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ÁLGEBRA
LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS
En ocasiones empleamos letras, o letras y números para expresar
operaciones Matemáticas. Se utiliza por ejemplo:
Para operar con un número aun desconocido.
Para utilizar letras en sustitución de cualquier número.
Ejemplo:
* Si
a = valor de moneda de 1 €.
b = valor de moneda de 50 céntimos de €.
c = valor de moneda de 20 céntimos de €.
Si el precio de la entrada al cine es 12,90 €, una de las posibles formas
de pagar sin que tengan que devolvernos es:
12 a + b + 2 c
LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS
Ejemplos:
* Si queremos conocer un número (x) que al multiplicarlo por
tres y sumarle dos sea cuarenta y cuatro, podemos expresarlo
mediante una ecuación:
3 x + 2 = 44
* Los números impares los podemos expresar como:
2 n – 1,
donde n es 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
* Si del Instituto a mi casa hay 1000 m. de distancia y llevo d
m. recorridos Me quedará por recorrer (1000 – d) m.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de
letras y números.
Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene
productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números.
x, y, … , z se denomina VARIABLES
xn . yn. .. . zp es la PARTE LITERAL
a es el COEFICIENTE
a.x  y  ...  z
n
(un número)
m
p
El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales).
Por ejemplo el monomio:
3 x  y
2
Es de grado 3
1
UTILIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se utilizan para expresar matemáticamente
situaciones o enunciados en los que aparecen datos desconocidos o
indeterminados.
Ejemplos:
* Si queremos expresar el cuádruple de un número mas tres, podemos
expresar como:
4x+3
* Si queremos expresar las tres quintas partes de un número, podemos
expresar como:
(3/5) x
* Si queremos expresar que la suma de las edades de tres amigos es 100
años, podemos expresar: a + b + c = 100
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica, toma un VALOR concreto, cuando
sustituimos las letras (variables o incógnitas) por números.
Ejemplos:
* En la expresión algebraica 4 x + 3, cuando x = 1, su valor es 7.
* En la expresión algebraica (3/2) x, cuando x = 4, su valor es 6.
* En la expresión algebraica a + b + c, cuando a = b = c = 2, su valor
es 6.
OPERACIONES CON MONOMIOS.
SUMA O RESTA (solamente si son semejantes. es decir si tienen la
Se deja la misma
parte literal
misma parte literal - mismas variables y mismo grado- ) :
Ejemplos:
2
2
2
2
7

x

3

x

x

9

x

    
Se suman y restan
los coeficientes
4 pq  2 pq  2 pq
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:
Ejemplos:
Se multiplican
o dividen todos
los coeficientes
Se multiplican o
dividen todas las
partes literales
2
3
2
3
5

x

3

y

15

x

y



3
2
4

q
:
2

q

 
  2q
IDENTIDADES Y ECUACIONES
Una IDENTIDAD algebraica es una igualdad entre expresiones
algebraicas que se cumple para todos los valores de las variables.
Una ECUACIÓN algebraica es una igualdad entre expresiones
algebraicas (“MIEMBROS DE LA ECUACIÓN”) que no se cumple para
todos los valores de las variables.
Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los
miembros y las incógnitas las letras que aparecen en sus términos
Ejemplos:
( x  2)2  x 2  4  x  4 es una IDENTIDAD
Ya que se cumple la igualdad para cualquier valor de x
x 2  4  0 es una ECUACIÓN
Ya que solamente se cumple para x = -2 y x = 2
SOLUCIONES DE ECUACIONES
Las SOLUCIONES de una ECUACIÓN, son los valores que tiene que
tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad.
Ejemplo:
x2  4  0
es una ECUACIÓN
cuyas soluciones son:
x= 2
x= 2
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las mismas
soluciones.
Ejemplo:
( x  2) 2  4 x  8  0
y
x2  4  0
son ECUACIONES EQUIVALENTES,
pues ambas ecuaciones tienen de soluciones
x = 2
y
x = 2
Para RESOLVER ecuaciones (encontrar soluciones), utilizamos
ECUACIONES EQUIVALENTES (utilizando reglas de equivalencia)
lo mas sencillas posibles.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
Para resolver una ecuación de la forma:
x + a = b.
Restamos a ambos miembros de la ecuación a:
x+a–a=b–a
Obteniendo la solución:
x=b-a
Ejemplo:
x35
Tiene por solución:
x2
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
Para resolver una ecuación de la forma:
x - a = b.
 Sumamos a ambos miembros de la ecuación a:
x-a+a=b+a
Obteniendo la solución:
x=b+a
Ejemplo:
x 3 5
Tiene por solución:
x 8
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
Para resolver una ecuación de la forma:
a . x = b.
 Dividimos ambos miembros de la ecuación entre a:
a
b
x
a
a
Obteniendo la solución:
Ejemplo:
5 x 5
Tiene por solución:
x 1
b
x
a
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
Para resolver una ecuación de la forma:
x
b
a
 Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por a:
x
ab a
a
Obteniendo la solución:
Ejemplo:
x
5
3
Tiene por solución:
x  15
xb a
REGLAS DE EQUIVALENCIA
 Si se SUMA o RESTA una expresión algebraica a los dos miembros a una
ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
 Si se multiplica una expresión algebraica por los dos miembros de una
ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
 Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una expresión
algebraica no nula, se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo: Para resolver la ecuación
x 2  3x — 1  x 2 — 10.
Si restamos x ² a ambos miembros de la ecuación, obtenemos:
3 x – 1 = - 10
Si sumamos 1 a ambos miembros de la ecuación, obtenemos
3x=-9
Finalmente, si dividimos ambos miembros de la ecuación por 3,
otbenemos la solución:
x=-3
ECUACIONES POLINÓMICAS DE 1º GRADO.
Una ecuación de 1º grado es una ecuación algebraica, que tras aplicar
las reglas de equivalencia se reduce a una ecuación cuyos miembros de
la izquierda es un polinomio de 1º grado y miembro de la derecha 0.
Ejemplo:
x2  3  x  2  x2  1
es equivalente a
3 x    0
Cuya solución es:
3
x  1
3
Algunos videos divulgativos
Troncho y Poncho: Expresiones algebraicas
tp://www.youtube.com/watch?v=7Yc0bcbyieM