos son imparciales”, en el dominio de Seres humanos, haremos uso de los predicados y del cuantificador universal de la siguiente manera: Designamos : P(x) : “ x es imparcial” La proposición original la simbolizaríamos como sigue: x : P(x), y se leería de la siguiente manera: Para todo x, se verifica que x es imparcial. Simbolización con predicados Veamos otro ejemplo: Proposición :Todas aquellos que no asisten al debate, no tienen derecho a votar Dominio: personas P(x): x asiste al debate Q(x): x tiene derecho a votar. La simbolización en este caso sería: x : ~ P(x) ~ Q(x), y se leería de la siguiente manera: Para todo x, se verifica que : Si x no asiste al debate, entonces x no tiene derecho a votar. Cuantificador Existencial Su símbolo es y se lee “existe” (alguno, existe al menos uno,….) Para simbolizar “Algunos son imparciales”, haremos uso de los predicados y del cuantificador existencial de la siguiente manera: Designamos : P(x) : “ x es imparcial” Dominio: Personas La proposición original la simbolizaríamos como sigue: x / P(x), y se leería de la siguiente manera: Existe x, tal que x es imparcial. Recordemos que.., Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos Ejercicios Simbolizar los siguientes enunciados , usando cuantificadores y especificando los predicados en cada caso: Todas las mujeres tienen el cabello largo Algunos políticos no son respetados Los franceses aprecian el buen vino Los números divisibles por dos, son pares. Todas las mujeres tienen el cabello largo Caso 1: Dominio: Mujeres Predicado. P(x): x tiene el cabello largo Simbolización: x : P(x), Para todo x (mujer), se verifica que x tiene el cabello largo. Todas las mujeres tienen el cabello largo Caso 2: Dominio: Seres humanos Predicados. P(x): x es mujer Q(x) : x tiene el cabello largo Simbolización: x : P(x) Q(x) Para todo x se verifica que si x es mujer, entonces x tiene el cabello largo Simbolizar las siguientes proposiciones cuantificadas. Todos los hombres son mortales Todos son imparciales Algunos animales son sucios Todos los miembros de esta comisión han sido estafados. Cada uno necesita un mínimo de alimentos Nada es imposible A nadie le gusta la derrota Ejercicios Sean P(x), R(x) , Q(x) y S(x) los siguientes predicados: P(x) : x 0 Q(x) : x2 0 R(x): x2 -3x –4 = 0 Si el Dominio de estos predicados es R (reales) ¿Cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones? P(1) Q( - 5) P(7) Q (7) P(0) ~ [Q(-1) R(1)] [P(2) Q(2)] R(2) x : P(x) Q(x) x / R(x) P(x) x : P(x) Q(x) Dominio de verdad o Conjunto de validez Reglas de inferencia Reglas de inferencia La lógica de primer orden tiene dos reglas de inferencia. La primera es el modus ponens, heredada de la lógica proposicional. La segunda es la regla de Generalización universal, que es característica de la lógica de primer orden. La misma dice: